lista2 avelino

Prévia do material em texto

Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
EAE 5811 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2011
Lista de Exercícios 2
Questão 1
Seja st o logaritmo do preço do ativo em t. Considere o modelo de Black-
Scholes:
dst = �
�dt+ �dWt
em que
�� = �� �2=2
Os estimadores de máxima verossimilhança de �� e �2 são dados por:
�^� =
nX
i=1
(si+� � si)
n�
e
�^2 =
nX
i=1
(si+� � si � �^��)2
n�
n denota o número de observações na amostra e � o intervalo de tempo
separando as observações.
a) Mostre que
E
�
�^2
�
=
(n� 1)�2
n
b) Compute V
�
�^2
�
:
Questão 2
Seja X1; :::; Xn uma amostra aleatória de tamanho n da variável aleatória X
com função densidade de probabilidade dada por
f(x) = �x��1 ; 0 < x < 1; � > 0
a) Encontre os estimadores de máxima verossimilhança de � e de g (�) =
�= (1 + �) :
b) Encontre a distribuição assintótica dos estimadores em (i).
Questão 3
1
Considere a função de densidade da distribuição exponencial
f(x) =
8<:
1
�
exp
��x
�
�
para x > 0
0 caso contrário
a) Suponha que você tenha uma amostra de N variáveis aleatórias indepen-
dentes e identicamente distribuídas com distribuição exponencial. Construa a
função de log verossimilhança da amostra.
b) Compute o estimador de máxima verossimilhança, �^
MLE
, de �:
c) Derive a distribuição assintótica do estimador do item anterior.
d) Qual é o estimador de máxima verossimilhança de �3? Prove que o esti-
mador é consistente.
e) Derive a distribuição assintótica do estimador do item anterior.
Questão 4
Considere o modelo Tobit:
y�i = x
0
i� + "i, "ijxi � N(0; �2)
Nós observamos somente xi e
yi =
�
y�i se y
�
i � 0
0 se y�i < 0
a) Escreva a função de log-verossimilhança com base numa amostra aleatória
de N observações i.i.d., condicional em X = [x1; x2; :::; xN ]:
b) Considere a reparametrização de Olsen (1978), isto é, de…na
� � 1
�
e 
 � � 1
�
Reescreva a função de log-verossimilhança em função de � e 
 e derive as
condições necessárias de primeira ordem para maximização.
c) Mostre que a função de log-verossimilhança derivada no item anterior é
globalmente côncava.
Questão 5
Escreva a função de verossimilhança para os seguintes modelos, assumindo
que as observações sejam i:i:d:; que o tamanho da amostra seja N e utilizando
notação genérica (Não assuma que a distribuição é normal).
Y1 = X�1 + U1
Y0 = X�0 + U0
(U0; U1) � g(U0; U1) (densidade)
2
X ?? (U0; U1) :(U0; U1) têm uma densidade conjunta contínua. Os erros são
livremente correlacionados, condicional em X
(a) Para todas as observações, você observa Y1 se Y0 > 0; Você observa X
para todas as observações. Você tem somente observações para as quais Y0 > 0:
(amostra truncada)
(b) Você observa C0 < Y1 < C1 se Y1 > 0; C1 > 0 > C0: Você observa X
para todas as observações. (Você tem uma amostra truncada)
(c) Você sabe se Y1 > 0 para todas as observações, mas você não observa
Y1. Qual é a função de verossimilhança dos eventos Y1 > 0 e Y1 � 0 (isto é,
dos eventos 1 (Y1 > 0) e 1 (Y1 � 0)): Você observa o valor de X para todas as
observações.
(d) Você observa Y1 se Y1 � Y0; Você observa Y0 se Y1 < Y0: Você observa
X para todas as observações.
Questão 6
Seja y1; :::; yT uma amostra aleatória extraída de uma distribuição t de Stu-
dent com �0 graus de liberdade, cuja densidade é dada por
f(yt; �0) =
� [(�0 + 1) =2]
(��0)1=2�(�0=2)
�
1 + (y2t =�0)
��(�0+1)=2
�(�) é a função Gama.
a) Como você obteria o estimador de GMM de �0 utilizando o segundo e o
quarto momento da distribuição t?
b) Derive a distribuição assintótica do estimador da parte (a).
Questão 7
A calibração de modelos econômicos frequentemente adota o seguinte proced-
imento: o modelo é ajustado com base num conjunto de condições de
ortogonalidade, digamos
Ef1(xt; �0) = 0 (1)
f1 possui exatamente k coordenadas e a dimensão do vetor de parâmetros
�0 é k. Para testar o modelo, utiliza-se um segundo conjunto de condições de
ortogonalidade
Ef2(xt; �0) = 0 (2)
a) Mostre como colocar esse procedimento de estimação/teste dentro do
instrumental do método generalizado dos momentos. Qual é a matriz de seleção
3
implícita utilizada para estimar o vetor de parâmetros desconhecidos �0 de (1)
escrevendo as condições de ortogonalidade conjuntamente como
Ef(xt; �0) = 0
para
f =
�
f1
f2
�
?
b) O estimador �0 resultante necessariamente será assintoticamente e…ciente
dentro da classe dos estimadores do método generalizado dos momentos? Ex-
plique.
c) Como você testaria a validade de (2) levando em consideração o fato de
que �0 é estimado? Qual a distribuição limite da estatística do teste proposta?
Questão 8
Considere o modelo de expectativas racionais no qual a utilidade dos agentes
é dada por
u(ct) =
8<: c
1�
t
1� 
 para 
 > 0 e 
 6= 1
ln ct para 
 = 1
O problema do agente representativo é dado por
max
fct;ct+1;:::g
Et
1X
s=t
�su(cs)
sujeito a
Ct +
NX
j=1
PjtQjt �
NX
j=1
RjtQjt�1 +Wt
Ct : consumo no período t
� : taxa de desconto intertemporal dos agentes, 0 < � < 1
Qjt : quantidade do ativo j (com vencimento em um período) comprado no
…nal do período t
Pjt : preço do ativo j no período t
Rjt : retorno pago pelo ativo j, comprado em t� 1:
Wt: renda real do trabalho
Portanto, o problema do agente consiste em escolher, em cada período t, o
quanto consumir do bem de consumo e de cada um dos j ativos. Cada ativo tem
maturação de 1 período, ou seja, o ativo j comprado em t�1 (pelo preço de Pjt�1
cada unidade) paga Rjt no início do período t. O retorno exato de cada ativo
é conhecido somente no seu vencimento. Assim, no instante t; o econometrista
4
observa somente as taxas de retorno passadas, assim como o consumo presente
e passado ct; ct�1; :::; c0:
a) Obtenha as condições de ortogonalidade do problema, visando estimar
�0 = (�; 
)0 : (Dica: para resolver o problema do consumidor, considere que a
restrição orçamentária vale com igualdade, obtendo assim J equações de Euler)
b) Dado que o número de parâmetros é menor do que o número de equações,
que estratégia você adotaria para obter o estimador de GMM?
c) Como você obteria na prática a matriz de ponderação ótima?
d) Como você testaria a hipótese de que o modelo está corretamente especi-
…cado.
Questão 9
Considere a seguinte função de demanda:
qt = �+ �pt + 
yt + �ptrt + 'rt + "t; � = (� � 
 � ')
0
em que qt denota a quantidade do bem e pt seu preço. A variável yt pode ser
pensada, por exemplo, como uma variável exógena como a renda. rt pode ser
interpretado como o preço de um bem substituto. � é um vetor de parâmetros
desconhecido e "t um termo econométrico de erro.
Adicionalmente, considere a seguinte função de oferta:
pt = � �
�+ �rt
qt + �+ �qt + w
0
t�+ �t; � = (� � � �
0)0
em que � é um vetor de parâmetros desconhecido, �t é um termo econométrico
de erro e wt engloba variáves exógenas do lado da oferta.
O parâmetro �, em particular, indexa o grau de poder de mercado. � = 0
corresponde à competição perfeita. � = 1 corresponde a um cartel perfeito
ou monopólio. Os casos intermediários estão associados com graus diferentes de
poder de mercado. No modelo de oligopólio de Cournot, por exemplo, denotando
por n o número de …rmas no mercado, temos � = 1=n:
a) Proponha um procedimento em dois estágios que produza uma estimativa
consistente de �:
b) Derive as condições de ortogonalidade do primeiro e do segundo estágios
do item (a) e expressa-as dentro do instrumental do método generalizado dos
momentos.
c) Derive a distribuição assintótica do estimador proposto em (a) para �:
Questão 10
Seja ((Y1; X1) ; :::; (Yn; Xn)) uma amostra aleatória de n observações, em que
Xi é uma variável aleatória escalar e Yi é uma variável aleatória de Bernoulli
5
que assume apenas dois valores, 0 ou 1, com probabilidades
P (Yi = 1jXi) = exp (�1 + �2Xi)
1 + exp (�1 + �2Xi)
P (Yi = 0jXi) = 1
1 + exp (�1 + �2Xi)
Esse modelo é conhecido como modelo de resposta binária logit.
a) Ache a esperança condicional de Y dado X = (X1; :::; Xn) :
b) Escreva a função de log-verossimilhança paraesse modelo.
c) Escreva um programa de Matlab que estime �1 e �2 para o conjunto de
dados enviado em anexo. Como você obteria uma estimativa consistente dos
erros padrões dos estimadores? Programe isso também e construa um intervalo
de con…ança de 95% para �2:
6