Maynara_Donato_Souza

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Universidade Federal de Sergipe
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Graduação em Matemática
O Teorema de Radon-Nikodým e as
Decomposições de Hahn, Jordan e Lebesgue
Maynara Donato de Souza
São Cristóvão – SE
Janeiro de 2020
Universidade Federal de Sergipe
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Graduação em Matemática
O Teorema de Radon-Nikodým e as
Decomposições de Hahn, Jordan e Lebesgue
por
Maynara Donato de Souza
sob a orientação do
Prof. Dr. Wilberclay Gonçalves Melo
São Cristóvão – SE
Janeiro de 2020
O Teorema de Radon-Nikodým e as Decomposições
de Hahn, Jordan e Lebesgue
por
Maynara Donato de Souza
Monografia apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Sergipe
para obtenção do t́ıtulo de Licenciada em Matemática
Área de Concentração: Análise
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Wilberclay Gonçalves Melo
(Orientador)
Prof. Dr. Allyson Santos Oliveira
DMA- UFS
Profa. MSc. Taynara Batista de Souza
Examinadora Externa
Aos meus pais. Em especial, mi-
nha mãe, por motivos os quais
aqui não cabem.
Agradecimentos
Venho agradecer:
• A Deus. “Porque dele, e por ele, e para ele são todas as coisas [...]”(Romanos, 11:36);
• À minha famı́lia, em especial, aos meus pais por sempre terem acreditado em mim (mais que
eu inclusive) e dado o melhor de si para me ajudar a concretizar esse sonho;
• Aos professores Gerson e Wilberclay por ter sido meus orientadores. Gerson por ter me
apresentado à matemática e despertado o interesse em conhecê-la desde o segundo peŕıodo,
guiado meus passos e ter me ensinado que não existe ”pergunta besta”. Wil, por ter me
mostrado que eu conseguia entender um pouco a matemática por mais que eu achasse que
era muito dif́ıcil, por ter me mostrado que se pode ensinar matemática de maneira acesśıvel.
E, claro, ter sido mais que um orientador, ter sido um amigo;
• Aos professores Paulo Rabelo, Ivante Batista e Allyson Oliveira. Paulo por todo chá de
ânimo quando eu estava totalmente sem forças e desmotivada, principalmente na reta final.
Ivanete por ter me permitido correr para concluir o estágio, todos os lanches, balas, água
e, principalmente, remédios. Allyson pelo grupo de estudos que fechou muitas lacunas e
incentivo;
• Ao Vinicius, por estar ao meu lado em todos os momentos e ter aturado meus surtos, im-
paciência e até ausência, por toda palavra amiga, compreensão e amor;
• À minha DupRa , por ter segurado a barra sozinha enquanto estive no verão, por ter com-
partilhado a jornada comigo e me aturado mesmo quando nem eu me aturei;
• À minha madrinha Janáına por ter aberto sua casa, sua rotina, me apoiado no E.M. e durante
o curso;
• Aos meus amigos de Graduação: Filipe, Matuceli, Talita, Helen, Raquel, Gabriel, Nati, Lili
e outros que não me recordo agora, por ter tornado a jornada mais divertida e me mostrado
que em meio ao cansaço/desânimo podemos sim dá boas risadas.
• Às meninas da casinha: Mari, Amanda e Kim por, apesar de pouco tempo juntas, terem me
tornado mais “conviv́ıvel”e tornado as noites divertidas;
• Aos meus amigos do ônibus: Jai, Guga, Alê, Natan, Camila, Akila, Ralfe, Silas, Rê e Rodrigo
e outros que não me recordo agora, por dividir,durante 2,5 anos as viagens de ida e volta para
casa e torná-las menos cansativa. Por rirmos juntos da nossa luta e reclamarmos muito, por
cada apoio e torcida pelo sucesso um do outro;
• Aos meus veteranos: Iris, Luciana,Thiago e Thyago por ter compartilhado seus conhecimentos
quando eu precisei e servirem de inspiração para os próximos passos;
• Aos professores Lucas Valeriano, Adriano Veiga e Gastão Miranda, por cada dica, dúvida
sanada mesmo fora do horário ou não sendo professores da disciplina, por cada conversa
“jogada fora”e incentivo;
• À banca pela disponibilidade e a todos os professores que contibúıram para a minha formação
me dando exemplo de profissional que quero me tornar e inclusive, do que não quero me tornar.
• A todos os contribuiram direta ou indiretamente e não pude/tive como citar aqui.
Resumo
O presente trabalho foi desenvolvido com o objetivo principal de enunciar, compreender e de-
monstrar o famoso Teorema de Radon-Nikodým, além de estudar com mais precisão alguns Teore-
mas de Decomposições relevantes na teoria da Medida e Integração. Mais precisamente, começamos
nosso estudo estabelecendo, através da Decomposição de Hahn, como descrever Espaços Men-
suráveis utilizando os conceitos de conjuntos positivos e negativos. Em seguida, apresentamos a
Decomposição de Jordan, a qual disserta sobre decomposições de cargas em subtrações de certas
medidas finitas; por conseguinte, com estas teorias em mãos, demonstramos o Teorema de Radon-
Nikodým, que estabelece uma ligação estreita entre medidas e integrais. Por fim, aplicamos este
resultado na Decomposição de Lebesgue, a qual nos diz como escrever uma carga como uma soma
de certas medidas.
Palavras-chave: Decomposição de Hahn; Decomposição de Jordan; Decomposição de Lebesgue;
Teorema de Radon-Nikodým.
i
Sumário
Introdução 1
1 Decomposições de Hahn e Jordan 4
1.1 Decomposição de Hahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Decomposição de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Teorema de Radon-Nikodým 17
2.1 Teorema de Radon-Nikodým: Medidas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Teorema de Radon-Nikodým: Medidas σ-finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Decomposição de Lebesgue 31
3.1 Aplicação do Teorema de Radon-Nikodým . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A Medida e Integração 37
A.1 Definições Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.2 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Referências Bibliográficas 47
ii
Introdução
Este trabalho apresenta como principal meta a demonstração dos Teoremas das Decomposições
de Hahn, Jordan, Lebesgue e de Radon-Nikodým. Sendo assim, começaremos nosso prefácio esta-
belecendo uma breve história sobre cada um dos matemáticos homenageados neste texto.
Johann Karl August Radon (1887–1956) foi um matemático australiano, que desenvolveu tra-
balhos importantes em Análise, mais especificamente, na Teoria da Medida, através da chamada
Medida de Radon. Esta, segundo [5], está definida na σ-álgebra dos conjuntos de Borel de um
Espaço Topológico de Hausdorff. Além disso, este desenvolveu outros trabalhos na Geometria,
como o Teorema de Radon em conjuntos convexos, que trata sobre a divisão de um conjunto em
dois, através de uma interseção dos chamados Envelopes Convexos. Por fim, Radon estudou a hoje
denominada Transformada de Radon, a qual estabelece uma lei de transformação entre a integral
de uma função definida no plano e uma espećıfica aplicação definida no espaço. (Para mais detalhes
ver [14]).
Otton Marcin Nikodým (1887-1974) foi um professor e matemático polonês, que trabalhou em
diferentes áreas da Matemática, embora seja fundamentalmente conhecido por sua contribuição ao
desenvolvimento da Integral de Lebesgue. Além disso, este desenvolveu trabalhos que variam entre
as Álgebras Boleanas, a Matemática para as Teorias Quânticas e a Educação Matemática. (Para
mais detalhes ver [12]).
Henri Léon Lebesgue (1875-1941) foi um matemático francês, que desenvolveu trabalhos im-
portantes na Matemática, o principal deles carrega o seu próprio nome, a Integral de Lebesgue,
através do qual ele desenvolveu a teoria que conhecemos hoje por Teoria da Medida e Integração de
Lebesgue. Esta generalizou os resultados obtidos na teoria determinada na Integral de Riemann.
(Para mais detalhes ver [15]).
Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922) foi um matemático francês, que desenvolveu im-
1portantes trabalhos em Álgebra e Matemática em geral. Um dos seus principais trabalhos foi o
Teorema da Curva de Jordan, o qual é muito utilizado em Análise Complexa. (Para mais detalhes
ver [16]).
Hans Hahn (1879-1934) foi um matemático austŕıaco que estabeleceu muitas contribuições para
a Análise Funcional, Topologia, Teorias da Ordem e dos Conjuntos. Seu trabalho mais conhecido
é o Teorema de Hahn-Banach, o qual, segundo [4], permite que Funcionais Lineares, sob certas
condições, possam ser estendidos. (Para mais detalhes ver [17]).
A Teoria da Medida tem como principal foco estudar os subconjuntos das partes de um conjunto
qualquer dado. Segundo [9], esta surgiu através do estudo da Teoria de Conjuntos, mais especifica-
mente, de funções definidas em famı́lias de conjuntos. Com os avanços dos estudos em Análise, os
quais culminaram na Integral de Riemann e foram, em grande parte, substitúıdos pela teoria que se
desenvolveu após o trabalho pioneiro de Henri Lebesgue no ińıcio do século XX (ver [1]), podemos
obter resultados mais abrangentes como, por exemplo, a definição de Funções Lebesgue-integráveis,
a qual engloba uma classe de funções maior que as Rieman-integráveis.
Com isso, estamos interessados em compreender e estudar algumas propriedades de Espaços
Mensuráveis, incluindo a possibilidade de decompor medidas e cargas. Mais precisamente, este é
um trabalho puramente matemático cujo intuito principal é enunciar e demonstrar o Teorema de
Radon-Nikodým, além de trabalhar com mais especificidades algumas Decomposições na Teoria da
Medida e Integração de Lebesgue.
O Teorema de Radon-Nikodým foi demonstrado inicialmente por considerar um subespaço do
Rn em 1913 por Johann Radon, já o caso geral foi provado em 1930 por Otto Nikodým (ver [12]).
Este resultado trata da possibilidade de se resolver um dos problemas mais comuns em Matemática:
encontrar uma representação conveniente para funções. Na Teoria da Medida, Radon-Nikodým nos
garante que podemos exprimir uma medida através de duas medidas absolutamente cont́ınuas e
singulares. Além disso, esse teorema nos garante aplicações importantes em Matematática como,
por exemplo, o Teorema Fundamental do Cálculo para a Integral de Lebesgue.
É importante ressaltar que dividimos nosso trabalho em quatro caṕıtulos, cuja notação adotada
segue a nossa principal referência (ver [8]).
O primeiro caṕıtulo disserta sobre algumas decomposições espećıficas: Teoremas das Decom-
posições de Hahn e Jordan. Em adição, definimos conjuntos positivo, negativo e nulo, com respeito
a uma carga e demonstramos algumas propriedades elementares para estes cojuntos, os quais nos
2
serviram como ferramentas básicas e nos tornaram capazes para demonstrar o Teorema de Radon-
Nikodým.
No segundo caṕıtulo, enunciamos e demonstramos o Teorema de Radon-Nikodým (objetivos
centrais do nosso trabalho), o qual foi subdividido em duas situações: primeiramente, consideramos
as medidas finitas e, logo em seguida, generalizamos o resultado para medidas σ-finitas (a ideia
consiste em tornar a leitura menos exaustiva para o leitor). Além disso, definimos a derivada de
Radon-Nikodým de uma medida com respeito a outra.
Já o terceiro caṕıtulo apresenta uma aplicação do Teorema de Radon-Nikodým: o Teorema da
Decomposição de Lebesgue. Neste mesmo caṕıtulo, estabelecemos os conceitos de cargas absoluta-
mente cont́ınuas e singulares.
Por fim, é importante salientar que todas as definições e os resultados mais impor-
tantes para a leitura deste trabalho estão listados no Apêndice.
3
Caṕıtulo 1
Decomposições de Hahn e Jordan
Neste caṕıtulo, apresentaremos os principais conceitos e resultados que nos servirão para a de-
monstração do Teorema de Radon-Nikodým, bem como sua compreensão. Mais precisamente, o
tema abordado aqui será o estudo de decomposições de conjuntos mensuráveis e cargas: Decom-
posições de Hahn e Jordan.
1.1 Decomposição de Hahn
Começaremos esta seção com a definição de conjuntos mensuráveis positivos, negativos e nulos.
Definição 1.1.1. Sejam (X,ð) um espaço mensurável (ver Definição A.1.1) e λ : ð→ R uma carga
(ver Definição A.1.9). Dado E ∈ ð, dizemos que:
i) P ∈ ð é positivo, com respeito a λ, se λ(E ∩ P ) ≥ 0;
ii) N ∈ ð é dito negativo, com respeito a λ, se λ(E ∩N) ≤ 0;
iii) M ∈ ð é denominado nulo, com respeito a λ, sempre que λ(E ∩M) = 0,
Vejamos algumas propriedades elementares envolvendo conjuntos positivos.
Proposição 1.1.1. As seguintes afirmações são válidas:
i) Subconjuntos mensuráveis de conjuntos positivos também são positivos;
ii) Se (Pn)n∈N ⊆ ð é uma famı́lia de conjuntos positivos, então ∪n∈NPn ∈ ð também o é.
4
Demonstração. Considere P ∈ ð um conjunto positivo, com respeito a uma carga λ, e seja Q ∈ ð
tal que Q ⊆ P . Dáı, Q = Q ∩ P . Logo,
E ∩Q = (E ∩Q) ∩ P, ∀E ∈ ð.
Sendo assim,
λ(E ∩Q) = λ((E ∩Q) ∩ P ) = λ(B ∩ P ) ≥ 0,
com B = E ∩Q ∈ ð (pois P é positivo). Portanto, Q é um conjunto positivo, com respeito a λ.
Isto prova i).
Agora, considere que Q1 = P1 e Qn = Pn\
(
∪n−1j=1Pj
)
∈ ð, para todo n > 1 natural. É fácil
ver que esta sequência é disjunta. De fato, suponha que exista a ∈ Qn0 ∩ Qn1 e, sem perda de
generalidade, n0 < n1. Então,
a ∈ Pn1\
(
∪n1−1j=1 Pj
)
= Pn1\
((
∪n0j=1Pj
)
∪
(
∪n1−1j=n0+1Pj
))
,
ou seja, a /∈ Pn0 , o que contradiz a hipótese (já que a ∈ Qn0). Portanto, (Qn)n∈N é disjunta. Por
outro lado, é fácil ver que Qn ⊆ Pn, para todo n ∈ N. Além disso, ∪n∈NQn = ∪n∈NPn. Com efeito,
naturalmente temos que ∪n∈NQn ⊆ ∪n∈NPn. Reciprocamente, dado x ∈ ∪n∈NPn., então x ∈ Pn0 ,
para algum n0 ∈ N. Dáı,
• Se n0 = 1, então x ∈ P1 = Q1;
• Se n0 = 2 e x /∈ P1, então x ∈ P2\P1 = Q2;
• Supondo n0 = k e x /∈ ∪k−1j=1Pk, então x ∈ Pk\
(
∪k−1j=1Pj
)
= Qk.
Com isso, indutivamente, obtemos que x ∈ ∪n∈NQn.
Consequentemente, por i), como Pn é positivo, segue que Qn também o é, para todo n ∈ N.
Dáı, podemos escrever
λ (E ∩ (∪n∈NPn)) = λ (E ∩ (∪n∈NQn)) = λ (∪n∈N(E ∩Qn)) =
∑
n∈N
λ(E ∩Qn) ≥ 0,
para todo E ∈ ð . Com isso, ∪n∈NPn é positivo, com respeito a λ.
Isto verifica ii).
5
É importante ressaltar que, a Proposição 1.1.1 também é verdadeira para conjuntos negativos
e nulos (a prova é análoga à estabelecida acima).
Vejamos agora do que se trata uma decomposição de um espaço mensurável.
Teorema 1.1.1 (Teorema da Decomposição de Hahn). Sejam (X,ð) um espaço mensurável e
λ : ð → R uma carga. Então, existem P,N ∈ ð conjuntos positivo e negativo, com respeito a λ,
respectivamente, tais que
X = P ∪N e P ∩N = ∅.
Demonstração. Primeiramente, observe que ∅ é um conjunto positivo, com respeito a λ. Com
efeito,
λ(E ∩ ∅) = λ(∅) = 0 ≥ 0, ∀E ∈ ð.
Consequentemente, {λ(A);A é positivo, com respeito a λ} é não vazio. Sendo assim, defina
α = sup{λ(A);A é positivo, com respeito a λ}. (1.1)
Sabemos que existe uma sequência (An)n∈N ⊆ ð de conjuntos positivos, com respeito a λ, tal que
α = limn→∞ λ(An). Defina P = ∪n∈NAn e Bj = ∪jn=1An ∈ ð (j ∈ N). Dessa forma, provamos,
na Proposição 1.1.1, que P é um conjunto positivo e que (Bj)j∈N é uma sequência crescente de
conjuntos positivos, com respeito a λ. De fato,
Bj = ∪jn=1An ⊆ ∪
j+1
n=1An = Bj+1, ∀j ∈ N,
E mais,
∪j∈NBj = ∪j∈N ∪jn=1 An = ∪n∈NAn = P.
Por conseguinte, como Aj ⊆ Bj , para todo j ∈ N, e estes conjuntos são positivos, tem-se que
R 3 λ(P ) = λ (∪j∈NBj) = lim
j→∞
λ(Bj)
= lim
j→∞
[λ(Aj) + λ(Bj \Aj)]
≥ lim
j→∞
λ(Aj) = α ≥ λ(P ), (1.2)
pois P é positivo, com relação a λ (ver Lema A.2.5), e Bj \ Aj ⊆ Bj é positivo, para todo j ∈ N
(assim, λ(Bj \Aj) ≥ 0). Logo, segue que λ(P ) = α.
Agora provaremos que N = C(P ) := X \ P ∈ ð é negativo, com respeito a λ. Suponha, por
absurdo, que N não é negativo. Assim, existe E ∈ ð tal que λ(E ∩N) > 0.
6
szana
Realce
Seja EN = E ∩N ∈ ð. Dáı, EN ⊆ N é tal que λ(EN ) > 0. Note que se EN fosseum conjuno
positivo, com respeito a λ, então P ∪ EN também seria, pois é uma união de conjuntos positivos
(ver Proposição 1.1.1). Mas, é verdade que
λ(P ∪ EN ) = λ(P ) + λ(EN ) > λ(P ) + 0 = λ(P ) = α,
já que P ∩ EN = ∅. Por isso, α < λ(P ∪ EN ), com P ∪ EN positivo (ver Proposição 1.1.1), com
respeito a λ. Isto contradiz a definição de supremo (ver 1.1).
Então, EN não é um conjunto positivo, com respeito a λ. Assim, existe E
′ ∈ ð tal que
λ(E′ ∩ EN ) < 0. Consequentemente, para E1 := E′ ∩ EN ∈ ð, segue que λ(E1) < 0 e E1 ⊆ EN .
Dessa forma, EN contém um conjunto com carga negativa. Sendo assim, existe n1 ∈ N tal que
λ(E1) ≤ −
1
n1
(use o fato que limn→∞
1
n = 0). Escolha o menor natural n1 tal que EN contenha
um conjunto com carga menor ou igual a − 1n1 (aplique o Prinćıpio da Boa Ordenação). Como λ é
uma aplicação real, temos que
λ(EN \ E1) = λ(EN )− λ(E1) > λ(EN ) > 0. (1.3)
Recomeçando o processo, agora com EN\E1 substituindo EN , temos que
1. EN\E1 não é um conjunto positivo, com respeito a λ;
2. EN\E1 contém um conjunto E2 ∈ ð tal que λ(E2) < 0;
3. Existe n2 ∈ N tal que λ(E2) ≤ −
1
n2
, com n2 o menor natural tal que EN\E1 contém um
conjunto com carga menor ou igual a − 1
n2
.
Com efeito, se EN \ E1 fosse um conjunto positivo, com respeito a λ, então teŕıamos, por (1.3) e
(1.2), que P1 = P ∪ (EN \ E1) ∈ ð seria positivo (ver Proposição 1.1.1) e
λ(P1) = λ(P ∪ (EN \ E1)) = λ(P ) + λ(EN \ E1) > λ(P ) + 0 = λ(P ) = α,
já que P ∩ (EN \E1) = ∅. Assim, chegaŕıamos a λ(P1) > α, o que contradiz a definição de supremo
(ver (1.1)).
Dessa forma, existe E′′ ∈ ð tal que λ(E′′ ∩ (EN\E1)) < 0. Seja E2 = E′′ ∩ (EN\E1) ∈ ð. Dáı,
E2 ⊆ EN\E1 e λ(E2) < 0. Neste caso, podemos encontrar n2 ∈ N tal que λ(E2) ≤ −
1
n2
, com
n2 ∈ N sendo o menor posśıvel.
7
szana
Realce
Como λ é uma função real, temos que
λ(EN\(E1 ∪ E2)) = λ(EN\E1)− λ(E2) > λ(EN\E1) > 0.
Recomeçando o processo com EN\(E1 ∪ E2) substituindo EN\E1, temos que
1. EN\(E1 ∪ E2) não é um conjunto positivo, com respeito a λ;
2. EN\(E1 ∪ E2) contém um conjunto E3 ∈ ð tal que λ(E3) < 0;
3. Existe n3 ∈ N tal que λ(E3) ≤ −
1
n3
, com n3 o menor posśıvel satisfazendo estes três itens.
A demonstração dos itens acima é análoga ao que fizemos anteriormente.
Recursivamente, obtemos uma sequência (Ek)k∈N ⊆ ð disjunta tal que
1. E1 ⊆ EN e Ek ⊆ EN\ ∪k−1j=1 Ej , para todo k > 1 natural;
2. λ(Ek) ≤ −
1
nk
, com nk o menor natural posśıvel tal que Ek ⊆ EN\ ∪k−1j=1 Ej contém um
subconjunto com carga menor ou igual a − 1
nk
, para todo k ∈ N.
Deste modo, seja F = ∪k∈NEk ∈ ð. Dáı, podemos obter
λ(F ) = λ (∪k∈NEk) =
∑
k∈N
λ(Ek) ≤ −
∑
k∈N
1
nk
≤ 0.
Portanto, como λ é uma aplicação real, conclúımos que
∑
k∈N
1
nk
é convergente e λ(F ) ≤ 0. Con-
sequentemente, limk→∞
1
nk
= 0 e λ(F ) ≤ 0.
Agora suponha, por absurdo, que existe G ∈ ð tal que G ⊆ EN \ F e λ(G) < 0. Como
limk→∞
1
nk
= 0, então existe nk0 ∈ N tal que
1
nk0 − 1
< −λ(G) . Ou seja, λ(G) < − 1
nk0 − 1
. Isto
nos diz que EN\ ∪k0−1j=1 Ej contém um conjunto G com carga menor ou igual a −
1
nk0 − 1
. Mas,
nk0 − 1 < nk0 . Isto contradiz a minimalidade de nk0 . Por conseguinte, obtém-se
λ(G) ≥ 0, ∀G ⊆ EN\F e G ∈ ð.
Dessa forma,
λ(H ∩ (EN\F )) ≥ 0, ∀H ∈ ð,
8
já que H ∩ (EN\F ) ⊆ EN\F. Portanto, EN\F é positivo, com respeito a λ. Como λ é uma carga;
então,
λ(EN\F ) = λ(EN )− λ(F ) ≥ λ(EN ) > 0.
Com isso, λ(EN\F ) > 0. Mas, P ∪ (EN\F ) é positivo (ver Proposição 1.1.1), com respeito a λ.
Além disso,
λ(P ∪ (EN\F )) = λ(P ) + λ(EN\F ) > λ(P ) = α,
já que P ∩ (EN\F ) = ∅. Isto é uma contradição. Por fim, N é negativo, com respeito a λ.
Sendo assim, X = P ∪ N e P ∩ N = ∅, pois N = C(P ), com P positivo e N negativo, com
respeito a λ.
Vejamos, agora o que significa um conjunto ser decompońıvel a Hahn.
Definição 1.1.2. Sejam (X,ð) um espaço mensurável e λ : ð → R uma carga. Dizemos que
(P |N), com P e N conjuntos positivo e negativo, respectivamente, é uma decomposição de Hahn
para X se
i) X = P ∪N ;
ii) P ∩N = ∅.
O Teorema de Hahn 1.1.1 garante que existem decomposições de Hahn. É também verdade que
um conjunto mensurável pode ser decomposto de diferentes maneiras a Hahn, é o que nos mostra
a proposição que segue.
Proposição 1.1.2. Sejam (X,ð) um espaço mensurável e λ : ð→ R uma carga. A decomposição
de Hahn para X não é única.
Demonstração. Seja (P |N) uma decomposição de Hahn para X. Então, X = P ∪ N e P ∩ N =
∅, com P positivo e N negativo, com respeito a λ. Afirmamos que ((P ∪ M)|(N\M)) é outra
decomposição de Hahn para X, onde M é um conjunto nulo, com respeito a λ. De fato,
(P ∪M) ∪ (N\M) =(P ∪M) ∪ (N ∩ C(M))
=(P ∪M ∪N) ∩ ((P ∪M) ∪ C(M))
=(X ∪M) ∩ (P ∪X)
=X.
9
Vejamos, agora que os conjuntos (P ∪M) e (N\M) são disjuntos. Com efeito,
(P ∪M) ∩ (N\M) =(P ∪M) ∩ (N ∩ C(M))
=(P ∩N ∩ C(M)) ∪ (M ∩N ∩ C(M))
=((P ∩N) ∩ C(M)) ∪ ((M ∩ C(M)) ∩N)
=(∅ ∩ C(M)) ∪ (∅ ∩N)
=∅.
Como M é um conjunto nulo, então λ(E ∩M) = 0 ≥ 0, para todo E ⊆ ð; isto é, M é positivo, com
respeito a λ. Consequentemente, P ∪M é positivo (ver Proposição 1.1.1), com respeito a λ.
Por outro lado, é verdade que
λ(E ∩ (N \M)) = λ(E ∩N ∩ C(M)) = λ(H ∩N) ≤ 0, ∀E ∈ ð,
onde H = E∩C(M) ∈ ð; já que, N é negativo, com respeito a λ. Isto nos diz que N \M é negativo,
com respeito a λ.
Logo, ((P ∪M)|(N\M)) é uma decomposição de Hahn para X, donde segue o resultado, com
M nas condições anteriores.
Analogamente ao que foi feito na prova da Proposição 1.1.2, prova-se que ((P \M)|(N ∪M))
é uma decomposição de Hahn para X, se (P |N) o é.
A seguir, apresentaremos o enunciado e a prova do Teorema da Decomposição de Jordan.
1.2 Decomposição de Jordan
Começaremos esta seção mostrando como uma carga se comporta em relação a diferentes de-
composições de Hahn para um espaço mensurável X.
Lema 1.2.1. Sejam (X,ð) um espaço mensurável, λ : ð → R uma carga e (P1|N1) e (P2|N2)
decomposições de Hahn para X. Então,
λ(E ∩ P1) = λ(E ∩ P2) e λ(E ∩N1) = λ(E ∩N2), ∀E ∈ ð.
Demonstração. Sendo (P2|N2) uma decomposição de Hahn, então X = P2∪N2 e P2∩N2 = ∅, com
10
P2 positivo e N2 negativo, com respeito a λ. Assim sendo, temos que
(P1\P2) =P1 ∩ C(P2) = P1 ∩N2 ⊆ P1, N2.
Como P1 é positivo, com respeito a λ (pois (P1|N1) é uma decomposição de Hahn para X), e pela
Proposição 1.1.1, conclúımos que P1\P2 ⊆ P1 também o é. Analogamente, por N2 ser negativo,
então P1\P2 ⊆ N2 também o é.
Consequentemente, 0 ≤ λ(E ∩ (P1\P2)) ≤ 0, para todo E ∈ ð. Com isso, λ(E ∩ (P1\P2)) = 0,
para todo E ∈ ð. Portanto,
λ(E ∩ P1) =λ((E ∩ P1) ∩X)
=λ((E ∩ P1) ∩ (P2 ∪ C(P2)))
=λ((E ∩ P1 ∩ P2) ∪ (E ∩ P1 ∩ C(P2)))
=λ(E ∩ P1 ∩ P2) + λ(E ∩ (P1 \ P2))
=λ(E ∩ P1 ∩ P2),
fornecido que (E ∩ P1 ∩ P2) ∩ (E ∩ P1 ∩ C(P2)) = ∅. Analogamente, prova-se que λ(E ∩ P2) =
λ(E ∩ P1 ∩ P2), para todo E ∈ ð. Dáı, λ(E ∩ P1) = λ(E ∩ P2) para todo E ∈ ð.
Da mesma forma, prova-se que λ(E ∩N1) = λ(E ∩N2), para todo E ∈ ð.
Assim como os conjuntos mensuráveis, as cargas também podem ser decompostas. Estas de-
composições são denominadas variações, cujas definições veremos a seguir.
Definição 1.2.1. Sejam (X,ð) um espaço mensurável, λ : ð→ R uma carga e (P |N) uma decom-
posição de Hahn para X. As aplicações λ+, λ−, |λ| : ð→ R dadas por
λ+(E) = λ(E ∩ P ), λ−(E) = −λ(E ∩N) e |λ|(E) = λ+(E) + λ−(E), ∀E ∈ ð,
são chamadas variações positiva, negativa e total de λ, respectivamente.
Vejamos algumas observações sobre as variações de uma carga.
Observação 1.2.1. Dada uma carga λ : ð → R suas variações λ+ e λ− estão bem definidas. De
11
fato, se (P1|N1) é outra decomposição de Hahn para X, então, pelo Lema 1.1.1, temos que
λ(E ∩ P ) = λ(E ∩ P1) e λ(E ∩N) = λ(E ∩N1), ∀E ∈ ð.
Dáı, λ+ e λ− estão bem definidas.
Observação 1.2.2. Dada uma carga λ : ð→ R, tem-se que
λ(E) = λ+(E)− λ−(E), ∀E ∈ ð.
Com efeito,
λ(E) = λ(E ∩X) = λ(E ∩ (P ∪N)) = λ[(E ∩ P )∪ (E ∩N)]
= λ(E ∩ P ) + λ(E ∩N) = λ+(E)− λ−(E),
para todo E ∈ ð, desde que X = P ∪N e P ∩N = ∅.
Podemos visualizar as variações de uma carga de uma outra maneira. É o que mostra a pro-
posição a seguir.
Proposição 1.2.1. Seja (X,ð) um espaço mensurável, λ : ð → R uma carga, e (P |N) uma
decomposição de Hahn para X. As variações positiva e negativa de λ, λ+ e λ− são medidas (ver
Definição A.1.5).
Demonstração. Faremos a demonstração apenas para a variação positiva de λ, a prova para a
variação negativa é feita de maneira análoga. Sendo assim, note que
i) λ+(E) = λ(E ∩ P ) ≥ 0, pois P é positivo, com respeito a λ;
ii) λ+(∅) = λ(∅ ∩ P ) = λ(∅) = 0, já que λ é uma carga;
iii) λ+(∪n∈NEn) = λ((∪n∈NEn) ∩ P ) = λ(∪n∈N(En ∩ P )) =
∑
n∈N
λ(En ∩ P ) =
∑
n∈N
λ+(En), se
(En)n∈N é disjunta.
Isto nos mostra que λ+ é uma medida.
Observação 1.2.3. Segue da Proposição 1.2.1 que |λ| = λ+ + λ− é uma medida (como soma de
medidas).
12
Mostraremos, a seguir, como decompor uma carga em medidas finitas através de uma decom-
posição de Hahn para um espaço mensurável.
Teorema 1.2.1 (Teorema da Decomposição de Jordan). Sejam (X,ð) um espaço mensurável e
λ : ð → R uma carga. Se λ = µ − γ, com µ, γ : ð → R medidas finitas (ver Definição A.1.10),
então
µ(E) ≥ λ+(E) e γ(E) ≥ λ−(E), ∀E ∈ ð.
Demonstração. Seja (P |N) uma decomposição de Hahn para X. Primeiramente, é fácil ver que
λ+(E) = λ(E ∩ P ) = µ(E ∩ P )− γ(E ∩ P ) ≤ µ(E ∩ P ) ≤ µ(E),
para todo E ∈ ð, desde que µ, γ são medidas e E ∩ P ⊆ E. Além disso,
λ−(E) = −λ(E ∩N) = −µ(E ∩N) + γ(E ∩N) ≤ γ(E ∩N) ≤ γ(E),
para todo E ∈ ð, pois µ, λ são medidas e E ∩N ⊆ E.
Vejamos gora o que significa uma carga ser decompońıvel a Jordan.
Definição 1.2.2. Sejam (X,ð) um espaço mensurável e λ : ð→ R uma carga. Dizemos que (µ|γ),
com µ, γ : ð→ R medidas finitas, é uma decomposição de Jordan para λ se
λ(E) = µ(E)− γ(E), ∀E ∈ ð.
Observe que se escolhermos µ = λ+ e γ = λ−, na definição acima, temos que (λ+|λ−) é uma
decomposição de Jordan para λ (ver Proposição 1.2.1 e Observação 1.2.2).
Vimos no Teorema 1.2.1 que toda decomposição de Jordan (µ|γ) para a carga λ deve satisfazer
os seguintes itens:
i) µ(E) ≥ λ+(E);
ii) γ(E) ≥ λ−(E),
para todo E ∈ ð.
Veremos agora, um exemplo de variações postiva, negativa e total.
13
szana
Realce
Proposição 1.2.2. Sejam (X,ð, µ) um espaço de medida (ver Definição A.1.5) e f ∈ L (ver
Definição A.1.14). Defina λ : ð→ R por
λ(E) =
∫
E
fdµ, ∀E ∈ ð.
Então λ+, λ−, |λ| : ð→ R são dadas por
λ+(E) =
∫
E
f+dµ, λ
−(E) =
∫
E
f−dµ e |λ|(E) =
∫
E
|f |dµ, ∀E ∈ ð.
Aqui f+ e f− são as partes positiva e negativa de f (ver Definição A.1.3), respectivamente.
Demonstração. O Exemplo A.2.1 nos diz que λ é uma carga. Agora, considere P = {x ∈ X; f(x) ≥
0} e N = {x ∈ X; f(x) < 0}. Como f é mensurável (ver Definição A.1.2), então P e N ∈ ð.
Vamos mostrar que (P |N) é uma decomposição de Hahn para X. Com efeito, assuma que
x ∈ X, então f(x) ≥ 0 ou f(x) < 0. Isto é, x ∈ P ∪ N . Portanto, X = P ∪ N. Além disso,
P ∩ N = ∅. Caso contrário, existiria x0 ∈ X tal que f(x0) ≥ 0 e f(x0) < 0, o que contrariaria a
tricotomia de R. Por fim, pelas definições de P e N , chegamos a
λ(E ∩ P ) =
∫
E∩P
fdµ ≥ 0, ∀E ∈ ð,
e também
λ(E ∩N) =
∫
E∩N
fdµ ≤ 0, ∀E ∈ ð.
Dessa forma, P e N são positivo e negativo, respectivamente. Logo, (P |N) é uma decomposição
de Hahn para X. Sendo assim,
λ+(E) = λ(E ∩ P ) =
∫
E∩P
fdµ =
∫
fχE∩Pdµ =
∫
fχEχPdµ =
∫
E
fχPdµ =
∫
E
f+dµ, ∀E ∈ ð.
Além disso,
λ−(E) = −λ(E∩N) = −
∫
E∩N
fdµ = −
∫
fχE∩Ndµ = −
∫
fχEχNdµ = −
∫
E
fχNdµ =
∫
E
f−dµ,
para todo E ∈ ð. Por fim,
|λ|(E) =λ+(E) + λ−(E) =
∫
E
f+dµ+
∫
E
f−dµ =
∫
E
(f+ + f−)dµ =
∫
E
|f |dµ,
para todo E ∈ ð.
14
szana
Realce
Abaixo estabelecemos a definição de quando uma carga é absolutamente cont́ınua com respeito
a outra.
Definição 1.2.3. Sejam (X,ð) um espaço mensurável e λ, µ : ð → R cargas. Dizemos que λ é
absolutamente cont́ınua com respeito a µ se |λ| é absolutamente cont́ınua com respeito a |µ|; isto
é,
|µ|(E) = 0⇒ |λ|(E) = 0.
O lema a seguir nos fornece uma outra maneira de definir continuidade absoluta.
Lema 1.2.2. Sejam (X,ð) um espaço mensurável, λ e µ medidas finitas sobre ð. Então, λ é
absolutamente cont́ınua com respeito a µ ⇔ dado � > 0, existe δ > 0 tal que µ(E) < δ ⇒ λ(E) < �.
Demonstração. Assuma que existe um � > 0 tal que para qualquer que seja δ > 0, pode-se encontrar
Eδ ∈ ð com µ(Eδ) < δ e λ(Eδ) ≥ �. Em particular, escolha δ = 1, 12 ,
1
4 , ...,
1
2n , ..., com n ∈ N, para
encontrar (En)n∈N ⊆ ð com µ(En) <
1
2n
e λ(En) ≥ �.
Defina os seguintes conjuntos:
Fn = ∪∞m=nEm ∈ ð, ∀n ∈ N.
Observe que (Fn)n∈N é decrescente. De fato,
Fn+1 = ∪∞m=n+1Em ⊆ ∪∞m=nEm = Fn, ∀n ∈ N.
Consequentemente, podemos escrever
µ(Fn) = µ(∪∞m=nEm) ≤
∞∑
m=n
µ(Em) <
∞∑
m=n
1
2m
=
1
2n
1− 1
2
=
1
2n−1
. (1.4)
Por outro lado, também temos que
λ(Fn) = λ(∪∞m=nEm) ≥ λ(En) ≥ �, ∀n ∈ N, (1.5)
já que En ⊆ ∪∞m=nEm, para todo n ∈ N. Considerando E = ∩n∈NFn ∈ ð, por (1.4), chegamos a
µ(E) = µ(∩n∈NFn) = limµ(Fn) = 0,
15
pois µ é uma medida finita (ver Lema A.2.5). Mas, por (1.5), é verdade que
λ(E) = λ(∩n∈NFn) = limλ(Fn) ≥ � > 0,
já que λ é uma medida finita (ver Lema A.2.5). Portanto, λ não é absolutamente cont́ınua com
respeito a µ.
Reciprocamente, dado � > 0, por hipótese, existe δ > 0 tal que µ(E) < δ ⇒ λ(E) < �. Sendo
assim, se µ(E) = 0, então µ(E) = 0 < δ. Com isso, 0 ≤ λ(E) < �. Como � é arbitrário, então
passando ao limite, quando �→ 0, temos que λ(E) = 0. Portanto, λ é absolutamente cont́ınua com
respeito a µ.
A seguir, apresentaremos o enunciado e a prova do Teorema de Radon-Nikodým.
16
Caṕıtulo 2
Teorema de Radon-Nikodým
Neste caṕıtulo, apresentaremos o principal Teorema do Trabalho. Frisamos que este será di-
vidido em duas versões no que diz respeito à finitude da medida, com o intuito de tornar sua
demonstração mais compreenśıvel. Além disso, ressaltamos que utilizaremos todas as definições e
os resultados obtidos no caṕıtulo anterior.
2.1 Teorema de Radon-Nikodým: Medidas Finitas
Nesta seção, abordaremos a primeira versão do Teorema de Radon-Nikodým. Esta versão nos
conduz ao resultado que relaciona medidas finitas.
Lema 2.1.1 (Teorema de Radon-Nikodým para Medidas Finitas). Sejam (X,ð) um espaço men-
surável, λ e µ medidas finitas sobre ð. Se λ é absolutamente cont́ınua com respeito a µ, então
existe f ∈M+ (ver Definição A.1.8) tal que
λ(E) =
∫
E
fdµ, ∀E ∈ ð.
Além disso, f é unicamente determinada em µ quase toda parte de X (ver Definição A.1.7).
Demonstração. Seja c > 0. Como λ e µ são medidas, tem-se que λ−cµ é uma carga. Pelo Teorema
da Decomposição de Hahn 1.1.1, temos que existe (Pc|Nc) decomposição de Hahn para X, com
respeito a λ− cµ (para cada c > 0).
Agora, defina A1 = Nc e Ak+1 = N(k+1)c\(∪kj=1Aj), para todo k ∈ N. Note que (Ak)k∈N ⊆ ð é
17
uma sequência (disjunta por definição) que satisfaz
∪kj=1Njc = ∪kj=1Aj , ∀k ∈ N. (2.1)
De fato, comecemos com a prova da inclusão ∪kj=1Njc ⊆ ∪kj=1Aj . Sendo assim, dado x ∈
∪kj=1Njc tem-se que x ∈ Nj0c, para algum j0 = 1, ..., k.Dáı, se j0 = 1, então, x ∈ Nc = A1 ⊆ ∪kj=1Aj .
Se j0 = 2 e x /∈ A1, então x ∈ N2c e x /∈ A1. Ou seja, x ∈ A2 ⊆ ∪kj=1Aj . Recursivamente, supondo
j0 = k > 1 e x /∈ ∪k−1j=1Aj , temos que x ∈ Nkc\(∪
k−1
j=1Aj) = Ak ⊆ ∪kj=1Aj .
Agora vamos verificar que ∪kj=1Aj ⊆ ∪kj=1Njc. Com efeito, se x ∈ ∪kj=1Aj , então x ∈ Ap0 , para
algum p0 = 1, ..., k. Dáı, x ∈ Nc (= A1, caso p0 = 1) ou x ∈ Np0c\(∪
p0−1
j=1 Aj) (caso p0 > 1). Isto é,
x ∈ Nc ou x ∈ Np0c. Logo, x ∈ ∪kj=1Njc.
Consequentemente, podemos escrever
Ak =Nkc\(∪k−1j=1Aj) = Nkc\(∪
k−1
j=1Njc) = Nkc ∩ C(∪
k−1
j=1Njc)
=Nkc ∩ (∩k−1j=1CNjc) = Nkc ∩ (∩
k−1
j=1Pjc),
para todo k > 1 natural, pois (Pjc|Njc) é uma decomposição de Hahn para X, para todo j ∈ N.
Dessa forma, se E ∈ ð é tal que E ⊆ Ak,então
E ⊆ Ak = Nkc ∩ (∩k−1j=1Pjc) ⊆ Nkc, P(k−1)c,
para todo k > 1 natural. Com isso, E ⊆ Nkc e E ⊆ P(k−1)c, para todo k > 1 natural. Por isso,
0 ≥ (λ− (kc)µ)(E ∩Nkc) = (λ− (kc)µ)(E) = λ(E)− (kc)µ(E),
já que Nkc é negativo, com respeito a λ− (kc)µ. Por conseguinte, chegamos a
λ(E) ≤ (kc)µ(E).
Analogamente, temos que
0 ≤ (λ− (k − 1)cµ)(E ∩ P(k−1)c) = (λ− (k − 1)cµ)(E) = λ(E)− (k − 1)cµ(E),
porque P(k−1)c é positivo, com respeito a λ− (k − 1)cµ. Logo,
(k − 1)cµ(E) ≤ λ(E).
18
Deste modo, é verdade que
(k − 1)cµ(E) ≤ λ(E) ≤ (kc)µ(E), ∀E ⊆ Ak, k > 1. (2.2)
Agora defina B = C(∪j∈NAj) ∈ ð. Dáı, por (2.1), encontramos
B = C(∪j∈NAj) = C(∪j∈N(∪jm=1Am)) = C(∪j∈N(∪
j
m=1Nmc))
= C(∪j∈NNjc) = ∩j∈NCNjc = ∩j∈NPjc,
pois (Pjc|Njc) é uma decomposição de Hahn para X, para todo j ∈ N. Assim, B = ∩j∈NPjc ⊆ Pkc,
para todo k ∈ N. Deste modo, chegamos a
0 ≤ (λ− (kc)µ)(B ∩ Pkc) = (λ− (kc)µ)(B) = λ(B)− (kc)µ(B),
já que Pkc é positivo, com respeito a λ− (kc)µ. Isto nos diz que
λ(B) ≥ (kc)µ(B).
Como resultado, conclúımos que
0 ≤ (kc)µ(B) ≤ λ(B) <∞, ∀k ∈ N,
pois λ é uma medida finita. Ou equivalentemente,
0 ≤ µ(B) ≤ 1
kc
λ(B) <∞, ∀k ∈ N.
Passando ao limite, quando k →∞, chegamos a µ(B) = 0. Como λ é absolutamente cont́ınua com
respeito a µ, conclúımos que λ(B) = 0.
Por outro lado, defina
fc(x) =
{
(k − 1)c, se x ∈ Ak;
0, se x /∈ Ak.
(2.3)
Logo, fc =
∑
k∈N[(k − 1)c]χAk é mensurável.
Agora seja F ∈ ð, então
F =F ∩X = F ∩ [(∪k∈NAk) ∪ C(∪k∈NAk)] = F ∩ [(∪k∈NAk) ∪B] = ∪k∈N [(F ∩Ak) ∪ (F ∩B)] .
(2.4)
19
É importante observar que
(F ∩Ak) ∩ (F ∩B) = F ∩Ak ∩ C(∪k∈NAk) ⊆ F ∩ (∪k∈NAk) ∩ C(∪k∈NAk) = ∅. (2.5)
Dáı, (F ∩Ak) e (F ∩B) são disjuntos para todo k ∈ N. Por conseguinte, também aplicando (2.2),
(2.3), (2.4) e (2.5), chegamos a∫
F
fcdµ =
∫
∪k∈N[(F∩Ak)∪(F∩B)]
fcdµ ≤
∑
k∈N
∫
(F∩Ak)∪(F∩B)
fcdµ
=
∑
k∈N
(∫
(F∩Ak)
fcdµ+
∫
(F∩B)
fcdµ
)
=
∑
k∈N
(k − 1)c
∫
F∩Ak
dµ
=
∑
k∈N
(k − 1)cµ(F ∩Ak) ≤
∑
k∈N
λ(F ∩Ak) = λ (∪n∈N(F ∩Ak)) , (2.6)
desde que F ∩Ak ⊆ Ak, F (ver Exemplo A.2.1).
Analogamente, por (2.2), (2.3), (2.4) e (2.5), prova-se que∫
F
(fc + c)dµ =
∫
∪k∈N[(F∩Ak)∪(F∩B)]
(fc + c)dµ =
∫
[∪k∈N(F∩Ak)]∪(F∩B)
(fc + c)dµ
=
∫
∪k∈N(F∩Ak)
(fc + c)dµ+
∫
(F∩B)
(fc + c)dµ
=
∑
k∈N
∫
(F∩Ak)
(fc + c)dµ+
∫
(F∩B)
(fc + c)dµ
=
∑
k∈N
kcµ(F ∩Ak) + cµ(F ∩B) ≥
∑
k∈N
λ(F ∩Ak)
=λ(∪k∈N(F ∩Ak)), (2.7)
pois µ ≥ 0 e (Ak)k∈N é disjunta. Mas, 0 ≤ λ(F ∩ B) ≤ λ(B) = 0. Dáı, λ(F ∩ B) = 0. Com isso,
por (2.4) e (2.5), chegamos a
λ(∪k∈N(F ∩Ak)) = λ(∪k∈N(F ∩Ak)) + λ(F ∩B) = λ(∪k∈N[F ∩Ak) ∪ (F ∩B)]) = λ(F ), (2.8)
para todo F ∈ ð. Além disso,∫
F
(fc + c)dµ =
∫
F
fcdµ+ c
∫
F
dµ =
∫
F
fcdµ+ cµ(F ) ≤
∫
F
fcdµ+ cµ(X), ∀F ∈ ð. (2.9)
Dáı, usando (2.6), (2.7), (2.8) e (2.9), podemos escrever∫
F
fcdµ ≤ λ(F ) ≤
∫
F
(fc + c)dµ ≤
∫
F
fcdµ+ cµ(X), ∀F ∈ ð. (2.10)
20
Escolhendo c =
1
2n
, com n ∈ N, tem-se por (2.10), que
∫
F
fndµ ≤ λ(F ) ≤
∫
F
fndµ+
1
2n
µ(X), ∀F ∈ ð. (2.11)
Usando o fato que λ(F ) não depende de c em (2.10), também podemos escrever∫
F
fndµ ≤ λ(F ) ≤
∫
F
fmdµ+
1
2m
µ(X)
e também, ∫
F
fmdµ ≤ λ(F ) ≤
∫
F
fndµ+
1
2n
µ(X),
para todo m,n ∈ N. Suponha, sem perda de generalidade, que m ≤ n. Então,∫
F
fndµ−
∫
F
fmdµ ≤
1
2m
µ(X)
e, da mesma forma, ∫
F
fmdµ−
∫
F
fndµ ≤
1
2n
µ(X) ≤ 1
2m
µ(X).
Logo, podemos escrever ∣∣∣∣∫
F
(fn − fm)dµ
∣∣∣∣ ≤ 12mµ(X), ∀m ≤ n, F ∈ ð.
Consequentemente, como {x ∈ X; fn(x)−fm(x) ≥ 0} e {x ∈ X; fn(x)−fm(x) < 0} são mensuráveis
e disjuntos, segue que∫
|fn − fm|dµ =
∫
{x∈X;fn(x)−fm(x)≥0}∪{x∈X;fn(x)−fm(x)<0}
|fn − fm|dµ
=
∫
{x∈X;fn(x)−fm(x)≥0}
|fn − fm|dµ+
∫
{x∈X;fn(x)−fm(x)<0}
|fn − fm|dµ
=
∫
{x∈X;fn(x)−fm(x)≥0}
(fn − fm)dµ+
∫
{x∈X;fn(x)−fm(x)<0}
(fm − fn)dµ
=
∣∣∣∣∣
∫
{x∈X;fn(x)−fm(x)≥0}
(fn − fm)dµ
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
∫
{x∈X;fn(x)−fm(x)<0}
(fm − fn)dµ
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
∫
{x∈X;fn(x)−fm(x)≥0}
(fn − fm)dµ
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
∫
{x∈X;fn(x)−fm(x)<0}
(fn − fm)dµ
∣∣∣∣∣
≤ 1
2m
µ(X) +
1
2m
µ(X) =
1
2m−1
µ(X),
sempre que m ≤ n. Passando ao limite, quando m→∞, chegamos a limn,m→∞
∫
|fn − fm|dµ = 0,
isto é, limn,m→∞ ‖fn − fm‖1 = 0. Consequentemente, (fn)n∈N ⊆ L1 (ver Definição A.1.15) é de
21
Cauchy. Como L1 é completo (ver Teorema A.2.4), então, existe f ∈ L1 tal que limn,m→∞ ‖fn −
f‖1 = 0. Isto nos diz que fn → f em L1. Dáı, passando a uma subsequência, se necessário, fn → f
em quase toda parte de X (ver Teorema A.2.5). Como fn ≥ 0, para todo n ∈ N, então f ≥ 0 em
quase toda parte de X. Dessa forma, podemos redefinir f de forma que f ∈M+.
Por outro lado, é verdade que∣∣∣∣∫
F
fndµ−
∫
F
fdµ
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫
F
(fn − f)dµ
∣∣∣∣ ≤ ∫
F
|fn − f |dµ ≤
∫
|fn − f |dµ = ‖fn − f‖1 → 0,
para todo F ∈ ð. Assim sendo, ∫
F
fndµ→
∫
F
fdµ, ∀F ∈ ð.
Passando ao limite em (2.11), quando n→∞, chegamos a
λ(F ) =
∫
F
fdµ, ∀F ∈ ð.
Conforme gostaŕıamos de provar.
Por fim, vamos mostrar que f é unicamente determinada em µ quase toda parte de X.
Suponha que h ∈M+ e
λ(F ) =
∫
F
hdµ, ∀F ∈ ð.
Logo, obtemos ∫
F
fdµ = λ(F ) =
∫
F
hdµ, ∀F ∈ ð.
Deste modo, conclúımos que ∫
F
(f − h)dµ = 0, ∀F ∈ ð. (2.12)
Sejam F1 = {x ∈ X; f(x) ≥ h(x)} e F2 = {x ∈ X; f(x) < h(x)} ∈ ð (f e h são mensuráveis). Dessa
forma, por (2.12), inferimos∫
(f − h)+dµ =
∫
F1∪F2
(f − h)+dµ =
∫
F1
(f − h)+dµ+
∫
F2
(f − h)+dµ =
∫
F1
(f − h)dµ = 0.
Portanto,
∫
(f − h)+dµ = 0. Com isso, (f − h)+ = 0 em µ quase toda parte de X. Analogamente,
22
usando (2.12), conclúımos∫
(f − h)−dµ =
∫
F1∪F2
(f − h)−dµ =
∫
F1
(f − h)−dµ+
∫
F2
(f − h)−dµ = −
∫
F2
(f − h)dµ = 0.
Com isso, (f − h)− = 0 em µ quase toda parte de X. Consequentemente,
f − h = (f − h)+ − (f − h)− = 0, µ em quase toda parte de X,
isto é, f = h em µ quase toda parte de X.
A seguir, apresentaremos um caso mais geral do Teorema de Radon-Nikodým.
2.2 Teorema de Radon-Nikodým: Medidas σ-finitas
Nesta seção, veremos a segunda versão para o Teorema de Radon-Nikodým. Nesta, considerare-
mos que as medidas trabalhadas são σ-finitas. É importante frisar que a demonstração da unicidade
é análoga à estabelecida na prova do Lema 2.1.1; sendo assim, esta será suprimida a seguir.
Teorema 2.2.1 (Teorema de Radon-Nikodým para Medidas σ-finita). Sejam (X,ð) um espaço
mensurável, λ e µ medidas σ-finitas (ver Definição A.1.10) sobre ð. Se λ é absolutamente cont́ınua
com respeito a µ, então existe f ∈M+ tal que
λ(E) =
∫
E
fdµ, ∀E ∈ ð.
Além disso, f é unicamente determinada em µ quase toda parte de X.
Demonstração. Como λ e µ são σ−finitas, então existem (An)n∈N e (Bn)n∈N ⊆ ð tais que
X = ∪n∈NAn = ∪n∈NBn, com λ(An) <∞, µ(Bn) <∞, ∀n ∈ N. (2.13)
Sejam
H1 = A1, G1 = B1, Hn = An\(∪n−1j=1Aj), Gn = Bn\(∪
n−1
j=1Bj) ∈ ð, (2.14)
para todo n > 1 natural. É fácil ver que (Hn)n∈N e (Gn)n∈N são disjuntas.
23
De fato, suponha que exista x ∈ Hn0 ∩Hn1 e, sem perda de generalidade, n0 < n1. Então,
x ∈ An1\
(
∪n1−1j=1 Aj
)
= An1\
((
∪n0j=1Aj
)
∪
(
∪n1−1j=n0+1Aj
))
,
ou seja, x /∈ An0 , o que contradiz a hipótese (já que, x ∈ Hn0). Da mesma maneira, mostra-se que
(Gn)n∈N é disjunta.
Note também que
∪n∈NHn = ∪n∈NAn = ∪n∈NGn = ∪n∈NBn = X. (2.15)
Além disso, por (2.14), temos que
λ(Hn) ≤ λ(An) <∞, µ(Gn) ≤ µ(Bn) <∞, ∀n ∈ N,
desde que Hn ⊆ An e Gn ⊆ Bn, para todo n ∈ N.
Agora defina Xn = ∪nj,k=1(Hj ∩Gk), para todo n ∈ N. Logo, podemos escrever
1. (Xn)n∈N ⊆ ð.
2. X = ∪n∈NXn.
De fato, dado x ∈ X, temos que x ∈ Hn0 e x ∈ Gm0 (ver (2.15)), para algum m0, n0 ∈ N.
Sem perda de generalidade, suponha n0 ≤ m0. Dáı, x ∈ ∪m0j=1Hj e x ∈ ∪
m0
k=1Gk. Ou seja,
x ∈ (∪m0j=1Hj) ∩ (∪
m0
k=1Gk); isto é, x ∈ ∪
m0
j,k=1(Hj ∩Gk) = Xm0 . Dáı, X = ∪n∈NXn.
3. Xn+1 ⊇ Xn, para todo n ∈ N.
Com efeito,
Xn+1 = ∪n+1j,k=1(Hj ∩Gk) ⊇ ∪
n
j,k=1(Hj ∩Gk) = Xn, ∀n ∈ N.
4. λ(Xn) <∞, para todo n ∈ N.
De fato,
λ(Xn) = λ(∪nj,k=1(Hj ∩Gk)) ≤
n∑
j,k=1
λ(Hj ∩Gk) ≤
n∑
j,k=1
λ(Hj) = n
n∑
j=1
λ(Hj) <∞,
para todo n ∈ N, desde que Hj ∩Gk ⊆ Hj .
5. µ(Xn) <∞, para todo n ∈ N.
24
Com efeito,
µ(Xn) = µ(∪nj,k=1(Hj ∩Gk)) ≤
n∑
j,k=1
µ(Hj ∩Gk) ≤
n∑
j,k=1
µ(Gk) = n
n∑
k=1
µ(Gk)<∞,
para todo n ∈ N, pois Hj ∩Gk ⊆ Gk.
Portanto, pelo Lema 2.1.1, existe (fn)n∈N ⊆M+ tal que
λ(E) =
∫
E
fndµ, ∀E ⊆ Xn mensurável. (2.16)
Redefina (fn)n∈N de forma que fn = 0 em C(Xn), para todo n ∈ N. Observe que, pelo fato de
(Xn)n∈N ser crescente e por (2.16), temos que
n ≤ m⇒ Xn ⊆ Xm ⇒
∫
E
fndµ = λ(E) =
∫
E
fmdµ,
para todo E ⊆ Xn(⊆ Xm) mensurável. Dessa forma,∫
E
fmdµ =
∫
E
fndµ, ∀E ⊆ Xn mensurável n ≤ m.
Assim,
fm = fn em µ quase toda parte de Xn, para todo n ≤ m, (2.17)
como na prova do Lema 2.1.1.
Agora, seja
hn = sup
j=1,...,n
{fj} ∈M+, ∀n ∈ N.
Logo, chegamos a
hn = sup
j=1,...,n
{fj} ≤ sup
j=1,...,n+1
{fj} = hn+1, ∀n ∈ N.
Isto nos diz que (hn)n∈N é crescente. Sendo assim, assuma que f = limn→∞ hn ∈M+. Consequen-
temente, podemos escrever∫
E
hndµ =
∫
E∩X
hndµ =
∫
E∩(Xn∪C(Xn))
hndµ
=
∫
(E∩Xn)∪(E∩C(Xn))
hndµ =
∫
(E∩Xn)
hndµ+
∫
(E∩C(Xn))
hndµ,
desde que (E ∩Xn) ∩ (E ∩ C(Xn)) = ∅, para todo n ∈ N.
25
Por outro lado, para cada n ∈ N, tem-se que
X1 ⊆ X2 ⊆ · · · ⊆ Xn ⇒ C(Xn) ⊆ · · · ⊆ C(X2) ⊆ C(X1)⇒ C(Xn) ⊆ C(Xj), ∀j = 1, ..., n.
Deste modo, podemos concluir que
hn = sup
j=1,...,n
{fj} = 0, em C(Xn).
Por conseguinte, obtemos∫
E
hndµ =
∫
E∩Xn
hndµ+
∫
E∩C(Xn)
hndµ =
∫
E∩Xn
hndµ.
Por outro lado, considere que x ∈ Xn. Seja i0 o menor natural em {1, · · · , n}, tal que x ∈ Xi0
(estamos usando o fato de (Xn)n∈N ser crescente). Por (2.17), temos que fj(x) = fi0(x), para todo
j ≥ i0 em µ quase toda parte de Xi0 . Além disso, fj(x) = 0, para todo 1 ≤ j < i0 (pois x ∈ CXj).
Com isso,
hn(x) = sup
j=1,2,...,n
{fj(x)} = sup
j=i0,...,n
{fj(x)} = fn(x).
Por fim, hn(x) = fn(x) para todo x ∈ Xn. Consequentemente, por (2.16), inferimos∫
E
hndµ =
∫
E∩Xn
hndµ =
∫
E∩Xn
fndµ = λ(E ∩Xn), ∀n ∈ N,
pois E ∩Xn ⊆ Xn é mensurável, para todo n ∈ N.
Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona (ver Teorema A.2.3) e Lema A.2.5, obtemos,
pelo item 2 acima, que
λ(E) =λ(E ∩X) = λ(E ∩ (∪n∈NXn)) = λ(∪n∈N(E ∩Xn))
= limλ(E ∩Xn) = lim
∫
E
hn dµ =
∫
E
limhn dµ
=
∫
E
f dµ,
para todo E ∈ ð, pois (E ∩Xn)n∈N é crescente. Por conseguinte,
λ(E) =
∫
E
fdµ, ∀E ∈ ð.
A unicidade é analoga ao que fizemos na prova do Lema 2.1.1.
A aplicação f encontrada no Teorema 2.2.1 é chamada derivada. Mais precisamente, temos a
26
seguinte definição.
Definição 2.2.1. Sejam (X,ð) um espaço mensurável, λ e µ medidas σ-finitas sobre ð tais que λ
é absolutamente cont́ınua com respeito a µ. A aplicação f ∈ M+, obtida no Teorema de Radon-
Nikodým 2.2.1, é chamada derivada de Radon-Nikodým de λ com respeito a µ e é denotada por
dλ
dµ
.
Observação 2.2.1. A Definição 2.2.1 nos diz que
λ(E) =
∫
E
dλ
dµ
dµ, ∀E ∈ ð.
Além disso, pelo Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1, f é integravél se, e somete se, λ(X) =
∫
fdµ <
∞; ou equivalentemente, λ é uma medida finita.
Mostraremos a seguir algumas propriedades elementares da derivada de Radon-Nikodým. Para
este fim, provaremos um lema que nos auxiliará na compreensão dessas mesmas.
Lema 2.2.1. Sejam (X,ð) um espaço de mensurável e λ e µ medidas σ-finitas definidas em ð,
com λ absolutamente cont́ınua com relação a µ e
dλ
dµ
∈M+ (proviniente da Definição A.1.11). Se
g ∈M+, então ∫
gdλ =
∫
g
dλ
dµ
dµ.
Demonstração. A priori, vamos considerar g =
n∑
i=1
aiχEi uma função simples em M
+ (como exi-
bida na Definição A.1.11). Dáı, pela Definição A.1.12 e pelo Teorema de Radon-Nikodým (2.2.1),
conclúımos que∫
gdλ =
n∑
i=1
aiλ(Ei) =
n∑
i=1
ai
∫
Ei
dλ
dµ
dµ =
n∑
i=1
ai
∫
χEi
dλ
dµ
dµ =
∫ ( n∑
i=1
aiχEi
)
dλ
dµ
dµ =
∫
g
dλ
dµ
dµ.
Sendo assim, este lema é válido para funções simples em M+.
Vamos agora considerar em geral uma função g qualquer em M+. Pelo Lema A.2.4, existe
(ϕn)n∈N ⊆M+ sequência de funções simples crescente tal que limϕn = g. Vimos acima que∫
ϕndλ =
∫
ϕn
dλ
dµ
dµ, ∀n ∈ N.
Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona A.2.3, passando ao limite, quando n → ∞,
27
temos que ∫
limϕndλ =
∫
limϕn
dλ
dµ
dµ,
já que
dλ
dµ
≥ 0. Por fim, encontramos
∫
gdλ =
∫
g
dλ
dµ
dµ.
Abaixo, iremos demonstrar que a “regra da cadeia”para a derivada de Radon-Nikodým.
Teorema 2.2.2. Sejam (X,ð) um espaço mensurável e λ, γ e µ medidas σ-finitas definidas em ð.
Se γ é absolutamente cont́ınua com respeito a λ e λ é absolutamente cont́ınua com respeito a µ,
então
dγ
dµ
=
dγ
dλ
dλ
dµ
, µ quase toda parte de X.
Demonstração. Vejamos, a priori, que γ é absolutamente cont́ınua com respeito a µ. Com efeito,
considere que µ(E) = 0. Assim, tem-se, por hipótese, que λ(E) = 0 (λ é absolutamente cont́ınua
com respeito a µ). Consequentemente, γ(E) = 0 (γ é absolutamnete cont́ınua com respeito a λ).
Isto prova o desejado. Logo, pelo Teorema de Radon-Nikoým 2.2.1 e Lema 2.2.2, temos que∫
dγ
dµ
dµ = γ(X) =
∫
dγ
dλ
dλ
dµ
dµ.
Usando, agora, a unicidade Teorema de Radon-Nikoým 2.2.1, conlcúımos que
dγ
dµ
=
dγ
dλ
dλ
dµ
, µ quase toda parte de X.
A seguir, provaremos a propriedade elementar que informa que a derivada de Radon-Nikodým
d e uma soma é a soma das derivadas de Radon-Nikodým.
Teorema 2.2.3. Sejam (X,ð) um espaço mensurável e λ1, λ2 e µ medidas σ-finitas definidas em
28
ð, tais que λ1 e λ2 são absolutamente cont́ınuas com respeito a µ. Então,
d
dµ
(λ1 + λ2) =
dλ1
dµ
+
dλ2
dµ
, µ quase toda parte de X.
Demonstração. Primeiramente, vamos mostrar que λ1 +λ2 é absolutamente cont́ınua com respeito
a µ. De fato, se µ(E) = 0, então λ1(E) = λ2(E) = 0, desde que λ1 e λ2 são absolutamente
cont́ınuas com respeito a µ. Consequentemente, (λ1 + λ2)(E) = 0. Donde o resultado segue. Logo,
pelo Teorema de Radon-Nikoým 2.2.1, chegamos a
(λ1 + λ2)(X) =
∫
d
dµ
(λ1 + λ2)dµ.
Por outro lado,
(λ1 + λ2)(X) = λ1(X) + λ2(X)
Como λ1 e λ2 são absolutamente cont́ınuas com respeito a µ; então, mais uma vez, pelo mesmo
Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1, inferimos que
λ1(X) =
∫
dλ1
dµ
e λ2(X) =
∫
dλ2
dµ
.
Portanto, ∫
d
dµ
(λ1 + λ2)dµ =
∫
dλ1
dµ
dµ+
∫
dλ2
dµ
dµ =
∫ (
dλ1
dµ
+
dλ2
dµ
)
dµ.
Deste modo, pela unicidade do Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1, inferimos que
d
dµ
(λ1 + λ2) =
dλ1
dµ
+
dλ2
dµ
, µ quase toda parte de X.
Agora, estamos prontos para provar um resultado semelhante ao Teorema da Função Inversa
de Análise.
Teorema 2.2.4. Sejam (X,ð) um espaço mensurável e λ e µ medidas σ-finitas definidas em ð,
tais que λ é absolutamente cońınua com respeito a µ e µ é absolutamente cont́ınua com respeito a
λ. Então,
dλ
dµ
=
(
dµ
dλ
)−1
, µ quase toda parte de X.
29
Demonstração. Pelo Teorema 2.2.3 e nossas hipóteses, podemos escrever
dµ
dµ
=
dµ
dλ
dλ
dµ
, µ quase toda parte de X.
É fácil ver que que
dµ
dµ
= 1, µ quase toda parte de X. Com efeito, pelo Teorema de Radon-Nikodým
2.2.1, chegamos a ∫
dµ
dµ
dµ = µ(X) =
∫
dµ.
Consequentemente, pela unicidade do Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1, inferimos
dµ
dµ
= 1, µ
quase toda parte de X. Logo,
1 =
dµ
dλ
dλ
dµ
, µ quase toda parte de X.
Assim, este resultado segue.
No que segue, apresentaremos o enunciado e a prova do Teorema da Decomposição de Lebesgue.
30
Caṕıtulo 3
Decomposição de Lebesgue
Neste caṕıtulo, definiremos o significado de cargas singulares e mostraremos como decompor
uma medida como soma única de duas medidas, sob certas condições.
3.1 Aplicação do Teorema de Radon-Nikodým
Nesta seção, demonstraremos o Teorema da Decomposição de Lebesgue para cargas, através da
aplicação do Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1. Para este fim, começaremos com a definição de
cargas singulares.
Definição 3.1.1. Seja (X,ð) um espaço mensurável. Sejam λ e µ cargas sobre ð. Dizemos que λ
e µ são singulares se existem A,B ∈ ð tais que
X = A ∪B, A ∩B = ∅ e |λ|(A) = |µ|(B) = 0.
Neste caso, escrevemos λ⊥µ.
Vejamos uma rápida observação sobre medidas.
Observação 3.1.1. Note que se λ é uma medida, então
0 ≤ λ−(E) = −λ(E ∩N) ≤ 0, ∀E ∈ ð,
onde (P |N) é uma decomposição de Hahn para X (jáque λ ≥ 0 e N é negativo). Dáı, λ =
λ+ − λ− = λ+. Consequentemente, |λ| = λ+ + λ− = λ.
31
Vejamos como relacionar as definições de medidas σ-finitas, absolutamente cont́ınuas e singula-
res.
Teorema 3.1.1 (Teorema da Decomposição de Lebesgue). Seja (X,ð) um espaço mensurável.
Sejam λ e µ medidas σ-finitas sobre ð. Então, existem únicas medidas λ1 e λ2 sobre ð tais que
λ = λ1 + λ2, onde λ1 e µ são singulares e λ2 é absolutamente cont́ınua com respeito a µ.
Demonstração. A priori, note que γ = λ+ µ é uma medida σ-finita. De fato, sabemos que a soma
de medidas é uma medida; além disso, vimos na prova do Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1 que
existe (Xn)n∈N ⊆ ð tal que
λ(Xn), µ(Xn) <∞ e X = ∪n∈NXn, ∀n ∈ N.
Logo, podemos escrever
γ(Xn) = λ(Xn) + µ(Xn) <∞, ∀n ∈ N.
Consequentemente, γ é σ-finita.
Por outro lado, afirmamos que λ e µ são absolutamente cont́ınuas com respeito a γ. Com efeito,
se γ(E) = 0, então λ(E) + µ(E) = 0, isto nos diz que λ(E) = 0 e µ(E) = 0, para todo E ∈ ð (pois
λ, µ ≥ 0).
Portanto, pelo Teorema de Radon-Nikodým 2.2.1, existem f, g ∈M+ tais que
λ(E) =
∫
E
fdγ e µ(E) =
∫
E
gdγ, ∀E ∈ ð.
Agora, sejam A = {x ∈ X; g(x) = 0} e B = {x ∈ X; g(x) > 0} ∈ ð (lembre que g é
mensurável). Como g ≥ 0, então X = A ∪ B. Além disso, A ∩ B = ∅. Caso contrário g(x) = 0 e
g(x) > 0, para x ∈ A ∩B. Em particular, temos que B = C(A).
Agora, defina λ1, λ2 : ð→ [0,∞), por
λ1(E) = λ(E ∩A) e λ2(E) = λ(E ∩B), ∀E ∈ ð.
32
É sabido que λ1 e λ2 são medidas. Vamos provar que λ = λ1 + λ2. Sendo assim, é verdade que
λ(E) =λ(E ∩X) = λ(E ∩ (A ∪ C(A)))
=λ((E ∩A) ∪ (E ∩ C(A)) = λ(E ∩A) + λ(E ∩ C(A))
=λ(E ∩A) + λ(E ∩B) = λ1(E) + λ2(E),
para todo E ∈ ð (desde que (E ∩A) ∩ (E ∩ C(A)) = ∅). Isto nos diz que λ = λ1 + λ2.
É fácil ver que λ1⊥µ. De fato,
µ(A) =
∫
A
gdγ = 0 e λ1(B) = λ(B ∩A) = λ(∅) = 0,
pois B = C(A). Isto resulta que, λ1⊥µ.
Permita-nos provar que λ2 é absolutamente cont́ınua com respeito a µ. Deste modo, assuma
que µ(E) = 0, isto é,
∫
E
gdγ = 0, ou seja,
∫
gχEdγ = 0, ou equivalentemente, gχE = 0 em γ quase
toda parte de X. Então, existe C ∈ ð tal que gχE = 0 em C ∈ ð e γ(C(C)) = 0.
Por outro lado, temos que E ∩B ⊆ C(C). Com efeito,
x ∈ E ∩B ⇒ x ∈ E e x ∈ B ⇒ x ∈ E e g(x) > 0⇒ gχE(x) = g(x) > 0⇒ x /∈ C ⇒ x ∈ C(C).
Consequentemente, temos que γ(E ∩ B) ≤ γ(C(C)) = 0 (pois γ é uma medida). Com isso, γ(E ∩
B) = 0. Como λ é absolutamente cont́ınua com respeito a γ, temos que λ(E ∩ B) = 0. Por fim,
λ2(E) = λ(E ∩B) = 0. Sendo assim, µ(E) = 0⇒ λ2(E) = 0. Isto nos diz que, λ2 é absolutamente
cont́ınua com respeito a µ.
Vamos agora provar que λ1 e λ2 são únicas, com as propriedades obtidas acima.
Sejam µ1 e µ2 medidas sobre ð tais que
• λ = µ1 + µ2;
• µ1 ⊥ µ;
• µ2 é absolutamente cont́ınua com respeito a µ.
Com isso, µ1 + µ2 = λ = λ1 + λ2. Dáı, µ1 − λ1 = λ2 − µ2.
Vamos provar que µ1−λ1 e µ são singulares e que λ2−µ2 é absolutamente cont́ınua com respeito
33
a µ.
Comecemos verificando que (µ1 − λ1) ⊥ µ. Assim sendo, como µ1 ⊥ µ e λ1 ⊥ µ, então existem
A1, B1, A2 e B2 ∈ ð tais que
• X = A1 ∪B1 = A2 ∪B2;
• µ(A1) = µ1(B1) = µ(A2) = λ1(B2) = 0;
• A1 ∩B1 = A2 ∩B2 = ∅.
Sejam A = A1 ∪A2 e B = B1 ∩B2 ∈ ð. Assim, X = A ∪B. De fato,
x ∈ X ⇒ [ou x ∈ A1 ou x ∈ B1] e [ou x ∈ A2 ou x ∈ B2].
Dessa forma, se x /∈ A = A1 ∪ A2, então x /∈ A1 e x /∈ A2. Isto nos diz que x ∈ B1 e x ∈ B2, ou
seja, x ∈ B1 ∩B2 = B. Logo, x ∈ A ∪B.
Por outro lado, é posśıvel ver que
A ∩B = (A1 ∪A2) ∩ (B1 ∩B2) = (A1 ∩B1 ∩B2) ∪ (A2 ∩B1 ∩B2) = ∅;
Além disso,
0 ≤ µ(A) = µ(A1 ∪A2) ≤ µ(A1) + µ(A2) = 0,
pois µ é uma medida (isto garante que µ(A) = 0). E também,
|µ1 − λ1|(B) =(µ1 − λ1)+(B) + (µ1 − λ1)−(B)
=(µ1 − λ1)(B ∩ P )− (µ1 − λ1)(B ∩N)
=µ1(B ∩ P )− λ1(B ∩ P )− µ1(B ∩N) + λ1(B ∩N)
=µ1(B1 ∩B2 ∩ P )− λ1(B1 ∩B2 ∩ P )− µ1(B1 ∩B2 ∩N) + λ1(B1 ∩B2 ∩N)
=0,
onde (P |N) é uma decomposição de Hahn para X (já que B1 ∩ B2 ∩ P,B1 ∩ B2 ∩ N ⊆ B1, B2,
µ1(B1) = λ1(B2) = 0). Dessa forma, (µ1 − λ1)⊥µ.
Agora vamos provar que λ2−µ2 é absolutamente cont́ınua com respeito a µ. De fato, se µ(E) = 0,
então λ2(E) = µ2(E) = 0; pois, λ2 e µ2 são absolutamente cont́ınuas com respeito a µ. Por
34
conseguinte, chegamos a
|λ2 − µ2|(E) =(λ2 − µ2)+(E) + (λ2 − µ2)−(E)
=(λ2 − µ2)(E ∩ P )− (λ2 − µ2)(E ∩N)
=λ2(E ∩ P )− µ2(E ∩ P )− λ2(E ∩N) + µ2(E ∩N)
=0,
onde (P |N) é uma decomposição de Hahn para X (desde que E∩P,E∩N ⊆ E, λ2(E) = µ2(E) = 0,
λ2 e µ2 são medidas). Consequentemente, µ1−λ1 = λ2−µ2 é absolutamente cont́ınua com respeito
a µ.
Isto nos diz que (µ1 − λ1) ⊥ µ e µ1 − λ1 é absolutamente cont́ınua com respeito a µ. Então,
existem A,B ∈ ð tais que
X = A ∪B, A ∩B = ∅, µ(A) = 0 e |µ1 − λ1|(B) = 0.
Com isso, podemos escrever
(µ1 − λ1)+(B) + (µ1 − λ1)−(B) = 0.
Deste modo,
0 ≤ (µ1 − λ1)+(E ∩B) ≤ (µ1 − λ1)+(B) = 0⇒ (µ1 − λ1)+(E ∩B) = 0, ∀E ∈ ð.
E também,
0 ≤ (µ1 − λ1)−(E ∩B) ≤ (µ1 − λ1)−(B) = 0⇒ (µ1 − λ1)−(E ∩B) = 0, ∀E ∈ ð,
pois E ∩B ⊆ B. Dessa forma,
(µ1 − λ1)(E ∩B) = (µ1 − λ1)+(E ∩B)− (µ1 − λ1)−(E ∩B) = 0, ∀E ∈ ð. (3.1)
Por outro lado, como µ1 − λ1 é absolutamente cont́ınua com respeito a µ, tem-se que
µ(A) = 0⇒ µ(E ∩A) = 0⇒ |µ1 − λ1|(E ∩A) = 0,
já que E ∩A ⊆ A. Assim,
(µ1 − λ1)+(E ∩A) + (µ1 − λ1)−(E ∩A) = 0⇒ (µ1 − λ1)+(E ∩A) = (µ1 − λ1)−(E ∩A) = 0,
35
pois (µ1 − λ1)+, (µ1 − λ1)− ≥ 0. Então,
(µ1 − λ1)(E ∩A) = (µ1 − λ1)+(E ∩A)− (µ1 − λ1)−(E ∩A) = 0. (3.2)
Por isso, por (3.1) e (3.2), chegamos a
(µ1 − λ1)(E) = (µ1 − λ1)(E ∩X)
= (µ1 − λ1)(E ∩ (A ∪B))
= (µ1 − λ1)((E ∩A) ∪ (E ∩B))
= (µ1 − λ1)((E ∩A)) + (µ1 − λ1)((E ∩B))
= 0,
para todo E ∈ ð (desde que (E ∩ A) ∩ (E ∩ B) = ∅). Consequentemente, λ2 − µ2 = µ1 − λ1 = 0.
Por fim, µ1 = λ1 e µ2 = λ2.
Vejamos, agora, o que significa a Decomposição de Lebesgue com respeito a duas medidas.
Definição 3.1.2. Sejam (X,ð) um espaço mensurável e λ, µ : ð→ R duas medidas. Dizemos que
(λ1|λ2), com λ1 e λ2 medidas sobre ð, é a decomposição de Lebesgue para λ, com respeito a µ, se
i) λ = λ1 + λ2;
ii) λ1 ⊥ µ;
iii) λ2 é absolutamente cont́ınua com respeito a µ.
A seguir, apresentaremos todos os conceitos e resultados preliminares que foram importantes
para o desenvolvimento do nosso trabalho.
36
Apêndice A
Medida e Integração
A.1 Definições Preliminares
Nesta seção, enunciaremos algumas definições do curso de Introdução à Teoria da Medida e
Integração necessárias para a compreensão deste trabalho.
Gostaŕıamos de encorajar o leitor mais interessado em obter mais informações sobre as afirmações
a seguir a realizarem uma pesquisa sobre as referências [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11].
Alguns conceitos e resultados elementares da Análise Real podem ser encontrados em [2, 7].
Definição A.1.1. Seja X um conjunto não vazio. Dizemos que uma famı́lia ð de subconjuntos de
X é uma σ-álgebra se satisfaz as seguintes condições:
i) ∅, X ∈ ð;
ii) Se A ∈ ð então C(A) := X −A ∈ ð;
iii) Se (An) é uma sequência de elementos de ð, então ∪∞n=1An ∈ ð.
O par (X,ð) é denominado espaço mensurável e os elementos de ð são chamados de conjuntos
mensuráveis (ou ð-mensuráveis).
Um outro conceito relevante para o trabalho é o de função mensurável.
Definição A.1.2. Uma função f : X −→ R é dita ð-mensurável (ou simplesmente mensurável) se
37
para cada α ∈ R tem-se
{x ∈ X; f(x) > α} ∈ ð.
Um exemplo de função mensurável importante que podemos visualizar no trabalho é a função
caracteŕıstica.
Exemplo A.1.1. Se E ∈ ð, então a função caracteŕıstica χE , definida por
χE (x) =
{
1, se x ∈ E;
0, se x /∈ E,
é mensurável.
Podemos definir as partes positiva e negativa de uma função qualquer.
Definição A.1.3. Sejam X um conjunto qualquer não vazio e f : X −→ R uma função. Definimos
as partes positiva e negativa de f , respectivamente, pelas funções não negativas f+ : X −→ R e
f− : X −→ R dadas por
f+(x) = sup{f(x), 0} e f−(x) = sup{−f(x), 0}, ∀x ∈ X.
Apresentaremos, a seguir, a definição de Reta Estendida para em seguida definirmos medida.Definição A.1.4. Consideramos como Reta Estendida e denotamos por R o seguinte conjunto:
R = R ∪ {+∞,−∞}.
Agora, estamos aptos a compreender a definição que segue.
Definição A.1.5. Uma função µ : ð −→ R, onde (X,ð) é um espaço mensurável, é dita uma
medida se satisfaz as seguintes condições:
i) µ(∅) = 0;
ii) µ(E) ≥ 0, ∀E ∈ ð;
iii) Se (En) é uma sequência de elementos disjuntos de ð, então
µ (∪∞n=1En) =
∞∑
n=1
µ(En).
38
Aqui (X,ð, µ) é dito espaço de medida.
Vejamos a definição de função mensurável na Reta Estendida.
Definição A.1.6. Seja (X,ð) um espaço mensurável. Uma função f : X −→ R é mensurável se,
e somente se,
A = {x ∈ X; f(x) = +∞} e B = {x ∈ X; f(x) = −∞} ∈ ð
e a função f1 : X −→ R, definida por
f1(x) =
{
f(x), se x /∈ A ∪B;
0, se x ∈ A ∪B,
é mensurável.
Uma outra definição importante e recorrente no trabalho é a de “quase toda parte”(q.t.p.).
Definição A.1.7. Seja (X,ð, µ) um espaço de medida. Dada uma função f : X → R . Dizemos
que f possui uma propriedade Z em quase toda parte de X se existe um conjunto N ∈ ð tal que
µ(N) = 0 e f tem a propriedade Z em CN. E escrevemos f tem propriedade Z q.t.p..
Vejamos agora como denotar uma coleção de funções mensuráveis.
Definição A.1.8. Dado um espaço de medida (X,ð, µ). Denotaremos por M = M(X,ð) a coleção
de todas as funções mensuráveis f : X −→ R, e por M+ = M+(X,ð) o conjunto de todas as
funções mensuráveis não negativas f : X −→ R.
Um outro conceito recorrente durante o trabalho é o de carga, o qual podemos ver a seguir.
Definição A.1.9. Sejam X um conjunto qualquer e ð uma σ-álgebra em X. Uma função λ : ð −→
R é dita uma carga caso satisfaça as seguintes condições:
i) λ assume no máximo um dos valores −∞ ou ∞;
ii) λ(∅) = 0;
iii) Se (En) é uma sequência de conjuntos disjuntos em ð, então
λ (∪∞n=1En) =
∞∑
n=1
λ(En).
39
Podemos destacar também as definições de medida finita e σ-finita.
Definição A.1.10. Dada uma medida µ, conforme a Definição A.1.5, dizemos que µ é finita se
não assume o valor +∞. Já se existe uma sequência (En) ⊆ ð com
X = ∪n∈NEn e µ(En) < +∞, ∀n ∈ N,
então µ é denominada σ-finita. Este mesmo conceito é válido para o contexto de cargas.
A definição a seguir nos auxiliará a compreender a definição de integral.
Definição A.1.11. Uma função f : X −→ R é dita simples se esta assume apenas um número
finito de valores em sua imagem. Se f for mensurável, então esta pode ser representada da seguinte
maneira:
f =
n∑
j=1
ajχEj , (A.1)
onde cada aj ∈ R e χEj é a função caracteŕıstica do conjunto Ej ∈ ð.
Agora que definimos uma função simples, estamos aptos a compreender a definição de integral.
Definição A.1.12. Seja ϕ uma função mensurável simples em M+(X,ð), com a representação
padrão (A.1). Definimos a integral de ϕ com relação a µ por∫
ϕ dµ =
n∑
j=1
ajµ(Ej).
Podemos definir a integral de funções não negativas.
Definição A.1.13. Seja f ∈M+. Definimos a integral de f com relação a µ por∫
f dµ = sup
∫
ϕ dµ,
onde o supremo é considerado sobre todas as funções simples mensuráveis ϕ ∈ M+ tais que 0 ≤
ϕ(x) ≤ f(x), para todo x ∈ X. Além disso, se E ⊂ X é mensurável, então fχE ∈M+ e definimos
a integral de f sobre E com relação a µ por∫
E
f dµ =
∫
fχE dµ.
Vejamos a definição de funções integráveis e de integral.
40
Definição A.1.14. A coleção de funções integráveis L = L(X,ð, µ) consiste de todas as funções
mensuráveis f : X −→ R, tais que as partes positiva f+ e negativa f− de f tem integrais finitas
com relação a µ. Neste caso, definimos a integral de f com relação a µ por∫
fdµ =
∫
f+dµ−
∫
f−dµ.
Se E ∈ ð, definimos ∫
E
fdµ =
∫
E
f+dµ−
∫
E
f−dµ.
Precisamos compreender a definição dos espaços Lp.
Definição A.1.15. Seja (X,ð, µ) um espaço de medida. Seja p ∈ R, com 1 ≤ p ≤ ∞. Definimos
o espaço L
p
por
L
p
= L
p
(X,ð, µ) = {f : X −→ R; f é mensurável e ‖f‖p <∞}.
Aqui, para 1 ≤ p <∞, temos
‖f‖Lp = ‖f‖p =
(∫
|f |pdµ
) 1
p
.
Para p =∞, estabelecemos a seguinte igualdade:
‖f‖L∞ = ‖f‖∞ = inf{a ≥ 0;µ({x; |f(x)| > a}) = 0},
onde esta norma é denominada supremo essencial de f e às vezes a representamos por
‖f‖L∞ = ‖f‖∞ = supessx∈X{|f(x)|}.
Vejamos o significado de uma sequência convergir em Lp.
Definição A.1.16. Sejam (fn)n∈N ⊆ Lp, com 1 ≤ p ≤ ∞. Dizemos que (fn)n∈N é convergente para
f ∈ Lp, se dado � > 0, existe n0 ∈ N tal que
‖fn − f‖p < �, ∀n ≥ n0.
Neste caso, escrevemos
lim
n→∞
‖fn − f‖p = 0.
Agora, veremos o que significa uma sequência ser de Cauchy em Lp.
41
Definição A.1.17. Sejam (fn)n∈N ⊆ Lp, com 1 ≤ p ≤ ∞. Dizemos que (fn)n∈N é de Cauchy se
dado � > 0, existe n0 ∈ N tal que
‖fn − fm‖p < �, ∀n,m ≥ n0.
A.2 Resultados Preliminares
Nesta seção, apresentaremos os principais teoremas, proposições e lemas utilizados no decorrer
do trabalho que diz respeito ao curso de Introdução à Teoria da Medida e Integração.
Gostaŕıamos de encorajar o leitor interessado em obter as demosntrações dos resultados a seguir
a realizarem uma pesquisa sobre as referências [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11].
Proposição A.2.1. Se (An) é uma sequência de elementos de ð, então ∩∞n=1An ∈ ð e ∩nj=1Aj ∈ ð.
A seguir, apresentaremos um resultado que nos mostra que a definição de função mensurável
pode ser estabelecida de outras maneiras.
Lema A.2.1. Dada um função f : X −→ R, onde (X,ð) é um espaço mensurável. As afirmações
a seguir são equivalentes:
i) {x ∈ X; f(x) > α} ∈ ð, para cada α ∈ R;
ii) {x ∈ X; f(x) ≤ α} ∈ ð, para cada α ∈ R;
iii) {x ∈ X; f(x) ≥ α} ∈ ð, para cada α ∈ R;
iv) {x ∈ X; f(x) < α} ∈ ð, para cada α ∈ R.
Vejamos algumas propriedades envolvendo uma função e suas partes positiva e negativa.
Proposição A.2.2. Dada uma função f : X −→ R. São válidos:
i) f = f+ − f−;
ii) |f | = f+ + f−;
iii) f+ = 12(|f |+ f);
iv) f− = 12(|f | − f).
42
Vejamos, agora um lema que nos mostra que podemos combinar funções mensuráveis e ainda
garantir tal propriedade.
Lema A.2.2. Seja X um espaço mensurável. Se f, g : X −→ R são funções mensuráveis e c ∈ R,
então as funções
cf, f2 := f · f, f + g, fg, |f |,
são mensuráveis.
O lema a seguir trata sobre sequências em espaços mensuráveis.
Lema A.2.3. Seja (fn)n∈N uma sequência em M(X,ð). Defina as seguintes funções
f = inf
n∈N
fn, F = sup
n∈N
fn,
f∗ = lim inf
n→∞
fn, F
∗ = lim sup
n→∞
fn.
Então, f, F, f∗ e F ∗ pertencem a M(X,ð).
Veremos abaixo um resultado de densidade envolvendo funções simples.
Lema A.2.4. Sejam (X,ð) um espaço mensurável e f é uma função em M+(X,ð), então existe
uma sequência (ϕn)n∈N ⊆M+(X,ð) tal que
i) ϕn ≤ ϕn+1, para todo n ∈ N;
ii) ϕn é simples, para todo n ∈ N;
iii) f = limϕn.
O resultado a seguir nos ensina como calcular a medida de uma união e uma interseção de
conjuntos mensuráveis que estabelecem sequências monótonas.
Lema A.2.5. Seja µ uma medida definida em uma σ-álgebra ð. As afirmações a seguir são
verdadeiras:
i) Se (En) é uma sequência crescente em ð, tem-se que
µ (∪∞n=1En) = limµ(En);
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ii) Se (Fn) é uma sequência decrescente em ð e µ(F1) < +∞, obtém-se que
µ (∩∞n=1Fn) = limµ(Fn).
Estes resultados são válidos no contexto de cargas.
Vejamos uma maneira simples de obter uma medida.
Proposição A.2.3. Seja (X,ð) um espaço mensurável. Seja λ uma medida definida sobre ð e A
um conjunto fixo em ð. Então, a função λ1 : ð→ R, definida por
λ1(E) = λ(E ∩A), ∀E ∈ ð,
é uma medida.
Vejamos como lidar com a medida da diferença ente dois conjuntos.
Lema A.2.6. Seja µ uma medida. Se E,F ∈ ð e E ⊆ F , então µ(E) ≤ µ(F ). Se µ(E) < +∞,
então
µ(F \ E) = µ(F )− µ(E).
A igualdade acima também é válida para cargas.
Vejamos o que obtemos ao combinar medidas.
Proposição A.2.4. Dadas λ e ϕ medidas em X, tem-se que:
i) λ+ ϕ é uma medida;
ii) λ− ϕ é uma carga.
Após vermos alguns resultados sobre medidas,vejamos o que diz respeito à cargas. O exemplo
abaixo nos traz um exemplo de tal e uma definição alternativa para integral.
Exemplo A.2.1. Seja f ∈ L. Então, a aplicação
λ : ð −→ R
E −→ λ(E) =
∫
E
fdµ
é uma carga, sendo esta denominada integral indefinida de f com relação a µ.
44
Vejamos algumas operações com medidas.
Proposição A.2.5. Dados (X,ð) um espaço mensurável e µ uma medida definida sobre ð. Se
(An)n∈N ⊆ ð, então
µ(∪∞n=1An) ≤
∞∑
n=1
µ(An).
Algumas propriedades importantes de integral seguem abaixo.
Proposição A.2.6. São verdadeiras as seguintes afirmações:
I) Se f ∈M+ e c ≥ 0, então cf ∈M+ e ∫
cfdµ = c
∫
fdµ;
II) Se f, g ∈M+, então f + g ∈M+ e∫
(f + g)dµ =
∫
fdµ+
∫
gdµ.
Um resultado importante para demonstração do Teorema de Radon-Nikodým.
Proposição A.2.7. Suponha que f ∈M+. Então, f = 0 em quase toda parte de X se, e somente
se,
∫
fdµ = 0.
Vejamos que podemos combinar funções em L.
Teorema A.2.1. Seja α ∈ R. Se f, g ∈ L, então αf, f + g ∈ L. Além disso,∫
αfdµ = α
∫
fdµ e
∫
(f + g)dµ =
∫
fdµ+
∫
gdµ.
Apresentaremos, agora, dois dos principais resultados da Teoria de Integração de Lebesgue.
Teorema A.2.2 (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue). Seja (fn)n∈N uma sequência
de funções integráveis que converge em quase toda parte para a função mensurável f . Se existe
uma função integrável g tal que |fn| ≤ g, para todo n ∈ N, então f é integrável e∫
fdµ = lim
∫
fndµ.
45
Teorema A.2.3 (Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue). Se (fn)n∈N é uma sequência
monótona crescente de funções em M+(X,ð) que converge em quase toda parte de X para a função
f ∈M+(X,ð), então ∫
fdµ = lim
∫
fndµ.
A partir de agora, apresentaremos resultados que dizem respeito aos espaços Lp. O primeiro
deles diz respeito à completude.
Teorema A.2.4 (Teorema de Reisz-Fischer). Lp é um espaço completo, para todo 1 ≤ p ≤ ∞.
Vejamos um resultado sobre sequências nos espaços Lp.
Teorema A.2.5. Sejam 1 ≤ p ≤ ∞, (fn)n∈N uma sequência em Lp e f ∈ Lp tais que ‖fn−f‖p → 0.
Então, existe uma subsequência (fnk)k∈N de (fn)n∈N e uma função h ∈ Lp tais que
i) fnk → f em quase toda parte de X;
ii) |fnk | ≤ h, para todo k ∈ N, em quase toda parte de X.
46
Referências Bibliográficas
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[5] FOLLAND, G. B., Real analysis modern techniques and their applications. 2a
Edição. John Wiley & Sons, Inc., 1999.
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emann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and Mcshane. World Scientific Pub Co Inc,
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[7] LIMA, E. L., Análise Real. Vol. 1. Projeto Euclides, 15a ed., 2019.
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SBM, n. 14, São Paulo, p.18-29, 1989.
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Monografia aprovada pelo Departamento de Matemática da Universidade Federal de Sergipe.
São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, 2019.
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don. Acesso em 30 de Dezembro de 2019.
[14] WIKIPEDIA. Teorema de Radon-Nikodým. Dispońıvel em: https//en.wikipedia.org/
wiki/Johann Radon. Acesso em 30 de Dezembro de 2019.
[15] WIKIPEDIA. Henri Lebesgue. Dispońıvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Henri Le-
besgue. Acesso em 30 de Dezembro de 2019.
[16] WIKIPEDIA. Camille Jordan. Dispońıvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Camille
Jordan. Acesso em 30 de Dezembro de 2019.
[17] WIKIPEDIA. Hans Hahn. Dispońıvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Camille Jordan.
Acesso em 30 de Dezembro de 2019.
48
	Introdução
	Decomposições de Hahn e Jordan
	Decomposição de Hahn
	Decomposição de Jordan
	 Teorema de Radon-Nikodým
	Teorema de Radon-Nikodým: Medidas Finitas
	Teorema de Radon-Nikodým: Medidas -finitas
	Decomposição de Lebesgue
	Aplicação do Teorema de Radon-Nikodým
	Medida e Integração
	Definições Preliminares
	Resultados Preliminares
	Referências Bibliográficas