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INTERAÇÕES ATÔMICAS E MOLECULARES
1º quadrimestre de 2021 (QS)
Prof. Herculano Martinho
LISTA 1 
1. Combinações lineares de soluções particulares da equação de Schroedinger são
também soluções desta equação. Estude a seguinte solução geral para o problema da
partícula livre Ψ ( x )=A eikx+Be−ikx , onde k=p /h é o vetor de onda da partícula.
2. A condição de normalização para a função de onda Ψ ( x )=A eikx implica em
A=0 , o que não faz sentido fisicamente. Discuta esta situação fazendo um paralelismo
com alguma situação conhecida de fenômenos clássicos. Por exemplo, o problema
eletrostático envolvendo um fio finito carregado é usualmente resolvido considerando-se
um fio infinito, isso leva também a uma incongruência no tocante a energia necessária
para carregar o fio.
3. Pode existir solução com E<0 para a equação de Schroedinger independente
do tempo para a partícula livre? Porquê?
4. Dentre as funções abaixo, quais são soluções da equação de Schroedinger
dependente do tempo: (a) e i(kx−ωt) (b) e−iωt sen (kx ) (c) sen (kx±ωt ) (d)
cos (kx ±ωt ) ?
5. Qual é a diferença entre os estados de uma partícula descritos pelas funções de
onda (a) e i(kx−ωt) e (b) e−iωt sen (kx ) ?
6. Encontre as expressões para as funções de onda e as energias dos estados para
uma caixa de potencial tridimensional.
7. Por que a energia do ponto zero de uma partícula numa caixa cúbica é três vezes
maior do que a energia que a mesma partícula teria numa caixa unidimensional?
Demonstre seu argumento matematicamente.
8. Considere um elétron numa caixa de potencial unidimensional de largura 2,0 Å. (a)
Calcule a energia do ponto zero. (b) Usando o princípio da incerteza, analise o efeito da
radiação incidente, designada para localizar o elétron com 1% de precisão.
9. Avalie a energia do ponto zero de (a) um elétron, (b) um próton, (c) um nêutron
confinados numa região de 10-14 m, que é da ordem de grandeza das dimensões nucleares.
(d) Avalie os respectivos comprimentos de onda. Com base nesta comparação, analise a
possibilidade de um elétron, um próton ou um nêutron poderem existir dentro de um
núcleo.
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10. Um elétron está confinado dentro de uma camada delgada (espessura a) num
semicondutor. Considerando que a diferença de energia entre o estado fundamental e o
primeiro estado excitado é de 0,05 eV, estime o valor de a.
11. Considere a barreira de potencial dada por
V (x )={
0, x<0
Vo ,0≤ x≤a
0, x>a }
12. Encontre as funções de onda e as energias para uma partícula nas situações onde a
sua energia é E<V o e E>V o .
13. Explique se, e como, é possível a penetração da barreira de potencial. Analise com
a altura e a largura afetam a sua penetração.
14. Faça um esquema da função de onda de cada uma das regiões da energia potencial
representadas na figura abaixo. Considere uma partícula incidente da esquerda, primeiro
com E<V o e depois com E>V o . Existe algum estado estacionário possível para a
partícula que inicialmente estava na região (3)? Pesquise e descreva o movimento de
inversão de um átomo de nitrogênio na molécula de amoníaco NH3 com base neste
potencial.
15. Uma partícula move-se ao longe do eixo x numa região de energia potencial
V (x )=−V 0e
−α r2 . a) Represente graficamente este potencial. b)Faça um esquema das
funções de onda quando a energia total é negativa e quando é positiva. c) Os níveis de
energia são quantizados? Repita o problema para o caso do potencial V (x )=V 0e
−α r2 .
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16. Que parte da função de onda de um campo central depende da energia potencial,
e que parte resulta da simetria esférica?
17. Explique porque os orbitais s do elétron são mais penetrantes do que os outros.
Porque a sua energia é menor do que a dos orbitais p?
18. Para um átomo de um elétron no espaço livre, qual seria a consequência
matemática de mudar a escolha da direção do eixo z? E a consequência física? E no
caso do átomo estar sujeito a um campo externo, elétrico ou magnético?
19. Hidrogênio, deutério e hélio mono-ionizado são exemplos de átomos de um
elétron. O núcleo do deutério tem a mesma carga do núcleo de hidrogênio e massa
quase exatamente duas vezes maior. O núcleo de hélio tem carga duas vezes maior
do que o núcleo de hidrogênio e massa quase que exatamente quatro vezes maior.
Faça uma previsão exata da razão entre as energias dos estados fundamentais
desses átomos. (Dica: lembre-se da variação na massa reduzida)
20. As funções de onda angulares correspondentes a l=1 são Θl0=( 34π )
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2 cos θ e
Θl ±1=∓ ( 38π )
1
2 senθ e±−i ϕ . Mostre que é possível transformar estas funções
combinando-as linearmente em funções px=( 34 π )
1
2 senθ cosϕ ,
py=( 34 π )
1
2 senθ senϕ e pz=( 34π )
1
2cosθ . Represente graficamente estas
funções.
21. O valor médio de r num átomo hidrogenóide é rmed=
n2a0
Z [1+ 12 (1− l (l+1 )n2 )]
i. Calcule rmed para todos os estados com n=1,2,3,4 . Compare estes
valores com os correspondentes raios de Bohr.
ii. Usando rmed como medida do tamanho da órbita ordene os estados
nl acordo com a distancia média ao núcleo, para n=1,2,3,4 .
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