Cálculo_I_Aula_01_Integrais_Áreas_Distâncias

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Serviço Público Federal 
Instituto Federal de Alagoas 
Campus Palmeira dos Índios 
Curso Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Conteúdo: Introdução – Área e Distância 
 
 
Prof. Me. Alberto H R Silva 
Introdução 
 Historicamente, foi 
da necessidade de calcular 
áreas de figuras planas 
cujos contornos não são 
segmentos de reta que 
brotou a noção de integral. 
 
 Arquimedes (287–
212 a.C.) – O grande 
precursor do Cálculo 
Integral. Obra: A 
Quadratura da Parábola. 
AHRS 
 Argumentação de Antifon: Por sucessivas duplicações do 
número de lados de um polígono regular inscrito num circulo, a 
diferença entre a área do círculo e a dos polígonos seria “ao fim” 
exaurida. 
 Eudóxio (método da exaustão): Se de uma grandeza 
subtrai-se uma parte não menor que sua metade, do restante 
outra parte não menor que sua metade, e assim por diante, numa 
determinada etapa do processo chega-se a uma grandeza menor 
que qualquer outra da mesma espécie fixada a priori. 
AHRS 
 Os gregos, porém, não usaram 
explicitamente limites. Todavia, por um 
raciocínio indireto, Eudóxio (séc. VI a.C.), usa 
o método da exaustão para demonstrar a 
conhecida fórmula da área do circulo 
𝐴 = 𝜋𝑟2. 
Arquimedes foi o primeiro matemático a 
demonstrar que a área de um circulo de raio 
𝑟 é igual a área de um triângulo de altura 𝑟 e 
base igual ao comprimento da 
circunferência. 
AHRS 
 Usaremos uma ideia semelhante à de 
Eudóxio para calcular áreas de regiões do 
tipo mostrado na figura abaixo. Vamos 
aproximar a área desejada 𝐴 por áreas de 
retângulos e, então, calcular 𝐴 como o limite 
dessas somas de áreas de retângulos. 
AHRS 
 
 
 
Áreas 
AHRS 
 Consideremos o problema 
de calcular a área 𝐴 da região sob o 
gráfico da função 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅, em 
que 𝑓(𝑥) ≥ 0. 
 
Se 𝑓(𝑥) fosse constante e igual a 𝑘 
em [𝑎, 𝑏], a área procurada seria a 
área de um retângulo e teríamos: 
 
𝐴 = (𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑘 
 
Não sendo 𝑓(𝑥) constante, 
dividimos o intervalo [𝑎, 𝑏] em 
subintervalos suficientemente 
pequenos para que neles 𝑓(𝑥) possa 
ser considerada constante com uma 
boa aproximação. 
AHRS 
AHRS 
Somas Importantes 
• Soma dos 𝑛 termos de uma P.A.: 
𝑆𝑛 =
𝑎1 + 𝑎𝑛 𝑛
2
 
• Soma dos 𝑛 termos de uma P.G.: 
𝑆𝑛 =
𝑎1(1 − 𝑞
𝑛)
1 − 𝑞
 
• Soma dos infinitos termos de uma P.G.: 
𝑆𝑛 =
𝑎1
1 − 𝑞
 
AHRS 
• Soma dos 𝑛 primeiros quadrados naturais: 
 
𝑆𝑛2 =
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
 
 
• Soma dos 𝑛 primeiros cubos naturais: 
 
𝑆𝑛3 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
2
 
AHRS 
Área Aproximada 
𝐴 ≅ 𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≅ 𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
𝐴 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
AHRS 
Exemplo 1 
Faça uma estimativa 
(use os extremos 
esquerdo e direito) da 
área 𝐴 sob o gráfico de 
𝑓 𝑥 = 250 −
𝑥2
10
, 
0 ≤ 𝑥 ≤ 50, dividindo 
o intervalo [0,50] em 
subintervalos de 
comprimento 10. 
AHRS 
Exemplo 2 
Obtenha uma estimativa 
(use extremos esquerdo e 
direito) da área sob o gráfico 
da função 𝑓 𝑥 =
200
𝑥
, 
𝑥 ∈ [10,50] dividindo o 
intervalo em 4 subintervalos 
de comprimento 10. 
 
 
 
Obs.: O valor correto da área 
procurada é 321,9. 
AHRS 
Área 
𝐴 = lim
𝑛→∞
 𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞
 𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
𝐴 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
AHRS 
 
Distâncias 
AHRS 
O Problema das Distâncias 
Achar a distância percorrida por um objeto durante 
um certo período de tempo sendo conhecida a 
velocidade do objeto em todos os instantes. Se a 
velocidade permanece constante, então o problema 
da distância é de fácil solução através da fórmula: 
 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 × 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 
 
Mas se a velocidade variar, não é tão fácil encontrar 
a distância percorrida. 
AHRS 
Exemplo 5 
Suponha que queiramos estimar a distância 
percorrida por um carro durante um intervalo de 
30s. A cada 5 segundos registramos a leitura do 
velocímetro na seguinte tabela: 
 
 
Durante os primeiros 5s a velocidade não varia 
muito, logo podemos estimar a distância percorrida 
durante esse tempo supondo a velocidade 
constante. 
t (s) 0 5 10 15 20 25 30 
v(pés/s) 25 31 35 43 47 46 41 
AHRS 
 Se tomarmos a velocidade durante aquele 
intervalo de tempo como a velocidade inicial 
(25pés/s), então obteremos aproximadamente a 
distância durante os cinco primeiros segundos: 
25𝑝é𝑠
𝑠
× 5𝑠 = 125 pés 
Analogamente, durante o segundo intervalo de 
tempo: 
31𝑝é𝑠
s
× 5𝑠 = 155 𝑝é𝑠 
Por fim, teremos: 
25 × 5 + 31 × 5 + 35 × 5 + 43 × 5 + 47 × 5 + 46 × 5 = 1.135 𝑝é𝑠 
AHRS 
 Podemos da mesma forma usar a 
velocidade no fim de cada intervalo em vez 
de no começo. Dessa forma teríamos 1.215 
pés. 
Se quisermos uma estimativa mais precisa, 
poderemos tomar as leituras a cada 2 
segundos ou até mesmo a cada segundo. 
AHRS 
Exercício 1 
(a) Faça uma estimativa (use extremos esquerdo 
e direito) da área do triângulo retângulo de base 
[0,1] determinado pelo eixo 𝑂𝑥 e pelas retas 
𝑦 = 𝑥 e 𝑥 = 1. Divida o intervalo [0,1] em 5 
subintervalos homogêneos. 
 
(b) Use a Geometria Euclidiana Plana para 
determinar a área exata do triângulo do item 
(a). 
AHRS 
Exercício 2 
Use 5 retângulos de mesma base para fazer uma 
estimativa da área da região compreendida pelo 
eixo 𝑂𝑥, pela reta definida pela equação 𝑥 = 1 e 
pelo trecho da parábola determinada pela 
equação 𝑦 = 𝑥2. 
AHRS 
Exercício 3 
Dada a função 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 e o intervalo 
[0,10], determine uma aproximação para: 
(a) A área subdividida em 5 subintervalos de 
tamanho 2; 
(b) A área subdividida em 10 intervalos de 
tamanho 1. 
AHRS 
Exercício 4 
A velocidade de um corredor aumenta 
regularmente durante os três primeiros 
segundos de uma corrida. Sua velocidade em 
intervalos de meio segundo é dada pela tabela 
abaixo. Encontre as estimativas superior e 
inferior para a distância que ele percorreu 
durante esses três segundos. 
AHRS 
Bibliografia 
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Matemática Elementar, 8. Limites, Derivadas, Noções de Integral. 6.ed. 4.reimp. São 
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Carvalho Patarra. São Paulo: Editora HARBRA Ltda, 1994. 
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• SWORKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica, 1. São Paulo: McGraw-Hill, 
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AHRS