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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
EAE 5811 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2011
Lista de Exercícios 1
Questão 1
Sejam X1,X2, ... variáveis aleatórias independentes com distribuição comum
Poisson (λ) . Encontre o limite em probabilidade da sequência
Yk =
X21 + ...+X
2
k
k
quando k →∞.
Questão 2
SejamX1,X2, ... variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuí-
das tais que Xn ∼ U [0, θ] , θ > 0. Demonstre que
Yn =
√
n
£
log
¡
2X¯n
¢
− log θ
¤ d→ N µ0, 1
3
¶
Questão 3
SejamX1,X2, ... variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuí-
das tais que E (X1) = 0 e V ar (X1) = σ2, 0 < σ2 < ∞. Adicionalmente,
suponha que Y1, Y2, ... sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que E (Y1) = µ, µ ∈ R. Prove que
Y¯n +
√
nX¯n
d→ N
¡
µ, σ2
¢
para
Y¯n =
Y1 + ...+ Yn
n
e
X¯n =
X1 + ...+Xn
n
Questão 4
A variância amostral de n observações X1, ...,Xn é definida como
S2 = n−1
nX
i=1
(Xi − X¯)2
1
para X¯ = n−1
Pn
i=1Xi. Suponha que S
2 seja baseada em uma amostra de
uma distribuição cujos quatro primeiros momentos, α1, α2, α3, α4, sejam finitos.
Derive a distribuição limite conjunta de S2 e da estatística t = X¯S .
Questão 5
Considere o seguinte estimador do excesso de curtose:
kn = n−1
Xn
i=1
¡
Xi − X¯
¢4
S4
− 3
Derive sua distribuição assintótica.
Questão 6
(Teorema central do limite bivariado de Lindberg-Lévy, estimação da razão
de médias, experimento de Monte Carlo)
Suponha que nós tenhamos uma amostra aleatória (i.i.d.) de n observações
de uma distribuição bivariada com média µ =
∙
µX
µY
¸
, µY 6= 0 e matriz de
variância-covariância finita e positiva definida Q =
∙
σ2X σXY
σXY σ2Y
¸
.
Nós desejamos estimar a razão das médias µXµY , e consideramos o estimador
T = X¯Y¯ , onde X¯ =
Pn
i=1Xi e Y¯ =
Pn
i=1 Yi.
a) Esse estimador é não viesado? Consistente?
b) Utilizando a versão multivariada do teorema central do limite de Lindberg-
Lévy, ache a distribuição assintótica de T . Plote a função de densidade para¡
µX , µY , σ
2
X , σ
2
Y , σXY
¢
= (3, 2, 1, 1, 0.5) .
c) (Background) Suponha que a distribuição verdadeira de (X,Y ) seja uma
normal bivariada com parâmetros
¡
µX , µY , σ
2
X , σ
2
Y , ρ
¢
= (3, 2, 1, 1, 0.5) e que a
nossa amostra tenha n = n∗ observações.
A distribuição assintótica de b) é uma boa aproximação para a distribuição
exata de T para n = n∗? Calcular a distribuição exata de T é muito difícil.
Então nós decidimos conduzir um experimento de Monte Carlo. A idéia é a
seguinte:
Passo 1: Obtenha uma amostra de tamanho n∗ da distribuição bivariada
(X,Y ) .
Passo 2: Calcule o valor de T para essa amostra.
2
Repita os passos 1 e 2 várias vezes, digamos 1000 vezes. Isso nos fornece
1000 valores de T . A distribuição desses 1000 valores é a nossa aproximação
numérica para a distribuição exata de T em amostras finitas para n = n∗.
Para implementar:
Conduza um estudo de Monte Carlo para n∗ = 25, para n∗ = 100 e para n∗ =
200. Para cada um, plote a distribuição de T em amostras finitas (histograma).
O que acontece quando você vai de n∗ = 25 para n∗ = 100 e para n∗ = 200?
Dica: Como nós obtemos uma observação de uma normal bivariada? Essa é
uma maneira simples:
Escreva X e Y como X = a+ bZ1, Y = c+ dX + eZ2, onde Z1 ∼ N (0, 1) ,
Z2 ∼ N (0, 1) e Z1 e Z2 são independentes. Calcule o que a, b, c, d e e precisam
ser a fim de assegurar que E (X) = µX , E (Y ) = µY , V (X) = σ
2
X , V (Y ) = σ
2
Y
e corr (X,Y ) = ρ.
Tendo achado os valores de a, b, c, d e e, você pode obter Z1 e Z2 da dis-
tribuição normal padrão e computar X = a+ bZ1, Y = c+ dX + eZ2.
Questão 7
Considere o modelo abaixo em que há uma variável explicativa endógena, x:
y = z
0
1δ + αx+ u
Seja a expressão abaixo a forma reduzida de x:
x = z
0
1γ + v
em que z contém todos os elementos de z1 mais ao menos uma coluna.
Considere o seguinte estimador de δ e α: (i) estime a forma reduzida por
OLS e salve os resíduos, vˆ; (ii) estime a regressão abaixo por OLS.
y = z
0
1δ + αx+ ρvˆ + ε
Mostre que as estimativas de 2SLS são idênticas às obtidas por este método.
Questão 8
Considere a estimação por variáveis instrumentais de ummodelo de regressão
linear simples.
y = β0 + β1x+ u
Suponha que E[u] = 0, Cov[z, u] = 0, Cov[x, u] 6= 0, E[u2|z] = σ2.
3
(a) Sob as hipóteses acima, mostre que AV ar[
√
n(βˆ1− β1)] pode ser escrita
como
AV ar[
√
n(βˆ1 − β1)] =
σ2
σ2xρ2zx
em que σ2x = V ar [x] e ρzx = Corr [x, z] .
(b) Como cada um desses fatores afeta AV ar[
√
n(βˆ1−β1)]? O que acontece
quando ρzx → 0?
(c) Para o caso de regressão linear simples acima, mostre que, caso Cov[z, u] 6=
0, a inconsistência do estimador de variáveis instrumentais pode superar a de
mínimos quadrados ordinários.
Questão 9
(Identificação e estimação de modelos de equações simultâneas)
Discuta identificação e estimação do seguinte modelo de equações simultâneas.
y1t + γ12y2t + γ13y3t + β11x1t + β13x3t = ε1t
y2t + γ23y3t + β22x2t + β23x3t = ε2t
γ31y1t + y3t + β32x2t = ε3t
(Você não tem nenhuma restrição envolvendo as covariâncias).
Certifique-se de que você está considerando tanto as condições de ordem
quanto de posto e de explicitar as suposições necessárias para a estimação dos
parâmetros do modelo.
Questão 10
(Identificação e estimação de modelos de equações simultâneas)
Considere o seguinte modelo de oferta e demanda:
qs = α0 + α1p+ α2ω + µs
qd = β0 + β1p+ β2y + µd
qs = qd
onde ω denota um vetor de observações de dimensão T × 1 do clima e y é um
vetor de observações T × 1 da renda. Ambos são exógenos, por hipótese.
a) Discuta a identificação dos parâmetros nas equações de oferta e demanda.
b) A restrição α2 = 0 impõe alguma restrição nos parâmetros da forma
reduzida? Cuidadosamente descreva um teste de H0 : α2 = 0 contra H1 :
4
α2 6= 0 utilizando os parâmetros da forma reduzida. Dica: Escreva H0 como
H0 : RΠ = q0.
c) Suponha que a primeira equação é estimada por um estimador de in-
formação limitada, isto é, variáveis instrumentais. Você pode determinar se a
primeira equação é uma curva de oferta ou de demanda examinando o sinal de
α1?
d) Suponha que uma agência governamental a cada ano fixe o preço em
p0t e que esse preço possa diferir ano a ano. Que efeito essa política teria na
identificação e estimação do modelo?
Questão 11
(Identificação através de restrições na matriz de covariância)
Considere o seguinte sistema de equações sob as hipóteses usuais
y1 = γ12y2 + ε1 (1)
y2 = γ21y1 + β21x1 + ε2 (2)
a) As equações (1) e (2) são identificadas se nós não fizermos nenhuma
suposição a respeito da distribuição de probabilidade, exceto que E (ε1|x1) =
E (ε2|x1) = 0?
b) Mostre que se a covariância dos erros é zero, então ambas as equações são
identificadas.
Questão 12
(Estimação e teste de especificação para o modelo de equações simultâneas)
Você tem um sistema com três equações, no qual cada equação é identificada.
y1 = Y1γ1 +X1β1 + ε1 (1)
y2 = Y2γ2 +X2β2 + ε2 (2)
y3 = Y3γ3 +X3β3 + ε3 (3)
onde εt ∼ N (0,Σ) . Seja X = [X1,X2,X3] .
Você está confiante de que a especificação das duas primeiras equações está
correta, mas não tem certeza se E [X 0tε3t] = 0. Para construir um teste, você
decide rodar uma regressão de míminos quadrados em dois estágios em cada
equação e compará-la com os resultados de míminos quadrados em três estágios
para o sistema todo.
a) Explique intuitivamente por que você pode construir um teste de es-
pecificação a partir desse procedimento, demonstrando o efeito da especificação
incorreta.
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b) Para construir um teste formal, você considera as estimativas de cada
equação
δi =
∙
γˆi
βˆi
¸
e constrói a estatística
W =
∙
δˆ1
δˆ2
¸
2SLS
−
∙
δˆ1
δˆ2
¸
3SLS
Construa um teste assintótico sob a hipótese nula de que a especificação está
correta, incluindo os graus de liberdade apropriados.
c) Você pode pensar num teste baseado numa estratégia de estimação mais
eficiente?
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