relatorio_AB266_Saulo_Barbosa

Prévia do material em texto

Relatório 1◦ Bimestre - AB-266
Saulo Barbosa
saulobo@ita.br
13 de Julho de 2015
mailto:saulobo@ita.br
Conteúdo
1 Atmosfera, Forças e Momentos 3
1.1 Sistemas de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Atmosfera padrão ISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Forças aerodinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 EMB-326 Xavante 8
2.1 Características geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Modelo propulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Coeficientes aerodinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Estabilidade e Controle 10
3.1 Ponto de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Estabilidade Longitudinal do modelo não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Estabilidade em Dutch Roll do modelo não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Linearização do modelo não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4.1 Movimento longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4.2 Movimento latero-direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Projeto do controlador longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5.1 Piloto automático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5.2 Minimizando a função custo J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5.3 Manobras simuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Controlador latero-direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6.1 Manobra simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Navegação e Guiamento 20
4.1 Navegação no grande círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Guiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.1 Trecho reto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.2 Trecho circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Waypoints de navegação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Voo simulado 23
6 Conclusões 28
1
Introdução
Este relatório apresenta os resultados obtidos no projeto de um piloto automático aplicado a um simulador
em matlab da aeronave EMB326-Xavante.
No capítulo 1, são descritos os sistemas de referências e suas correlações, o modelo atmosférico e o modelo
não linear de forças e momentos, utilizados para o desenvolvimento do simulador.
No capítulo 2, a aeronave EMB-326 Xavante é apresentada e caracterizada conforme os modelos físicos
descritos no capítulo anterior.
O capítulo 3 reúne todo o processo para análise de estabilidade do modelo não linear, sua posterior linea-
rização, análise em malha aberta, técnicas de projeto de controlador em malha fechada longitudinal. Para o
controlador latero-direcional, uma breve introdução do modelo fornecido em aula.
2
Capítulo 1
Atmosfera, Forças e Momentos
Apresenta-se um pequeno resumo do modelo atmosférico, forças aerodinâmicas, propulsivas, inerciais e seus
respectivos momentos que compõem o modelo não-linear utilizado para a simulação.
1.1 Sistemas de referência
Considerando a aeronave como um corpo rígido de massa pontual, determinou-se o sistema da figura 1.1,
onde o eixo x aponta para o bico da aeronave, o eixo z para baixo e o eixo y é ortonormal ao plano x-z de acordo
com a regra da mão direita.
Figura 1.1: Sistema corpo de uma aeronave. [Diston, 2009, p. 26].
O sistema tem seis graus de liberdade, sendo três graus de translação e três de rotação. Tem-se então com
relação ao eixos:
Eixo Forças Momentos Velocidade linear Velocidade angular
x X L u p (roll)
y Y M v q (pitching)
z Z N w r (Yaw)
É conveniente referenciar a aeronave em função de um ponto inicial local na superfície da terra. O sistema
de coordenadas do corpo é então transformado para o sistema NED, como na figura 1.2. O sistema NED tem
um eixo apontando para o Norte e outro para o Leste, formando um plano tangente a superfície da terra. O
terceiro eixo respeita a regra da mão direita e aponta para o centro da terra.
O Sistema NED representa uma planificação da superfície da terrestre e é muito utilizado para navegação.
O modelo geométrico que serve de referência para o sistema NED é o ECEF WGS84, que aproxima a
geometria da terra para um elipsóide, mostrado na figura 1.3.
Diversas matrizes de transformação são utilizadas para localizar a aeronave entre os sistemas referenciais.
a Figura 1.4 ilustra a multiplicidade de transformações para passar do sistema ECI1 para o NED, seguindo os
passos:
1. Do sistema ECI (x0, y0, z0) se transforma para o ECEF (x1, y1, z1);
2. Realiza-se uma rotação intermediária para alinhar o meridiano local do NED usando o sistema (x2, y2, z2);
3. Faz-se a transformada para NED em (x3, y3, z3).
3
Figura 1.2: Sistema NED (North, East, Down). [Diston, 2009, p. 27].
Figura 1.3: ECEF representado pelo modelo WGS84. [Diston, 2009, p. 28].
Na aplicação da disciplina, somente as transformações entre Corpo-NED-ECEF serão utilizadas e suas
matrizes de rotações. Para transformar do sistema ECEF para NED:
Lne =
 − sin(µ) cos(λ) − sin(µ) sin(λ) cos(µ)− sin(λ) cos(λ) 0
− cos(µ)cos(λ) −cos(µ)sin(λ) −sin(µ)
 (1.1)
Para transformar de NED para ECEF:
Len = (Lne )−1 (1.2)
Sendo µ a Latitude e λ a Longitude.
Para transformar de NED para corpo:
Lbn =
 − cos(θ) cos(ψ) cos(θ) sin(ψ) sin(θ)sin(φ) sin(θ) cos(ψ)− cos(φ) sin(ψ) sin(φ) sin(θ) sin(ψ) + cos(φ) cos(ψ) sin(φ) cos(θ)
cos(φ) sin(θ) cos(ψ) + sin(φ) sin(ψ) cos(φ) sin(θ) sin(ψ)− sin(θ) cos(ψ) cos(φ) cos(θ)
 (1.3)
E o inverso é a transformação de corpo para NED:
Lnb = (Lbn)−1 (1.4)
Sendo o conjunto (φ, θ, ψ) os angulos de Euler, mostrados na figura 1.5, nomeados como:
• ψ - Proa;
• θ - Atitude;
• φ ou ϕ - Rolagem.
4
Figura 1.4: Etapas de transformação de ECI para NED. [Diston, 2009, p. 35].
Figura 1.5: Angulos de Euler entre sistema corpo e NED. [Diston, 2009, p. 38].
As matrizes de rotação apresentadas permitem realizar a navegação e guiamento dentro da atmosfera da
terra, mas as forças aerodinâmicas que atuam na aeronave são provenientes da interação do corpo com o fluido,
por isso são referenciados ao vetor velocidade do vento V mostrado na figura
Figura 1.6: Vetor velocidade do vento no sistema corpo. [Diston, 2009, p. 35].
Assim, dois ângulos muito importantes para a performance da aeronave aparecem, são eles:
• α - Ângulo de ataque;
• β - Ângulo de derrapagem.
Para acoplar a performance aerodinâmica a navegação, a matriz de rotação abaixo é utilizada:
Lwb =
 cos(α) cos(β) sin(β) sin(α) cos(β)− cos(α) sin(β) cos(β) − sin(α) sin(β)
− sin(α) 0 cos(α)
 (1.5)
1Inercial no centro da terra
5
1.2 Atmosfera padrão ISA
Desenvolvida pela ICAO2, determina as condições atmosféricas em três faixas de altitude:
1. 0 ≤ h ≤ 11000[m] - Troposfera;
2. 11000 < h ≤ 25000[m] - Baixa Estratosfera;
3. 25000 < h ≤ 47000[m] - Alta Estratosfera.
Considerando a gravidade constante g = 9.8[ms2 ] e constante do ar R = 287[
m2
s2K ], os seguintes modelos para
cada faixa de altitude foram modelados:
Troposfera Baixa Estratosfera Alta Estratosfera Observações
λ[Km ] −6.5× 10
−3 0(cte) 3× 10−3 Gradiente térmico
Th[K] T0 + λh ≡ T11000 = 216.5 T11000 + λ(h− 25000) T0 = 288
Ph[Pa] P0
(
Th
T0
)−g
Rλ
P11000e
−g(h−11000)RT P25000
(
Th
T25000
)−g
Rλ
P0 = 101325
ρh[ kgm3 ] ρ0
(
Th
T0
)−g
Rλ−1
ρ11000e
−g(h−11000)
RT ρ25000
(
Th
T25000
)−g
Rλ−1
ρ0 = 1.225
A área de interesse para o presente estudo está na faixa da troposfera e somente ela será considerada.
1.3 Forças aerodinâmicas
A figura 1.7 mostra as forças e momentos atuantes no plano longitudinal da aeronave.
Figura 1.7: Forças aerodinâmicas do sistema de equilibrio (ie, ke) com relação ao sistema corpo (i, k). [Tewari,
2011, p. 205].
Cada força aerodinâmica da figura 1.1 possui um conjunto de coeficientes adimensionais que contabilizam a
contribuição da geometria, condição de voo e controles da aeronave para cada resultante. Para a sustentação e
admitindo o modelo disponível da aeronave em estudo, tem-se:
CL = CL0 + CLαα+ CLα̇
α̇c
2VT0
(1.6)
Para a força de arrasto, tem-se:
CD = CD0 +KCL2 (1.7)
Para força lateral:
CYw = CYββ + CYδr δr + CYp
pb
2VT0
+ CYr
rb
2VT0
(1.8)
Para o momento de rolamento 3(em torno do eixo x do sistema corpo):
2Sigla em inglês para International Civil Aviation Organization.
3Roll moment.
6
Cl = Clββ + Clp
pb
2VT0
+ Clr
rb
2VT0
+ Clδa δa (1.9)
Para o momento longitudinal4 (em torno do eixo y do sistema corpo):
Cm = Cm0 + Cmαα+ Cmδe δe + Cmq
qc
2VT0
(1.10)
Para o momento de guinada5 (em torno do eixo z do sistema corpo):
Cn = Cnββ + Cnp
pb
2VT0
+ Cnr
rb
2VT0
+ Cnδa δa + Cnδr δr (1.11)
O modelo das forças e momentos no sistema corpo é:
F = Lbw q̄S
 −CDCyw
−CL
+
 Ft cos(αF )0
−Ft sin(αF )
+m
 −g sin(θ)g sin(φ) cos(θ)
g cos(φ) cos(θ)
 (1.12)
M = q̄S
 bClcCm
bCn
+
 0FZF − IFωF r
0
 (1.13)
Sendo Ft,αF , FZF , IF e ωF referentes ao modelo propulsivo da aeronave, que será descrito no capitulo 2.
Tanto S, c e b são dimensões da aeronave e VT0 é a velocidade verdadeira da aeronave (velocidade espacial
compensada com o vento).
4Pitching moment.
5Yaw moment.
7
Capítulo 2
EMB-326 Xavante
A Aeronave MB-326 foi desenvolvida pela companhia italiana Aermacchi em 1957 para suprir o mercado
potencial de aeronaves treinadoras a jato, visto o grande número de caças supersônicos que entravam no mercado.
Devido ao seu baixo custo de produção e operação, várias forças armadas licenciaram a fabricação da MB-326,
dentre elas a FAB que buscava uma plataforma de treinamento para os Mirage III que pudesse ser convertida
para uso operacional.
O MB-326 Xavante, mostrado na figura 2.1 foi fabricado pela Embraer e em conjunto com o Bandeirantes
inseriu a empresa no mercado mundial. Dentro da FAB, a nomenclatura adotada foi para o Xavante foi AT-26.
Figura 2.1: AT-26 Xavante da FAB.
2.1 Características geométricas
Para aplicar o modelo descrito no capítulo 1, são necessárias diversas características físicas da aeronave, são
elas:
• Massa total m = 3769[kg];
• Área de referência S = 20.05[m2];
• Corda média c = 1.9[m];
8
• Alongamento AR = 7.22;
• Envergadura b = 10.85[m];
• Angulo relativo da propulsão αF = 0;
• Distância entre motor e C.G. no eixo z zF = 0.
A figura abaixo ilustra a área de referência, corda média e envergadura:
1,9 m
S=20,05 m²
10,85 m
Figura 2.2: Três vistas do EMB-326.
Também é necessária a matriz de inércias da aeronave:
I =
 10373 0 10000 13418 0
0 0 22645
 [kgm2] (2.1)
2.2 Modelo propulsivo
O modelo propulsivo utilizado foi:
Ft = 15156δt
(
4
s+ 4
)(
ρ
ρ0
)0.8
(2.2)
2.3 Coeficientes aerodinâmicos
A tabela abaixo apresenta os coeficientes aerodinâmicos parametrizados por [Oliveira, 2007, Vasconselos,
2002]:
CL0 CLα CLα̇ CD0 K CYβ CYδr CYp CYr
0.2226 5.4432 -69.27 0.0205 0.0551 0.4497 0.0991 -0.0126 -0.4578
Tabela 2.1: Coeficientes aerodinâmicos de forças.
Clβ Clp Clr Clδa Cm0 Cmα Cmδe Cmq Cnβ
-0.0675 -0.6494 0.2648 -0.2099 0.0394 -0.4568 -0.5889 -10.22 0.0374
Cnp Cnr Cnδa Cnδr
-0.576 -0.483 0.0245 -0.0705
Tabela 2.2: Coeficientes aerodinâmicos de momentos.
9
Capítulo 3
Estabilidade e Controle
O modelo não-linear apresentado no capítulo 1 apresenta as entradas de controle U e as possíveis pertubações
do vetor velocidade do ventoW que induzem variações de estados Ẋ que determinam uma nova condição espacial
da aeronave Y , conforme ilustrado na figura abaixo:
Ẋ=f(X,U,W)
Y=g(X,U,W)
U
W
Y
Figura 3.1: Diagrama modelo não-linear.
Para fins de computação, acoplou-se o vetor W ao U , formando uma entrada:
U = [ δt δe δa δr Wx Wy Wz ] (3.1)
O vetor de estados X:
X = [ u v w p q r φ θ ψ XN XE XD µ λ ] (3.2)
E o estado final após a pequena perturbação:
Y = [ VT α β γ p q r φ θ ψ ax ay az h µ λ ] (3.3)
3.1 Ponto de equilíbrio
Para realizar um voo em equilíbrio, deve-se determinar um estado Xe e uma entrada Ue que para tal W se
obtenha Ẋ = 0. Existem ao menos duas condições de voo estabilizadas e suas respectivas condições dinâmicas:
• Asas Niveladas - p, q, r, θ = 0;
• Curva coordenada - ψ̇ = cte, θ̇, φ̇ = 0.
Considerando a aeronave do estudo em voo nivelado com um vetor velocidade do vento nulo, tem-se uma
atitude θe = αe + γe. Assim, dada as condições de estado (VT , γ, h), existe um conjunto de controle (δe, δt) e
um angulo de ataque α que equilibram a aeronave.
Para o presente estudo, considerou-se as condições iniciais de equilíbrio e obteve-se os respectivos controles
e angulo de ataque:
VTe γe he αe δte δee
200[ms ] 0
◦ 9144[m] −0.2233◦ 0.6052 4.005◦
Tabela 3.1: Estado inicial de equilíbrio, voo reto e nivelado a 389 nós e 30000 pés.
A condição de equilíbrio será a referência de manche fixo para analisar a resposta a perturbações nos controle.
10
3.2 Estabilidade Longitudinal do modelo não-linear
Dois modos de vibrar são esperados quando se excita o sistema longitudinalmente, o período curto e a
fugóide.
Aplicando um aumento de 5◦ no δee por 2 segundos, obteve-se o comportamento mostrado no conjunto de
figuras 3.6
Figura 3.2: Oscilação da velocidade verdadeira Figura 3.3: Oscilação da Altitude
Figura 3.4: δe aplicado e período curto em α Figura 3.5: Ângulo de atitude θ
Figura 3.6: Simulação de fugóide
Pela resposta de α (figura 3.4) é possível notar o assentamento do período curto ≈ 4.45[s], período oscilatório
de ≈ 1.65[s] e Overshoot alto, indicando um comportamento sub-amortecido (ζ baixo).
Pela reposta de θ (figura 3.5) nota-se que o fugóide apresenta baixíssimos amortecimento e frequência natural,
com tempo de assentamento ≈ 1210[s] e período de ≈ 88[s], justificável pela proposta da aeronave (Combate).
11
3.3 Estabilidade em Dutch Roll do modelo não-linear
Há um acoplamento entre os movimentos de guinada e rolagem, produzindo três modos de vibrar quando
algum distúrbio é aplicado, que são os modos de Rolagem, Espiral e Dutch Roll1.
Aplicou-se um Doublet de 2◦ no leme (δr) para induzir o movimento de Dutch Roll, ilustrado no conjunto
de figuras 3.13
Figura 3.7: Movimento Dutch Roll Figura 3.8: Oscilação da Altitude
Figura 3.9: Oscilação de proa, atitude e ro-
lagem.
Figura 3.10: Resposta de proa e rolagem de-
vido δr
Figura 3.11: Desvio da trajetória. Figura 3.12: Oscilação da velocidade
Figura 3.13: Simulação de Dutch Roll
A figura 3.7 ilustra muito bem o acoplamento entre derrapagem e rolagem e pela convergência de φ e ψ
da figura 3.9 que a aeronave é estável ao Dutch Roll induzido por δr. Interessante notar a diferença entre as
contribuições do leme a oscilações da proa e da rolagem ilustradas na figura 3.10, mostrando também estabilidade
na rolagem. A divergência da trajetória (≈ 5◦ na latitude) indica uma leve divergência no modo espiral.
1Que relaciona rolagem com derrapagem.
12
3.4 Linearização do modelo não-linear
Com o estado de equilíbrio Xe encontrado, determinou-se um modelo dinâmico linear em torno de cada
ponto de equilíbrio, aplicando-se pequenas perturbações em Ẋe. Na forma de sistema linear invariante no
tempo, tem-se ∆Ẋ = A∆X +B∆U e analogamente no sinal de saída ∆Y = C∆X +D∆U : Ẋ1...
Ẋ14
 =
 A1,1 · · · A1,14... . . . ...
A14,1 · · · A14,14

 X1...
X14
+
 B1,1 · · · B1,7... . . . ...
B14,1 · · · B14,7

 U1...
U7
 (3.4) Ẏ1...
˙Y16
 =
 C1,1 · · · C1,14... . . . ...
C16,1 · · · C16,14

 X1...
X14
+
 D1,1 · · · D1,7... . . . ...
D16,1 · · · D16,7

 U1...
U7
 (3.5)
3.4.1 Movimento longitudinal
De acordo com [Cook, 2007, p. 86], o movimento longitudinal da aeronave depende das variáveis de estado
u,w, q, θ, pela organização do vetor X (3.2), utilizou-se elementos da matriz A que relacionam tais entradas
para analisar o comportamento longitudinal do modelo linear:
A1,1 A1,3 A1,5 A1,8
A3,1 A3,3 A3,5 A3,8
A5,1 A5,3 A5,5 A5,8
A8,1 A8,3 A8,5 A8,8
 =

−0.0144 0.0145 1.3229 −9.8066
−0.1033 −1.3311 221.7337 0.0382
−2.3145× 10−4 −0.0594 −1.2195 0
0 0 1 0
 (3.6)
Obtendo-se os pólos abaixo:
Figura 3.14: Lugares geométricos das raízes.
Pólos ζ ωn
Período Curto -1.2758 + 3.628i 0.3317 3.8459
Período Curto -1.2758 - 3.628i 0.3317 3.8459
Fugóide -0.0052 + 0.0619i 0.0836 0.0622
Fugóide -0.0052 + 0.0619i 0.0836 0.0622
Tabela 3.2: Pólos, amortecimentos e frequências
Os resultados obtidos do modelo linear em malha aberta a manche fixo são muito coerentes se comparados
com a resposta do modelo não-linear.
A figura 3.15 ilustra a classificação de qualidade de voo da aeronave de acordo com o Thumb Print para
período curto. Essa avaliação é estatística, correlacionando avaliações de cooper-harper com as características
dinâmicas da aeronave.
Figura 3.15: Thumb print para período curto [Cook, 2007, p. 248].
A aeronave se classifica como "Pobre", já que se trata de uma aeronave de combate, exigindo do piloto um
esforço e habilidades superiores para pilotagem.
13
3.4.2 Movimento latero-direcional
O movimento latero-direcional está acoplado e depende das variáveis v, r, q, φ [Cook, 2007, p. 174]. Assim,
os índices de A que correspondem são:
A2,2 A2,5 A2,6 A2,7
A5,2 A5,5 A5,6 A5,7
A6,2 A6,5 A6,6 A6,7
A7,2 A7,5 A7,6 A7,7
 =

−0.0144 0.0145 1.3229 −9.8066
−0.1033 −1.3311 221.7337 0.0382
−2.3145× 10−4 −0.0594 −1.2195 0
0 0 1 0
 (3.7)
Obtendo-se os pólos abaixo:
Figura 3.16: Lugares geométricos das raízes.
Pólos ζ ωn
Rolagem -1.2195 1 1.2195
Dutch Roll -0.5871 + 1.5857i 0.3472 1.6909
Dutch Roll -0.5871 - 1.5857i 0.3472 1.6909
Espiral -1.8244×10−4 1 1.8244×10−4
Tabela 3.3: Pólos, amortecimentos e frequências
Conforme esperado, o modelo linear representa corretamente o comportamento simulado no modelo não-
linear a manche fixo, interessante notar que em modo espiral a aeronave apresenta uma estabilidade praticamente
neutra, justificando o pequeno desvio de trajetória observado anteriormente.
3.5 Projeto do controlador longitudinal
Fechando a malha do sistema com Y = −KY , tem-se Ẋ = (A − BKC)Y , sendo K uma matriz de ganhos
do controlador. Existem diversas técnicas de se determinar a matriz de ganhos, dentre elas o Regulador Linear
Quadrático(LQR2), que minimiza a relação entre resposta e esforço de atuação para alcançar determinado
estado, produzindo assim uma regulação versátil.
A função custo J (3.8) deve ser minimizada e está em função da matriz de ponderação P da equação de
Lyapunov (3.9).
J = 12X
T (0)(PX)X(0) (3.8)
O objetivo é utilizar a equação de Lyapunov para garantir que o sistema seja assintoticamente estável dado
uma matriz de ganho K para um estado X com o menor custo J possível.
ATc P + PAc + CTKTRKC +Q = 0 (3.9)
Sendo Ac = (A−BKC), Q e R matrizes simétricas positivas, Q semi-definida e R definida3.
Quando se realiza a realimentação de estados y = x, a equação de Lyapunov se transforma na equação
algébrica de Riccati:
ATP + PA+Q− PBR−1BTP = 0 (3.10)
E o ganho K, chamado de ganho de Kalman passa a ser:
K = R−1BTP (3.11)
3.5.1 Piloto automático
Duas características são essenciais em um piloto automático:
1. SAS4 na malha interna;
2. Controladores dinâmicos de rastreio de estado para navegação e guiamento.
2do inglês Linear-Quadratic Regulator.
3Condições para validar o teorema de Lyapunov.[Aström and Murray, 2008, p. 111]
4do inglês Stability augmentation systems.
14
Assim, projetou-se uma malha fechada externa para rastreio das variáveis de navegação (VT , γ) colocada em
série com a malha fechada interna dos atuadores, chegando ao sistema:
ẋ = Ax+Bu+Gr
y = Cx+ Fr
z = Hr
u = −KCr −KFr
(3.12)
Redefinindo Ẋ = (A−BKC)X + (G−BKF )r, o problema passa a ser a regulação em torno do estado de
equilíbrio para determinada entrada r, passando o sistema 3.12 para regime permanente, tem-se:
x̃ = x− xss
ỹ = Cx̃
z̃ = Hx̃
ũ = u− uss
(3.13)
Assim, ˙̃x = Ax̃+Bũ. Aplicou-se a função custo J para regulação do erro, mas como x(0) = 0, X = xssxTss =
A−1c Bcr0r
T
0 B
T
c (A−1c )T e na equação de Lyapunov a matriz Q passa a ser HTH que é formada pelas funções
transferência de G(V ) (3.14) e G(γ) (3.15), Ac = (A−BKC) e Bc = (G−BKF ).
G(V ) = 0.4273s+ 3.967
s+ 5 (3.14)
G(γ) = 0.588s
2 − 4.116s− 0.005861
s2 + 10s (3.15)
3.5.2 Minimizando a função custo J
Para a condição de equilíbrio determinada na tabela 3.1, minimizou-se J com a função fmincon() do matlab.
Foi utilizado um processador intel i-core 5 M 450, rodando o matlab 2014a no windows 7 64bits, o algoritmo
utilizado foi o interior-point, obtendo-se os ganhos:
K =
[
1.5863e− 6 −5.4284e− 6 −1.8306 −1.2044e− 6 −6.6976e− 6 1.6105e− 6
0.0907 −0.0154 −3.4803e− 6 −9.4654e− 6 −99.9558 9.9962 −0.588
]
(3.16)
O ganho em negrito da matriz 3.16 causou preocupação quanto a robustez do sistema, utilizou-se outro
algoritmo minimizador, o sqp, obtendo-se:
K =
[
1e− 5 −1e− 5 −1.7234 −0.4447 −1e− 5 −1e− 5 1e− 5
−0.4251 −0.0159 −1e− 5 −0.3691 0.0380 0.8425
]
(3.17)
Algoritmo sqp
Algoritmo interior-point
Figura 3.17: Comparativo de robustez minimizando J com interior-point e sqp.
15
A figura 3.17 mostra o ganho de robustez, principalmente na margem de ganho ( de 6.4dB para 16.1dB)
comparando as duas matrizes K obtidas. Optou-se então em utilizar o algoritmo sqp.
3.5.3 Manobras simuladas
Com o piloto projetado para controle longitudinal, realizou-se diversas manobras de navegação para aferir o
desempenho do controlador. As curvas em vermelho das figuras 3.18 e 3.19 mostram as entradas de navegação
da primeira simulação.
Figura 3.18: Rastreio da velocidade verdadeira.
Observa-se um bom comportamento do controle do profundor em azul na figura 3.19, produzindo um ganho
de altitude muito suave, conforme a figura 3.20.
γ real
γ desejado
δe
Figura 3.19: Rastreio de γ.
A aeronave retorna ao estado de equilíbrio (he, Ve, γe) após ≈ 1200[s].
16
Figura 3.20: Altitude.
Para verificar se ocorre saturação de controle, em uma segunda simulação manteve-se γ = 0 e diminui-se a
velocidade verdadeira conforme a curva em vermelho da figura 3.21.
Figura 3.21: Rastreio da velocidade verdadeira no segundo voo.
Como era de se esperar, com a diminuição de V , a aeronave tende a aumentar o α buscando manter γ
constante, conforme figura 3.23. Como o decaimento de velocidade foi muito abrupto, o piloto não consegue
manter γ, conforme figura 3.22
A aeronave então perde altitude (figura 3.25), levando ≈ 2680[s] para retornar a condição de equilíbrio.
Como o rastreio da velocidade foi muito preciso, verificou-se o controle de manete (figura 3.24), verificando sua
saturação.
17
γ real
γ desejado
δe
Figura 3.22: Rastreio de γ no segundo voo. Figura 3.23: Oscilação de α no segundo voo.
Figura 3.24: Controle de manete no segundo
voo.
Figura 3.25: altitude no segundo voo.
Assim, o piloto automático projetado é capaz de realizar o controle da aeronave simulada desde que as
entradas de estado desejados apresentem variações suaves e graduais.
3.6 Controlador latero-direcional
O controle latero-direcional foi fornecido em sala de aula, a matriz de ganhos é mostrada na equação 3.18 e
foi calculada por inversão inversão dinâmica.
Klat =
[
−0.9967 −0.1138 −1.0924 17.4395 −0.9250
−2.5895 −0.3041 −1.8680 48.0558 −1.8224
]
(3.18)
A figura abaixo ilustra o controle modelado no Matlab Simulink:
2
Y
U Y
[p r]
1
rg
0
ay cmd
U Y
[r a ]y
+
-
x´ = Ax+Bu
y = Cx+Du
57.3ss+2
Klat 1
ulat
Controlador lateral
Filtro Washout
Figura 3.26: Controlador latero-direcional.
18
É realizado o rastreio da velocidade angular de guinada r, conforme o valor entrada rg.
3.6.1 Manobra simulada
Foi realizada uma simulação de uma curva com rg = 2
◦
s , o resultado está na figura abaixo:
-14.72
-14.7
-14.68
-14.66
-14.64
-14.62
-52.44
-52.42
-52.4
-52.38
-52.36
-52.34
-52.32
7800
8000
8200
8400
8600
8800
9000
9200
latitudeLongitude
A
lt
it
u
de
Figura 3.27: Trajetória percorrida com rg = 2
◦
s .
A aeronave entra em uma curva circular conforme esperado. Também observa-se a perda de altitude, isso
ocorre pois não há no piloto automático o rastreio da altitude.
19
Capítulo 4
Navegação e Guiamento
Para realizar a navegação em coordenadas polares do sistema NED, é essencial determinar parâmetros
de referência. Para a aeronave, utiliza-se o rumo (χ), definido como o angulo entre a projeção do vetor de
descolacamento da aeronave no plano NE local e o eixo N.
Importante frisar que o rumo não é a proa, caso a aeronave apresente em seu deslocamento um angulo de
derrapagem β , a proa da aeronave não estará alinhada com o vetor velocidade.
4.1 Navegação no grande círculo
A terra foi seccionada em dois eixos polares (Norte e Leste), formando uma esfera em que cada variação
de 160
◦ para qualquer um dos eixos equivale a 1 milha náutica (ou 1857 metros), possibilitando assim calcular
distâncias entre duas localizações (A e B) através da diferença angular (θAB) entre elas, como ilustra a figura
4.1:
θAB
Figura 4.1: Angulo θAB .[Diston, 2009, p 67] modificada.
θAB pode ser determinado pela equação:
θAB = 2asin
(
2
√
sin2
(
∆Lat
2
)
+ cos(LatA) cos(LatB) sin2
(
∆Lon
2
))
(4.1)
Por exemplo, se θAB = 23◦, a distância a ser percorrida é de 1380 milhas náuticas ou 2562.66 Km.
Se sin(LonA −LonB) < 0, o rumo χAB , ou seja, o rumo entre A e B partindo de A, pode ser calculado por:
χAB = acos
(
sin(LatB)− sin(LatA) cos(θAB)
sin(θAB) cos(LatA)
)
(4.2)
Caso sin(LonA − LonB) ≤ 0, então:
20
χAB = 2π − acos
(
sin(LatB)− sin(LatA) cos(θAB)
sin(θAB) cos(LatA)
)
(4.3)
Com o valor de distância angular, pode-se determinar o rumo desejado e assim realizar a navegação na
circunferência terrestre.
4.2 Guiamento
Realizou-se o guiamento latero-direcional no plano NE, determinando o erro lateral conforme a figura 4.2:
χAB
A
B
χχχ
N
N v
eL
P
χAP
χχχ
N
N
v
eL
P
N
χCχCχC
χOPχOPχOP
C
O
Figura 4.2: Representação do erro lateral eL no guiamento no trecho reto (esquerda) e curva (direita).
4.2.1 Trecho reto
ėL = V sin(χ− χAB) (4.4)
θL = asin(sin(θAP ) sin(χAP − χAB)) (4.5)
Assim, realizou-se o rastreio de χ em relação ao caminho a ser seguido, conforme o modelo de espaços de
estados: ėLχ̇
ẋ1
 =
0 Ve 00 0 1
0 0 −1τx
eLχ
x1
+
 00
−1
τx
 ˙χcmd (4.6)
Sendo ˙χcmd definido por um regulador proporcional derivativo :
˙χcmd = −K1eL −K2χ−K3χ̇ (4.7)
Aproximando o modelo 4.6 para um sistema de primeira ordem, determinou-se o ganho ótimo para ˙χcmd de
K1 = 1.1635× 10−4, K2 = 0.2795 e K3 = 0.63617.
4.2.2 Trecho circular
Utilizou-se o conceito de path following, onde não há dependência temporal (como no trajectory tracking) e
a aeronave deve seguir um caminho já determinado. Deseja-se regular eL de forma que a aeronave se aproxime
da projeção ortogonal C a distância da aeronave em P até o circulo desejado.
Vc = V cos(χ− χc) + χ̇ceL (4.8)
ėL = V sin(χ− χc) (4.9)
Sendo χ̇c = κVc . Derivando a conjunto de equações acima, chega-se ao controle:
ëL = V cos(χ− χc) ˙χcmd − κ(1− κeL)V 2c (4.10)
21
A dinâmica desejada é:
¨eLdes + 2ςωn ˙eLdes + ω2neLdes = 0 (4.11)
Substituindo 4.11 em 4.10, tem-se a lei de controle para o acompanhamento de um caminho com curvatura
κ:
˙χcmd =
±κV 2 cos2(χ−χc)
1−κeL − 2ςωnV sin(χ− χc)− ω
2
neL
V cos(χ− χc)
(4.12)
Sendo, para um caminho circular, κ = 1/Rt, χc = χOP ± π/2 e eL = ±(Rt − dOP ). O sinal determina o
sentido do círculo, + para horário e - para anti-horário.
4.3 Waypoints de navegação
Para realizar o planejamento da rota a ser navegada, utilizou-se o caminho de Dubins, pois ele possibilita
minimizar a distância percorrida entre dois pontos com orientações fixa (χ) respeitando a restrição do raio de
curvatura Rt que uma aeronave de asa fixa tem. O método realiza o cálculo das quatros possibilidades ilustradas
na figura 4.3 para cada par de waypoints, aplicando os conceitos da seção 4.1 e assim determinando a trajetória
com a menor distância percorrida.
LSL
B
χA
A
χB
RSR
B
χA
A
χB
RSL
B
χA
A
χB
RSR
B
χA
A
χB
Figura 4.3: Caminhos possíveis entre dois pontos com rumos definidos.
22
Capítulo 5
Voo simulado
Os waypoints escolhidos para o voo completo estão listados abaixo na matriz 5.1 e a rota final é mostrada
na figura 5.1.
WPT =

λ µ χ
−14.616143 −52.353745 NaN
−14.67998 −52.350764 180
−16.464979 −54.579191 140
−23.568845 −46.631098 70
−23.225651 −45.864458 35
−5.783382 −35.202026 10
32.7607074 −16.9594723 40
46.217851 6.134033 355
52.01405 4.364777 330
53.42608 −6.239119 230
32.7607074 −16.9594723 196
−5.783382 −35.202026 180
−22.972302 −43.402119 220
−23.225651 −45.864458 0

∗ π/180 (5.1)
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Latitude
L
o
n
g
it
u
d
e
Figura 5.1: waypoints (vermelho) e trajetória percorrida (preto).
A missão começou próximo a Nova Xavantina - MT1, passando pelo antigo campinho de futebol na infância,
conforme recomendação do professor (figura 5.2), a figura 5.3 mostra em detalhe a trajetória percorrida no
primeiro waypoint.
1Cidade onde nasci, que homenageia a tribo Xavante.
23
Figura 5.2: Local do antigo campinho de futebol, Nova Xavantina - MT
O segundo waypoint passa por Rondonópolis - MT (figura 5.4), onde me graduei em engenharia mecânica,
na primeira turma do estado.
-52.7 -52.65 -52.6 -52.55 -52.5 -52.45 -52.4 -52.35 -52.3 -52.25 -52.2
-14.95
-14.9
-14.85
-14.8
-14.75
-14.7
-14.65
-14.6
-14.55
Latitude
L
on
gi
tu
d
e
Figura 5.3: Trajetória percorrida em Nova
Xavantina - MT
-54.65 -54.6 -54.55 -54.5 -54.45 -54.4 -54.35
-16.55
-16.5
-16.45
-16.4
-16.35
-16.3
Latitude
L
on
gi
tu
d
e
Figura 5.4: Trajetória percorrida em Rondo-
nópolis - MT
O terceiro waypoint é São Paulo (familiares), seguido de São José dos Campos (figura 5.5) (que visito desde
2009, participando da SAE Brasil AeroDesign pela UFMT).
O quarto waypoint é em Natal - RN (figura 5.6), primeiro artigo em congresso . Interessante que em Natal,
tanto na ida quanto na volta, a aeronave executa uma manobra de roll reversal por conta do rumo χ do waypoint.
-46.7 -46.6 -46.5 -46.4 -46.3 -46.2 -46.1 -46 -45.9 -45.8
-23.7
-23.6
-23.5
-23.4
-23.3
-23.2
-23.1
-23
Latitude
L
o
n
gi
tu
d
e
Figura 5.5: Trajetória percorrida entre São
Paulo, São josé dos Campos e Rio de Janeiro
-35.35 -35.3 -35.25 -35.2 -35.15 -35.1
-5.9
-5.85
-5.8
-5.75
-5.7
Latitude
L
on
gi
tu
d
e
Figura 5.6: Trajetória percorrida em Natal -
RN
24
O resumo dos waypoints no Brasil são mostrado na figura 5.7, a linha em laranja indica o sentido do trajeto
percorrido.
 75
° W 60
° W 45
°
 W 30° W 
 30
° S 
 15
° S 
 0
° 
Nova Xavantina - MT
Rondonópolis - MT
São Paulo - SP
São José dos Campos - SP
Rio de Janeiro - RJ
Natal - RN
Figura 5.7: Trajetória percorrida No Brasil
O quinto waypoint é a Ilha da Madeira (figura 5.8), serve para diminuir o erro lateral no rastreio até Genebra
(figura 5.9).
O guiamento não estava sendo capaz de minimizar eL ≤ 100[m] de forma o waypoint de entrada da curva
para a esquera visando passar por Genebra fosse alcançado. Aumentou-se o valor de tolerância eLref conforme
a expressão abaixo:
eLref =
√
(LonA − LonB)2 + (LatA − LatB)2 × 3000 [m] (5.2)
Com valor mínimo para eLref de 200 metros. Assim, quando a aeronave percorre grandes distâncias, maior
a tolerância para o erro lateral. Isso permitiu executar rotas muito longas.-17.15 -17.1 -17.05 -17 -16.95 -16.9 -16.85 -16.8
32.65
32.7
32.75
32.8
32.85
32.9
Latitude
L
on
gi
tu
d
e
Figura 5.8: Trajetória percorrida na Ilha da
Madeira
5.95 6 6.05 6.1 6.15 6.2
46.15
46.2
46.25
46.3
Latitude
L
on
gi
tu
d
e
Figura 5.9: Trajetória percorrida em Gene-
bra
25
De Genebra, o próximo waypoint foi Delft na Holanda (figura 5.10) e depois em Dublin ( figura 5.11).
4.15 4.2 4.25 4.3 4.35 4.4
51.9
51.95
52
52.05
52.1
Latitude
L
o
n
gi
tu
d
e
Figura 5.10: Trajetória percorrida em Delft
-6.3 -6.25 -6.2 -6.15 -6.1 -6.05
53.28
53.3
53.32
53.34
53.36
53.38
53.4
53.42
53.44
53.46
53.48
Latitude
L
on
gi
tu
d
e
Figura 5.11: O Caminho de Dublin
A figura 5.12 mostra o caminho percorrido pela aeronave no hemisfério norte.
 15 ° W 
 0° 15
° E 
 30
° E 
 45
° E 
 30 ° N 
 45 ° N 
 60 ° N 
 75 ° N 
Ilha da Madeira
Genebra
Delft
Dublin
Figura 5.12: Trajetória percorrida no Hemisfério Norte.
A aeronave então retorna para Natal e passa pelo Rio de Janeiro antes de terminar a missão em São José
dos Campos novamente. A figura 5.13 mostra todo o caminho no globo.
26
Figura 5.13: Trajetória percorrida.
O tempo total de voo simulado foi de aproximadamente 31 horas, consumido 1.3Gb de dados processados
em 3:35h.
27
Capítulo 6
Conclusões
O uso de simuladores computacionais é uma ótima metodologia para projeto e desenvolvimento de novos
controladores, possibilitando um ambiente seguro e viável para desenvolver VANT’s. A cerca do estudo realizado,
algumas ponderações foram levantadas:
• Prosseguir o desenvolvimento do guiamento, adicionando o rastreio de h;
• Portar o código computacional para python, possibilitando executar o modelo em mini computadores
embarcados.
28
Bibliografia
Karl Johan Aström and Richard M. Murray. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers.
Princeton University Press, 4 2008. ISBN 9780691135762. URL http://amazon.com/o/ASIN/0691135762/.
Michael V. Cook. Flight Dynamics Principles, Second Edition: A Linear Systems Approach to Aircraft Sta-
bility and Control (Elsevier Aerospace Engineering). Butterworth-Heinemann, 2 edition, 9 2007. ISBN
9780750669276. URL http://amazon.com/o/ASIN/0750669276/.
Dominic J. Diston. Computational Modelling and Simulation of Aircraft and the Environment, Volume 1:
Platform Kinematics and Synthetic Environment (Aerospace Series). Wiley, 1 edition, 5 2009. ISBN
9780470018408. URL http://amazon.com/o/ASIN/0470018402/.
M. F. Oliveira. Estimação paramétrica de derivadas de estabilidade e controle da aeronave at-26 xavante usando
modelo global não-linear. Master’s thesis, ITA, 2007.
Ashish Tewari. Advanced Control of Aircraft, Spacecraft and Rockets. Wiley, 1 edition, 7 2011. ISBN
9780470745632. URL http://amazon.com/o/ASIN/0470745630/.
L. J. H. Vasconselos. Identificação paramétrica de derivadas de estabilidade e controle longitudinais da aeronave
xavante at-26. Master’s thesis, ITA, 2002.
29
http://amazon.com/o/ASIN/0691135762/
http://amazon.com/o/ASIN/0750669276/
http://amazon.com/o/ASIN/0470018402/
http://amazon.com/o/ASIN/0470745630/
	Atmosfera, Forças e Momentos
	Sistemas de referência
	Atmosfera padrão ISA
	Forças aerodinâmicas
	EMB-326 Xavante
	Características geométricas
	Modelo propulsivo
	Coeficientes aerodinâmicos
	Estabilidade e Controle
	Ponto de equilíbrio
	Estabilidade Longitudinal do modelo não-linear
	Estabilidade em Dutch Roll do modelo não-linear
	Linearização do modelo não-linear
	Movimento longitudinal
	Movimento latero-direcional
	Projeto do controlador longitudinal
	Piloto automático
	Minimizando a função custo J
	Manobras simuladas
	Controlador latero-direcional
	Manobra simulada
	Navegação e Guiamento
	Navegação no grande círculo
	Guiamento
	Trecho reto
	Trecho circular
	Waypoints de navegação
	Voo simulado
	Conclusões