Operações com Vetores

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Questão 1/10 - Geometria Analítica 
 
Leia trecho de texto a seguir: 
 
"Um vetor é uma classe de segmentos orientados equipolentes ao segmento 
orientado. Por exemplo: se o vetor →ABAB→ o segmento orientado é (A,B)(A,B)." 
Após esta avaliaçãoApós esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L. F. D. Geometria analítica.Geometria 
analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 22. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-
base Geometria AnalíticaGeometria Analítica, sobre multiplicação escalar 
por vetor, e os vetores paralelos ⃗u=(4,1,−3)u→=(4,1,−3) e ⃗v=(6,a,b)v→=(6,a,b), 
assinale a alternativa cujos valores são as coordenadas do vetor ⃗vv→ : 
Dado que: 
Dois vetores são paralelos se 
⃗u=λ⃗vu→=λv→ 
Nota: 10.0 
 
A ⃗v=(6,45,−13)v→=(6,45,−13) 
 
B ⃗v=(2,45,−13)v→=(2,45,−13) 
 
C ⃗v=(6,32,−92)v→=(6,32,−92) 
Você acertou! 
Para que ⃗uu→ e ⃗vv→ sejam paralelos, deve satisfazer a relação ⃗v=λ⃗uv→=λu→ 
 
⃗v=λ⃗u⇒(6,a,b)=λ(4,1,−3)⇒6=λ⋅4⇒λ=64=32.v→=λu→⇒(6,a,b)=λ(4,1,−3)⇒6=λ⋅4⇒λ=64=32. 
Então temos que (6,a,b)=32(4,1,−3)(6,a,b)=32(4,1,−3) 
a=32a=32 e b=−92b=−92 
Então ⃗v=(6,32,−92)v→=(6,32,−92) 
 
(livro-base p. 31) 
 
D ⃗v=(6,2,−2)v→=(6,2,−2) 
 
E ⃗v=(6,0,−1)v→=(6,0,−1) 
 
Questão 2/10 - Geometria Analítica 
Leia o trecho a seguir: 
 
Sejam ⃗u,→v1,→v2,→v3,⋯→vnu→,v1→,v2→,v3→,⋯vn→ vetores e 
α1,α1,α2,α3,⋯αnα1,α1,α2,α3,⋯αn números reais (escalares), dizemos que ⃗uu→ 
é combinação linear de ⃗u,→v1,→v2,→v3,⋯→vnu→,v1→,v2→,v3→,⋯vn→, 
se ⃗u=α1→v1+α2→v2+α3→v3+⋯+αn→vnu→=α1v1→+α2v2→+α3v3→+⋯+αnvn
→. 
 
Texto retirado do livro Geometria Analítica - página 42 - Combinação linear. 
 
Tendo em vista a situação descrita e outros conteúdos estudados no livro-base 
Geometria analítica, considere o vetor ⃗u=4⃗vu→=4v→. Uma combinação linear 
do vetor nulo é: 
 
Nota: 10.0 
 
A ⃗0=4⃗u+4⃗v0→=4u→+4v→ 
 
B ⃗0=⃗u+⃗v0→=u→+v→ 
 
C ⃗0=4⃗u−⃗v0→=4u→−v→ 
 
D ⃗0=⃗u−4⃗v0→=u→−4v→ 
Você acertou! 
Sendo ⃗u=4⃗vu→=4v→ o vetor nulo pode ser escrito da forma ⃗0=⃗u−4⃗v0→=u→−4v→. 
 
(livro-base pag 42 e 43) 
 
E ⃗0=2⃗u−2⃗v0→=2u→−2v→ 
 
Questão 3/10 - Geometria Analítica 
Leia o trecho a seguir: 
 
Vetores podem ter vários pontos, entre eles, a origem e a extremidade, dessa 
forma é possível representá-los através desses pontos, fazendo a diferença entre a 
extremidade e a origem. 
 
Texto elaborado pelo autor da questão: 
 
Considere o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Geometria 
AnalíticaGeometria Analítica sobre soma de vetores, os pontos 
A=(−1,−1,0)A=(−1,−1,0) e B=(3,5,0)B=(3,5,0) e a igualdade 
→AP=23→ABAP→=23AB→. As coordenadas de P são: 
Nota: 10.0 
 
A P=(4,0,0)P=(4,0,0) 
 
B P=(23,43,0)P=(23,43,0) 
 
C P=(53,3,0)P=(53,3,0) 
 
Você acertou! 
Cálculos para encontrar as coordenadas de P. 
→AP=23→ABP−A=23(B−A)P=A+23(B−A)P=(−1,−1,0)+23((3,5,0)−(−1,−1,0))P=(−1,−1,0)+23(4,6,0)P=(−1,−1,0)+(83,4,0)P=(53,3,0)AP→=23AB→P−A=23(B−A)P=A+23(B−A)P=(−1,−1,0)+23((3,5,0)−(−1,−1,0))P=(−1,−1,0)+23(4,6,0)P=(−1,−1,0)+(83,4,0)P=(53,3,0) 
(livro-base p. 13,14,27) 
 
D P=(13,2,0)P=(13,2,0) 
 
E P=(3,53,0)P=(3,53,0) 
 
Questão 4/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
 
A interpretação geométrica dos produtos escalar, vetorial e misto são, em alguns 
casos, as únicas ferramentas para resolver alguns problemas. Por exemplo: a 
fórmula para calcular o volume do tetraedro formado pelos vetores ⃗uu→, ⃗vv→ 
e ⃗ww→ é V=16∥∥ 
∥∥xuyuzuxvyvzvxwywzw∥∥ 
∥∥V=16∥xuyuzuxvyvzvxwywzw∥. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e os 
pontos A(1,2,1), B=(7,4,3), C(4,6,2) e D(3,3,3). O volume do tetraedro ABCD é: 
Dica: faça ⃗u=−−→ABu→=AB→, ⃗v=−−→ACv→=AC→ e ⃗w=−−→ADw→=AD→. 
 
 
Nota: 0.0 
 
A V=8V=8 
 
B V=7V=7 
 
C V=6V=6 
 
D V=5V=5 
 
E V=4V=4 
Comentário: 
 
Primeiro calculamos os vetores que formam o tetraedro: 
 
⃗u=−−→AB=B−A=(7,4,3)−(1,2,1)=(6,2,2)u→=AB→=B−A=(7,4,3)−(1,2,1)=(6,2,2) 
⃗v=−−→AC=C−A=(4,6,2)−(1,2,1)=(3,4,1)v→=AC→=C−A=(4,6,2)−(1,2,1)=(3,4,1) 
⃗w=−−→AD=D−A=(3,3,3)−(1,2,1)=(2,1,2)w→=AD→=D−A=(3,3,3)−(1,2,1)=(2,1,2) 
 
Então, calculando o produto misto dos vetores acima temos: 
 
V=16∥∥ 
∥∥622341212∥∥ 
∥∥=(48+4+6−6−12−16=58−34)/6=24/6=4V=16∥622341212∥=(48+4+6−6−12−16=58−34)/6=24/6=4 
 
(livro-base p. 78) 
 
 
Questão 5/10 - Geometria Analítica 
Leia o trecho a seguir: 
 
Na física, a adição de vetores também é vista como a resultante da aplicação de 
várias forças, enquanto na geometria analítica, a soma de vetores pode ser vista 
combinação linear de vetores. 
 
Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro Geometria 
analítica, os vetores ⃗u=(1,2,−2)e⃗v=(0,2,−1)u→=(1,2,−2)ev→=(0,2,−1), assinale 
a alternativa que corresponde ao vetor ⃗w=−12⋅⃗u+23⋅⃗vw→=−12⋅u→+23⋅v→. 
Nota: 10.0 
 
A (−12,−13,−12)(−12,−13,−12) 
 
B (−13,12,12)(−13,12,12) 
 
C (−13,13,12)(−13,13,12) 
 
 
D (−12,13,13)(−12,13,13) 
 
Você acertou! 
⃗w=−12⋅⃗u+23⋅⃗v⃗w=−12⋅(1,2,−2)+23⋅(0,2,−1)⃗w=(−12,−1,1)+(0,43,−23)=(−12,13,13)w→=−12⋅u→+23⋅v→w→=−12⋅(1,2,−2)+23⋅(0,2,−1)w→=(−12,−1,1)+(0,43,−23)=(−12,13,13) 
 
(livro-base pag 41 a 49) 
 
E (−12,12,14)(−12,12,14) 
 
Questão 6/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o texto a seguir: 
 
Em geometria analítica, conhecidos três pontos é possível determinar a equação do 
plano formado por eles. Com estes pontos montamos três vetores com a mesma 
origem, aplicamos o produto misto e igualamos a zero, pois os vetores são 
coplanares. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e os 
pontos A(2,1,−1)A(2,1,−1), B(−1,−1,0)B(−1,−1,0) e C(3,3,−4)C(3,3,−4). O plano 
formado por estes pontos é: 
Dica sobre os vetores: Dois deles com os pontos conhecidos (por 
exemplo: →ABAB→ e →ACAC→) e o terceiro com um ponto 
genérico D(x,y)D(x,y) ficando →ADAD→ . 
Dica sobre o produto misto →AD⋅(→AB×→AC)=∣∣ 
∣∣xuyuzuxvyvzvxwywzw∣∣ 
∣∣=0AD→⋅(AB→×AC→)=|xuyuzuxvyvzvxwywzw|=0 (pois os vetores são 
coplanares). 
 
Nota: 10.0 
 
A x−y−z−4=0x−y−z−4=0 
 
B 4x−8y−4z−4=04x−8y−4z−4=0 
Você acertou! 
Comentário: 
Para que os pontos A,B,C e DA,B,C e D pertençam ao mesmo plano é necessário que os 
vetores −−→AB,−−→AC e −−→ADAB→,AC→ e AD→ sejam coplanares, isto 
é, −−→AD.(−−→AB×−−→AC)=0AD→.(AB→×AC→)=0. 
 
Seja D=(x,y,z)∈πD=(x,y,z)∈π 
−−→AB=B−A=(−3,−2,1)−−→AC=(1,2,−3)−−→AD=(x−2,y−1,z+1)AB→=B−A=(−3,−2,1)AC→=(1,2,−3)AD→=(x−2,y−1,z+1) 
−−→AD.(−−→AB×−−→AC)=AD→.(AB→×AC→)=∣∣ 
∣∣x−2y−1z+1−3−2112−3∣∣ 
∣∣=0|x−2y−1z+1−3−2112−3|=0 
 
(x−2)(6−2)−(y−1)(9−1)+(z+1)(−6+2)=04x−8y−4z−4=0(x−2)(6−2)−(y−1)(9−1)+(z+1)(−6+2)=04x−8y−4z−4=0 
(livro-base 77) 
 
C 4x+y+z−4=04x+y+z−4=0 
 
D y−4z−4=0y−4z−4=0 
 
E 4x−4y−4z−8=04x−4y−4z−8=0 
 
Questão 7/10 - Geometria Analítica 
Leia o trecho a seguir: 
 
A combinação linear é indispensável para várias disciplinas tais como geometria 
analítica e álgebra linear. Pode-se resumir combinação linear como escrever 
vetores como soma de outros vetores. 
 
Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro Geometria 
analítica, os vetores ⃗u=(3,−1)u→=(3,−1), ⃗v=(−6,3)v→=(−6,3) 
e ⃗w=(9,−1)w→=(9,−1). Se ⃗ww→ é combinação linear de ⃗uu→ e ⃗vv→, ou 
seja ⃗w=k1⃗u+k2⃗vw→=k1u→+k2v→ então k1k1 e k2k2 são respectivamente: 
Nota: 10.0 
 
A k1=2ek2=1/2k1=2ek2=1/2 
 
B k1=−1ek2=−1k1=−1ek2=−1 
 
C k1=7ek2=2k1=7ek2=2 
 
 
Você acertou! 
Montando o sistema ⃗w=k1⃗u+k2⃗vw→=k1u→+k2v→. 
 
(9,−1)=k1(3,−1)+k2(−6,3){3k1−6k2=9−k1+3k2=−1⟹k1=7ek2=2.(9,−1)=k1(3,−1)+k2(−6,3){3k1−6k2=9−k1+3k2=−1⟹k1=7ek2=2. 
 
(livro-base 47 e 48) 
 
 
D k1=−1ek2=−2k1=−1ek2=−2 
 
E k1=−1ek2=1k1=−1ek2=1 
 
Questão 8/10 - Geometria Analítica 
Leia o trecho a seguir: 
 
Módulo de um vetor é o seu comprimento, quando somamos dois vetores na 
forma geometria, ouseja, considerando somente seus módulos, o resultado é o 
comprimento de um terceiro vetor que junto aos outros dois formam um 
triângulo. 
 
Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base 
Geometria Analítica sobre vetores, e que os vetores ⃗uu→ e ⃗vv→ são ortogonais 
e seus módulos são |⃗u|=3|u→|=3 e |⃗v|=4|v→|=4 , é correto afirmar que 
|⃗u+⃗v||u→+v→| é: 
 
Dica: considere a ortogonalidade dos vetores. 
Nota: 10.0 
 
A 99 
 
B 88 
 
C 77 
 
D 66 
 
E 55 
Você acertou! 
Como os vetores \vec{u} e \vec{v} são ortogonais, o vetor soma \vec{u}+\vec{v} é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos \vec{u} e \vec{v}. Portanto, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras. 
|⃗u+⃗v|2=|⃗u|2+|⃗v|2|⃗u+⃗v|2=|3|2+|4|2|⃗u+⃗v|2=9+16|⃗u+⃗v|2=25|⃗u+⃗v|=±√25 |⃗u+⃗v|=5|u→+v→|2=|u→|2+|v→|2|u→+v→|2=|3|2+|4|2|u→+v→|2=9+16|u→+v→|2=25|u→+v→|=±25|u→+v→|=5 
(livro-base p. 66) 
 
Questão 9/10 - Geometria Analítica 
 
Na física, geometria analítica, cálculo diferencial integral, álgebra linear, ou qualquer 
outra disciplina em que se aplica vetores, a combinação linear de vetores é 
indispensável. Ou seja, escrever vetores como soma de outros vetores tem muitas 
aplicações. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Dados os vetores u=(3,-1) e v=(-6,3). O vetor w=7u+2v é: 
Nota: 10.0 
 
A ⃗w=(−9,−1)w→=(−9,−1) 
 
B ⃗w=(3,6)w→=(3,6) 
 
C ⃗w=(9,−1)w→=(9,−1) 
Você acertou! 
⃗w=7⃗u+2⃗v=7(3,−1)+2(−6,3)=(21,−7)+(−12,6)=(9,−1)w→=7u→+2v→=7(3,−1)+2(−6,3)=(21,−7)+(−12,6)=(9,−1) 
 
 
(livro-base 41) 
 
 
D ⃗w=(3,3)w→=(3,3) 
 
E ⃗w=(−2,1)w→=(−2,1) 
 
Questão 10/10 - Geometria Analítica 
 
Leia o trecho a seguir: 
Sejam os vetores ⃗uu→ e ⃗vv→ e seus representantes (A, B) e (B,C), 
respectivamente, então podemos escrever ⃗u=→ABu→=AB→ e 
⃗v=→BCv→=BC→. O vetor soma ⃗uu→+⃗vv→ tem como representante o 
segmento →ACAC→; assim, escrevemos 
⃗u+⃗v=→AB+→BC=→ACu→+v→=AB→+BC→=AC→. 
 
Texto retirado do livro-base Geometria Analítica - página 28 - soma de vetores. 
 
Tendo em vista a situação descrita e os conteúdos estudados no livro-base 
Geometria analítica, considere os pontos A(2,2,2), B(3,4,5) e C(3,0,5). Calcule a 
soma vetorial ⃗u+⃗vu→+v→: 
Nota: 10.0 
 
A (1,−2,3)(1,−2,3) 
Você acertou! 
Cálculo dos vetores ⃗uu→ e ⃗vv→. 
 
⃗u=→AB=B−A=(3,4,5)−(2,2,2)=(1,2,3)u→=AB→=B−A=(3,4,5)−(2,2,2)=(1,2,3) 
⃗v=→BC=C−B=(3,0,5)−(3,4,5)=(0,−4,0)v→=BC→=C−B=(3,0,5)−(3,4,5)=(0,−4,0) 
 
Cálculo da soma ⃗u+⃗vu→+v→ 
 
⃗u+⃗v=(1,2,3)+(0,−4,0)=(1,−2,3)u→+v→=(1,2,3)+(0,−4,0)=(1,−2,3) 
 
(livro base pag. 28) 
 
B (1,1,1)(1,1,1) 
 
C (0,−2,3)(0,−2,3) 
 
D (8,−1,0)(8,−1,0) 
 
E (0,0,1)(0,0,1)