EPM - LISTA 01-Resolvida

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
 INSTITUTO TECNOLÓGICO 
 FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
________________________________________________________________ 
 
1 
 
 
Disciplina: Estrutura e Propriedades dos Materiais 
Professor: Jorge Teófilo de Barros Lopes 
 
Lista de Exercícios 01 - ESTRUTURA CRISTALINA 
 
1) Quantos átomos existem em um grama de ferro? Qual o volume de um grão 
metálico contendo 1020 átomos de ferro? Dados: MFe = 55,85 g/mol; ρ = 7,87 
g/cm3. 
 𝑚 = 1𝑔 → 𝑛 = ?; 
1 𝑔𝑟ã𝑜 → 𝑛 = 1020 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 → 𝑣 =? 
𝑀 = 55, 85 𝑔 − 1 𝑚𝑜𝑙 − 6,02 𝑥 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 
𝑚 = 1𝑔 − 𝑛 
𝑛 =
1 𝑥 6,02 𝑥 1023
55,85
∴ 𝒏 = 𝟏, 𝟎𝟖 𝒙 𝟏𝟎𝟐𝟐 á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔/𝒈 
𝜌 =
𝑚𝑔𝑟ã𝑜
𝑣𝑔𝑟ã𝑜
∴ 𝑣𝑔𝑟ã𝑜 =
𝑚𝑔𝑟ã𝑜
𝜌
 
𝑀 = 55, 85 𝑔 − 1 𝑚𝑜𝑙 − 6,02 𝑥 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 
 𝑚𝑔𝑟ã𝑜 − 10
20 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 
𝑚𝑔𝑟ã𝑜 =
55,85 𝑥 1020
6,02 𝑥 1023
∴ 𝑚𝑔𝑟ã𝑜 = 9,28 𝑥 10
−3𝑔/𝑔𝑟ã𝑜 
 𝑣𝑔𝑟ã𝑜 =
𝑚𝑔𝑟ã𝑜
𝜌
=
9,28 𝑥 10−3
7,87
∴ 𝑣𝑔𝑟ã𝑜 = 1,18 𝑥 10
−3𝑐𝑚3/ 𝑔𝑟ã𝑜 
2) O Al2O3 tem uma densidade de 3,8 g/cm3. Quantos átomos estão presentes por 
cm3 de material? E por grama? Dados: MAl = 26,98 g/mol; MO = 15,99 g/mol. 
𝜌𝐴𝑙2𝑂3 = 3,8 𝑔/𝑐𝑚
3; 𝑀𝐴𝑙 = 26,98 𝑔/𝑚𝑜𝑙;𝑀0 = 15,99𝑔/𝑚𝑜𝑙 
𝑛𝐴𝑙2𝑂3 = ?→ 𝑣𝐴𝑙2𝑂3 = 1 𝑐𝑚
3 
𝑀𝐴𝑙2𝑂3 = 2𝑀𝐴𝑙 + 3𝑀𝑂 = 2 𝑥 26,98 + 3 𝑥 15,99 = 101,93 𝑔/ 𝑚𝑜𝑙𝐴𝑙2𝑂3 
𝜌𝐴𝑙2𝑂3 =
𝑀𝐴𝑙2𝑂3
𝑣𝐴𝑙2𝑂3
∴ 𝑣 =
𝑣𝐴𝑙2𝑂3
𝜌𝐴𝑙2𝑂3
=
101,93
3,8
∴ 𝑣 = 26,82 𝑐𝑚3/𝑚𝑜𝑙𝐴𝑙2𝑂3 
26,82 𝑐𝑚3 − (2 + 3)6,02 𝑥 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
1 − 𝑛 
→ 𝒏 = 𝟏, 𝟏𝟐 𝒙 𝟏𝟎𝟐𝟑 á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔/𝒄𝒎𝟑 
101,93 𝑔 − (2 + 3)6,02 𝑥1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
 1 − 𝑛 
→ 𝒏 = 𝟐, 𝟗𝟓 𝒙 𝟏𝟎𝟐𝟐 á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔/𝒈 
3) Um cubo de MgO de lado igual a 4,20 Å, contém 4 íons Mg++ e 4 íons O--. Qual a 
densidade do MgO? Dados: MMg = 24,31 g/mol; MO = 15,99 g/mol. 
𝑀𝑔𝑂{
𝑎 = 4,20 �̇�
𝑛𝑀𝑔++ = 4
𝑛𝑂−− = 4
} ;𝑀𝑀𝑔 = 24,31 𝑔 𝑚𝑜𝑙⁄ ; 𝑀𝑂 = 15,99 𝑔 𝑚𝑜𝑙⁄ ; 𝜌𝑀𝑔𝑂 = ? 
𝜌𝑀𝑔𝑂 =
𝑚𝑐.𝑢.
𝑣𝑐.𝑢.
=
4 𝑥 𝑀𝑀𝑔++ + 4 𝑥 𝑀𝑂−−
𝑣𝑐.𝑢.
=
4
𝑁𝐴
(𝑀𝑀𝑔++ + 𝑀𝑂−−)
𝑎3
 
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2 
 
 
𝜌𝑀𝑔𝑂 = 
4(24,31 + 15,99)
6,02 𝑥 1023 𝑥(4,20 𝑥10−8)3
∴ 𝝆𝑴𝒈𝑶 = 𝟑, 𝟔𝟏 𝒈/𝒄𝒎
𝟑 
4) O ouro tem uma estrutura cristalina CFC. O parâmetro de seu reticulado é 0,4078 
nm e sua massa atômica é 196,97 g/mol. Calcule a sua densidade e a compare 
com o valor tabelado (experimental). 
𝑂𝑢𝑟𝑜 (𝐴𝑢) → 𝐸𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐶𝐹𝐶(𝑎 = 0,4078 𝑛𝑚);𝑀𝐴𝑢 = 196,97 𝑔/𝑚𝑜𝑙; 𝜌𝐴𝑢 = ? 
𝜌𝐴𝑢 =
𝑚𝑐.𝑢.
𝑣𝑐.𝑢.
=
𝑛 𝑥
𝑀𝐴𝑢
𝑁𝐴
𝑎3 
=
𝑛 𝑥 𝑀𝐴𝑢
𝑎3𝑥 𝑁𝐴
=
4 𝑥 196,97
(0,4078 𝑥 10−7)3𝑥 6,02 𝑥 1023
 ∴ 
𝝆𝑨𝒖 = 𝟏𝟗, 𝟑 𝒈/𝒄𝒎
𝟑 
5) O titânio tem uma estrutura HC (a = 2,956 Å; c = 4,683 Å) abaixo de 880°C, e uma 
estrutura CCC (a = 3,320 Å) acima desta temperatura. O titânio expande ou contrai 
ao ser aquecido a esta temperatura? Calcule a variação volumétrica em cm3/g. 
dado: MTi = 47,88 gR/mol. 
𝑇𝑖𝑡â𝑛𝑖𝑜 (𝑇𝑖) → 𝐻𝐶(𝑎 = 2,956 �̇�; 𝑐 = 4,683 𝐴)̇ → 𝑇 < 880 °𝐶; 𝑀𝑇𝑖 = 47,88 𝑔 𝑚𝑜𝑙⁄ 
 𝐶𝐶𝐶 (𝑎 = 3,320 �̇�) → 𝑇 > 880°𝐶 
 𝑣 =
𝑐𝑚3
𝑔
 → 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 − 𝑣 =
𝑉𝑐.𝑢.
𝑚𝑐.𝑢.
 
 ∗ 𝑇 < 880°𝐶 → 𝐻𝐶 {
𝑚 = 6 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 
𝑉𝑐.𝑢. = 3𝑎
2. 𝑐. cos 30°
 
 𝑣𝐻𝐶 =
3𝑎2.𝑐.𝑐𝑜𝑠30°
6𝑥
𝑀
𝑁𝐴
= 
𝑎2.𝑐.cos30°𝑥 𝑁𝐴
2𝑀
 
 𝑣𝐻𝐶 = 
(2,956 𝑥 10−8)
2
.(4,683 𝑥 10−8).
√3
3
𝑥 (6,02 𝑥 1023)
2 𝑥 47,88
∴ 𝒗𝑯𝑪 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟖 𝒄𝒎
𝟑/𝒈 
 ∗ 𝑇 > 880°𝐶 → 𝐶𝐶𝐶 {
𝑚 = 2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
𝑉𝑐.𝑢. = 𝑎
3 
 𝑣𝐶𝐶𝐶 =
𝑎3
2 𝑥
𝑀
𝑁𝐴
= 
𝑎3𝑥 𝑁𝐴
2𝑀
=
(3,320 𝑥 10−8)3𝑥 (6,02 𝑥 1023)
2 𝑥 47,88
∴ 𝒗𝑪𝑪𝑪 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟎 𝒄𝒎
𝟑/ 𝒈 
 ∆𝑣 = (
(𝑣𝐹−𝑣𝑖)
𝑣𝑖
) 100 = (
𝑣𝐶𝐶𝐶−𝑣𝐻𝐶
𝑣𝐻𝐶
) 100 = (
0,230− 0,228
0,228
) 100 ∴ ∆𝒗 = 𝟎, 𝟖𝟖 % 
 - CONCLUSÃO: No aquecimento, o titânio expande logo que muda a sua estrutura de HC para CCC. 
6) No diamante, os átomos de carbono estão arranjados em células unitárias 
cúbicas, com átomos nas posições faces-centradas normais e também nas quatro 
seguintes posições: ¼,¼,¼ ; ¾,¾,¼ ; ¾,¼,¾ ; ¼,¾,¾. Sendo o parâmetro do 
reticulado igual a 3,56 Å, calcule a densidade do diamante. MC = 12,01 g/mol. 
𝐷𝑖𝑎𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒 → 8 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑜 𝑐. 𝑢. (⁄ 𝐶𝐹𝐶 + 4); 𝑎 = 3,56 �̇�; 
𝑀𝐶 = 12,01 𝑔 𝑚𝑜𝑙⁄ ; 𝜌 = ? 
 𝜌 =
𝑚𝑐.𝑢.
𝑣𝑐.𝑢.
=
𝑛 𝑥
𝑀
𝑁𝐴
𝑎3
=
𝑛 𝑥 𝑀
𝑎3𝑥𝑁𝐴
=
8 𝑥 12,01
(3,56 𝑥 10−8)3𝑥 (6,02 𝑥1023)
∴ 𝝆 = 𝟑, 𝟔𝟔 𝒈/𝒄𝒎𝟑 
 
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3 
 
 
7) Mostre que a mínima relação entre os raios dos átomos (ou íons), para um NC = 
3 é 0,155. 
𝑟
𝑅
= 0,155 → 𝑁𝐶 = 3 
Configuração → 
 
 
 cos 30° =
𝑅
𝑟+𝑅
∴
√3
2
=
𝑅
𝑟+𝑅
∴
𝑟+𝑅
𝑅
=
2
√3
= 
2√3
3
∴
𝑟
𝑅
+
𝑅
𝑅
=
2√3
3
∴
𝑟
𝑅
+ 1 = 
2√3
3
∴ 
 ∴
𝑟
𝑅
=
2√3
3
− 1 ∴ 
𝒓
𝑹
= 𝟎, 𝟏𝟓𝟓 
8) Mostre que a mínima relação entre os raios de átomos que formam o material, 
para um NC = 6, é igual a 0,414. 
𝑟
𝑅
= 0,414 → 𝑁𝐶 = 6 
Configuração → 
 
 
 
cos 45° =
𝑅
𝑟 + 𝑅
∴
√2
2
= 
𝑅
𝑟 + 𝑅
∴
𝑟 + 𝑅
𝑅
=
2
√2
∴
𝑟
𝑅
+
𝑅
𝑅
= √2 ∴
𝑟
𝑅
+ 1 = √2 ∴ 
 ∴
𝑟
𝑅
= √2 − 1 ∴
𝒓
𝑹
= 𝟎, 𝟒𝟏𝟒 
9) Mostre a origem do valor 0,732 para a mínima relação entre os raios dos átomos 
envolvidos na ligação, para um NC = 8. 
 
𝑟
𝑅
= 0,732 → 𝑁𝐶 = 8 
Configuração → 
 
 
 
 
(2𝑟 + 2𝑅)2 = (2𝑅)2 + (2√2𝑅)2 ∴ (𝑟 + 𝑅)2 = 𝑅2 + (√2𝑅)2 
𝑟2 + 2𝑟𝑅 + 𝑅2 = 𝑅2 + 2𝑅2 ∴ 𝑟2 + 2𝑟𝑅 = 2𝑅2 (÷ 𝑅2) 
(
𝑟
𝑅
)
2
+
2𝑟
𝑅
− 2 = 0 ∴
𝑟
𝑅
=
−2 ± √4 + 8
2
= −1 ±
√12
2
= −1 ± √3 
𝑟 + 𝑅 
𝑅 
30° 
𝑟 + 𝑅 
𝑅 
45° 
2𝑟 + 2𝑅 
2𝑅 
2√2𝑅 
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4 
 
 
𝑟
𝑅
= −1 + √3 ∴
𝒓
𝑹
= 𝟎, 𝟕𝟑𝟐 
10) Um íon positivo divalente e um íon negativo divalente estão em equilíbrio, quando 
a distância entre os seus centros é 2,45 Å. Se considerarmos n = 9 na equação 
da força de repulsão, qual o valor de b na mesma equação? 
 𝑧1 = +2; 𝑧2 = −2; 𝑎 = 𝑎0 = 2,45 𝐴;̇ 𝑛 = 9; 𝑏 = ? 
𝑁𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜: 𝐹𝐴 = 𝐹𝑅 → 
−𝑧1. 𝑧2. 𝑒
2
4𝜋. 𝜀0. 𝑎0
2 =
𝑛𝑏
𝑎0𝑛+1
∴ 
𝑏 =
−𝑧1.𝑧2.𝑒
2.𝑎0
𝑛+1
4𝜋.𝜀0.𝑎0
2.𝑛
=
−𝑧1.𝑧2.𝑒
2.𝑎0
𝑛−1
4𝜋.𝜀0.𝑛
∴ 𝑏 =
−(+2)(−2).(1,6 𝑥 10−19)
2
.(2,45 𝑥 10−6)
9−1
4𝜋(8,85 𝑥 10−12).9
∴ 
𝒃 = 𝟕, 𝟗 𝒙 𝟏𝟎−𝟖𝟓𝑵.𝒎𝟏𝟎 
11) Calcule a força de atração entre um par de íons Na+ e Cl- que se tocam. Admita 
que o raio atômico do íon Na+ é 0,095 nm e o do Cl- é 0,181 nm. 
𝐹𝐴 = ? ;𝑁𝑎
+𝐶𝑙−; 𝑅𝑁𝑎+ = 0,095 𝑛𝑚; 𝑅𝐶𝑙− = 0,181 𝑛𝑚 
Í𝑜𝑛𝑠 𝑠𝑒 𝑇𝑜𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 → 𝑎𝑜 = 𝑅𝑁𝑎+ + 𝑅𝐶𝑙− = 0,095 + 0,181 = 0,276 𝑛𝑚; 
𝐹𝐴 = 
−𝑧1. 𝑧2. 𝑒
2
4𝜋. 𝜀0. 𝑎0
2 = 
−(+1). (−1). (1,6 𝑥 10−19)2
4𝜋. (8,85 𝑥 10−12). (0,276 𝑥 10−9)2
= 0,302 𝑥 10−8 
𝑭𝑨 = 𝟑, 𝟎𝟐 𝒙 𝟏𝟎
−𝟗𝑵 
12) A partir dos dados fornecidos e obtidos no exercício anterior, e admitindo-se n = 
9 para o Na+Cl-, calcule o valor de b na equação da força repulsiva. 
𝐹𝐴 = 3,02 𝑥 10
−9𝑁; 𝑛 = 9;𝑏 = ? 
 𝑁𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 → 𝐹𝐴 = 𝐹𝑅 =
𝑛𝑏
𝑎0
𝑛+1 ∴ 𝑏 = 𝐹𝐴
𝑎0
𝑛+1
𝑛
∴ 𝑏 = 3,02 𝑥 10−9.
(0,276 𝑥 10−9)
9+1
9
∴ 
 ∴ 𝒃 = 𝟖, 𝟔𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟎𝟔𝑵.𝒎𝟏𝟎 
13) Calcule a energia potencial total de um par de íons Na+Cl-. Utilize os dados dos 
dois problemas anteriores. 
𝑈 = ? ; 𝑁𝑎+𝐶𝑙− 
𝑈 = +
𝑧1. 𝑧2. 𝑒
2
4𝜋. 𝜀0. 𝑎0
+
𝑏
𝑎0
𝑛 =
(+1)(−1)(1,6 𝑥 10−19)2
4𝜋(8,85 𝑥 10−12)(0,276 𝑥 10−9)
+ 
8,61 𝑥 10−106
(0,276 𝑥 10−9)9
∴ 
𝑈 = (−0,0834 𝑥 10−17) + (926448,8 𝑥 10−25) = (−8,34 𝑥 10−19) + (0,93 𝑥 10−19) 
𝑼 = −𝟕, 𝟒𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑵.𝒎 𝑜𝑢 − 𝟕, 𝟒𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑱 
 
 
 
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5 
 
 
14) Sabendo-se que a força de atração entre o par de íons Mg2+ e S2- no equilíbrio é 
igual a 1,49x10-8 N e que o raio do íon S2- é igual a 0,184 nm, calcule o valor do 
raio iônico do íon Mg2+. 
𝑀𝑔2+ 𝑆2−; 𝐹𝐴 = 1,49 𝑥 10
−8𝑁;𝑅𝑆2− = 0,184 𝑛𝑚; 𝑅𝑀𝑔2+ = ? 
𝐹𝐴 = −
𝑧1. 𝑧2. 𝑒
2
4𝜋. 𝜀0. 𝑎0
2 ∴ 𝑎0
2 = −
𝑧1. 𝑧2. 𝑒
2
4𝜋. 𝜀0. 𝐹𝐴
 
𝑎0
2 = −
(+2). (−2). (1,6 𝑥 10−19)2
4𝜋. (8,82 𝑥 10−12). (1,49 𝑥10−8)
∴ 𝑎0
2 = 0,062 𝑥 10−18 ∴ 
𝑎0√0,062 𝑥 10−18 = 0,249 𝑥 10
−9 𝑚 = 0,249 𝑛𝑚 
 𝑎0 = 𝑅𝑆2− + 𝑅𝑀𝑔2+ ∴ 0,249 = 0,184 + 𝑅𝑀𝑔2+ ∴ 𝑹𝑴𝒈𝟐+ = 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 𝒏𝒎 
15) Calcule o número de elétrons capazes de conduzir carga elétrica em 10 cm3 de 
Ag. Dados: MAg = 107,87 g/mol; ρAg = 10,49 g/cm3; ZAg = 47. 
𝑛 = ? , 𝑣 = 10 𝑐𝑚3;𝑀 = 107,87 𝑔 𝑚𝑜𝑙⁄ ; 𝜌 = 10,49 𝑔 𝑐𝑚3⁄ ; 𝑍 = 47 
𝜌 = 10,49 𝑔 − 1 𝑐𝑚3
 𝑚 − 10 𝑐𝑚3
→ 𝑚 = 104,9 𝑔 
𝑀 = 107,87 𝑔 − 1 𝑚𝑜𝑙 − 6,02 𝑥 1023á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
104,9 𝑔 − 𝑛 
 
𝑛 = 
104,9
107,87
𝑥 6,02 𝑥 1023 ∴ 𝑛 = 5,85 𝑥1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 
𝑍 = 47 → 𝐷𝑖𝑠𝑡. 𝐸𝑙𝑒𝑡𝑟ô𝑛𝑖𝑐𝑎 (2, 8, 18, 18, 1) → 1 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 á𝑡𝑜𝑚𝑜 
𝑛𝑒 = 1𝑒
− 𝑥 5,85 𝑥 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 ∴ 𝒏𝒆 = 𝟓, 𝟖𝟓 𝒙 𝟏𝟎
𝟐𝟑 𝒆𝒍é𝒕𝒓𝒐𝒏𝒔 
16) Calcule a densidade atômica linear ao longo da direção [112] do ferro. Idem para 
o níquel. Dados: rFe = 1,241 Å; rNi = 1,245 Å. 
 ∗ 𝐷𝐿𝐹𝑒 = ? ; 𝑟𝐹𝑒 = 1,241 �̇� = 1,241𝑥10
−8 𝑐𝑚;𝐶𝐶𝐶; 𝑎 =
4𝑟
√3
 
 𝐷𝐿 =
𝑛° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜
𝑐𝑜𝑚𝑝.𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜
 
 𝐷𝐿𝐹𝑒 =
1 2⁄
𝑙
 
 𝑙2 = 𝑎2 + (
𝑎√2
2
)
2
= 𝑎2 +
𝑎2
2
=
3𝑎2
2
 
 𝑙 = √
3𝑎2
2
=
√3
√2
. 𝑎 
 𝐷𝐿𝐹𝑒 =
1 2⁄
√3
√2
 𝑥 
4𝑟
√3
=
√2
8𝑟
=
√2
8(1,241 𝑥 10−8)
∴ 𝑫𝑳𝑭𝒆 = 𝟏, 𝟒𝟐 𝒙 𝟏𝟎
𝟕á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔/𝒄𝒎 
 ∗ 𝐷𝐿𝑁𝑖 = ? ; 𝑟𝑁𝑖 = 1,245 �̇� = 1,245𝑥10
−8 𝑐𝑚; 𝐶𝐹𝐶 
 𝐷𝐿𝑁𝑖 =
1
2
+
1
2
√3
√2
 𝑥 
4𝑟
√2
=
1
2√3.𝑟
=
1
2√3.(1,241 𝑥 10−8)
∴ 𝑫𝑳𝑵𝒊 = 𝟐, 𝟑𝟐 𝒙 𝟏𝟎
𝟕 á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔/𝒄𝒎 
x 
y 
z 
[112] 
ሾ112ሿ = ൤
1
2
1
2
1൨ 
 
[112] 
𝑎√2 
𝑎 
[112] 
𝑎√2 
𝑎 
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6 
 
 
17) Calcule o número de átomos por cm2 nos planos (100), (110) e (111) do cobre. 
Dado: rCu = 1,278 Å. 
 𝐷𝑝 = ?→ (100), (110), (111); 𝐶𝑜𝑏𝑟𝑒 → 𝐶𝐹𝐶; 𝑟𝐶𝑢 = 1,278 �̇� 
 𝐷𝑝 =
𝑛° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
 
∗ (100) → 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒 
 𝐷𝑝(100) =
1
4
+
1
4
+
1
4
+
1
4
𝑎2
=
1
(
4𝑟
√2
)
2 =
2
16𝑟2
=
1
8𝑟2
= 
 = 
1
8(1,278 𝑥 10−8)2
= 0,0765 𝑥 1016 ∴ 
 𝑫𝒑(𝟏𝟎𝟎) = 𝟕, 𝟔𝟓 𝒙 𝟏𝟎
𝟏𝟒á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔/𝒄𝒎𝟐 
∗ (110) → 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 
 𝐷𝑝(110) =
(4𝑥
1
4
)+(2𝑥
1
2
)
𝑎(𝑎√2)
=
2
𝑎2√2
= 
2
(
4𝑟
√2
)
2
.√2
= 
 = 
√2
8𝑟2
=
√2
8(1,278 𝑥 10−8)2
∴ 
 𝑫𝒑(𝟏𝟏𝟎) = 𝟏𝟎, 𝟖 𝒙 𝟏𝟎
𝟏𝟒á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔/𝒄𝒎𝟐 
 ∗ (111) → 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 
 ℎ2 = (𝑎√2)
2
− (𝑎√2 2⁄ )
2
= 2𝑎2 −
𝑎2
2
=
3𝑎2
2
 
 ℎ = √
3𝑎2
2
=
√3𝑎
√2
=
𝑎√6
2
 
 𝐷𝑝(111) =
(3𝑥
1
6
)+(3𝑥
1
2
)
(𝑎√2 𝑥
𝑎√6
2
) 2⁄
=
2𝑥2
√3𝑎2
=
4
√3𝑎2
=
4
√3.(
4𝑟
√2
)
2 = 
 =
4
√3.
16𝑟2
2
=
1
2√3𝑟2
=
1
2√3(1,278 𝑥 10−8)2
∴ 
 𝑫𝒑(𝟏𝟏𝟏) = 𝟏𝟕, 𝟕 𝒙 𝟏𝟎
𝟏𝟒á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔/𝒄𝒎𝟐 
 
18) A densidade planar do plano (112) na estrutura CCC do ferro é 9,94x1014 
átomos/cm2. Calcular: 
(a) a densidade planar do plano (110); 
(b) os espaçamentos interplanares dos planos (112) e (110). 
(c) Em qual plano o deslizamento ocorrerá normalmente? 
 
 
1/6 
1/6 1/6 
1/2 1/2 
1/2 
𝒂√𝟐 
1/4 1/4 
1/4 1/4 1/2 
1/2 
𝒂√𝟐 
𝒂 
𝒉 =
𝒂√𝟔
𝟐
 
1/4 1/4 
1/4 1/4 
𝒂 
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7 
 
 
 𝐹𝑒𝑟𝑟𝑜 → 𝐶𝐶𝐶; 𝐷𝑝(112) = 9,94 𝑥10
14á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐𝑚2 
(a) Densidade do plano (110) 
 ∗ (110) → 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜 
 𝐷𝑝(110) =
(4𝑥
1
4
)+1
𝑎.𝑎√2
= 
2
𝑎2√2
=
2
(
4𝑟
√3
)
2
√2
=
6
16𝑟2.√2
= 
 =
3
8√2𝑟2
=
3
8√2(1,241 𝑥 10−8)2
∴ 
 𝑫𝒑(𝟏𝟏𝟎) = 𝟏, 𝟕𝟐 𝒙𝟏𝟎
𝟏𝟓á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔/𝒄𝒎𝟐(𝒂) 
(b) 𝑑ℎ𝑘𝑙 =
𝑎
√ℎ2+𝑘2+𝑙2
 
 𝑑(112) =
(
4𝑟
√3
)
√12+12+22
=
4𝑟
√3 𝑥 √6
=
4(1,241𝑥10−8)
√18
∴ 𝒅(𝟏𝟏𝟐) = 𝟏, 𝟏𝟕 𝒙 𝟏𝟎
−𝟖𝒄𝒎 = 𝟏, 𝟏𝟕�̇� 
 𝑑(110) =
(
4𝑟
√3
)
√12+12+0
=
4𝑟
√3 𝑥 √2
=
4 𝑥 1,241
√6
∴ 𝒅(𝟏𝟏𝟎) = 𝟐, 𝟎𝟑𝒙𝟏𝟎
𝟖𝒄𝒎 = 𝟐, 𝟎𝟑 �̇� 
(c) O deslizamento ocorrerá preferencialmente nos planos (110), pois estes apresentam 
maior compacidade e estão mais afastados entre eles. 
 
19) O cobre tem uma estrutura CFC, o parâmetro de seu reticulado é 0,36151 nm; as 
direções compactas são da família <110>; a distância de repetição ao longo 
dessas direções é metade da diagonal da face, visto que os átomos estão 
localizados nos vértices e centro das faces. Calcule o comprimento do vetor de 
Burgers no cobre. Dado: rCu = 0,1278 nm. 
 𝐶𝑜𝑏𝑟𝑒 → 𝐶𝐹𝐶; 𝑎 = 0,36151 𝑚𝑚 
 𝐷𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑎𝑠 → < 110 >; 𝑏 =
𝑎√2
2
; 𝑟𝐶𝑢 = 0,1278 𝑚𝑚 
 |�⃗� | = 𝐷𝑖𝑠𝑡. 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çã𝑜 =
𝑎√2
2
=
(
4𝑟
√2
)𝑥√2
2
= 2𝑟 = 2 𝑥 0,1278 ∴ |�⃗� | = 0,2556 𝑚𝑚 
20) Suponha que uma placa de ródio CFC é produzida com 1 mm de espessura, com 
o plano (111) paralelo à superfície da placa. Quantas distâncias interplanares d111 
possui a espessura da placa? Dado: aRh = 3,796 Å. 
 𝑅ó𝑑𝑖𝑜 → 𝐶𝐹𝐶; 𝑒 = 1 𝑚𝑚 = 0,1 𝑐𝑚; (111)//𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 
 𝑛𝑑111 = ?; 𝑎𝑅𝑢 = 3,796 𝐴 = 3,796 𝑥 10
−8𝑐𝑚̇ ; 𝑑ℎ𝑘𝑙 =
𝑎
√ℎ2+𝑘2+𝑙2
 
 𝑑111 =
𝑎
√12+12+12
=
𝑎
√3
 
 𝑛𝑑111 =
𝑒
𝑑111
=
𝑒
𝑎
√3
⁄
=
𝑒.√3
𝑎
= 
(1𝑥10−1)√3
3,796 𝑥10−8
 
 𝒏𝒅𝟏𝟏𝟏 = 𝟒, 𝟓𝟔 𝒙𝟏𝟎
𝟕𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 
 
 
1/4 1/4 
1/4 1/4 
𝒂 1 
𝒂√𝟐 
(111) e = 1 mm 
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8 
 
 
21) A distância entre os planos (110) de uma estrutura CCC é 2,03 Å. Calcule o 
parâmetro da célula unitária. Calcule também, o raio dos átomos. Que metais 
podem ser? 
 𝑑111 = 2,03�̇� → 𝐶𝐶𝐶; 𝑎 =? ; 𝑟 =? 
 𝑑ℎ𝑘𝑙 =
𝑎
√ℎ2+𝑘2+𝑙2
∴ 2,03 =
𝑎
√12+12+0
=
𝑎
√2
 
 𝑎 = 2,03 𝑥 √2 ∴𝒂 = 𝟐, 𝟖𝟕�̇� 
 
4𝑟
√3
= 2,87 ∴ 𝒓 = 𝟏, 𝟐𝟒𝟑 �̇� 
 *** Pode ser o ferro, pois é CCC e tem o raio mais próximo{𝑟𝐹𝑒 = 1,241 �̇�
𝐶𝐶𝐶 
 
 
22) Abaixo estão listados a massa atômica, a densidade e o raio atômico de três 
metais hipotéticos. Para cada um determine se a sua estrutura cristalina é CFC, 
CCC ou CS, e então justifique a sua determinação. 
 
Metal M(g mol)⁄ ρ (g cm3)⁄ r(mm) 
A 77,4 8,22 0,125 
B 107,6 13,42 0,133 
C 127,3 9,23 0,142 
 
𝐸𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎: 𝐶𝑆, 𝐶𝐶𝐶 𝑜𝑢 𝐶𝐹𝐶 → 𝑛° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/ 𝐶. 𝑈. 
𝜌 =
𝑚𝑐.𝑢.
𝑉𝑐.𝑢.
=
𝑛 .𝑀 𝑁𝐴⁄
𝑎3
∴ 𝑛 =
𝜌. 𝑎3. 𝑁𝐴
𝑀
→ {
𝑛 = 1á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑐. 𝑢⁄ → 𝐶𝑆 
𝑛 = 2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐. 𝑢⁄ → 𝐶𝐶𝐶 
𝑛 = 4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐. 𝑢⁄ → 𝐶𝐹𝐶
 
∗∗ 𝑀𝑒𝑡𝑎𝑙 𝐴: 𝑀 = 77,4 𝑔 𝑚𝑜𝑙⁄ ; 𝜌 = 8,22 𝑔 𝑐𝑚3⁄ ; 𝑟 = 0,125 𝑚𝑚 
• 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 é 𝐶𝑆 → 𝑎 = 2𝑟 
 𝑛 =
𝜌.(2𝑟)3𝑁𝐴
𝑀
=
8,22 (2𝑥0,125 𝑥 10−7)
3
(6,02 𝑥 1023)
77,4
∴ 𝑛 = 0,999 ≈ 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑐. 𝑢 → 𝐶𝑆⁄ 
• 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 é 𝐶𝐶𝐶 → 𝑎 = 4𝑟 √3⁄ 
 𝑛 = 
𝜌(4𝑟 √3⁄ )
3
𝑁𝐴
𝑀
=
8,22(4𝑥0,125 𝑥 10−7 √3⁄ )
3
(6,02 𝑥 1023)
77,4
∴ 
 𝑛 = 1,54 ≠ 2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐. 𝑢 → 𝑁ã𝑜 é 𝐶𝐶𝐶⁄ 
 
• 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 é 𝐶𝐹𝐶 → 𝑎 = 4𝑟 √2⁄ 
 𝑛 = 
𝜌(4𝑟 √2⁄ )
3
𝑁𝐴
𝑀
=
8,22(4𝑥0,125𝑥10−7 √2⁄ )
3
.(6,02𝑥1023)
77,4
∴ 
 𝑛 = 2,8 ≠ 4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐. 𝑢 → 𝑁ã𝑜 é 𝐶𝐹𝐶⁄ 
 
 
 
 
 
 
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9 
 
 
∗∗ 𝑀𝑒𝑡𝑎𝑙 𝐵: 𝑀 = 107,6 𝑔 𝑚𝑜𝑙⁄ ; 𝜌 = 13,42𝑔 𝑐𝑚3⁄ ; 𝑟 = 0,133 𝑚𝑚 
• 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 é 𝐶𝑆 → 𝑎 = 2𝑟 
 𝑛 =
𝜌.(2𝑟)3𝑁𝐴
𝑀
=
13,42 (2𝑥0,133 𝑥 10−7)
3
.(6,02 𝑥 1023)
107,6
∴ 
 𝑛 = 1,41 ≠ 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑐. 𝑢 → 𝑛ã𝑜 é 𝐶𝑆⁄ 
• 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 é 𝐶𝐶𝐶 → 𝑎 = 4𝑟 √3⁄ 
 𝑛 = 
𝜌(4𝑟 √3⁄ )
3
𝑁𝐴
𝑀
=
13,42(4𝑥0,133 𝑥 10−7 √3⁄ )
3
(6,02 𝑥 1023)
107,6
∴ 
 𝑛 = 2,18 ≠ 2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐. 𝑢 → 𝑁ã𝑜 é 𝐶𝐶𝐶⁄ 
 
• 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 é 𝐶𝐹𝐶 → 𝑎 = 4𝑟 √2⁄ 
 𝑛 = 
𝜌(4𝑟 √2⁄ )
3
.𝑁𝐴
𝑀
=
13,42(4𝑥0,133𝑥10−7 √2⁄ )
3
.(6,02𝑥1023)
107,6
∴ 
 𝑛 = 3,99 = 4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐. 𝑢 → 𝐶𝐹𝐶⁄ 
 
∗∗ 𝑀𝑒𝑡𝑎𝑙 𝐶: 𝑀 = 127,3 𝑔 𝑚𝑜𝑙⁄ ; 𝜌 = 9,23 𝑔 𝑐𝑚3⁄ ; 𝑟 = 0,142 𝑚𝑚 
• 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 é 𝐶𝑆 → 𝑎 = 2𝑟 
 𝑛 =
𝜌.(2𝑟)3𝑁𝐴
𝑀
=
9,23 (2𝑥0,142 𝑥 10−7)
3
(6,02 𝑥 1023)
127,3
∴ 𝑛 = 0,999 ≈ 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑐. 𝑢 → 𝐶𝑆⁄ 
• 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 é 𝐶𝐶𝐶 → 𝑎 = 4𝑟 √3⁄ 
 𝑛 = 
𝜌(4𝑟 √3⁄ )
3
𝑁𝐴
𝑀
=
9,23(4𝑥0,142 𝑥 10−7 √3⁄ )
3
(6,02 𝑥 1023)
127,3
∴ 
 𝑛 = 1,54 ≠ 2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐. 𝑢 → 𝑁ã𝑜 é 𝐶𝐶𝐶⁄ 
 
• 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 é 𝐶𝐹𝐶 → 𝑎 = 4𝑟 √2⁄ 
 𝑛 = 
𝜌(4𝑟 √2⁄ )
3
𝑁𝐴
𝑀
=
9,23(4𝑥0,142𝑥10−7 √2⁄ )
3
.(6,02𝑥1023)
127,3
∴ 
 𝑛 = 2,8 ≠ 4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐. 𝑢 → 𝑁ã𝑜 é 𝐶𝐹𝐶⁄ 
 
23) O ferro passa de CCC para CFC a 910°C, no aquecimento. Nesta temperatura, 
os raios atômicos do elemento nas duas estruturas são, respectivamente, 1,258 
Å e 1,292 Å. Calcule a porcentagem de variação volumétrica provocada pela 
mudança de estrutura. O ferro expande ou contrai ao mudar de estrutura? Dados: 
MFe = 55,85 g/mol. 
 𝐹𝑒𝑟𝑟𝑜 𝐶𝐶𝐶
910 °𝐶
→ 𝐶𝐹𝐶; 𝑟𝐶𝐶𝐶 = 1,258 𝐴;̇ 𝑟𝐶𝐹𝐶 = 1,292 �̇� 
 𝑣 =
𝑉𝑐.𝑢.
𝑚𝑐.𝑢
=
𝑎3
𝑛(𝑀 𝑁𝐴)⁄ 
∴ 𝑣 =
𝑎3.𝑁𝐴
𝑛 .𝑀
 
 ∗ 𝐶𝐶𝐶 → {
𝑎 = 4𝑟 √3⁄ 
𝑛 = 2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐. 𝑢
 
 𝑣𝐶𝐶𝐶 =
(4𝑟 √3⁄ )
3
𝑁𝐴
2𝑀
=
(4𝑥1,258𝑥10−8 √3⁄ )
3
(6,02 𝑥 1023)
2𝑥55,85
∴ 𝑣𝐶𝐶𝐶 = 0,1322 𝑐𝑚
3/𝑔 
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∗ 𝐶𝐹𝐶 → {𝑎 = 4𝑟 √2
⁄ 
𝑛 = 4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐. 𝑢⁄ 
 
 𝑣𝐶𝐹𝐶 =
(4𝑟 √2⁄ )
3
𝑁𝐴
4𝑀
=
(4𝑥 1,292 𝑥10−8⁄ )3(6,02 𝑥 1023)
4𝑥55,85
∴ 𝑣𝐶𝐹𝐶 = 0,1315 𝑐𝑚
3/𝑔 
 ∆𝑣 = (
𝑣𝐶𝐹𝐶−𝑣𝐶𝐶𝐶
𝑣𝐶𝐶𝐶
) 100 = (
0,1315−0,1322
0,1322
)100 ∴ ∆𝑣 = −0,53% → 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑢 
 
- CONCLUSÃO: No aquecimento, o ferro contrai ao mudar da estrutura CCC para a CFC. 
 
24) O zinco tem uma estrutura HC. A altura da célula unitária é 4,94 Å. Os centros dos 
átomos na base da célula unitária distam entre si 2,665 Å. (a) Quantos átomos 
existem por célula unitária? (b) Qual o volume da célula unitária? (c) A densidade 
calculada é maior ou menor que a densidade experimental (7,135 g/cm3)? 
(justifique). Dado: MZn = 65,38 g/mol. 
 
 𝑍𝑖𝑛𝑐𝑜 𝐻𝐶(𝑎 = 2,665 �̇�; 𝑐 = 4,94 �̇�);𝑀 = 65,38 𝑔 𝑚𝑜𝑙⁄ 
(a) 𝒏𝒄.𝒖 = 𝟔 á𝒕𝒐𝒎𝒐𝒔 𝒄. 𝒖⁄ 
(b) 𝑣𝑐.𝑢 = 3𝑎
2. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠30° = 3(2,665 𝑥 10−8)2. (4,94𝑥10−8). (
√3
2
) ∴ 
 𝒗𝒄.𝒖. = 𝟗, 𝟏𝟓𝟓𝒙𝟏𝟎
−𝟐𝟑𝒄𝒎𝟑 
(c) 𝜌𝑐 =
𝑚𝑐.𝑢.
𝑣𝑐.𝑢.
=
𝑛𝑐.𝑢 (
𝑀
𝑁𝐴
)
𝑣𝑐.𝑢.
=
𝑛𝑐.𝑢..𝑀
𝑣𝑐.𝑢.𝑁𝐴
=
6 𝑥 65,38
(9,155𝑥10−23)(6,02 𝑥1023)
∴ 
𝝆𝒄 = 𝟕, 𝟏𝟒𝟗𝒈 𝒄𝒎
𝟑⁄ > 𝜌𝐸 = 7,135 𝑔/𝑐𝑚
3 
 
- CONCLUSÃO: O valor da densidade calculado (𝜌𝑐) despreza as imperfeições da rede.