TCC_ADRIANO_FERREIRA_SILVERIO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
PROJETO DE GRADUAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
ADRIANO FERREIRA SILVERIO 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE PREDITIVO DE UMA AERONAVE NAVIONa 
ATRAVÉS DO MODELO EM ESPAÇO DE ESTADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA – ES 
ABRIL/2017 
 
ADRIANO FERREIA SILVERIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE PREDITIVO DE UMA AERONAVE NAVIONa ATRAVÉS 
DO MODELO EM ESPAÇO DE ESTADOS 
 
 
 
 
Parte manuscrita do Projeto de Graduação do 
aluno Adriano Ferreira Silverio, 
apresentado ao Departamento de Engenharia 
Elétrica do Centro Tecnológico da 
Universidade Federal do Espírito Santo, 
como requisito parcial para obtenção do grau 
de Engenheiro Eletricista. 
 
 
 
Prof. Dr. Paulo J. M. Menegáz 
Professor da disciplina 
 
 
 
Prof. Dr. José Leandro Félix Salles 
Orientador 
 
 
 
Adriano Ferreira Silverio 
Aluno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA – ES 
MARÇO/2017 
 
 
ADRIANO FERREIRA SILVERIO 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE PREDITIVO DE UMA AERONAVE NAVIONa ATRAVÉS 
DO MODELO EM ESPAÇO DE ESTADOS 
 
 
Parte manuscrita do Projeto de Graduação do aluno ADRIANO FERREIRA SILVERIO, 
apresentado ao Departamento de Engenharia Elétrica do Centro Tecnológico da Universidade 
Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro 
Eletricista. 
 
Aprovada em (dia), de (mês) de (ano). 
 
 
 
COMISSÃO EXAMINADORA: 
 
 
 
 
 
Título e nome completo 
Instituição a qual pertence 
Orientador 
 
 
 
Título e Nome completo 
Instituição a qual pertence 
Coorientador 
 
 
 
Título e Nome completo 
Instituição a qual pertence 
Examinador 
 
 
 
Título e Nome completo 
Instituição a qual pertence 
Examinador 
AGRADECIMENTOS 
 
 
Agradeço primeiramente a Deus e a Jesus Cristo por me conceder saúde e paz para que 
eu conseguisse completar esta jornada. Agradeço a orientação do professor José Leandro Félix 
Salles por aceitar ser o orientador deste projeto, fazendo unir a minha paixão pela aviação com 
aprendizados ao longo do curso de Engenharia Elétrica, assim como todos os outros professores, 
e principalmente meus instrutores de voo do aeroclube do Espírito Santo. 
Agradeço também ao meu pai, José Carlos Silverio, a minha mãe Ivone Ferreira Silverio 
e aos meus avós Dr. Aylton Rocha Bermudes e Darseny Silverio, e também em memória do 
meu falecido avô João Luís Ferreira, que me deram apoio financeiro e moral. 
Também agradeço aos tios João Luis Ferreira, Sérgio Bermudes, Aylton Bermudes, 
Luciano Bermudes, as tias Eunice Ferreira e Maria Geni Bermudes, ao primo Flávio Bermudes 
e todos os amigos que durante toda jornada estiveram ao meu lado e me deram forças para que 
eu nunca desistisse deste desafio de concluir o curso de Graduação em Engenharia Elétrica. 
 
 
RESUMO 
 
 
Neste manuscrito é apresentado o Projeto de Graduação de Adriano Ferreia Silverio ao 
departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Espírito Santo cuja proposta 
é viabilizar a programação e execução de um controle automático preditivo em uma aeronave. 
Neste projeto o protótipo usado é o de uma aeronave da aviação geral chamado NAVIONa. 
É preciso que se faça a Modelagem do Sistema e Análise de Estabilidade do modelo, 
que objetiva levantar dados de todas as reações aerodinâmicas possíveis em um voo. Os dados 
necessários para a modelagem foram aferidos e calculados por doutores da universidade de 
Glasglow, no Reino Unido, com softwares específicos para modelagem de aeronave e análises 
de dinâmica. 
O estudo de uma modelagem sobre o sistema da aeronave através de uma planta 
proporciona , para o âmbito aeronáutico, uma segurança ainda maior, podendo, então, corrigir 
ações externas, como rajadas de vento, que possam interferir em segurança aeroespacial, e, 
inclusive, redução de consumo de combustível. 
Para introdução do controle preditivo é utilizado como plataforma de trabalho o 
software MATLAB que executa o algoritmo de controle. Ao fim, é feita uma análise de 
estabilidade do sistema completo (modelo + controle preditivo). 
Foi desenvolvido um algoritmo de controle preditivo que estabilizou a aeronave através 
do modelo em Espaço de Estados, devido a não linearidade do sistema aeronave, e assim 
podemos garantir que a aeronave é capaz de voar estabilizada. Se o mesmo não ocorrer, ela pode 
entrar em desequilíbrio, tornando o voo inviável e consequentemente leva-la a queda. Uma 
aeronave não estabilizada é incapaz de voar. Portanto este estudo é importante a fim de que se 
crie um algoritimo de controle preditivo em MATLAB utilizando o modelo da aeronave 
escolhida em espaço de estados. 
 
Palavras-chave: Aeronave. Aviação. Controle Automático Preditivo. Voo estabilizado. 
Estabilidade em voo. NAVIONa. 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1 — Wright, Wilbur o Wright Flyer I de 1903, pilotado por Wilbur. ........................... 1 
Figura 2 — Alberto Santos Dumont Pilotando o 14 Bis. ......................................................... 1 
Figura 3 — Eixos x, y e z de uma aeronave ............................................................................. 4 
Figura 4 — Movimentos de rolagem sobre os eixos ................................................................ 4 
Figura 5 — Todas as componentes presentes em uma ............................................................. 5 
Figura 6 —Ângulo de ataque .................................................................................................... 6 
Figura 7 — Corte transversal de uma asa ................................................................................. 6 
Figura 8 — Teorema de Bernoulli demonstrado no Tubo de Venturi e escoamento na asa ... 7 
Figura 9 — Ilustrativo das forças atuando em uma avião. ....................................................... 8 
Figura 10 — Demonstração do turbilhonamento na ponta da asa na com a alteração do 
ângulo de ................................................................................................................................... 9 
Figura 11 — Queda de Boeing 747 por perda de estabilidade longitudinal. .......................... 11 
Figura 12 — Descrição da estabilidade segundo Zahm.......................................................... 12 
Figura 13 — Ilustração da estabilidade segundo Zahm em uma ............................................ 13 
Figura 14 — Estabilidade Estática Longitudinal. ................................................................... 13 
Figura 15 — Coeficiente do momento de pitch versus ângulo de .......................................... 14 
Figura 16 — Influência do centro de gravidade na estabilidade longitudinal ........................ 15 
Figura 17 — Ilustração do ponto neutro em relação ao centro de gravidade ........................ 15 
Figura 18 — Contribuição dos componentes para o momento .............................................. 16 
Figura 19 — Estabilidade Longitudinal Dinâmica ................................................................. 16 
Figura 20 — Curva de estabilidade lateral. ............................................................................ 17 
Figura 21 — Demonstração do angulo beta ........................................................................... 18 
Figura 22 — Estabilidade Estática Lateral. ............................................................................ 18 
Figura 23 — Efeito de diedro na estabilidade estática lateral. ............................................... 19 
Figura 24 — Ilustração do efeito de diedro na estabilidade estática lateral. .......................... 19 
Figura 25 — Ilustração do efeito de asa alta e asa baixa na estabilidade lateral .................... 19 
Figura 26 — Efeito de asa alta e asa baixa na estabilidade lataral ......................................... 20 
Figura 27 — Estabilidade Lateral Dinâmica ..........................................................................20 
Figura 28 — Rampa de angulo Beta para estabilidade estática .............................................. 21 
Figura 29 — Estabilidade Estática Direcional. ....................................................................... 22 
Figura 30 — Contribuição do efeito de enflechamento na estabilidade direcional ................ 22 
Figura 31 — Contribuição do efeito de cauda para estabilidade ........................................... 23 
 
 
Figura 32 — Ilustração do efeito de quilha para estabilidade estática direcional. ................. 23 
Figura 33 — Estabilidade Direcional Dinâmica ..................................................................... 24 
Figura 34 — Superfícies Primárias Comandáveis De Uma Aeronave ................................... 24 
Figura 35 — Profundor de uma aeronave e ângulo de pitch. ................................................. 25 
Figura 36 — Ailerons de uma aeronave e ângulo de rolagem. ............................................... 26 
Figura 37 — Leme de uma aeronave ...................................................................................... 26 
Figura 38 — Diagrama de blocos de controle em malha fechada .......................................... 28 
Figura 39 — Resposta típica de um sistema de controle. a) Estável. b) Instável. .................. 30 
Figura 40 — Resposta de um sistema de segunda ordem com parâmetros de desempenho .. 31 
Figura 41 — Diagrama de blocos de um sistema em espaço de estados. ............................... 32 
Figura 42 — Controle automático angular geral para uma aeronave ..................................... 32 
Figura 43 — Controle automático simples para heading (direção) ....................................... 33 
Figura 44 — Controle Preditivo Baseado em Modelo ........................................................... 34 
Figura 45 — Definições do controle preditivo baseado em ................................................... 35 
Figura 46 — Modelo de Controle Preditivo em malha fechada ............................................. 39 
Figura 47 — Aeronave escolhida NAVIONa ......................................................................... 42 
Figura 48 — Características de massa, geométricas e centro de gravidade do NAVIONa ... 47 
Figura 49 — LGR do sistema longitudinal. ............................................................................ 49 
Figura 50 — LGR do sistema lateral. ..................................................................................... 50 
Figura 51 — LGR do sistema Direcional. .............................................................................. 51 
Figura 52 — Simulação de aumento de velocidade de 1 (rad/s). ........................................... 52 
Figura 53 — Simulação de perda de velocidade de 1 (rad/s). ................................................ 52 
Figura 54 — Simulação de inclunação de pitch de 0.26 rad (30º) ......................................... 53 
Figura 55 — Simulação de declinação de pitch de 0.26 rad (30º) .......................................... 53 
Figura 56 — Simulção de curva a direita de 0.1308 rad (15º) ............................................... 54 
Figura 57 — Simulação de curva a esquerda de 0.1308 rad (15º) .......................................... 54 
Figura 58 — Simulação de guinada a direita de 0.0436 rad (5º) ............................................ 55 
Figura 59 — Simulaçãode guinada a esquerda de 0.0436 rad (5º) ......................................... 55 
Figura 60 — Simulação de velocidade axial u e ângulo Teta. .............................................. 56 
Figura 61 — Simulação de velocidade axial u e ângulo Teta. ............................................... 57 
Figura 62 — Simulação de velocidade axial w e ângulo Teta................................................ 58 
Figura 63 — Simulação de velociade axial w e ângulo Teta. ................................................. 59 
Figura 64 — Simulação de velocidade axial u e velocidade axial w. .................................... 60 
Figura 65 — Simulação de velocidade angular q e ângulo Teta ............................................ 60 
 
Figura 66 — Simulação de ângulo Phi e velocidade angular p. ............................................. 61 
Figura 67 — Simulação de velocidade axial v e ângulo Phi. ................................................. 62 
 
 
LISTA DE QUADROS 
 
Quadro 1 — As componentes da aeronave e suas nomenclaturas. ........................................... 5 
Quadro 2 — Número de Mach e regime de voo. .................................................................... 12 
Quadro 3 — Resumo dos movimento das superfícies de comando. ..................................... 27 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1 — Coeficientes das matrizes de A e B longitudinal. ............................................... 44 
Tabela 2 — Coeficientes das matrizes de A e B lateral.......................................................... 46 
Tabela 3 — Coeficientes derivativos, em radianos, do NAVIONa ........................................ 47 
 
 
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 
 
 
MATLAB Matrix Laboratoy 
UFES Universidade Federal Do Espírito santo 
MPC Model Predictive Control 
DMPC Discrete Model Predictive Control 
MIMO Multiple Input Multiple Output 
SISO Single Input Single Output 
MPHC Model Predictive Heuristic Control 
IDCOM Identification and Command 
LGR Lugar Geométrico das Raízes 
PID Proporcional Integral Derivativo 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
 
𝐿 Forca de sustentação produzida pela asa 
𝑆 Área da asa 
CL ; CD Coeficiente de sustentação ; coeficiente de arrasto 
𝑝 Densidade do ar 
𝑉 Velocidade de voo indicada com relação ao vento 
𝑃 Pressão estática 
xb ; yb ; zb Eixos em relação ao centro de gravidade 
xf ; yf ; zf Eixos em relação a origem 
p ; q ; r Velocidade angular 
u ; v ; w Velocidades axiais 
X ; Y ; Z Componentes de forças aerodinâmicas 
L ; M ; N Componentes de momentos aerodinâmicos 
lx ; ly ; lz Produtos da inércia de cada eixo 
lyz ; lxz ; lxy Produtos de inércia 
V Velocidade da aeronave 
t Tempo 
M Velocidade mach 
Vsom Valocidade do som 
W Peso 
D Arrasto 
T Tração 
𝑑𝐶𝑚 Derivada do coeficiente de momento 
𝛼 Ângulo de ataque alfa 
𝑑𝛼 Derivada de ângulo de ataque alfa 
CP Centro de pressão 
CG Centro de gravidade 
𝛽 Ângulo de giro lateral 
 
 
 
C𝑙B Coeficiente de momento lateral 
CnB Coeficiente de momento direcional 
𝛿𝑒 Ângulo de deflexão do profundor 
𝛿𝑎 Ângulo de deflexão do flap 
𝛿𝑟 Ângulo de deflexão do leme 
Ɵ Ângulo de pitch 
Φ Ângulo de rolagem 
Ψ Ângulo de guinada 
R(s) Referência 
C(s) Variável controlada 
B(s) Sinal de feedback 
E(s) Erro 
G(s) Função de malha aberta caminho direto 
M(s) Função de malha fechada 
H(s) Função de feedback 
Tr Tempo de resposta 
Te Tempo de estabilizadação 
Tp Tempo de pico 
Sover Sobrelevação 
Td Ataso 
Vf Valor final 
𝑥̇ Derivada de x 
A Matriz A 
B Matriz B 
C Matriz C 
y ; 𝑢 Saida ; entrada do sistema 
G Força de gravidade 
 
 Coeficiente de sustentação em relação a alfa 
 
 Coeficiente de arrasto em relação a alfa 
 Coeficiente de momento em relação a alfa 
 Coeficiente de sustentação em relação a derivada de alfa 
 Coeficiente de momento em relação a derivada de alfa 
 Coeficiente de sustentação em relação a q 
 Coeficiente de momento em relação a q 
 Coeficiente de sustentação em relação a m 
 Coeficiente de arrasto em relação a m 
 Coeficiente de momento em relação a m 
Coeficiente de sustentação em relação a deflexão do 
profundor 
 Coeficiente de momento relação a deflexão do profundor 
 Coeficiente de y em relação a betaCoeficiente de lateral em relação a p 
 
 Coeficiente direcional em rrelação a p 
 Coeficiente de lateral em relação a r 
 Coeficiente de direção em relação a r 
 Coeficiente lateral em relação a deflexão no 
aileron Coeficiente de direção em relação ao 
aileron 
 Coeficiente de y em relação a deflexão no leme 
 
 Coeficiente lateral em relação a deflexão no leme 
 
 Coeficiente de direção em relação a deflexão no leme 
 Corda média geométrica 
 
 
 Envergadura 
Número de entradas 
 Horizonte de controle 
 Horizonte de previsão 
Matriz de zeros dimensão m 
Vetor de zeros dimensão k 
Peso das matrizes na função de custo de controle preditivo 
Número de saídas 
 Sinal de referência 
 Sinal de controle 
 Variáveis de estado 
 Vetor de previsão de estado no tempo m dado estado x(ki) 
 Sinal de saída 
 Vetor de saída de previsão 
 
SUMÁRIO 
AGRADECIMENTOS .........................................................................................................IV 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 1 
Objetivo E Organização Do Texto ................................................................................ 3 
2 MODELAGEM DA AERONAVE E ESTABILIDADE ................................................ 4 
A Dinâmica De Uma Aeronave ..................................................................................... 4 
2.1.1 Ângulo De Ataque ............................................................................................... 6 
Princípio De Sustentação ............................................................................................... 6 
2.2.1 A Força De Sustentação. ..................................................................................... 8 
2.2.2 O Coeficiente De Sustentação ............................................................................. 9 
2.2.3 O Estol ............................................................................................................... 10 
2.2.4 Velocidade em Mach ......................................................................................... 11 
Estabilidade Em Aeronaves ......................................................................................... 12 
2.3.1 Estabilidade Longitudinal Estática .................................................................... 12 
2.3.2 Estabilidade Longitudinal Dinâmica ................................................................. 16 
2.3.3 Estabilidade Lateral Estática ............................................................................. 17 
2.3.4 Estabilidade Lateral Dinâmica .......................................................................... 20 
2.3.5 Estabilidade Direcional Estática ........................................................................ 21 
2.3.6 Estabilidade Direcional Dinâmica ..................................................................... 23 
Controle Em Aeronaves .............................................................................................. 24 
2.4.1 Controle Longitudinal ....................................................................................... 25 
2.4.2 Controle Lateral ................................................................................................. 25 
2.4.3 Controle Direcional ........................................................................................... 26 
3 CONTROLE AUTOMÁTICO PREDITIVO ............................................................... 28 
Controle Automático Em Malha Fechada ................................................................... 28 
Estabilidade Em Controle Automatico ........................................................................ 29 
3.2.1 Critérios De Desempenho ................................................................................. 30 
Modelo De Controle Automático Em Espaço de Estados ........................................... 31 
Controle Automático Em Aeronaves........................................................................... 32 
O Controle Automático Preditivo ................................................................................ 33 
O Modelo De Controle Preditivo Adotado .................................................................. 35 
Sistemas De Uma Entrada E Uma Saída ..................................................................... 36 
3.7.1 Modelo Com Uma Janela De Previsão .............................................................. 37 
 
 
Sistemas Com Multiplas Entradas E Multiplas Saídas ................................................ 39 
Solução Para Sistemas MIMO ..................................................................................... 40 
4 SIMULAÇÃO DOS SISTEMAS E RESULTADOS .................................................... 42 
A Aeronave Escolhida ................................................................................................. 42 
Simulação Dos Sistemas Sem Controle Preditivo ....................................................... 48 
Simulação Do Sistema SISO Com Controle Preditivo................................................ 51 
Simulação Do Sistema MIMO Com Controle Preditivo ............................................. 56 
5 CONCLUSÃO ................................................................................................................. 63 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 64 
ANEXO 1 ............................................................................................................................... 66 
ANEXO 2 ............................................................................................................................... 67 
........................................................................................................................................... 67 
ANEXO 3 ............................................................................................................................... 68 
1. Introdução 1 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Os irmãos Wright, Wilbur e Orville foram os dois irmãos Norte americanos, inventores 
e pioneiros da aviação aos quais foi concedido o crédito pelo desenvolvimento da primeira 
máquina voadora mais pesada que o ar, que efetuou um voo controlado, em 17 de Dezembro 
de 1903 nos Estados Unidos da América, sendo considerados patronos da aviação. Na Figura 1 
mostra-se os experimentos dos americanos irmãos Wright, que desenharam as asas com um 
arqueamento na parte superior. Os Wright não descobriram esse princípio, mas tiraram 
vantagem dele [8]. 
 
Figura 1 — Wright, Wilbur o Wright Flyer I de 1903, pilotado por Wilbur. 
Fonte: site < https://pt.wikipedia.org/wiki/Irm%C3%A3os_Wright>. Acesso em 10 de jan. 2017. 
 
Logo depois, o brasileiro Alberto Santos Dummont, criou a aeronave 14 Bis em 1906, 
diferenciando-se do modelo dos irmãos Wright. Na experiência de Santos Dumont sua aeronave 
voou mais do que a aeronave dos irmãos Wright sendo observado por pesquisadores na França. 
Também é apresentado na Figura 2 o 14 Bis do brasileiro Alberto Santos Dumont [9]. 
 
Figura 2 — Alberto Santos Dumont Pilotando o 14 Bis. 
Fonte: site < https://en.wikipedia.org/wiki/Santos-Dumont_14-bis>. Acesso em 10 de jan. 2017. 
1. Introdução 2 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de vários acidentes e incidentes da aviação geral e comercial, os engenheiros 
começaram a criar novos projetos mais seguros levando em contauma quantidade de dados 
obtidos dos acidentes. Isso levou os criadores de aeronaves a ficarem preocupados com o voo 
em si, pois era necessário demostrar que era possível manter a aeronave em voo antes de voar, 
para evitar acidentes[1]. 
As demonstrações dos primeiros inventores de aeronaves citados acima mostraram 
inicialmente que o voo seria possível, porém, naquela época a falta de estrutura de dados 
impossibilitava análises do sistema quanto à estabilidade, indispensável para garantir que o voo 
aconteceria sem mesmo testá-la. Tanto que nos testes preliminares, as aeronaves apesar de 
terem voado por alguns segundos, caíram logo após a decolagem, não voando por muito tempo, 
pois naquela época não se sabia sobre estabilidade e dinâmica de aeronaves, e então não era 
possível concluir o porquê de as aeronaves não conseguirem voar por tanto tempo (curto tempo) 
[1]. 
Isso abriu as portas para que a engenharia moderna possa estudar o controle nas 
aeronaves para estabiliza-las, permitindo que elas permaneçam em voo sem instabilizar, mesmo 
sofrendo distúrbios, como rajadas de vento. Caso ela esteja em situação de instabilidade, isso 
leva a mesma à queda. Por isso os aviões dos primeiros inventores não voaram tanto, mas, 
demonstraram que o voo seria possível com mais estudos à frente. 
Na tese [6] é apresentado um estudo similar a este estudo que faremos, sobre 
estabilidade em aeronave usando controle preditivo, obtendo resultados satisfatórios. Além 
disso temos trabalhos da equipe do AeroDesign da UFES que desenvolveu através de iniciação 
científica um estudo sobre estabilidade de aeronaves baseado no modelo clássico PID de 
controladores mostrando que o protótio da equipe não estabilizava [7]. 
A Modelagem e Simulação de Sistema, Análise de Estabilidades Estática e Dinâmica de 
uma Aeronave objetiva obter dados de todas as reações aerodinâmicas possíveis em um voo. 
Se isso for feito, os voos ficam cada vez mais seguros, uma vez que é possível antes do voo se 
ter certeza de que a aeronave não entrará em queda devido à instabilidade. 
O estudo de uma modelagem e simulação sobre o sistema da aeronave proporcionaria, 
para o âmbito aeronáutico, uma segurança ainda maior, podendo, então, evitar ações que 
possam interferir em segurança aeroespacial, e, inclusive, redução de consumo de combustível 
desde que a aeronave seja estaticamente e dinamicamente estável[1]. 
1. Introdução 3 
 
 
 
 
A introdução do controle automático preditivo no controle de uma aeronave pode leva- 
la a estabilizar uma vez que o controle preditivo tem essa característica de estabilizar sistemas 
não lineares. Portando será feito em MATLAB uma simulação do controle de uma aeronave, 
utilizando controle preditivo [2]. 
 
Objetivo E Organização Do Texto 
 
Este projeto tem como objetivo desenvolver um algoritimo de controle automático 
preditivo no controle de uma aeronave para leva-la a estabilizar. O algoritimo será desenvolvido 
no software MATLAB onde serão feitas simulações que irão mostrar se há estabilização da 
aeronave. 
No capítulo 2 é apresentado a modelagem da aeronave, mostrando sua dinâmica de voo, 
os princípios que levam a aeronave a voar, sua manobrabilidade e também será explicado como 
a aeronave se comporta em relação a estabilização. 
No capítulo 3 é abordado como o controle automático atua, falando sobre estabilização 
em malha fechada e parâmetros de desempenho. Este capítulo também fala sobre o controle 
automático preditivo, mostrando sua técnica e como será usado no projeto. 
No capítulo 4 os resultados são apresentados e discutidos. Mostraremos como a 
aeronave escolhida se comporta sem o controle preditivo através da técnica do Lugar 
Geométrico Das Raízes, mostraremos o seu modelo em espaço de estados através das equações 
da dinâmica e simularemos em MATLAB reações da aeronave durante o voo para dizer se ela 
é estável com controle preditivo através do modelo em espaço de estados. 
A conclusão é dada no capítulo 5, onde são feitos comentários sobre os resultados. Faz-
se um resumo sobre o que foi obtido de resultado e se eles foram obtidos, alcançando os 
objetivos previstos. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 4 
 
 
 
 
 
2 MODELAGEM DA AERONAVE E ESTABILIDADE 
 
A Dinâmica De Uma Aeronave 
 
Uma aeronave modelo avião possui três eixos: xb, yb e zb, mostrados na Figura 3 dando 
liberdade aos movimentos de rolagem sobre os eixos longitudinal, direcional e lateral, 
mostrados na Figura 4. 
 
Figura 3 — Eixos x, y e z de uma aeronave. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.19 
 
 
Figura 4 — Movimentos de rolagem sobre os eixos 
longitudinal, direcional e lateral. 
 
Fonte: Blog: Asas De Ferro. 
 
 
O movimento de translação no eixo x pode ser obtido por tração, o movimento de 
translação no eixo y pode ser provocado por rajadas de vento de través ou em curvas, e o 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 5 
 
 
 
 
movimento no eixo z pode ser provocado por rajadas de vento ascendente ou descendente ou 
em descidas e subidas. 
Um diagrama vetorial de uma aeronave é apresentados na Figura 5 e as variáveis dele 
são apresentadas no quadro 1, usando nomenclatura de [1] apresentados no quadro abaixo da 
Figura 5. 
Figura 5 — Todas as componentes presentes em uma 
aeronave. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.21 
 
 
Quadro 1 — As componentes da aeronave e suas nomenclaturas. 
 
 Eixo xb Eixo yb Eixo zb 
Velocidade Angular p q r 
Velocidades Axiais u v w 
Componentes De forças Aerodinâmicas X Y Z 
Componentes De Momentos Aerodinâmicos L M N 
Produtos Da Inércia De Cada Eixo l x l y l z 
Produtos De Inércia lyz l xz l xy 
Fonte: Nelson, 1989. P.7 
 
 
A velociade 𝑉 é dada pela equação 1: 
 
 
𝑉 = (𝑢2+ 𝑣2 + 𝑤2)1/2 (1) 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 6 
 
 
 
 
 
2.1.1 Ângulo De Ataque 
 
Segundo [1] o ângulo de ataque pode ser definido como o arcotangente da razão entre as 
velocidades u, paralela ao eixo longitudinal, e w, paralela ao eixo transversal, como mostra a 
Figura 6. 
Figura 6 —Ângulo de ataque. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.21. 
 
 
Para ângulos de ataque muito pequenos, menor que 150, podemos considerar o ângulo 
de ataque como sendo apenas a razão entre as velocidades u e w [1]. 
 
Princípio De Sustentação 
 
Em uma aeronave a parte inferior da asa é chamada de intradorso e a parte superior de 
extradorso, sendo este por ser curvo, tem distância maior entre o bordo de ataque e o bordo de 
fuga. Além deles existem a corda, a linha de curvatura média e a espessura da asa que são 
mostrados na Figura 7. 
 
Figura 7 — Corte transversal de uma asa. 
Fonte: Site <http://clipper440.blogspot.com.br/2015_05_01_archive.html>. Acesso em 15 de jan. 2017. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 7 
 
 
 
 
Uma asa é capaz de produzir sustentação quando submetida a um fluxo de ar. O 
mesmo passa do bordo de ataque ao bordo de fuga e demora o mesmo tempo para fazer o trajeto 
em ambas as partes superior e inferior. Sabe-se por testes de túnel de vento que o ar chega ao 
mesmo tempo do bordo de ataque ao bordo de fuga [5]. Como a distância no extradorso é maior, 
é necessário que haja um aumento da velocidade do ar para que esse fenômeno ocorra. Isso é 
demonstrado pela equação de Newton. 
𝑉𝑎𝑟 = 
∆𝑆
 
∆𝑇 
(2) 
Seja Dintra a distância percorrida pelo ar no intradorso e Dextra a distância percorrida 
pelo ar no extradorso: 
Dintra < Dextra (3) 
 
𝑉𝑎𝑟 (intradorso) = Dintra ⋅ 𝑇 < 𝑉𝑎𝑟 (extradorso) = Dextra ⋅ 𝑇 (4) 
 
Então, pela equação de newton temos que a velovidade no intradrso (𝑉intradorso) é 
menor que a velocidade no extradorso (Vextradorso). 
Baseado no Teorema de Bernoulli para fluidos escoando em velocidades diferentes, 
existe uma diferença de pressão entre a parte superior da asa e a parte inferior da asa, uma vez 
que no extradorso a velocidade de escoamento é maior, diferente da velocidade do intadorso 
que é menor. O aumento da velocidade de escoamentocausa uma queda de pressão de modo 
que quanto maior a velocidade do fluido, maior a queda de pressão [5]. 
A Figura 8 demonstra o Teorema de Bernoulli no chamado Tubo de Venturi 
(experimento usado para demonstração do fenômeno pelo físico), assim como a diferença de 
pressão causada pelo fluxo passante em uma asa. 
 
Figura 8 — Teorema de Bernoulli demonstrado no Tubo de Venturi e escoamento na asa. 
Fonte: Artigo Sustentação Aerodinâmica. site<https://pt.wikipedia.org>. Acesso em 16 jan. 2017. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 8 
 
 
 
 
 
Na Figura 8, é possível ver no Tubo de Venturi o escoamento do fluxo de ar causando 
a queda de pressão na parte onde o fluxo é mais rápido. Na outra parte da Figura 8, é possível 
ver, no corte transversal da asa, as linhas de fluxo. Observa-se que na parte superior a pressão 
é menor que na parte inferior, causando a diferença de pressão entre o extradorso e o intradorso, 
resultando em uma força de sustentação L que é mostrada na Figura 9, onde também são 
mostradas as outras forças principais atuando em um avião: tração T, arrasto D e o peso W. A 
força de sustentação que surge sobre a asa é demonstrada na equação 6, onde pressão é igual a 
força sobre uma área, neste caso, P é a pressão e A a área. 
𝐿 
𝑃 = 
𝐴 
(5) 
 
𝐿 = 𝑃 ∙ 𝐴 (6) 
 
 
2.2.1 A Força De Sustentação. 
 
Para manter a aeronave voando, a componente da sustentação em z deve ser maior que o 
peso W da aeronave, assim como a tração deve ser maior que o arrasto para que ela tenha 
velocidade [5]. O arrasto é causado pelo atrito do ar com as partes não aerodinâmicas como 
fuselagem, trem de pouso e carenagem. 
Pela equação 6, uma força de sustentação L aparece devido à pressão resultante P, levando 
a aeronave a sustentar-se no ar. 
Figura 9 — Ilustrativo das forças atuando em uma avião. 
Fonte: Artigo: A Física do Voo na Sala de Aula. Dahmen R. S. 
 
 
A equação básica de sustentação é apresentada a seguir. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 9 
 
 
 
 
𝜌 
𝐿 = 𝐶 𝑆𝑉2 (7) 
 
𝑙 2 
 
 
Onde L é a sustentação, 𝐶𝑙 é o coeficiente de sustentação, 𝜌 é a densidade do ar, S é a área 
da asa e V a velocidade em voo. Obseva-se nesta equaçõ que aumentando a velocidade da 
aeronave, pode-se reduzir a área da asa. 
 
2.2.2 O Coeficiente De Sustentação 
 
Na Figura 10, o gráfico mostra o coeficiente de sustentação da aeronave versus o ângulo 
de ataque. Esse coeficiente é diretamente proporcional à sustentação L da aeronave como 
mostra a equação 7. À medida que este ângulo de ataque aumenta, o coeficiente de sustentação 
também aumenta. Porém, mais turbilhonado fica o ar na parte superior da asa, no extradorso, 
até que se chega a um ponto onde o turbilhonamento do ar é tão intenso que o coeficiente de 
sustentação diminui, e consequentemente a aeronave perde sustentação após passar um limite 
de ângulo de ataque. Na parte de cima da Figura 10 é mostrado o efeito do turbilhonamento na 
asa devido ao aumento do ângulo de ataque para três situações diferentes, 100, 160 e 170. 
Figura 10 — Demonstração do turbilhonamento na ponta da asa na com a alteração do ângulo de 
ataque. 
 
Fonte: Site<https://en.wikiversity.org/wiki/Airplane_Flying_Handbook/Slow_flight_stalls_and_spins> 
Acesso em 20 jan. 2017. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 10 
 
 
 
 
 
 
No momento em que o coeficiente começa a diminuir após ter chegado ao ponto máximo, 
a aeronave entra no chamado pré-stol, podendo a partir deste momento estolar. A este 
fenômeno também chamamos de “descolamento da camada”, ou seja, o ar colado na superfície 
do extradorso se descola, como mostra a última imagem à direita, na parte superior da Figura 
10. 
 
2.2.3 O Estol 
 
Quando uma aeronave se submete a uma velocidade muito baixa o escoamento do ar na 
asa fica turbilhonado, como mostra a Figura 10 e assim a aeronave tende a estolar, (em inglês 
Stall). Ocorre então o descolamento do ar na asa na camada superior devido ao fluxo 
turbilhonado. Nesse momento o coeficiente de sustentação chega a zero e a aeronave perde toda 
sustentação, estolando [5]. 
Um stol pode ser altamente perigoso principalmente na fase final do voo, quando a 
aeronave vem para pouso com velocidade reduzida devido a tentativa do piloto de evitar usar 
muita pista, para ter maior distância para frenagem. Os pilotos, então, descem no final da rampa 
de planeio com velocidade baixa e dependendo de fatores como vento, temperatura, altitude, a 
aeronave pode estolar perto do solo, levando a um acidente fatal. 
Na decolagem também pode haver stol com facilidade, pois nessa fase do voo o ângulo de 
ataque é elevado, para que o avião suba, e a velocidade também está reduzida, para que se 
alcanse uma altitude maior em um tempo menor. 
Um acidente recente que ocorreu na Ásia devido à desestabilização na decolagem foi o de 
um Boeing 747-400 cargueiro, como mostra a Figura 11, que teve o centro de gravidade 
alterado, devido ao deslocamento da carga no interior da aeronave. Neste acidente, o avião, que 
carregava tanques de guerra, ao ganhar força para decolar, uma das cargas se desprendeu, 
devido ao momento de inércia dos tanques por serem muito pesados. Isso ocasionou mudança 
de toda estabilidade, tendo como consequência um stol e a queda da aeronave segundos após 
a decolagem. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 11 
 
 
 
 
Figura 11 — Queda de Boeing 747 por perda de estabilidade longitudinal. 
Fonte: Site <http://www.baaa-acro.com/2013/> Acesso em 20 jan. 2017. 
 
 
No acidente do Boeing 747 citado, após a carga se deslocar e o cargueiro perder 
estabilidade longitudinal, o ângulo de ataque se elevou até o ponto que o coeficiente de 
sustentação chegou ao limite e a aeronave estolou. Naquele momento não havia mais como voar 
mesmo em potência máxima, pois mesmo que os pilotos tentassem recuperar a estabilidade, 
colocando os manetes de potência em máximo, nada adiantou. Uma fatalidade. 
 
2.2.4 Velocidade em Mach 
 
O número de Mach M é uma medida que relaciona a velocidade indicada pela aeronave 
com a velocidade do som e é mostrado na equação 8. A velocidade do som depende apenas da 
temperatura absoluta ambiente [1]. 
𝑉 
𝑀 = 
𝑉𝑠𝑜𝑚 
(8) 
 
 
Este parâmetro é importante porque ele indica o aparecimento de distúrbios devido a 
pressão causada pelas ondas de choque do ar nas asas, fuselagem e cauda. Para números de 
mach pequenos, menores que 1, esses distúrbios são considerados normais, pois as ondas de 
choque se antecipam ao formato aerodinâmico da aeronave e não atrapalham o voo. Para 
números de mach superior a 1, devido à alta velocidade da aeronave, as ondas de choque 
começam a ficar achatadas a medida que a aeronave se aproxima e causam aumento de arrasto 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 12 
 
 
 
 
 
e distúrbios [1]. No quadro 2, são apresentados os regimes de voo para cada intervalo de 
número de mach. 
 
Quadro 2 — Número de Mach e regime de voo. 
 
Mach Regime de voo 
0 < M < 0.5 Subsônico Incompressível 
0.5 < M < 0.8 Subsônico Compressível 
0.8 < M < 1.2 Transônico 
1.2 < M < 5 Supersônico 
5 < M Hypersônico 
Fonte: Nelson,1989. P.7. 
 
 
 
Estabilidade Em Aeronaves 
 
2.3.1 Estabilidade Longitudinal Estática 
 
No início dos estudos de estabilidade, os fisícos tinham falta de entendimento ou não 
entendiam sobre a relação entre controle e estabilidade. Anos mais tarde, em 1893, Zahm foi 
o primeiro a colocar no papel um modelo de estabilidade estática [1]. O estabilizador foi criado 
com a finalidade de estabilizar o avião como mostram as Figuras 12 e 13. 
 
Figura 12 — Descrição da estabilidade segundo Zahm. 
Fonte: Nelson,1989. P.35. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 13 
 
 
 
 
Figura 13 — Ilustração da estabilidade segundo Zahm em uma 
aeronave monomotor. 
 
Fonte: Homa,2010. P.75 
 
 
Definimos como estabilidade longitudinal aquela relacionada ao movimento de rotaçãosobre eixo lateral. [5]. Uma aeronave é dita estável longitudinalmente, quando ela tenta voltar 
ao equilíbrio longitudinal após um distúrbio, ou indiferente, quando após o distúrbio ela 
continua voando, mas, fora do ponto de equilíbrio, ou instável, quando ela tende a não 
estabilizar mais, nem fora do ponto de equilíbrio. Na Figura 14 é representada a estabilidade 
estática longitudinal. 
Figura 14 — Estabilidade Estática Longitudinal. 
 
Fonte: Homa, P.72. 
 
 
Para que haja estabilidade longitudinal estática, a curva de momento de pitch (Cm) 
versus ângulo de ataque [2] deve ter rampa negativa em relação ao ponto de equilíbrio [1], ou 
seja: 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 14 
 
 
 
 
 
𝑑𝐶𝑚 
< 0 (9)
 
𝑑𝛼 
A Figura 15 mostra duas curvas diferentes, com rampa negativa, mas uma com momento 
de pitch negativo e outra com momento de pitch positivo mostrando que mesmo com pitch 
negativo é possóvel ter sustentação. O que importa é que a curva de momento de pitch seja 
negativa. 
 
Figura 15 — Coeficiente do momento de pitch versus ângulo de 
ataque. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.43. 
 
 
Definimos como ponto neutro Cp o lugar geométrico das superfícies onde ocorre a 
sustentação resultante das superfícies do avião. Definimos como ponto neutro Cg o lugar 
geométrico das massas. Sendo assim, temos duas situações quando comparamoso Cp ao centro 
de gravidade Cg da aeronave, uma vez que o centro de gravidade pode se deslocar durante o 
voo, por exemplo, no caso em que a carga se desloque ou passageiros mudem de posição, etc. 
Para que haja estabilidade estática longitudinal, o ponto neutro deve estar atrás do centro de 
gravidade. Se estiver à frente, o avião fica instável, como mostra a Figura 16, ilustrado pela 
Figura 17 . 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 15 
 
 
 
 
Figura 16 — Influência do centro de gravidade na estabilidade longitudinal 
estática. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.53. 
 
 
Figura 17 — Ilustração do ponto neutro em relação ao centro de gravidade. 
 
Fonte: Homa,2010. P.74. 
 
 
Alguns efeitos influenciam na estabilidade estática longitudinal da aeronave pois contribuem 
com o momento de pitch [1][5]. São eles: 
 Efeito de cauda; 
 Efeito da aeronave; 
 Efeito de fuselagem ; 
 Efeito de asa. 
 
Como exemplo, a Figura 18 mostra uma curva de contribuição dos efeitos citados 
anteriormente. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 16 
 
 
 
 
 
Figura 18 — Contribuição dos componentes para o momento 
de pitch. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.58. 
 
2.3.2 Estabilidade Longitudinal Dinâmica 
 
Quando uma aeronave é estável longitudinalmente, ela tende a voltar ao equilíbrio de 
três formas diferentes, podendo ser dinamicamente estável, quando ela retorna ao equilíbrio 
com facilidade e pouca oscilação, ou dinamicamente instável, quando ela tende a retornar ao 
equilíbrio, mas, as oscilações crescem cada vez mais, ou dinamicamente indiferente quando 
tende a voltar ao equilíbrio, mas, permanece numa oscilação permanente. Na Figura 19 é 
representada a estabilidade longitudinal dinâmica [5]. 
 
Figura 19 — Estabilidade Longitudinal Dinâmica. 
 
Fonte: Homa,2010. P.75. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 17 
 
 
 
 
2.3.3 Estabilidade Lateral Estática 
 
Definimos como estabilidade lateral aquela relacionada ao movimento de rotação sobre 
eixo longitudinal [5]. Para ser lateralmente estável, rampa de momento de curva lateral C𝑙𝛽 (roll 
moment) versus ângulo beta 𝛽 deve ser negativa (C𝑙𝛽 < 0). Caso (C𝑙𝛽 > 0) a aeronave é instável 
[1], como mostra o gráfico a seguir. 
 
Figura 20 — Curva de estabilidade lateral. 
Fonte: Nelson,1989. P.58. 
Uma aeronave é dita estável lateralmente quando ela tenta voltar ao equilíbrio lateral após 
um distúrbio, nivelando as asas no ângulo desejado, ou indiferente quando após o distúrbio ela 
continua voando, mas, com as asas em um ângulo indesejável ou instável quando ela tende a 
não estabilizar mais, podendo até entrar em parafuso [5]. Na figura 22 é representada a 
estabilidade estática lateral. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 18 
 
 
 
 
 
Figura 21 — Demonstração do angulo beta. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.20. 
 
 
Figura 22 — Estabilidade Estática Lateral. 
 
Fonte: Homa,2010. P.77. 
 
 
Os efeitos que mais contribuem na estabilidade estática lateral [1][5] são: 
 Efeito de diedro; 
 Efeito de asa (alta ou baixa). 
 
As Figuras 23 e 24 ilustram os momentos de diedro e de asa alta e asa baixa. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 19 
 
 
 
 
Figura 23 — Efeito de diedro na estabilidade estática lateral. 
Fonte: Nelson,1989. P.58. 
 
 
Figura 24 — Ilustração do efeito de diedro na estabilidade estática lateral. 
 
Fonte: Homa, 2010 P. 78. 
 
 
As Figuras 25 e 26 a seguir ilustram os momentos de asa alta e asa baixa. Quando o avião tem 
asa alta a tendência ao equilíbrio é maior do que quando o avião tem asa baixa. Isso devido a 
passagem do ar na asa como mostra a Figura 26. Se a asa é alta o momento de rolagem estabiliza 
a aeronave, mas se a asa é baixa o momento de rolagem desestabiliza a aeronave. 
 
Figura 25 — Ilustração do efeito de asa alta e asa baixa na estabilidade lateral 
estática. 
 
Fonte: Homa,2010. P.79. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 20 
 
 
 
 
 
Figura 26 — Efeito de asa alta e asa baixa na estabilidade lateral 
estática. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.58. 
 
 
 
2.3.4 Estabilidade Lateral Dinâmica 
 
Quando uma aeronave é estável lateralmente, ela tende a voltar ao equilíbrio de três 
formas diferentes, podendo ser dinamicamente estável, quando ela retorna ao equilíbrio com 
facilidade e pouca oscilação, ou dinamicamente instável, quando ela tende a retornar ao 
equilíbrio, mas, as oscilações crescem cada vez mais, ou dinamicamente indiferente quando 
tende a voltar ao equilíbrio, mas, permanece numa oscilação permanente. Na Figura 27 é 
representada a estabilidade lateral dinâmica [5]. 
 
Figura 27 — Estabilidade Lateral Dinâmica. 
 
Fonte: Homa,2010. P.80. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 21 
 
 
 
 
2.3.5 Estabilidade Direcional Estática 
 
Definimos como estabilidade Direcional aquela relacionada ao movimento de rotação 
sobre eixo vertical [5]. Para ser direcionalmente estável, rampa de momento de curva direcional 
Cn𝛽 (yaw moment) versus ângulo 𝛽 deve ser positiva (Cn𝛽 > 0). Caso (Cn𝛽 < 0), a aeronave é 
instável [1]. 
 
Figura 28 — Rampa de angulo Beta para estabilidade estática 
mostrando curvas estável e instável. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.68. 
Uma aeronave é dita estável direcionalmente quando ela tenta voltar ao equilíbrio após 
um distúrbio, indiferente quando após o distúrbio ela continua voando, mas, fora do ponto de 
equilíbrio, e instável quando ela tende a não estabilizar mais, nem fora do ponto de equilíbrio. 
Se uma aeronave voar fora do equilíbrio ela causa muito arrasto devido ao efeito da 
fuselagem, o que causa mais desequilíbrio. Nesta análise de estabilidade, a cauda e a 
fuselagem têm efeito significativo. Na Figura 29 é representada a estabilidade estática 
direcional [5]. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 22 
 
 
 
 
 
Figura 29 — Estabilidade Estática Direcional. 
 
Fonte: Homa,2010. P.81. 
 
 
Os efeitos que influenciam na estabilidade estática direcional da aeronave pois 
contribuem com o momento Cn𝛽 [1][5] são: 
 Efeito wing-body (enflechamento); 
 Efeito Cauda 
 Efeito de quilha. 
 
As Figuras 30, 31 e 32 ilustram os efeitos de enflexamento, cauda e quilha. 
 
 
Figura 30 — Contribuição do efeito de enflechamento na estabilidade direcional 
estática. 
Fonte: Homa, 2010. P.82. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 23 
 
 
 
 
 
 
Figura 31 — Contribuição do efeito de cauda para estabilidade 
direcional. 
Fonte: Nelson,1989. P.70. 
 
 
Figura 32 — Ilustração do efeito de quilha para estabilidade estática direcional. 
 
Fonte: Homa, 2010. P.82. 
 
2.3.6 EstabilidadeDirecional Dinâmica 
 
Quando uma aeronave é estável direcionalmente, ela tende a voltar ao equilíbrio de três 
formas diferentes, podendo ser dinamicamente estável, quando ela retorna ao equilíbrio com 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 24 
 
 
 
 
 
facilidade e pouca oscilação, ou dinamicamente instável, quando ela tende a retornar ao 
equilíbrio, mas, as oscilações crescem cada vez mais, ou dinamicamente indiferente quando 
tende a voltar ao equilíbrio, mas, permanece numa oscilação permanente. Na Figura 33 é 
representada a estabilidade direcional dinâmica [5]. 
 
Figura 33 — Estabilidade Direcional Dinâmica. 
 
Fonte: Homa,2010. P.83. 
 
 
Controle Em Aeronaves 
 
A Figura 34 mostra as superfícies primárias comandáveis da aeronave que são 
respectivamente os ailerons, nas asas, os profundores, no estabilizador horizontal, e o leme, no 
estabilizador vertical de cauda [1]. 
 
Figura 34 — Superfícies Primárias Comandáveis De Uma Aeronave. 
Fonte: Site< http://formacaopiloto.blogspot.com.br>. Acesso em 22 jan. 2017. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 25 
 
 
 
 
2.4.1 Controle Longitudinal 
 
O profundor é responsável por comandar aeronave longitudinalmente, ou seja, rolagem 
sobre o eixo lateral. Veja na Figura 35 que ao puxar o bastão de comando para trás, no peito do 
piloto, erguemos o profundor em um ângulo 𝜹𝒆. 
 
Figura 35 — Profundor de uma aeronave e ângulo de pitch. 
Fonte: Nelson,1989. P.120 
 
 
Isso causa nele um arrasto que faz a cauda da aeronave descer e o nariz do aviao subir. É 
o movimento de cabrar. O movimento inverso chama-se picar, é quando empurra-se o bastão 
pra frente e assim o profundor desce em um ângulo 𝜹𝒆, criando um arrasto que levanta cauda 
e abaixa o nariz [1]. 
 
2.4.2 Controle Lateral 
 
Os ailerons são responsáveis por comandar a aeronave lateralmente, ou seja, rolar sobre 
o eixo longitudinal. Quando empurra-se o bastão para direita, deseja-se que a aeronave vire para 
a direita. O aileron esquerdo desce um ângulo 𝜹𝒂, criando arrasto que faz a asa esquerda subir 
enquanto o aileron direito sobe um ângulo 𝜹𝒂, criando um arrasto que faz a asa direita descer, 
assim, a aeronave vira para direita, sentido horário [1]. 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 26 
 
 
 
 
 
Figura 36 — Ailerons de uma aeronave e ângulo de rolagem. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.76 
 
 
Quando empurra-se o bastão para esquerda, deseja-se que a aeronave vire para a esquerda. 
O aileron direito desce e faz a asa direita subir, enquanto o aileron esquerdo sobe e faz a asa 
direita descer, assim, a aeronave vira para esquerda, sentido anti-horário. 
 
2.4.3 Controle Direcional 
 
O leme é responsável pelo comando de guinada. Quando deseja-se guinar a aeronave para 
direita, vira-se o leme para a direita um ângulo 𝜹𝒓, criando um arrasto que empurra a cauda para 
a esquerda e o nariz para a direita. Quando deseja-se guinar a aeronave para esquerda, vira-se 
o leme para a esquerda, criando um arrasto que empurra a cauda para a direita e o nariz para a 
esquerda [1]. 
 
Figura 37 — Leme de uma aeronave. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.71 
2. Modelagem Da Aeronave e Estabilidade 27 
 
 
 
 
No quadro 3 é descrito cada movimento da aeronave, relativo ao movimento das 
superfícies de comando. 
 
Quadro 3 — Resumo dos movimento das superfícies de comando. 
 
Entrada: 𝜹e Profundor Cauda Nariz 
 
Cabrar Sobe Desce Sobe 
Picar Desce Sobe Desce 
Entrada: 𝜹𝒂 Aileron Direito 
Aileron 
Esquerdo Asa Direita 
Asa 
Esquerda 
Rolagem Direita desce sobe desce sobe 
rolagem Esquerda sobe desce sobe desce 
Entrada: 𝜹𝒓 Leme Cauda Nariz 
 
Guinada Direita Vira Direita Vira Esquerda Vira Direirta 
Guinada Esquera Vira Esquerda Vira Direita Vira Esquerda 
Fonte: Produção própria do autor. 
3. Controle Automático Preditivo 28 
 
 
 
 
 
3 CONTROLE AUTOMÁTICO PREDITIVO 
 
Controle Automático Em Malha Fechada 
 
Neste trabalho usaremos o controle automático em malha fechada. A função de 
transferência de um controle em malha fechada pode ser resumido por [1]: 
 
𝐶(𝑠) 
= 
𝑅(𝑠) 
𝑇𝑅𝐴𝑁𝑆𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐿𝐴𝑃𝐿𝐴𝐶𝐸 𝐷𝐴 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑂𝑆𝑇𝐴 
 
 
𝑇𝑅𝐴𝑁𝑆𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐿𝐴𝑃𝐿𝐴𝐶𝐸 𝐷𝐴 𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴 
 
(10) 
 
 
A função é representada pelo diagrama de blocos a seguir com uma entrada e uma 
saída: 
 
Figura 38 — Diagrama de blocos de controle em malha fechada. 
Fonte: Nelson,1989. P.200. 
 
 
Onde: 
 R(s) Referência (entrada); 
 C(s) Variável controlada (saída); 
 B(s) Sinal de feedback (retorno); 
 E(s) Erro do sinal atual; 
 G(s) C(s)/E(s) Função de malha aberta caminho direto (open loop); 
 M(s) C(s)/R(s) Função de malha fechada (closed loop); 
 H(s) Função de feedback; 
 G(s) H(s) Função de transferência do loop. 
3. Controle Automático Preditivo 29 
 
 
 
 
 
 
Assim podemos escrever a equação que relaciona resposta e referência: 
 
 
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐵(𝑠) (11) 
 
𝐵(𝑠) = 𝐻(𝑠)𝐶(𝑠) (12) 
 
𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝐸(𝑠) (13) 
 
𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) − 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)𝐶(𝑠) (14) 
 
𝑪(𝒔) 𝑮(𝒔) 
= 
 
(15) 
𝑹(𝒔) 𝟏 + 𝑮(𝒔)𝑯(𝒔) 
 
Estabilidade Em Controle Automatico 
 
Um sistema de controle representado por um modelo que tem uma planta G(s), dita 
função de transferência, que recebe um sinal de entrada R(s), a referência, gerando uma resposta 
Y(s), podendo este modelo ser em malha aberta, quando este não é realimentado ou em malha 
fechada, quando este é realimentado. Segundo [3] as definições de estabilidade para sistemas 
clássicos utilizando respostas naturais demonstradas a seguir. São basicamente três tipos de 
estabilidade [3]: 
 
 Um Sistema é estável se a resposta natural se aproxima de zero à medida que o tempo 
aproximando ao infinito. 
 Um Sistema é instável se a resposta natural se aproxima do infinito à medida que o 
tempo se aproxima do infinito. 
 Um Sistema é marginalmente estável se a resposta natural nem sobe nem decai à 
medida que o tempo se aproxima do infinito, permanecendo em oscilação constante. 
 
A resposta típica de um sistema de controle em malha fechada é mostrada na Figura 
39. Existem duas respostas na Figura 39, tendo como referência um degrau. 
3. Controle Automático Preditivo 30 
 
 
 
 
 
Figura 39 — Resposta típica de um sistema de controle. a) Estável. b) Instável. 
Fonte: Nise, 6oed. P.304. 
 
 
Na Figura 39(a), o sistema é estável, oscila com uma determinada frequência e tende a 
estabilizar na referência a medida que o tempo tende ao infinito. Na Figura 39 (b) o ganho do 
sistema é elevado, isso torna o sistema instável com a frequência aumentando cada vez mais a 
medida que o tempo tende ao infinito, assim, nunca alcança estabilização na referência [4]. 
 
3.2.1 Critérios De Desempenho 
 
Quando estudamos a estabilidade em controle, usamos alguns aspéctos de desempenho 
que são: 
 Tr: Tempo de resposta (rise time); 
 Te: Tempo de estabilizadação (settling time); 
 Tp: Tempo de pico (peak time); 
 Sover: Sobrelevação (overshoot); 
 Td: Ataso (delay time) ; 
 Err: Erro; 
 Vf: Valor final (step final value). 
 
Estes critérios são mostrados na Figura 40 de uma entrada ao degrau. 
3. Controle Automático Preditivo 31 
 
 
 
 
Figura 40 — Resposta de um sistema de segunda ordem com parâmetros de desempenho 
 
Fonte: Nelson,1989. P.208. 
 
Modelo De Controle Automático Em Espaço de Estados 
 
Podemos modelar um sistema de controle qualquer através do espaço de estados, em um 
determinado ponto de operação como mostrado nas equações 16 e 17, sendo u a entrada e y a 
resposta do sistema [3]. As matrizes A, B, C, D são apresentadas na equção 18. 
 
𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝑢 (16) 
𝑦 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝑢 (17) 
 
 
 
 
 
 
(18) 
3. Controle Automático Preditivo 32 
 
 
 
 
 
 
 
O Diagrama de blocos pra o modelo em espaço de estados é mostrado na Figura 41. 
 
 
Figura 41 — Diagrama de blocos de um sistema em espaço de estados. 
 
Fonte: Nise, 6oed. P.666 
 
 
 
ControleAutomático Em Aeronaves 
 
As Figuras 42 e 43 mostram um dos primeiros controles clássicos PID automáticos em 
malha fechada utilizados em aviação para controle agular [1]. Chamado também de 
displacement autopilot, piloto automático de deslocamento, capaz de fazer mudança nos 
angulos da aeronave, como mostra o diagrama de blocos a seguir, podendo ser usado tanto para 
pitch quanto para roll. 
 
Figura 42 — Controle automático angular geral para uma aeronave. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.211. 
 
 
A Figura 43 mostra um controle automático para direcionamento da aeronave (heading 
autopilot) [1]. 
3. Controle Automático Preditivo 33 
 
 
 
 
Figura 43 — Controle automático simples para heading (direção). 
 
Fonte: Nelson,1989. P.211. 
 
 
 
O Controle Automático Preditivo 
 
As primeiras implementações do controle preditivo ocorreram na década de 70 com a 
introdução do mesmo no ramo industrial. Foi nessa época que surgiu uma técnica com o nome 
“Model Predicitive Heuristic Control” (MPHC) [4]. O software comercial derivado desta 
técnica foi denominado IDCOM (Identification and Command) e suas principais características 
são: 
 
 Modelo de previsão através resposta ao Impulso; 
 Função custo quadrática sobre o horizonte finito; 
 Restrições nas variáveis de entrada e saída; 
 Variáveis manipuladas são calculadas segundo um procedimento heurístico; 
 O comportamento futuro da variável manipulada é especificada por uma trajetória de 
referência. 
 
Algoritmos de controle preditivo do tipo baseado em modelo (CPBM) buscam resolver 
várias questões relacionadas a: 
 Infactibilidade de soluções do problema de otimização quando ocorrem distúrbios 
no sistema; 
 Estabilidade e tolerância a falha do controlador, a fim de manter o processo 
funcionando quando ocorrem falhas nos sensores e atuadores; 
 Dificuldades de formulação da função custo na presença de objetivos conflitantes; 
3. Controle Automático Preditivo 34 
 
 
 
 
 
 Plantas com modelos variantes no tempo 
 
Figura 44 — Controle Preditivo Baseado em Modelo 
 
Fonte: Salles, P.5 
 
 
Os fatores que motivam a aplicação do controle preditivo na indústria é que esta estratégia 
permite um tratamento natural de processos [4] com : 
 Limitações Físicas dos atuadores 
 Restrições sobre as variáveis controladas 
 Múltiplas entradas e Múltiplas saídas 
 Atraso de Transporte 
 Ação de controle Antecipatória (Feedforward) sobre as perturbações. 
 Permite a operação do processo numa região próxima a suas restrições (comparando 
com o controle convencional ), o que conduz ao aumento da produtividade da planta 
industrial. 
 
O controle Preditivo Baseado em Modelo é uma estratégia que possui as seguintes 
características: 
3. Controle Automático Preditivo 35 
 
 
 
 
 Usa modelo explícito do processo para predizer a saída do mesmo num determinado 
horizonte finito. 
 As ações de controle futura são calculadas minimizando uma determinada função 
objetivo. 
 O horizonte de previsão é deslizante, ou seja para cada período de amostragem, o 
horizonte é deslocado um passo a frente. O sinal de controle atual é enviado ao processo, 
desconsiderando o resto do controle dentro do horizonte. 
 
 
O Modelo De Controle Preditivo Adotado 
 
No gráfico a seguir, na Figura 45, podemos ter uma noção básica da resposta de um 
controle preditivo, onde u(k) representa a variável manipulada, ou sinal de controle, y(k) a 
variavel controlada, ou variável de saída e r(k) o sinal de referência. Nc e Np correspondem aos 
horizontes de controle e predição [6] , que serão comentados mais a frente. 
 
Figura 45 — Definições do controle preditivo baseado em 
modelo MPC. 
 
Fonte: Veloso, 2005. 
 
 
A sequência de controle é calculada de modo a reduzir o erro entre a saída e a trajetória 
de referência, o que leva em conta uma função de custo que usa o erro dentro do horizonte de 
predição e o controle associado. Assim, é possível predizer qual será a saída num instante futuro 
para que o controlador já se antecipe a esse acontecimento. Isso proporciona uma melhoria no 
sistema superior a outros tipos de controle, como o controle clássico [6]. 
3. Controle Automático Preditivo 36 
 
 
 
 
 
Se o horizonte for muito pequeno, a previsão não tem o efeito desejado, e se for muito 
grande, o sistema pode não conseguir prever tal saída devido a isso. O ideal é que se chegue a 
um valor ajustável que torne a saída ótima [2]. 
Neste capítulo mostraremos a estratégia de controle preditivo adotada. Existem os 
modelos SISO (Single Input Single Output) e o modelo MIMO (Multiple Input Multiple 
Output). No modelo SISO existe apenas uma entrada gerando uma saída. No modelo MIMO 
podem existir mais de uma entrada gerando mais de uma saída. 
 
Sistemas De Uma Entrada E Uma Saída 
 
O modelo SISO é o modelo onde temos uma entrada e uma saída como resposta [2]. O 
sistema é descrito pela equação a seguir. 
 (19) 
Onde u é a variavel manipulada, y é a saída do processo e xm o vetor de variáveis de 
estado. Neste caso, consideramos a matriz D como sendo nula por fins de proposta do design 
com integrador. A equação 19 a diferenças é apresentada abaixo: 
A diferença nas variáveis de estado são dadas por: 
 
A diferença da variável de controle fica: 
 
E a diferença da equação do espaço de estados torna-se: 
 
 (20) 
 
Conectamos xm a saída y(k) e obtemos: 
 
E denotando que: 
3. Controle Automático Preditivo 37 
 
 
 
 
 
 
 
Juntamos as equações 20 e 21 e chegamos a: 
 
 
onde: 
(21) 
 
 
 
 
 
 
(22) 
 
 
 
 
A matriz da equação 22 é chamada de matriz modelo aumentada que será usada para o 
modelo de controle preditivo [2]. 
 
3.7.1 Modelo Com Uma Janela De Previsão 
 
O próximo passo é calcular a previsão da saída da planta, através do sinal futuro das 
variáveis ajustadas. Neste caso, ki é o tempo atual, Np é o tamanho da janela de predição 
(número de amostras) chamado de horizonte de predição e Nc o horizonte de controle que dita 
a trajetória futura da obtenção dos parâmetros [2]. Essa trajetória futura é dada por: 
 
 
 (23) 
 
Denotamos que: 
 
3. Controle Automático Preditivo 38 
 
 
s 
 
 
 
 
 
Assim a saída torna-se: 
 
 
 
, 
 
, 
Podemos então escrever de uma maneira mais simples: 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
Seja R T : 
 
A função custo do modelo de controle fica: 
 
 
 
(24) 
 
 
 
 
(25) 
 
 
 
 
 
(26) 
3. Controle Automático Preditivo 39 
 
 
 
 
 
 
 
Assim ∆𝑈 pode ser escrito como: 
 
 
 
(27) 
 
 
(28) 
 
O modelo de controle em malha fechada usada no projeto é mostrado na Figura 46, onde Ky é 
o primeiro elemento da equação (28) e representa o ganho de feedback relacionado a y(k) e Kx 
corresponde ao ganho de feedback relacionado a Δxm fechando assim a malha para obter o 
sistema em malha fechada. 
 
Figura 46 — Modelo de Controle Preditivo em malha fechada 
 
Fonte: Wang, 2009. 
 
Sistemas Com Multiplas Entradas E Multiplas Saídas 
 
Neste caso assumimos que o número de saídas deve ser igual ou menos que o número 
de entradas [2]. Neste problema, em geral temos: 
 
(29) 
 
 
Assumindo: 
, 
e 
, 
 
a matriz aumentada do sistema multivariável é apresentada como: 
3. Controle Automático Preditivo 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(30) 
 
 
 
No controle MIMO, seja m entradas, q saídas e n1 estados. A matriz Iq×q é a matriz 
identidade de dimensão q×q e om é uma matriz de zeros q×n1. Am, Bm e Cm têm dimensão 
n1×n1, n1×m e q×n1, respectivamente. Denotamos: 
 (31) 
Onde A, B e C são matrizes correspondentes a formulação em (30). A dimensão da matriz 
aumentada será n =( n1 + q). 
 
Solução Para Sistemas MIMO 
 
A extensão para o modelo preditivo MIMO é bem simples, basta ter atenção nas 
dimensões dos estados, das saídas e das variáveis de controle e do ambiente de multiplas 
entradas e multiplas saídas. Definimos Y e U: 
Baseado no modelo de espaço de estados (A,B,C), as futuras variáveis de estadosão 
calculadas sequencialmente usando uma série de parâmetros de controle futuros. 
3. Controle Automático Preditivo 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assumindo que e(ki) (ruído branco) é zero então o valor predito de e(ki + i | ki) no 
futuro i e assumido como zero. A predição das variáveis de estado e das saidas são calculadas, 
então, o efeito de ruído é zero. Temos então: 
 (32) 
Onde o controle incremental ótimo com uma janela de previsão é dada por 
 
 
onde a matriz ΦTΦ tem dimensão mNc×mNc e ΦTF tem dimensão mNc× n, e ΦTRs iguala- 
se as ultimas q colunas ΦTF. a matriz de peso R é uma matriz bloco com m blocos e tem 
dimensão igual a ΦTΦ. O sinal de set point é r(ki)=[ r1(ki) r2(ki) ... rq(ki)]T. Pelo princípio do 
horizonte de controle, os primeiros m elementos de ΔU são usados no controle incremental. 
Assim temos: 
 
 
(33) 
 
 
onde Im e om são respectivamente as matrizes identidade e zero de dimensão m×m. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 42 
 
 
 
 
 
4 SIMULAÇÃO DOS SISTEMAS E RESULTADOS 
 
A Aeronave Escolhida 
 
Para este trabalho foi escolhida a aeronave NAVIONa apresentada na Figura 47, 
representando um modelo da aviação geral. 
Figura 47 — Aeronave escolhida NAVIONa. 
Fonte: Site: <http://www.acmp.com/blog/navion-cousin-to-the-mustang.html> 
 
Uma aeronave monomotora, podendo ter 2 ou 4 lugares, com performances para voos 
panorâmicos, de baixa altura e com velocidade inferior às aeronaves a jato. Faremos algumas 
simulações para mostrar o comportamento aerodinâmico e de estabilidade da aeronave pois 
aeronaves da aviação geral fazem muitas manobras como curvas acentuadas e subidas rápidas. 
Por ser considerada uma aeronave leve, rajadas de vendo alteram muito o comportmento estável 
da aeronave. 
Através das equações de moção linearizadas para pequenos distúrbios do modelo 
longitudial descritos em [1] e mostradas a seguir: 
 
 
 
 
 
(34) 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 43 
 
 
 
 
E considerando que na prática, Zq e Zẇ são excluídos por terem pouca atuação na resposta da 
aeronave [1]., obtemos o sistema da aeronave em espaço de estados do modelo longitudinal 
apresentado nas equações 35 e 36. 
 
 
 
(35) 
 
 
 
 
(36) 
 
 
 
 
Nas matrizes, X e Z são componentes das forças aerodinâmicas, M é componente do 
momento aerodinâmico, Ix, Iy e Iz são produtos da inércia de cada eixo e m a massa da 
aeronave, tal que: 
 
 
Xk = 
 
Zk = 
𝜕𝑋⁄𝜕𝑘
 
𝑚 
 
𝜕𝑍⁄𝜕𝑘
 
𝑚 
 
, k = u, w, q, δ, δT, … 
 
 
, k = u, w, q, δ, δT, … 
 
(37) 
 
 
(38) 
 
Mk = 
𝜕𝑀⁄𝜕𝑘
 
𝐼𝑛 
 
, k = u, w, ẇ ,q, δ, … ; n = x, y, z . 
 
(39) 
 
 
Os coeficientes para o cálculo da matriz A e B do modelo longitudinal são 
apresentados na tabela a seguir [1]. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 44 
 
 
 
 
 
Tabela 1 — Coeficientes das matrizes de A e B longitudinal. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.127. 
 
 
As matrizes de estado A e B foram calculadas com ponto de operação da velocidade 
da aeronave de 176 (ft/s). Serão simulados algoritimos em modo SISO e em modo MIMO 
onde as entradas são deflexões nos profundores, ailerons e leme de direção. As matrizes de 
ambos modos para o sistema longitudial calculados são apresentadas a seguir. 
 
 Matriz De Estado Discreta Do Modelo Longitudinal SISO. 
 
 
A= B= 
 
 
 Matriz De Estado Discreta A E B Do Modelo Longitudinal MIMO. 
 
 
A= B= 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 45 
 
 
 
 
Assim como no modelo Longitudinal, através das equações de moção linearizadas 
para pequenos distúrbios do modelo lateral-direcional descritos em [1] e mostradas a seguir: 
 
 
 
(40) 
 
 
 
 
 
Obtemos o modelo lateral-direcional da aeronave em espaço de estados que é 
apresentado [1] abaixo nas equações 39 e 40. 
 
 
(41) 
 
 
 
 
 
(42) 
 
 
Nas matrizes, Y é componente das forças aerodinâmicas, L e N são componentes do 
momento aerodinâmico, Ix, Iy e Iz são produtos da inércia de cada eixo e m a massa da 
aeronave, tal que: 
Yk = 
 
L 𝜕𝐿⁄𝜕𝑘 
 
𝜕𝑌⁄𝜕𝑘
 
𝑚 
 
, k = v, p, r, δa, δr … 
 
(43) 
 
 
(44) 
k = 
𝐼𝑛 
N 𝜕𝑁⁄𝜕𝑘 
 
, k = v, p, r, δa, δr … ; n = x, y, z . 
 
 (45) 
k = 
𝐼𝑛 
, k = v, p, r, δa, δr … ; n = x, y, z . 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 46 
 
 
 
 
 
A tabela a seguir apresenta os coeficientes para o cálculo das matrizes de A e B do modelo 
lateral-direcional [1]. 
 
Tabela 2 — Coeficientes das matrizes de A e B lateral. 
 
Fonte: Nelson,1989. P.166. 
 
 
Os coeficientes derivativos necessários para o cálculo das matrizes do sistema em 
espaço de estados são apresentados na tabela 3 seguir. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 47 
 
 
 
 
 
 
Tabela 3 — Coeficientes derivativos, em radianos, do NAVIONa 
 
Fonte: Nelson, 1989. P252. 
 
 
Na Figura 48 mostramos as dimensões da aeronave como peso, área da asa, corda 
média, visões lateral, frontal e superior. 
 
Figura 48 — Características de massa, geométricas e centro de gravidade do NAVIONa 
 
Fonte: Nelson, 1989. P252. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 48 
 
 
 
 
 
Serão simulados algoritimos em modo SISO e em modo MIMO. As matries de ambos 
modos para o sistema lateral e direcional são apresentadas a seguir. 
 
 Matriz De Estado Discreta A E B Do Modelo Lateral SISO 
 
 
A= B= 
 
 
 Matriz De Estado Discreta A E B Do Modelo Direcional SISO 
 
 
A= B= 
 
 
 
 
 
 Matriz De Estado Discreta A E B Do Modelo Lateral-Direcional MIMO 
 
 
A = B= 
 
 
 
 
 
 
 
Simulação Dos Sistemas Sem Controle Preditivo 
 
Antes de simular o sistema, fazemos uma análise do LGR (Lugar Geométrico das Raízes) 
para um sistema discreto. Para que o sistema seja estável em malha fechada é necessário que 
todas as raízes estejam dentro do circulo de raio um [3]. 
Analizando o lugar das raízes dos modelos, longitudinal, lateral e direcional, faz-se a 
análise do ganho que torna o sistema estável. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 49 
 
 
 
 
 Sistema longitudinal 
 
A função de transferência do modelo longitudinal e o LGR são apresentados abaixo. 
 
 (46) 
 
Figura 49 — LGR do sistema longitudinal. 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
O sistema longitudinal só é estável para ganhos entre 0 e 0.0012. 
 
 
 Sistema lateral 
 
A função de transferência do modelo lateral e o LGR são apresentados abaixo. 
 
(47) 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 50 
 
 
 
 
 
Figura 50 — LGR do sistema lateral. 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
O sistema lateral só é estavel para ganhos entre 0 e 0.101. 
 
 
 Sistema Direcional 
 
A função de transferência do modelo direcional e o LGR são apresentados abaixo. 
 
(48) 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 51 
 
 
 
 
Figura 51 — LGR do sistema Direcional. 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
O sistema direcional só é estavel para ganhos entre 0.748 e 0.968. 
 
Simulação Do Sistema SISO Com Controle Preditivo 
 
As simulações do sistema SISO em malha fechada com ganho unitário foram feitas com 
controle preditivo usando algotritimo do controle preditivo SISO desenvolvido no MATLAB 
por [2] e modificado, disponível no anexo 2. As respostas a um degrau unitário são mostradas 
nas figuras a seguir. 
Usamos para todas as simulações o mesmo Np, e o mesmo Nc. Faremos as simulações 
apesar de que no controle preditivo não é comum ser utilizado o sistema SISO pois ele não 
permite verificar a interferência de uma saída nas outras, mas, apesar disso, queremos mostrar 
que o controle preditivo torna-se eficaz. Desse modo, escolhemos: 
Np = 15 
Nc = 4 
Após uma série de testes com valores diferentes. Estes valores geraramm boas respostas ao 
sistema. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 52 
 
 
 
 
 
Simulamos um aumento de velocidade de 1 (ft/s), uma perda de velocidade de 1 (ft/s), 
uma inclinação de pitch de 0.26 rad, aproximadamente 30º, e uma declinação de 0.26 rad, 
aproximadamnte 30º. 
 
Figura 52 —Simulação de aumento de velocidade de 1 (rad/s). 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
Figura 53 — Simulação de perda de velocidade de 1 (rad/s). 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 53 
 
 
 
 
Os gráficos mostram que a velocidade estabiliza na referência. Isso é importante para 
o piloto pois se quer aumentar ou diminuir a velocidade em etapas do voo como por exempo 
antes do pouso, onde se reduz a velocidade, e após a decolagem, onde se quer ganhar velocidade. 
Figura 54 — Simulação de inclinação de pitch de 0.26 rad (30º). 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
Figura 55 — Simulação de declinação de pitch de 0.26 rad (30º). 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
Nos gráficos anteriores podemos ver que a aeronave é capaz de subir ou descer com 
ângulo de 30º em período curto. Isso acontece quando se quer subir ou descer, ganhando ou 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 54 
 
 
 
 
 
perdendo altitude. Na decolagem normalmente se quer ganhar altura rapidamente, então o 
ângulo de 30º é muito usado. 
Agora simulamos curva a direita e a esquerda de 0.1308 rad, aproximadamente 15º e 
guinadas a direita e a esquerda de 5º, 0.0436 rad. 
 
Figura 56 — Simulação de curva a direita de 0.1308 rad (15º) 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
Figura 57 — Simulação de curva a esquerda de 0.1308 rad (15º). 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 55 
 
 
 
 
Durante o voo, as curvas são geralmente feitas em um ângulo de 15º, por isso foi 
ecolhido como referência esse valor. Os pilotos costumam variar de 10º a 30º a curva, porém 
a mais utilizada é a de 15º. Na cabine existem marcadores que indicam o ângulo, é o chamado 
Bank Angle Gauge, ou seja, marcador de curva. 
 
Figura 58 — Simulação de guinada à direita de 0.0436 rad (5º). 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
Figura 59 — Simulação de guinada à esquerda de 0.0436 rad (5º). 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 56 
 
 
 
 
 
A guinada é muito utilizada para corrigir o vento quando o mesmo está em direção 
lateral, de través, à rota do avião. Normalmente, é utilizado 5º de guinada para corrigir devido 
ao vento, podendo variar de 1º a 10º aproximadamente. Utilizado sempre no pouso e na 
decolagem. 
 
Simulação Do Sistema MIMO Com Controle Preditivo 
 
O sistema MIMO pode mostrar interferência de uma entrada em outra, coisa que o 
sistema SISO não é capaz [2]. Fizemos simulações do controle preditivo usando algotritimos 
desenvolvidos no MATLAB. Esses algoritimos podem ser obtidos no capítulo 1 de [2], 
modificado para adequação ao projeto e encontra-se no anexo 3. Os pesos do sistema são 
definidos por R1 e R2. 
As respostas das simulações para uma entrada degrau unitário são apresentados abaixo. 
Foram escolhidos: 
Np = 30 
Nc = 4 
Após uma série de testes com valores diferentes. Estes valores geraramm boas respostas ao 
sistema. 
Figura 60 — Simulação de velocidade axial u e ângulo Teta. 
Fonte: Produção própria do autor. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 57 
 
 
 
 
Na primeira simulação mostramos a interferência da velocidade axial u no ângulo de 
pitch Ɵ, com R1= 0.025, R2=0.01. Lembrando que aqui trabalhamos no ponto de operação 
176(ft/s) e os degraus são de variações na velocidade axial u. 
Primeiro gera-se um degrau de referência 5 no instante t=10(s) em u, causando 
perturbação em Ɵ. Depois um degrau de referência zero no instante t=10(s), causando outra 
perturbação em teta 
A aeronave ganha velocidade, gerando uma queda repentina de ângulo de pitch, e 
estabiliza em 5 (ft/s). O controle estabiliza a velocidade em 5 (ft/s) e o ângulo de pitch retorna 
a zero. Depois diminuimos a velocidade e o oposto ocorre com o ângulo de pitch, ele 
aumenta. 
A segunda simulação, com R1= 0.015, R2=0.001, mostra um aumento de pitch de 
0.26(rad), aproximadamente 30º, no instante t=10(s) e depois uma redução do ângulo para 
zero no instante t=150(s). 
 
Figura 61 — Simulação de velocidade axial u e ângulo Teta. 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
É possível ver que isso afetou a velocidade. Quando o ângulo foi aumentado a 
velocidade caiu para 5(ft/s), mas o controlador foi capaz de estabilizar no ponto de operação. 
Depois, no declive houve aumento de velovidade, mas novamente o controlador foi capaz 
de manter a velocidade no ponto de operação. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 58 
 
 
 
 
 
As duas simulações anteriores mostram que o piloto pode aumentar ou diminuir a 
velocidade variando o ângulo de pitch, o que na prática, é verdade pois alterando o ângulo 
de pitch, estamos alterando o arrasto e a sustentação. Isso se aplica em algumas situações 
de voo como no pouso por exemplo, na hora de fazer o flare, que é a perda de velocidade 
para tocar a pista. 
A terceira simulação, R1 = 0.05 , R2= 0.07, mostra que ao ganhar velocidade de subida, 
de 15 (ft/s) no instante t=10(s), o ângulo de pitch aumenta, mas o controlador estabiliza o 
ângulo e também a velocidade de subida w em 15 (ft/s). Logo após, há uma diminuição no 
ângulo de pitch no instante t=60(s), o que causa uma leve queda da velocidade de subida, 
mas ambos estabilizam. A velocidade w estabiliza em 15(ft/s) e o pitch estabiliza em -1(rad.). 
 
Figura 62 — Simulação de velocidade axial w e ângulo Teta. 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
Assim como na Figura 62, na Figura 63, com R1= 0.055, R2= 0.001, o ângulo de pitch 
aumenta ao se ganhar velocidade de subida em w aplicando um degrau de 10(ft/s) no instante 
t= 10(s), e depois estabiliza no ponto de operação. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 59 
 
 
 
 
Figura 63 — Simulação de velocidade axial w e ângulo Teta. 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
Mas, agora mostramos também o efeito da diminuição da velocidade de subida, caindo 
para zero, no instante t=100(s), uma variação de -5(ft/s) que causa a perturbação no ângulo 
de pitch. 
A próxima simulação mostra como a velocidade axial u varia com a velocidade de 
subida w. Para ganhar 10(ft/s) de velocidade u, a aeronave desce até perder -1(ft/s) de 
velocidade w no instante t=10(s) e depois o controlador tenta colocar novamente no ponto 
de operação, de zero, assim como a velocidade u alcança quase de 10(ft/s). A partir daí, há 
duas quedas de velocidade u, o que ocasiona aumento de velocidade em w, uma em t=200(s) 
e outra em t = 300(s), até estabilizar em 0(ft/s). 
Isso é normal acontecer no voo, quando os pilotos querem descer ou subir a aeronave, 
ou ganhar e perder velocidade utilizando esse recurso. R1= 1000, R2= 0.001. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 60 
 
 
 
 
 
Figura 64 — Simulação de velocidade axial u e velocidade axial w. 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
Na Figura 65 variamos o ângulo de pitch para um aumento de 0.08(rad), 
aproximadamente 10º no instante t=10(s). Depois variamos para um ângulo de declive em 
t=50(s). Queremos mostrar aqui a atuação da velocidade angular q para que haja as arfagens 
(pitch = ângulo de arfagem), com R1= 100000 ,R2= 1. 
 
Figura 65 — Simulação de velocidade angular q e ângulo Teta 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
4. Simulação dos Sistemas e Resultados 61 
 
 
 
 
Na Figura 66, mostramos curvas à direita e à esquerda. Primeiro, quando o ângulo φ 
alcança 0.26(rad), aproximadamente 30º, uma curva de 30º para direita no instante t=10(s). 
Depois a curva muda para esquerda, quando o ângulo é negativo com mesmo valor de 
0.26(rad), 30º, no instante t=10s. Na parte debaixo da Figura 66 a atuação da velocidade 
angular p no processo com R1=70000, R2=10000 . 
 
Figura 66 — Simulação de ângulo Phi e velocidade angular p. 
 
Fonte: Produção própria do autor. 
 
 
Na Figura 66 mostramos como a variação de curva à direita e à esquerda fazem o avião 
transladar para esquerda ou para direita, que é a velocidade axial r. Veja