Exercícios de Econometria I

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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 5811 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2007
Lista de Exerc´ıcios 4 - Data de Entrega 03/05/2007
1. (Ordens de Magnitude) Em aula, foi visto que se Xnj = op (1) para
j = 1, ..., J e J e´ finito, enta˜o
PJ
j=1Xnj = op (1) . Suponha que Jn → ∞
quando n → ∞. E´ verdade que
PJn
j=1Xnj = op (1) quando n → ∞? Em caso
afirmativo, prove. Caso contra´rio, fornec¸a um contra exemplo.
2. (Convergeˆncia de varia´veis aleato´rias)
Seja {Xn}∞n=1 uma sequ¨eˆncia de varia´veis aleato´rias. Xn converge quase
certamente para X, denotado por Xn
a.s.→ X, se e somente se
P
³
ω : lim
n→∞
Xn (ω) = X (ω)
´
= 1
Mostre que a relac¸a˜o acima e´ satisfeita se e somente se, para todo ε > 0,
lim
n→∞
P
µ
sup
n≥N
|Xn −X| < ε
¶
= 1
3. (Procedimento de Cra´mer-Wold): Seja {Xn}∞n=1 uma sequ¨eˆncia de vetores
aleato´rios (kx1) e suponha que, para todo vetor real λ tal que λ0λ = 1, λ0Xn
d→
λ0X, onde X e´ um vetor aleato´rio (kx1) com func¸a˜o de distribuic¸a˜o F (x) =
F (x1, ..., xk). Mostre que a distribuic¸a˜o limite de Xn existe e e´ igual a F (x) .
4) (Distribuic¸a˜o binomial, distribuic¸a˜o assinto´tica do estimador, consisteˆncia
do estimador)
Suponha que no´s estejamos interessados em estimar a proporc¸a˜o da pop-
ulac¸a˜o cuja renda esteja abaixo da linha de pobreza, um n´ıvel pre´-determinado
de renda. Seja Y=renda e c=linha de pobreza. Portanto, o paraˆmetro de inter-
esse e´ θ = P (Y ≤ c) = F (c) , onde F (c) e´ a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
da renda, e, por hipo´tese, e´ desconhecida.
No´s temos uma amostra aleato´ria de n observac¸o˜es da renda e decidimos
estimar θ por T=proporc¸a˜o das observac¸o˜es da amostra que satisfazem Y ≤ c.
a) Ache E (T ) e V (T ). T e´ na˜o viesado?
b) Mostre que
√
n (T − θ) d→ N (θ, θ (1− θ))
c) T e´ consistente?
1
5) (Comparac¸a˜o de estimadores baseada nas propriedades assinto´ticas)
Considere novamente o arcabouc¸o da questa˜o 4.
Suponha agora que se saiba que Y e´ normamelmente distribu´ıda, com variaˆncia
conhecida, mas me´dia desconhecida. Portanto, θ = Φ
¡ c−µ
σ
¢
, onde Φ (.) e´ a
func¸a˜o de distribuic¸a˜o da normal padra˜o.
No´s ainda queremos estimar θ e consideramos o estimador alternativo U =
Φ
³
c−Y¯
σ
´
, onde Y¯ =
Pn
i=1 Yi.
a) Mostre que U e´ consistente. U e´ na˜o viesado?
b) Ache a distribuic¸a˜o assinto´tica de U .
c) Com base nas distribuic¸o˜es assinto´ticas, qual estimador de θ voceˆ usaria,
T ou U? Dica: Dois fatos u´teis sobre a f.d.p. e a f.d., φ (z) e Φ (z) , sa˜o
∂Φ
∂z
= φ (z)
(φ (z))2
Φ (z) (1− Φ (z)) < 0.64 para todos os valores de z
6) (Teorema central do limite bivariado de Lindberg-Le´vy, estimac¸a˜o da
raza˜o de me´dias, experimento de Monte Carlo)
Suponha que no´s tenhamos uma amostra aleato´ria (i.i.d.) de n observac¸o˜es
de uma distribuic¸a˜o bivariada com me´dia µ =
·
µX
µY
¸
, µY 6= 0 e matriz de
variaˆncia-covariaˆncia finita e positiva definida Q =
·
σ2X σXY
σXY σ2Y
¸
.
No´s desejamos estimar a raza˜o das me´dias µXµY
, e consideramos o estimador
T = X¯Y¯ , onde X¯ =
Pn
i=1Xi e Y¯ =
Pn
i=1 Yi.
a) Esse estimador e´ na˜o viesado? Consistente?
b) Utilizando a versa˜o multivariada do teorema central do limite de Lindberg-
Le´vy, ache a distribuic¸a˜o assinto´tica de T . Plote a func¸a˜o de densidade para¡
µX , µY , σ
2
X , σ
2
Y , σXY
¢
= (3, 2, 1, 1, 0.5) .
c) (Background) Suponha que a distribuic¸a˜o verdadeira de (X,Y ) seja uma
normal bivariada com paraˆmetros
¡
µX , µY , σ
2
X , σ
2
Y , ρ
¢
= (3, 2, 1, 1, 0.5) e que a
nossa amostra tenha n = n∗ observac¸o˜es.
A distribuic¸a˜o assinto´tica de b) e´ uma boa aproximac¸a˜o para a distribuic¸a˜o
exata de T para n = n∗? Calcular a distribuic¸a˜o exata de T e´ muito dif´ıcil.
Enta˜o no´s decidimos conduzir um experimento de Monte Carlo. A ide´ia e´ a
seguine:
2
Passo 1: Obtenha uma amostra de tamanho n∗ da distribuic¸a˜o bivariada
(X,Y ) .
Passo 2: Calcule o valor de T para essa amostra.
Repita os passos 1 e 2 va´rias vezes, digamos 1000 vezes. Isso nos fornece
1000 valores de T . A distribuic¸a˜o desses 1000 valores e´ a nossa aproximac¸a˜o
nume´rica para a distribuic¸a˜o exata de T em amostras finitas para n = n∗.
Para implementar:
Conduza um estudo de Monte Carlo para n∗ = 25, para n∗ = 100 e para n∗ =
200. Para cada um, plote a distribuic¸a˜o de T em amostras finitas (histograma).
O que acontece quando voceˆ vai de n∗ = 25 para n∗ = 100 e para n∗ = 200?
Dica: Como no´s obtemos uma observac¸a˜o de uma normal bivariada? Essa e´
uma maneira simples:
Escreva X e Y como X = a+ bZ1, Y = c+ dX + eZ2, onde Z1 ∼ N (0, 1) ,
Z2 ∼ N (0, 1) e Z1 e Z2 sa˜o independentes. Calcule o que a, b, c, d e e precisam
ser a fim de assegurar que E (X) = µX , E (Y ) = µY , V (X) = σ
2
X , V (Y ) = σ
2
Y
e corr (X,Y ) = ρ.
Tendo achado os valores de a, b, c, d e e, voceˆ pode obter Z1 e Z2 da dis-
tribuic¸a˜o normal padra˜o e computar X = a+ bZ1, Y = c+ dX + eZ2.
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