Entre_Jovens_Matematica_1_ano_Vol 2

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Entre Jovens
1o ano do Ensino Médio
GUIA DO ALUNO
Volume II
Matemática
1o ano do Ensino Médio
Entre Jovens 1o ano do Ensino Médio: Guia do Aluno Matemática.
– São Paulo: Instituto Unibanco/CAEd, 2016.
94 p.; Vol. II.
ELABORAÇÃO DO MATERIAL
Coordenação
Roberta de Oliveira 
Pesquisa e conteúdo
CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação 
da Educação
Revisão de conteúdo
Grupo Mathema
Produção editorial
Elisa Swartele 
Maria Clara Wasserman 
Renata Buset
 
Pesquisa iconográfica
Tempo Composto
ASSESSORIA DE COMUNICAÇÃO
Coordenação
Marina Rosenfeld
Revisão de texto
Ofício do Texto Projetos Editoriais
Editoração eletrônica
Formato Comunicação
Realização
Instituto Unibanco
CONSELHO DE ADMINISTRAÇÃO
Presidência
Pedro Moreira Salles
Vice-Presidência
Pedro Sampaio Malan
Conselho
Antonio Matias
Cláudio de Moura Castro
Cláudio Luiz da Silva Haddad
Marcos de Barros Lisboa
Ricardo Paes de Barros
Rodolfo Villela Marino
Thomaz Souto Corrêa Netto
Tomas Tomislav Antonin Zinner
Diretoria Executiva
Claudio José C. Arromatte
Cristina Cestari
Fernando Marsella Chacon Ruiz
Gabriel Amado de Moura
Jânio Gomes
Leila Cristiane B. B. de Melo
Marcelo Luis Orticelli
Superintendência Executiva
Ricardo Henriques
Implementação de Projetos
Maria Julia Azevedo Gouveia
Desenvolvimento e Conteúdos
Lucia Helena Couto
Gestão do Conhecimento
Mirela de Carvalho
Planejamento e Articulação Institucional
Tiago Borba
Administração, Finanças e Tecnologia 
da Informação
Fábio Santiago
UMáRIOS
Oficina 1 – Noções de Geometria
Oficina 2 – Teorema de Tales e os triângulos
Oficina 3 – Circunferência e Círculo
Oficina 4 – Representações no plano
Oficina 5 – Sequências numéricas e expressões algébricas
Oficina 6 – Equação do 2o grau
Oficina 7 – Tratamento da Informação
Oficina 8 – Revisitação
Referências Bibliográficas
9
33
41
48
57
66
74
84
91
9
NOçõES dE GEOMETRIA1
1a atividade: Os objetos da Geometria podem ser observados na natureza, na arquitetura, na arte 
e em muitos outros contextos. Por exemplo: ponto, reta e plano são elementos geométricos primi-
tivos que podem estar associados a diferentes formas que estão à nossa volta.
Você saberia identificar algumas formas que se parecem com estes elementos?
– Ponto
– Reta 
– Plano 
Ao selecionarmos um ponto A em uma reta, este ponto divide a reta em duas semirretas:
A
A
H
H
A
G
G
10 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
O que é um ângulo?
A
B
V
lado
lado
Vamos classificar ângulos segundo suas medidas:
C
A
G
R
S
O
E F
B
V
M
N
Vértice: V
Lados: fiVAfl e fiVBfl
Ângulo agudo
< 90º
Ângulo obtuso
> 90º
Ângulo reto
= 90º
Ângulo raso
= 180º
11
2a atividade: Examine o mapa seguinte:
Ru
a 
Jo
ão
Ru
a 
Lu
ís
Ru
a 
O
to
Rua Ana
B
Rua Clara
Rua Maria
Ru
a 
Ru
i
A
Miguel precisa indicar a seu amigo o caminho que deve ser seguido para sair do ponto A e chegar 
ao ponto B. Veja as instruções de Miguel:
“Siga por uma rua perpendicular à Rua João, passe por duas paralelas a essa mesma rua e vire à 
esquerda na terceira paralela. Ande por essa rua, que é paralela à Rua João, até encontrar a próxima 
perpendicular a ela. Chegou!”
Vamos ajudar o amigo de Miguel a compreender essas instruções, revendo os conceitos de retas 
paralelas e perpendiculares:
a) dê um exemplo de duas ruas paralelas presentes no mapa anterior.
b) defina o que são retas paralelas.
c) dê um exemplo de duas ruas perpendiculares presentes no mapa anterior.
12 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
d) defina o que são retas perpendiculares.
e) Faça o percurso, no mapa, indicado por Miguel para sair do ponto A e chegar ao ponto B.
f ) descreva outra possibilidade de percurso para sair do ponto A e chegar ao ponto B.
FIGURAS PLANAS
São figuras que têm todos os seus pontos localizados em um único plano.
triângulo
retângulo
pentágono
círculo dodecágono
13
FIGURAS NÃO PLANAS 
São regiões do espaço limitadas por uma superfície fechada.
cone
cilindro pirâmide
esfera paralelepípedo
IMPORTANTE: Uma figura não plana pode ter diferentes representações planas, dependendo da 
maneira pela qual é observada. Por exemplo, observe as diferentes vistas de um sólido:
vista superior vista lateral vista frontal
14 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
POLÍGONOS E NÃO POLÍGONOS
As figuras planas podem ser classificadas quanto à natureza de seus lados. Uma figura fechada que 
possui todos os seus contornos retos, sem cruzamentos entre eles, é chamada de polígono. Uma 
figura que tem alguma linha de contorno curva é chamada de não polígono.
polígonos não polígonos
 
Podemos classificar os polígonos quanto ao número de lados:
Número de lados Polígono Número de lados Polígono
1 não existe 11 undecágono
2 não existe 12 dodecágono
3 triângulo 13 tridecágono
4 quadrilátero 14 tetradecágono
5 pentágono 15 pentadecágono
6 hexágono 16 hexadecágono
7 heptágono 17 heptadecágono
8 octógono 18 octadecágono
9 eneágono 19 eneadecágono
10 decágono 20 icoságono
Vamos relembrar os elementos que encontramos nos polígonos. Veja a figura a seguir:
vértice
ângulo
interno
ângulo
externo
lado
15
3a atividade: Agora, resolva o seguinte problema.
Rosângela ficou curiosa ao perceber como as pétalas da flor desenhada a seguir encaixavam-se.
x
Perceba que essas pétalas têm uma forma plana que já conhecemos na Matemática.
a) O x na figura representa qual elemento do polígono?
b) determine o valor de x, na figura inicial.
16 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
4a atividade: Vamos exercitar nossas habilidades em desenhos.
Construção I:
1o Construa uma reta r.
2o Marque, sobre a reta r, os pontos A, B e C (com A entre B e C ).
3o Marque um ponto D que não pertença a r.
4o Trace o segmento AD.
5o Assinale os ângulos D BAB e D BAC.
a) Qual é a medida de cada um desses ângulos? (Use o transferidor.)
b) Calcule a soma das medidas desses ângulos que você acabou de medir.
17
Construção II:
1o Marque um ponto D na região limitada pelo ângulo reto da figura a seguir.
2o Trace o segmento AD.
3o Assinale os ângulos D BAB e D BAC:
A
B
C
a) Qual é a medida de cada um desses ângulos? (Use o transferidor.)
b) Calcule a soma das medidas desses ângulos que você acabou de medir.
ATIVIDADE PRáTICA
Com base na brincadeira “morto e vivo”, a turma deve ser dividida em grupos. Um grupo de cada 
vez deve ficar à frente da sala. Com os alunos enfileirados, o professor, aleatoriamente, dá os 
comandos que deverão ser seguidos pelos alunos. Aquele que errar será excluído do jogo. Quando 
sobrar apenas um aluno, este aguardará os demais vencedores dos outros grupos. Com estes, faz-se 
a rodada final para determinar um único vencedor.
Os comandos para o jogo são:
90° para a direita;
90° para a esquerda;
180° para a direita;
180° para a esquerda;
360° para a direita;
360° para a esquerda.
18 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
ÂNGULOS E POLÍGONOS
As formas geométricas estão presentes em nossas vidas. As propriedades dos ângulos e as caracte-
rísticas dos polígonos nos ajudam a resolver problemas cotidianos. O objetivo desta oficina é tratar 
esses assuntos de maneira mais prática. Para tanto, proporcionamos aos alunos a oportunidade de 
descobrir ou visualizar essas propriedades, seja por meio da regularidade ou da dedução.
1. Propriedades dos ângulos
1a atividade: Você já reparou no funcionamento de uma tesoura? Toda vez que fechamos os cabos 
de uma tesoura, fechamos também suas lâminas. discuta com seus colegas por que isso acontece.
TESOURA
2a atividade: Prove que α = b.
�
�
19
3a atividade: As retas r e s são paralelas. A reta t corta r e s. Esse cruzamento forma vários ângulos. 
Na figura a seguir, assinalamos dois deles. Quanto mede α?
�
r
s
41o
t
4a atividade: A avaliação bimestral de desenho geométrico da escola de Joana começava com a 
seguinte questão:
“No desenho a seguir, as retas r e s são paralelas.Sabendo disso, podemos afirmar que os ângulos 
α e b são congruentes? Por quê?”
r
s
�
�
Joana respondeu: “Não, pois eles não são ângulos correspondentes”. Joana acertou essa questão? 
Justifique sua resposta.
20 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
5a atividade: A segunda questão da avaliação de Joana dizia:
“As retas m e n são paralelas. Qual a relação entre os ângulos γ e θ?”
m
n
�
�
Joana respondeu: “Eles são congruentes, pois são alternos externos.”
A resposta de Joana está correta? Justifique sua resposta.
21
6a atividade: Na figura a seguir, as retas a e b são paralelas. Identifique os:
a) ângulos correspondentes:
b) ângulos alternos internos:
c) ângulos alternos externos:
d) ângulos colaterais internos:
e) ângulos colaterais externos:
m
t
p
o
n
q
r
a b
s
2. Classificação de polígonos
2.1. Triângulos
7a atividade: Na figura a seguir, vemos a representação de um parque que será construído em 
uma cidade.
40 m
30 m
A parte triangular representa um canteiro que será utilizado para a construção de um jardim. O 
responsável pela obra calculou que serão necessários 86,2 m de arame para cercar todo o jardim.
Sabendo que os ângulos indicados têm mesma medida, quanto mede cada lado desse canteiro?
22 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Classificação Nome Característica Imagem
Quanto aos lados
Escaleno Três lados distintos
Equilátero Três lados iguais
Isósceles
dois lados de 
mesma medida
Quanto aos ângulos
Retângulo Um ângulo reto
Obtusângulo Um ângulo obtuso
Acutângulo Três ângulos agudos
✓ Propriedade: Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.
2.2. Quadriláteros
8a atividade: A professora Marta desenhou no quadro os quadriláteros a seguir:
retângulo losango quadrado
Cite uma propriedade comum aos três.
23
Classificação Nome Características Imagem
Paralelogramos
Paralelogramo
– Lados opostos paralelos
– Ângulos opostos congruentes
Retângulo
– Lados opostos paralelos e 
congruentes
– Todos os ângulos retos
Quadrado
– Lados opostos paralelos
– Todos os lados congruentes
– Todos os ângulos retos
Losango
– Lados opostos paralelos
– Todos os lados congruentes
– Ângulos opostos congruentes
Trapézio
Trapézio – Apenas um par de lados paralelos
Trapézio 
isósceles
– Apenas um par de lados paralelos
– Lados não paralelos congruentes
– Ângulos da base congruentes
Trapézio 
retângulo
– Apenas um par de lados paralelos
– dois ângulos retos
– Um dos lados não paralelos é 
perpendicular à base e coincide 
com a altura
24 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
3. Soma dos ângulos internos de um triângulo
9a atividade: Para realizar um trabalho da escola, Ana precisa determinar o valor do ângulo 
identificado na figura a seguir, mas não sabe como. Vamos ajudá-la?
b
B
x
C
a A
4. Diagonais
10a atividade: Trace as diagonais de cada um dos polígonos a seguir e preencha a tabela. Observe a 
regularidade entre os resultados obtidos.
ATENÇÃO!
n: número de lados do polígono
dV: número de diagonais por vértice
d: número de diagonais do polígono
n 4 5 6 7 8 9 x
dV
d
25
5. Ângulos internos de um polígono
11a atividade: descreva uma maneira de calcular a soma dos ângulos internos do pentágono 
a seguir:
12a atividade: divida os polígonos a seguir em triângulos e preencha a tabela. Observe a regu-
laridade entre os resultados obtidos: 
ATENÇÃO!
n: número de lados do polígono
t: número de triângulos em que o polígono foi dividido
Si: soma das medidas dos ângulos internos
n 3 4 5 6 7 8 9 x
t
Si
26 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
13a atividade: A figura a seguir é um octógono regular, isso quer dizer que todos os seus ângulos 
internos são congruentes, assim como seus lados. Qual é o valor do ângulo interno desta figura?
Resolva as seguintes atividades: 
Atividade 1. Observe os ponteiros neste relógio:
decorridas três horas, qual é o ângulo formado pelos ponteiros?
Atividade 2. determine o valor de x, na figura a seguir:
40o
85o
13x + 5o
5x
5x
27
Atividade 3. Em um cubo, estão desenhadas, em suas seis faces, formas planas circular, quadrada, 
triangular, pentagonal, hexagonal e estrela.
Veja o desenho deste cubo em três posições diferentes:
descubra quais são as formas planas que estão nas faces opostas.
Atividade 4. Cada um dos círculos foi dividido em 8 partes iguais. Os ângulos estão indicados 
pelas regiões coloridas:
Bb
Ba
Bc
Bd
Classifique as sentenças em verdadeiras ou falsas, segundo a figura anterior:
( ) Ba = Bd
( ) Bc . Ba
( ) Bb , Bc
( ) Bc . Bd
( ) Ba , Bc
28 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 5. Observe a disposição dos cubos no sólido:
Na malha pontilhada, represente as vistas:
frontal lateral
superior
Atividade 6. Os ângulos x e 4x – 20 são complementares. determine o valor de x:
29
Atividade 7. Identifique qual é a relação entre os ângulos assinalados:
x y
a
b
m
n
Atividade 8. Considerando r // s // t, determine as medidas dos ângulos indicados:
a) 
3x + 20o
5x – 40o
s
r b) 
120o
130o
s
r
z
y
x
c) 
110o
50o
s
r
x
 d) 
65o 70
o
s
r
x
y
t
w
z
30 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 9. Em um ladrilhamento, as formas geométricas planas, cujos contornos são polígonos, 
devem se encaixar sem espaço entre elas e sem sobreposição. dessa maneira, elas podem ocupar todo 
o plano, preenchendo-o. Usando apenas um tipo de polígono regular, há somente três regiões poli-
gonais regulares com as quais é possível obter um ladrilhamento: com formas quadradas, triangulares 
equiláteras e hexagonais regulares. A seguir, apresentamos exemplos formados por essas três regiões 
e mostramos a impossibilidade de se obter um ladrilhamento com formas pentagonais regulares.
A
B
C
D
de acordo com as figuras anteriores, faça o que se pede:
a) determine a soma das medidas de todos os ângulos com vértice em A, em B e em C.
b) Existe alguma relação entre a medida do ângulo interno do quadrado, do triângulo equilátero 
e do hexágono regular com a medida de um giro completo?
c) Por que não é possível um ladrilhamento só com polígonos pentagonais regulares?
Atividade 10. determine as medidas indicadas por x e y nas figuras a seguir:
a) 
18ºx
2x
31
b) 
y x
1010
Atividade 11. das figuras a seguir, indique as que representam polígonos:
a)
d)
c)
f)
b)
e)
Atividade 12. Quais tipos de polígonos aparecem no contorno das faces de cada poliedro? Há 
quantos de cada tipo?
a) c) 
b) 
32 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 13. (Saresp) dentre os mosaicos abaixo, aquele que é formado apenas por quadriláteros é:
a) b) 
c) d) 
Atividade 14. Na figura seguinte, tem-se r // s e t e u são transversais. Qual o valor de α + b?
20o 70
o
r
s
t
u
�
�
33
TEOREMA dE TALES 
E OS TRIÂNGULOS2
1. Teorema de Tales
Quando duas retas são transversais a um conjunto de retas paralelas, estas determinam sobre as 
transversais vários segmentos.
Teorema (Tales): “A razão entre os comprimentos de dois quaisquer desses 
segmentos sobre uma das transversais é igual à razão entre os comprimentos dos 
segmentos correspondentes na outra transversal”.
t1 t2
A1 A2 r1
B1 B2 r2
C1 C2 r3
r1 // r2 // r3 ⇒ 
A1B1
B1C1
 = 
A2B2
B2C2
, 
A1B1
A1C1
 = 
A2B2
A2C2
 e 
B1C1
A1C1
 = 
B2C2
A2C2
.
34 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Exemplo 1: Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. 
Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão indicadas no mapa 
(em km), mas as outras precisam ser calculadas. Quais são os valores de x, y e z?
20
15
15
12
18
y
z
x
2. Semelhança
Calcule o valor de x em cada uma das figuras a seguir:
a) 
2 cm
4 cm
40o
40o
110o 110oA
B
E
x
F
D
C
3 cm
 b) 
3 cm
6 cm
4 cm
50o
50o
J
K
x
L
G
35
Definição: “dois triângulos são ditos semelhantes se existir correspondência entre 
seus vértices, de modo que osângulos correspondentes sejam congruentes e os 
lados em correspondência sejam proporcionais”.
dados dois triângulos ABC e DEF, há seis correspondências possíveis entre seus vértices. Listemos 
todas elas:
A  D A  D A  F A  F A  E A  E
B  E B  F B  E B  D B  F B  D
C  F C  E C  D C  E C  D C  F
A questão, então, é verificar se alguma dessas seis correspondências tem as propriedades apresentadas 
nas definições, que são:
•	possuir	os	ângulos	em	correspondência	congruentes;
•	possuir	os	lados	em	correspondência	proporcionais.
Quando dois triângulos são semelhantes, eles não são necessariamente “iguaizinhos”. Eles têm, 
sim, a mesma forma (já que possuem os ângulos correspondentes congruentes), mas não possuem 
necessariamente o mesmo tamanho (pois, neste caso, exige-se somente que os lados correspon-
dentes sejam proporcionais). Assim, triângulos semelhantes são iguais na forma, mas não necessa-
riamente no tamanho.
Intuitivamente: “dois triângulos podem ser completamente diferentes na forma e no tamanho. 
Porém, se forem iguais na forma (são as medidas dos ângulos que caracterizam a forma do triângulo), 
eles serão triângulos semelhantes. Se, além de iguais na forma, forem iguais no tamanho, eles serão 
congruentes”.
36 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
2.1. Casos de semelhança entre triângulos
Caso (AA): Se dois triângulos ABC e DEF são tais que BA  BD e BB  BE, então ABC  DEF. 
(Aqui é necessário e suficiente que se tenha dois pares de ângulos congruentes).
Caso (LAL): Se dois triângulos ABC e DEF são tais que BB  BE e AB
DE
 = 
BC
EF
, então ABC  DEF. 
(Aqui é necessário e suficiente que se tenha um par de ângulos congruentes e os dois pares 
de lados, adjacentes a esse par de ângulos congruentes, proporcionais).
Caso (LLL): Se dois triângulos ABC e DEF são tais que 
AB
DE
 = 
BC
EF
 = 
CA
FD
, então ABC  DEF. 
(Aqui é necessário e suficiente que se tenha os três pares de lados proporcionais).
2.2. Razão de semelhança
No caso de os triângulos ABC e DEF serem semelhantes e a correspondência entre os vértices ser 
A  D, B  E e C  F, teremos, consequentemente, AB
DE
 = 
AC
DF
 = 
BC
EF
. Neste caso, seja k o valor 
comum dessas três razões, ou seja,
AB
DE
 = 
BC
EF
 = 
CA
FD
 = k.
dizemos que k é a razão de semelhança do triângulo ABC para o triângulo DEF.
37
2.3. Relações métricas no triângulo retângulo
Calcule o valor de x na figura a seguir:
A
B 4 cm
3 cm
C
x
A E H K
4 cm 4 cm 4 cm 4 cm
3 cm 3 cm 3 cm 3 cm
5,79 cm4,04 cm5 cm4,87 cm
B C D F G I J L
86,95o 68,73o 110,81o90o
Teorema: Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-o em dois triângulos 
que são semelhantes um ao outro e também semelhantes ao triângulo original.
Corolário: Em um triângulo retângulo:
(i) o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos 
determinados pelo pé da altura sobre a hipotenusa (sinteticamente: a altura relativa à hipotenusa é a 
média geométrica entre os segmentos determinados pelo pé da altura sobre a hipotenusa);
(ii) o quadrado da medida de cada cateto é igual ao produto da medida da altura relativa à hipotenusa 
pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa (sinteticamente: cada cateto é a média 
geométrica entre a hipotenusa e o segmento da hipotenusa, que é a projeção desse cateto sobre ela).
Teorema de Pitágoras: “Em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos”.
Teorema (Recíproca do Teorema de Pitágoras): “Se o quadrado da medida do maior lado de 
um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, então o 
triângulo é retângulo, tendo o ângulo reto oposto ao maior lado”.
38 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Um terreno, em forma de triângulo, está repartido em dois lotes, por meio de um 
muro paralelo a um dos lados do terreno, conforme indicado na figura a seguir. Qual a extensão 
deste muro?
50 m
25 m
muro
30 m
Atividade 2. Na figura a seguir, o quadrado está inscrito no triângulo ABC. Qual a medida do lado 
deste quadrado?
2 cm8 cm
A
B C
•
Atividade 3. determine o valor de x no triângulo a seguir:
6
8
10 7
4
x
39
Atividade 4. O triângulo retângulo ABC é retângulo em B. Qual a medida h da altura relativa 
à hipotenusa?
B
CA
4 cm
h
5 cm
•
Atividade 5. No trapézio dado na figura a seguir, qual é a medida da base maior?
20cm
15 cm
13 cm
5 cm
Atividade 6. Três lotes quadrados delimitam um lago em forma de um triângulo retângulo, 
conforme indicado na figura a seguir:
Lote 2
Lote 1
Lote 3
Lago
Sabe-se que as medidas das áreas desses três lotes somam 800 m². Qual a medida do maior lado 
do lago?
40 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 7. Um motorista, partindo de um ponto A, corre 10 km em direção ao sul. depois, 
6 km em direção a leste e, finalmente, 2 km em direção ao norte, parando em um ponto B. 
Em cada etapa, ele sempre corre em linha reta.
Qual é a distância do ponto B ao ponto A?
Atividade 8. A partir dos dados da figura a seguir, determine:
160 m
120 m
a) a distância da árvore ao poço. 
b) a distância da árvore à casa.
c) a distância da casa ao poço.
Atividade 9. de um ponto A exterior a uma circunferência de raio 6 cm conduz-se uma tangente 
AT à essa circunferência, medindo 8 cm. Calcule a distância de A ao centro da circunferência.
Atividade 10. Considere a figura a seguir como uma caixa em forma de 
um bloco retangular. O segmento AB representa a vareta mais longa que 
pode caber dentro da caixa. Quanto mede a vareta?
A
24 cm
B
8 cm
6 cm
41
CIRCUNFERêNCIA E CíRCULO3
1. Os principais elementos de uma circunferência:
dados um ponto O no plano e um número real positivo r, a circunferência de centro O e raio r é o 
conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto O é igual a r. denotaremos a circunferência 
de centro O e raio r por C(O, r).
r
O
 
R O
U
Q
P
=r
=r
=r <r
VS
=r
>r
 dist (P, O) = r ⇔ P  C (O, r)
dist (Q, O) = r ⇔ Q  C (O, r)
dist (R, O) = r ⇔ R  C (O, r)
dist (S, O) = r ⇔ S  C (O, r)
dist (U, O) = r ⇔ U  C (O, r)
dist (V, O) = r ⇔ V  C (O, r)
Note que um ponto do plano só pertencerá à circunferência de centro O e raio r quando a distância 
entre esse ponto e o ponto O for exatamente igual à r. Assim, se a distância de um ponto do plano 
ao ponto O for diferente de r, esse ponto não pertencerá à C (O, r).
Se um ponto do plano não pertence à C (O, r) é porque d (P, O)	≠	r. Nesse caso, há duas possi-
bilidades:
•	d (P, O) < r, o que implica que o ponto P está situado na região do plano delimitada por 
C (O, r), ou seja, P pertence à região interior à circunferência de centro O e raio r;
•	d (P, O) > r, o que implica que o ponto P está situado na região do plano exterior à circun-
ferência de centro O e raio r.
C (O, r)
42 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
P
P
O
Região interna
Região externa
O
dist(P, O) < r dist(P, O) < r
1.1. Elementos de uma circunferência
•	Corda: é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência.
•	Diâmetro: é uma corda que passa pelo centro.
•	Raio: é um segmento de reta que une o centro a um ponto da circunferência.
 
OG
C
F E
H
D
B BC, DE e GH são cordas
 GH é um diâmetro
 OG, OH e OF são raios
Note que, como um diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência, o centro divide 
o diâmetro em dois segmentos que unem o centro a um dos pontos da circunferência, logo, são 
raios. É o caso do diâmetro GH na figura anterior, que é dividido pelo centro O em dois segmentos 
OG e OH, que são raios dessa circunferência. Portanto, o comprimento d de um diâmetro corres-
ponde ao dobro do comprimento r de um raio, ou seja:
d = 2r.
43
2. Ângulos e arcos em uma circunferência
Ao selecionarmos dois pontos distintos sobre uma circunferência, ficamdeterminados dois arcos 
de circunferência, conforme ilustrado na figura a seguir:
O
C
A
D
B
Os pontos selecionados nessa figura foram A e B. Os pontos C e D foram utilizados simplesmente 
para diferenciar, por notação, os dois arcos gerados pelos pontos A e B, pois, dessa forma, podemos 
fazer referência aos arcos: (ADB e (ACB sem gerar qualquer confusão. Ambos os arcos têm como 
extremidades os pontos A e B, entretanto, o arco (ADB passa pelo ponto D, enquanto o arco (ACB 
passa pelo ponto C.
Note que esses dois arcos completam a circunferência.
Há dois tipos principais de ângulos relacionados a circunferências:
•	Ângulo central: é o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.
•	Ângulo inscrito: é o ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados são 
retas secantes à circunferência.
 
A
O
B
 
O
N
M
V
 Ângulo central A BOB Ângulo inscrito M BVN
definimos a medida de um arco de circunferência como a medida do ângulo central que suben-
tende. Na figura anterior, definimos a medida do arco menor )AB como igual à medida do ângulo 
A BOB.
44 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
3. Posição relativa entre duas circunferências
Considere duas circunferências, uma de centro O e raio R e outra de centro C e raio r. Indicaremos 
por d (O, C) a distância entre os centros dessas duas circunferências. As posições relativas entre 
essas duas circunferências podem ser:
O � C O O
C
C
O
C
O
C
O
C
4. Posição relativa entre uma reta e uma circunferência
O O Od
d > R d < Rd = R
d d
reta r é externa
à circunferência
r t s
reta t é tangente
à circunferência
reta s é secante
à circunferência
Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçarmos os segmentos wPA e wPB, tangentes à 
circunferência nos pontos A e B, então os segmentos wPA e wPB têm o mesmo tamanho (são con-
gruentes). A
O
B
P
PA = PB
Concêntricas
d (O, C) = 0
Tangentes internas
d (O, C) = R – r
Tangentes externas
d (O, C) = R + r
Externas
d (O, C) > R + r
Internas
0 < d (O, C) < R – r
Secantes
R – r < d (O, C) < R + r
45
5. Círculo
Um círculo é a região do plano formada por uma circunferência e pelos pontos do seu interior.
O
O círculo, portanto, é uma superfície, enquanto a circunferência é uma linha.
Todo círculo tem uma circunferência como contorno, como fronteira. O raio de um círculo é o raio 
de sua circunferência. Conforme já foi visto em oficina anterior, o comprimento C de uma circun-
ferência de raio r é dado por: C = 2pr, e a área S de um círculo de raio r é dada por: S = pr2.
Resolva as atividades propostas a seguir: 
Atividade 1. (Saresp) Na circunferência da figura, o segmento 
que representa o raio é:
a) wAB.
b) wRQ.
c) wPQ.
d) wTR.
Atividade 2. (Saresp) Na figura, cada um dos círculos dos raios r1, 
r2 e r3, com r1 < r2 < r3 tangencia os outros dois:
Assim: 
a) r1 + r2 = r3.
b) 2r1 + 2r2 = r3.
c) 
r3
r1
 = r2.
d) r1 ? r2 = r3.
A
B
R
Q
P
T
46 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 3. (OBMEP) Na figura, O é o centro do círculo e AB = 5 cm. 
Qual é o diâmetro desse círculo?
Atividade 4. Qual é o comprimento de uma circunferência que tem raio igual a 2,4 cm? Use p = 3,14.
Atividade 5. Calcule a área do círculo que tem diâmetro igual a 20 cm. Use p = 3,14.
Atividade 6. O triângulo ABC da figura a seguir tem 13,5 cm de perímetro. Qual é o comprimento 
do diâmetro desta circunferência?
Atividade 7. (Cefet-MG) A medida do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um 
relógio que está marcando 9h 30min, em graus, é:
a) 90.
b) 105.
c) 110.
d) 120.
e) 150.
A C
O 5
4
B
AC
60o
B
47
Atividade 8. Calcule o valor de x na figura a seguir:
B
x
A
C
O
42o
Atividade 9. Uma circunferência tem diâmetro medindo 80 cm.
a) Um ponto P pertence a essa circunferência e sua distância ao centro é expressa por (2x + 20) cm. 
determine o valor de x.
b) Um ponto Q é interno a essa circunferência e sua distância ao centro é expressa por (3x + 11) cm. 
Qual é o maior valor inteiro que x pode assumir?
c) Um ponto R é externo a essa circunferência e sua distância ao centro é expressa por (4x + 16) cm. 
Qual é o menor valor inteiro que x pode assumir?
Atividade 10. determine a medida do ângulo x na figura a seguir:
Vx
86o O
48 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
REPRESENTAçõES NO PLANO4
1a atividade: Isabela participa de um coral e vai fazer uma apresentação na igreja de seu bairro. 
Veja, no mapa a seguir, onde ela está.
Ru
a 
Pr
of
es
so
r 
H
ilá
rio
Ru
a 
Bo
m
 J
es
us
Ru
a 
N
ot
re
 D
am
e
Rua Lafaiete da Mata
Rua Madalena Ferreira
Praça
Praça
Rua Padre Odorico
O caminho mais curto para Isabela chegar à igreja é:
a) passando pela Rua Madalena Ferreira e subindo a Rua Professor Hilário.
b) indo pela Rua Madalena Ferreira, subindo a Rua Bom Jesus e entrando na Rua Lafaiete da Mata.
c) indo pela Rua Notre dame, seguindo pela Rua Lafaiete da Mata e descendo a Rua Bom Jesus.
d) pegando o caminho entre as praças e seguindo pela Rua Padre Odorico.
49
Um sistema cartesiano é um sistema de referencial empregado para a localização de pontos num 
plano. Ele consiste em dois eixos (retas) perpendiculares, imaginados como retas reais, cujo ponto 
de interseção representa o 0 (zero) para ambas as retas reais. Em cada eixo, cada ponto representa 
um número real.
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
O eixo horizontal recebe o nome de eixo das abscissas e o eixo vertical é chamado de eixo das 
ordenadas. Com esse sistema, é possível estabelecer a localização de cada ponto do plano, descre-
vendo-o em função de sua posição em relação a esses dois eixos.
Considere o ponto P do plano, representado no plano cartesiano a seguir:
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
P
50 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Note que, projetando perpendicularmente o ponto P sobre cada um dos eixos, podemos associar 
ao ponto P um valor do eixo das abscissas e um valor do eixo das ordenadas, que correspondem 
aos números reais que representam essas projeções nesse eixo x:
•	Eixo	das	abscissas:	o	número	real	2.
•	Eixo	das	ordenadas:	o	número	real	4.
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
P
dessa forma, poderíamos nos referir ao ponto P como o ponto de abscissa 2 e ordenada 4. Para 
facilitar nossa representação do ponto P, convencionamos a abscissa e a ordenada do ponto P por 
meio de um par ordenado (no qual a ordem dos elementos é importante), no qual o primeiro 
elemento designa a abscissa do ponto e o segundo elemento, a ordenada do ponto.
Assim, o ponto P pode ser descrito simplesmente por (2, 4). A abscissa e a ordenada de um ponto 
são chamadas de coordenadas do ponto.
Note que o ponto de coordenadas (2, 4) é diferente do ponto de coordenadas (4, 2). Este último 
é um ponto de abscissa 4 e ordenada 2. As coordenadas (4, 2) correspondem a outro ponto, que 
chamaremos de Q, que difere do ponto P. 
Veja a figura a seguir: 
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
P
Q
51
É usual se referir ao eixo das abscissas como o eixo x e ao eixo das ordenadas como o eixo y. Assim, 
é comum utilizarmos as letras x e y para rotular os eixos no plano cartesiano, conforme a figura 
a seguir: 
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
y
x
Os eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
y
x
1o- quadrante2o- quadrante
4o- quadrante3
o- quadrante
Note que, em função do quadrante em queum ponto se localiza, o sinal de suas coordenadas fica 
previamente definido, pois os pontos pertencentes ao:
•	1o quadrante têm abscissa e ordenada positivas;
•	2o quadrante têm abscissa negativa e ordenada positiva;
•	3o quadrante têm abscissa e ordenada negativas;
•	4o quadrante têm abscissa positiva e ordenada negativa.
52 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
y
x
1o- quadrante
(+ , +)
2o- quadrante
(– , +)
4o- quadrante
(+ , –)
3o- quadrante
(– , –)
Já os pontos que se localizam sobre os eixos possuem as seguintes características:
•	Sobre	o	eixo	das	abscissas:	possuem	a	ordenada	nula,	portanto	são	da	forma	(x, 0);
•	Sobre	o	eixo	das	ordenadas:	possuem	a	abscissa	nula,	portanto	são	da	forma	(0,	y).
Vale ainda observar que é fácil descrever pontos simétricos aos eixos coordenados em um sistema 
cartesiano:
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8
y
simétrico de P em relação
ao eixo das ordenadas
P’’
P’’’
P
P’
x
simétrico de P em relação
à origem (0, 0)
simétrico de P em relação
ao eixo das abscissas
•	P’ (simétrico de P em relação ao eixo das abscissas): mesma abscissa e ordenada simétrica;
•		P’’ (simétrico de P em relação ao eixo das ordenadas): mesma ordenada e abscissa simétrica;
•		P’’’ (simétrico de P em relação à origem): abscissa e ordenada simétricas.
53
Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Identifique o par ordenado que localiza cada casa destacada no tabuleiro, indicando 
como primeiro elemento do par a fila horizontal e como segundo elemento a fila vertical onde a 
casa se posiciona.
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
F
D
C
E
Atividade 2. dê as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano a seguir:
10
0F E x
2 3 4 5 6–1–2–3–4
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
6
B
C
AD
y
54 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 3. Considere o quadrilátero ABCD de perímetro 28 cm. A escala nos dois eixos encontra-se 
em centímetros. Quais são as coordenadas dos vértices deste quadrilátero?
y
x
–3
–2
B C
A D
Atividade 4. Um quadrilátero ABCD tem por vértices os pontos A (1, 2), B (1, –5), C (4, 0) e D (4, 5). 
É possível saber qual é esse tipo de quadrilátero, sem desenhá-lo. Pense a respeito. Em seguida, 
desenhe-o em um plano cartesiano.
55
Atividade 5. (Saresp) A figura abaixo mostra a localização de quatro crianças em relação às ruas 
Alegria e Beija-Flor. As demais ruas traçadas são paralelas à Rua Alegria ou à Rua Beija-Flor. 
A distância entre cada uma das ruas é de 100 m.
Sílvia
André
Gil Paulo
Rua Alegria
100 m
10
0 
m
0 m
Ru
a 
Be
ija
-F
lo
r
Assinale a alternativa correta:
a) André está à mesma distância das ruas Alegria e Beija-Flor. 
b) Paulo está a 100 m da Rua Alegria e a 200 m da Rua Beija-Flor.
c) Sílvia está a 200 m da Rua Alegria e a 100 m da Rua Beija-Flor.
d) Gil está a 200 m da Rua Alegria e a 100 m da Rua Beija-Flor.
Atividade 6. Para ir de casa ao trabalho ou para voltar, Letícia usa os percursos A, B ou C, indicados 
no mapa a seguir. Ela nunca vai e volta pelo mesmo percurso. Hoje, na ida, fez um ângulo reto e 
outro menor do que o reto, e na volta, fez dois ângulos maiores do que o reto. Os caminhos de ida 
e volta de Letícia hoje, nesta ordem, foram:
RUA PIO XI
RU
A PIO
 XI
RUA DIÓGENES
RIBEIRO DE LIM
A
RUA DIÓGENES
RIBEIRO DE LIMA
R. 
CE
RR
O C
OR
Á
R. 
CE
RR
O C
OR
Á
AV
. Q
U
EI
RO
Z 
FI
LH
O AV. PE.PEREIRA
DE ANDRADE
AV. PROF FONSECA RODRIGUES
PARQUE
VILLA-LOBOS
SHOPPING
VILLA-LOBOS
R.
 T
EE
RÃ
R.
 S
CH
IL
LI
N
G
PRAÇA DO
POR DO SOL
AB
C
R. HEITOR PENTEADO
LETÍCIA
AV. SÃO
 GUALTER
PRAÇA 
PANAMERICANA
a) A e C. b) A e B. c) B e C. d) C e A.
56 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 7. determine o quadrante ao qual pertence cada um dos pontos a seguir:
A (–2, 4); B (–w5, –2); C (p, 10); D (–4, –7); E (7, –8).
Atividade 8. determine m e n, para que (3m + 5, n + 4) = (8, 2).
57
SEQUêNCIAS NUMÉRICAS E 
ExPRESSõES ALGÉBRICAS5
Um problema central em Matemática é a identificação de padrões. Em geral, em uma sequência de 
números ou de imagens, é possível identificar o padrão que orienta a formulação dessa sequência. 
Nesta oficina, estamos interessados, particularmente, em observar regularidades em uma sequência 
de números e empregaremos expressões algébricas para desvendar os padrões que estão por trás 
dessas sequências. Além disso, calcularemos o valor numérico de uma expressão algébrica.
Sequência:
Uma sequência é uma coleção de elementos (números, figuras, objetos etc.) dispostos em uma 
ordem. Portanto, em uma sequência existe o primeiro elemento, o segundo elemento, o terceiro 
elemento e, assim, sucessivamente.
Representando o 1o termo de uma sequência por a1, o 2
o termo por a2, o 3
o termo por a3 e, mais 
geralmente, o n-ésimo termo (o termo que ocupa a posição n na sequência) por an, temos:
(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...)
O termo que corresponde à n-ésima posição, ou seja, o termo an, é chamado de termo geral da 
sequência.
Observe que o termo que antecede an é o an – 1 e o que sucede, an + 1. Portanto, ao nos referirmos 
ao nono termo da sequência anterior (o termo que ocupa a nona posição), estamos nos referindo ao 
termo a9.
58 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
1a atividade: Observe as seguintes sequências numéricas:
a) (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...)
b) (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...)
determine a fórmula do termo geral e o trigésimo termo de cada uma das sequências.
2a atividade: desenhe o que seria o 6o termo da sequência formada pelas figuras a seguir:
4o- termo2o- termo 3o- termo1o- termo
59
3a atividade: david e Isadora estão brincando de adedanha. Quem acertar sozinho a resposta 
ganha 10 pontos, quem empatar ganha 5 pontos e quem errar fica com zero. Se david tiver x 
acertos e y empates, qual expressão indica os pontos obtidos por ele no total?
4a atividade: defina a expressão algébrica que representa a metade de um número somado a 7.
5a atividade: Obtenha a expressão algébrica que expressa a situação relatada a seguir:
Um sexto da vida dele foi uma bela infância. depois de 1/12 da sua vida, a sua barba cresceu. Um 
sétimo da sua vida passou-se em um casamento sem filhos. Mas, cinco anos após isso, nasceu seu 
primeiro filho, que viveu uma vida feliz durante apenas metade do tempo de vida do seu pai. E, em 
profundo pesar, o pobre velho terminou seus dias na Terra quatro anos após perder o filho.
60 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Valor numérico de uma expressão algébrica
Para se obter o valor numérico de uma expressão algébrica, deve-se proceder do seguinte modo:
1o) Substituir as letras por números reais dados.
2o) Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:
•	Potenciação
•	Divisão	e	multiplicação
•	Adição	e	subtração
Recomendação: Utilize parênteses quando substituir letras por números negativos em uma 
expressão algébrica.
6a atividade: Calcular o valor numérico de 2x + 3y para x = 5 e y = –5.
Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Calcule o valor numérico das expressões em cada caso:
a) a3 – 3a2x2y2, sendo a = 10, x = 2 e y = 1.
b) A = x2 + 
1
5
, sendo x = 
2
5
.
c) a + b
ab
 para a = 
1
3
 e b = 
2
5
.
d) 3x
2 – fiy
5 – x
 para x = –2 e y = 16.
61
Atividade 2. Escreva expressões algébricas para representar o perímetro e a área de cada uma das 
figuras a seguir:
a) b) c) 
Atividade 3. Continue a seguinte sequência numérica:
5, 9, 13, …
a) Como se caracteriza essa sequência? (Termo inicial, lei de formação).
b) Qual o 15o termo dessa sequência numérica? Qual o 25o termo?
Atividade 4. Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro custa R$ 45,00 a 
unidade e o segundo custa R$ 67,00 a unidade. Se designarmos por x a quantidade vendida do 
primeiro tipo e por y a quantidade vendida do segundo tipo:
a) Qual expressão algébricafornece a venda desses dois artigos?
b) Qual o valor arrecadado se forem vendidas 200 e 300 unidades, respectivamente?
b n x
a m x
b n x
a m x
b n x
a m x
62 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 5. Analise a sequência dos números quadrados:
1
(1 � 1) 
4
(2 � 2) 
9
(3 � 3) 
16
(4 � 4) 
a) Qual é o próximo número quadrado nessa sequência?
b) Qual é o oitavo termo dessa sequência? 
c) E o décimo? 
Atividade 6. dadas as leis de formação, escreva suas sequências numéricas.
a) an = 4n
b) an = 2n + n
c) an = –n – 1
d) an = 4n
63
Atividade 7. (Enem) A linguagem utilizada pelos chineses há milhares de anos é repleta de símbolos, 
os ideogramas, que revelam parte da história desse povo. Os ideogramas primitivos são quase um 
desenho dos objetos representados. Naturalmente, esses desenhos alteraram-se com o tempo, 
como ilustra a seguinte evolução do ideograma , que significa cavalo e em que estão representados 
cabeça, cascos e cauda do animal.
Considerando o processo mencionado acima, escolha a sequência que poderia representar a 
evolução do ideograma chinês para a palavra luta.
a)
b)
c)
d)
e)
Atividade 8. Quais são o 6o e o 10o termos desta sequência?
1
1 2 3 4
3
6
10
64 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 9. (Enem) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que 
encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra 
as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e ( y) na largura. 
A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
5
3
y
x
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:
a) 2xy
b)	15	−	3x
c)	 15	−	5y
d)	−5y	−	3x
e) 5y + 3x – xy
Atividade 10. (Unicamp) Roberto disse a Valéria: “Pense um número, dobre esse número, some 
12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?”. Valéria disse “15”. Roberto, imedia-
tamente, revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número:
65
Atividade 11. Escreva de duas maneiras diferentes a expressão que representa o perímetro de 
cada um dos retângulos:
a) b) c) 
Atividade 12. (Saresp) A expressão x + x
4
 pode ser escrita como:
a) a soma de um número com o seu quádruplo. 
b) a soma de um número com o seu dobro.
c) a soma de um número com a sua quarta parte. 
d) a soma de um número com a sua metade.
Atividade 13. Calcule o valor numérico das seguintes expressões algébricas:
a) x2+ y2 para x = –1 e y = 2
b) a2 – 7a + b para a = 5 e b = –1
c) x2 – 2y para x = –3 e y = 5
d) 3s2 – t2 para s = –2 e t = –7
e) 5a2 + 3ab para a = –3 e b = 4
3x
x
x + 2
x
x
y
66 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
EQUAçãO dO 2o GRAU6
Você é o professor!
1a atividade: Cenário 1:
A solução da equação está correta?
Em certa aula de Matemática, o professor propôs aos alunos que resolvessem a 
seguinte equação: x2 – 2x = 0.
Um dos alunos apresentou a seguinte resolução:
x2 = 2x
x ? x = 2x
x = 2
Em seguida efetuou a seguinte verificação: (2)2 – 2(2) = 4 – 4 = 0.
Com isso concluiu que a equação x2 – 2x = 0 tem o conjunto solução S = {2}.
67
2a atividade: Cenário 2:
E você, concorda com essa solução?
O professor perguntou à sua turma qual seria o valor da “raiz quadrada de 4”.
Pedrinho de pronto respondeu:
– Professor, a raiz quadrada de 4 é igual a –2 ou 2.
– Pedrinho, como você chegou a essa conclusão?
– Bem, chamando de x a raiz quadrada de 4, temos a equação x = fi4. Elevando 
ao quadrado ambos os membros dessa equação chegamos a x2 = 4, de onde se 
obtém x = ±fi4, ou seja, x = ±2. Por essa razão é que se tem: fi4 = ±2.
68 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
3a atividade: Cenário 3:
Você resolveria dessa forma? Há outra forma de resolver?
O professor propôs o seguinte problema aos alunos de sua turma:
O quadrado de um número, somado a seu triplo, é igual a nove vezes esse número. 
Qual é esse número?
Um de seus alunos resolveu esse problema da seguinte forma:
Chamou de x esse número e obteve a equação: x2 + 3x = 9x.
Em seguida resolveu essa equação da seguinte forma:
x2 = 9x – 3x
x2 = 6x
x = ±fi6x 
Aí chegando, parou e não conseguiu dar resposta ao problema.
69
4a atividade: Resolva a equação 3x2 = 0.
5a atividade: Um terreno, que tem a forma de um quadrado, foi reduzido da maneira indicada na 
figura a seguir, para dar lugar a uma calçada com 2 m de largura. Ao final, sua área passou a ser 
de 484 m². Qual era a medida do lado do terreno original?
2 m
2 m
484 m2
70 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
6a atividade: Método de completar quadrados
Resolver a equação x2 + 6x – 7 = 0.
7a atividade: Fórmula de Bhaskara
ax2 + bx + c = 0
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac
(2ax + b)2 = b2 – 4ac
Se b2 – 4ac . 0, sua raiz quadrada será um número real, logo:
2ax + b)2 = fib2 – 4ac
2ax = –b = ±fib2 – 4ac
x = 
–b + fib2 + 4ac
2a
 ou x = 
–b – fib2 + 4ac
2a
8a atividade: Soma e produto
Resolver a equação x2 – 7x + 10 = 0.
9a atividade: Resolver a equação x2 – 2x – 3 = 0.
71
Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Complete o quadro a seguir:
Equações Coeficientes
a) x2 – 2x + 3 = 0 a = b = c =
b) –2x2 – 4x = 0 a = b = c =
c) 5x2 – 5 = 0 a = b = c =
d) x2 = 0 a = b = c =
Atividade 2. Resolva as equações:
a) x2 =1
b) x2 =9
c) 16 = n2
d) 10 = 2a2
e) 9 = –36y2
72 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 3. Resolva as equações por fatoração:
a) y2 + 2y = 0
b) b2 – 3b = 0
c) 2x2 + 8x = 0
d) 5n2 – 20n = 0
e) 4z2 + 24z = 0
Atividade 4. Resolver o seguinte problema: Qual a medida de cada lado de uma região quadrada 
com área de 169 m2?
Atividade 5. determine o(s) valor(es) de p na equação x2 – px + 9 = 0 para que essa equação 
tenha um única raiz real.
Atividade 6. Um retângulo possui 54 cm² de área. O comprimento é expresso por (x – 1) cm, 
enquanto a largura é expressa por (x – 4) cm. Nessas condições, determine o valor de x.
Atividade 7. O dono de uma marcenaria, que fabrica certo tipo de armário, verificou que o número 
N de armários que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando 
na marcenaria e que essa dependência é dada pela igualdade N = x2 + 2x. Qual é o número de 
funcionários necessários para a marcenaria fabricar 168 armários em um mês?
x
73
Atividade 8. Quero fazer um cercado retangular com 22 m² de área. O material que possuo dá 
para erguer 26 m de cerca. Que medidas devem ter os lados do meu cercado retangular?
Atividade 9. Na equação x2 – 4x + p – 6 = 0 , a soma e o produto das raízes são iguais. determine, 
nessas condições, o valor de p. 
Atividade 10. Uma pessoa distribui 240 balas para certo número de crianças. Se cada criança 
receber uma bala a menos, o número de balas que cada criança vai receber será igual ao número 
de crianças. Qual é o número de crianças?
Atividade 11. Qual deve ser o valor não nulo de k para que a equação kx2 – kx + k – 1= 0 tenha 
uma única raiz real?
Atividade 12. A equação (x – 2) (x + 2) = 2x – 9:
a) admite duas raízes reais e iguais.
b) admite duas raízes reais e opostas.
c) admite apenas uma raiz.
d) não admite raízes reais.
74 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
TRATAMENTO dA INFORMAçãO7
1. População, censo e amostra
A palavra “população”, em sua concepção mais comum, representa o conjunto dos habitantes de 
um país ou de uma região. Em estatística, o termo é usado em sentido mais amplo. Uma população 
(ou universo) é o conjunto de todos os elementos a serem estudados (elementos de interesse).
Um censo ocorre quando as informações de interesse são obtidas para todos os elementos da 
população, ou seja, quando é feito um levantamento completo da população. A quantidade de 
elementos de uma população pode ser finita ou infinita. Por exemplo: os empregadosde uma 
empresa, as agências de um banco e os bairros de uma cidade são populações finitas. Já as 
localizações em uma linha ferroviária, a altitude de um avião e a profundidade de uma escavação 
petrolífera são populações infinitas. Nas situações mais comuns, lidamos com populações finitas. 
Por outro lado, quando uma população, embora finita, é muito grande, ela é tratada, na prática, 
como população infinita.
Quando a população é infinita a realização de um censo é impossível. Além disso, quando a população 
é finita, mas muito grande, o censo pode ser impraticável devido às limitações de custos, tempo, 
acesso etc. Nesses casos, examinamos apenas uma parte da população, que chamamos de amostra. 
Assim, podemos dizer que uma amostra é um subconjunto de uma população.
2. Variáveis e dados
Um dos principais conceitos relacionados à organização da informação é o conceito de variável. 
Uma variável é qualquer característica cujo valor pode mudar de um elemento para outro de uma 
população. Geralmente, variáveis são identificadas por letras maiúsculas. Variáveis são criadas ao 
agrupar informações segundo critérios de tipificação (separação por tipo). Por exemplo: depois de 
coletar dados dos funcionários de uma empresa, podemos agrupar as informações sobre idade, 
salário e grau de instrução. desse modo, teremos criado três variáveis: “Idade”, “Salário” e “Grau de 
instrução”. As variáveis podem ser classificadas como quantitativas ou categóricas.
Variável quantitativa: É uma variável com valores que só podem ser números (representam contagens 
ou mensurações). Algumas variáveis quantitativas são: salário, altura, idade e número de filhos.
Variável categórica (ou qualitativa): É uma variável com valores que podem ser separados em diferentes 
categorias, que se distinguem por alguma característica não numérica. Por exemplo: região de 
procedência, grau de instrução e estado civil.
75
Variáveis quantitativas e categóricas estão sujeitas ainda a uma segunda classificação. Uma variável 
quantitativa pode ser classificada como discreta ou contínua.
Variável discreta: É uma variável com valores obtidos por um processo de contagem. Exemplos: 
número de filhos, número de séries escolares cursadas com aprovação e número de internações 
hospitalares.
Variável contínua: É uma variável que assume valores em uma escala de medição. Exemplos: 
renda mensal, peso e altura.
Por outro lado, as variáveis categóricas podem ser classificadas como ordinais ou nominais.
Variável ordinal: É uma variável com valores que podem ser ordenados. Como exemplo de variável 
ordinal, temos: grau de instrução e categoria da carteira de habilitação.
Variável nominal: É uma variável com valores que não podem ser ordenados. Por exemplo: região 
de procedência e estado civil.
O diagrama a seguir apresenta as classificações de uma variável.
1a-
classificação
2a-
classificação
Quantitativa
Variável
Categórica
Discreta
Contínua
Nominal
Ordinal
Dados (ou observações) são os valores observados de uma variável ou de duas ou mais variáveis. 
Os dados coletados são chamados de dados brutos, quando ainda não passaram por qualquer 
procedimento de classificação, organização ou resumo, ou seja, dados brutos são os dados coletados 
na forma original.
Tabelas e gráficos são recursos muito utilizados para organizar, sintetizar e apresentar dados. 
A tabela é um quadro que resume um conjunto de observações, enquanto os gráficos são formas 
de apresentação dos dados, cujo objetivo de produzir uma impressão mais rápida e fácil do fenô-
meno em estudo. A seguir, analisaremos algumas informações apresentadas com esses recursos.
76 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
1a atividade: O gráfico a seguir exibe a quantidade de meninos e meninas de uma escola ao 
longo de 5 anos.
2004 2005 2006 2007 2008
Meninos
Meninas
165
150
135
120
105
90
75
60
45
30
15
0
a) Quais foram os anos em que o número de meninos superou o número de meninas?
b) Em qual ano o percentual de meninos esteve mais próximo de 50%?
2a atividade: Em uma pesquisa de opinião, pessoas foram ouvidas a respeito de suas preferências 
em termos de consumo cultural. A cada um dos entrevistados, perguntou-se, entre outras coisas, 
a sua faixa etária e qual, entre cinco tipos de programa, era mais do seu agrado. Com base nos 
resultados obtidos, a seguinte tabela foi elaborada:
Faixa 
etária
Programa preferido
Total
Cinema Exposições Teatro Dança
Shows 
musicais
18 a 21 68 1 15 9 45 138
22 a 25 66 3 21 12 42 144
26 a 30 66 8 24 11 25 134
31 a 40 39 3 16 8 17 83
Total 239 15 76 40 129 499
a) Quantos entrevistados possuem entre 22 e 30 anos e têm como programa preferido o teatro?
b) Qual é o percentual de pessoas que possuem entre 22 e 30 anos?
c) Qual é o percentual de pessoas que preferem teatro?
d) Entre os entrevistados que preferem dança, qual é a porcentagem de pessoas que possuem 
mais de 25 anos?
77
3a atividade: O gráfico a seguir exibe o número de filmes locados por uma locadora no primeiro 
semestre de determinado ano:
Meses
N
úm
er
o 
de
 f
ilm
es
 lo
ca
do
s
JA
N
FE
V
M
A
R
A
BR
M
A
I
JU
N
350
300
250
200
150
100
50
0
Em quantos meses o número de locações foi maior que 200? Quais foram esses meses?
4a atividade: As tabelas a seguir apresentam informações sobre 7 pessoas. Na primeira tabela, 
temos as variáveis “nome”, “rua” e “renda”. Já a segunda tabela mostra uma relação entre ruas 
e bairros:
Nome Rua
Renda 
(em reais)
João Antônio Candiá 3 500,00
Maria álvaro Mendonça 2 300,00
Pedro Bruno de Almeira 1 600,00
Elisa Antônio Candiá 6 000,00
Sabrina Feliciano Queiroz 900,00
Alexandre Gustavo de Oliveira 1 100,00
Fernando Antônio Soares 1 200,00
Qual é a renda total das pessoas que moram no bairro São Mateus?
Rua Bairro
Antônio Candiá Centro
álvaro Mendonça São Mateus
Bruno de Almeira Santa Luzia
Antônio Candiá São Mateus
Feliciano Queiroz Centro
Gustavo de Oliveira Santa Luzia
Antônio Soares São Mateus
78 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
5a atividade: O gráfico a seguir exibe as vendas (em unidades) de determinado produto ao longo de 
um semestre. Logo em seguida, a tabela mostra o preço unitário de venda desse produto ao longo 
deste semestre:
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio
Produto
Junho
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
4
21 18
35 37
41
Mês Preço unitário de venda (em reais)
Janeiro 9,00
Fevereiro 10,00
Março 7,00
Abril 5,00
Maio 6,00
Junho 5,00
a) Em quais meses a receita obtida com a venda do produto ultrapassou R$ 200,00?
b) Qual foi a receita total do semestre?
79
6a atividade: A figura a seguir exibe a distribuição percentual segundo grau de instrução e região 
de procedência dos funcionários de uma empresa.
Região de procedência
Interior Capital Outra Total
Fundamental
Médio
Superior
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0%
a) Entre os funcionários com região de procedência “Capital”, há mais funcionários com Ensino 
Superior, com Ensino Médio ou com Ensino Fundamental?
b) Qual é o grau de instrução mais frequente?
c) Qual é a região de procedência com o maior percentual de funcionários no Ensino Médio?
80 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Resolva as atividades a seguir:
Atividade 1. (Saresp) Em uma cidade com 320 praças públicas, foi feita uma avaliação da situação 
destes locais e o resultado foi alarmante, conforme dados da tabela seguinte:
Problemas
Percentual 
das praças
Falhas no calçamento 48%
Falhas na iluminação 25%
áreas verdes mal cuidadas 60%
Lixeiras destruídas ou sem lixeiras 75%
Isso significa que, nessa cidade, há 128 praças:
a) sem falhas no calçamento.
b) com falta de iluminação.
c) com áreas verdes bem cuidadas
d) com lixeiras em bom estado.
Atividade 2. (Saresp) A mãe de Ana anotou a variação da altura de sua filha durante o primeiro 
ano de vida. Veja a tabela:
Idade Altura
Ao nascer 49 cm
1 mês 52 cm
3 meses 56 cm
5 meses 62 cm
7 meses 66 cm
9 meses 69 cm81
Entre os gráficos a seguir, aquele que melhor apresenta as informações da tabela é:
0
Ao
nascer
1
mês
3
meses
5
meses
7
meses
9
meses
10
20
30
40
50
60
70
80
Altura (cm)
(A)
 
0
Ao
nascer
1
mês
3
meses
5
meses
7
meses
9
meses
10
20
30
40
50
60
70
80
Altura (cm)
(B)
0
Ao
nascer
1
mês
3
meses
5
meses
7
meses
9
meses
10
20
30
40
50
60
70
80
Altura (cm)
(C)
 
0
Ao
nascer
1
mês
3
meses
5
meses
7
meses
9
meses
10
20
30
40
50
60
70
80
Altura (cm)
(D)
Atividade 3. (Enem) Foram publicados recentemente trabalhos relatando o uso de fungos como 
controle biológico de mosquitos transmissores da malária. Observou-se o percentual de sobrevivência 
dos mosquitos Anopheles sp. após exposição ou não a superfícies cobertas com fungos sabidamente 
pesticidas, ao longo de duas semanas. Os dados obtidos estão presentes no gráfico a seguir.
0
Po
rc
en
ta
ge
m
 d
e
so
br
ev
iv
ên
ci
a
Dias após exposição
Mosquitos expostos Mosquitos não expostos
20
40
60
80
100
No grupo exposto aos fungos, o período em que houve 50% de sobrevivência ocorreu entre os dias:
a) 2 e 4.
b) 4 e 6.
c) 6 e 8.
d) 8 e 10.
e) 10 e 12. 
2 4 6 8 10 12 14
82 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 4. (Enem) Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no 
conjunto de seis regiões metropolitanas pelo departamento Intersindical de Estatística e Estudos 
Socioeconômicos (dieese):
São Paulo
Salvador
Recife
Porto Alegre
Belo Horizonte
Distrito Federal
13,1
19,9
9,8
10,2
14,7
0 5 10
Taxas de desemprego nas regiões
metropolitanas março/2010
15 20 25
19,3
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 
250 000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de:
a) 24 500 b) 25 000 c) 220 500 d) 223 000 e) 227 500
Atividade 5. A tabela a seguir exibe informações nutricionais de dois alimentos: a castanha de 
caju e a amêndoa:
Energia (Kcal)
Proteína (g)
Gordura Total (g)
Carboidrato (g)
Fibra Alimentar (g)
Cálcio (mg)
Magnésio (mg)
Fósforo (mg)
Potássio (mg)
Sódio (mg)
570
18,5
46,3
29,1
3,7
33
237
594
671
125
581
18,6
47,3
29,5
11,6
237
222
493
640
279
(100 g)(100 g)
Castanha de Caju
torrada e salgada
Amêndoa torrada
e salgada
João comeu 300 gramas de castanha de caju e 550 gramas de amêndoas. Qual foi a quantidade 
de proteínas que João ingeriu?
83
Atividade 6. Maria anotou seu peso e suas medidas antes e depois de fazer um dieta. O gráfico a 
seguir exibe as informações anotadas:
Antes
Peso
Cintura
Braço
Quadril
Coxa
54 kg
13/02/2007
05/03/2007Depois
47,5 kg
78 cm
67 cm
28 cm
23 cm
98 cm
90 cm
56 cm
51 cm
Antes/Depois das medidas
a) Quantos quilos Maria perdeu? 
b) Em qual parte do corpo a perda de medida foi maior? 
84 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Maior raiz
Qual é a maior raiz da equação (x – 37)2 – 169 = 0?
a) 39
b) 43
c) 47
d) 50
e) 53
Atividade 2.
Girando em pentágono – Qual figura será obtida se girarmos no sentido 
horário o pentágono regular por um ângulo de 252º em torno do seu centro?
Observação: o sentido horário é o sentido em que giram os ponteiros de um relógio; no caso do 
pentágono, isso está indicado pela seta no desenho.
(a) (b) (c) (d) (e)
REVISITAçãO8
85
Atividade 3.
Um quadrilátero – O quadrilátero ABCD da figura é um paralelogramo?
A
B
C
45o
45o
115o
65o D
Atividade 4.
Expressões algébricas – O que representam, geometricamente, em 
relação à figura dada, as expressões: 
a2 + 1,5a
e
4a + 3
Atividade 5. (OBMEP) dona Lígia tem um terreno em forma de quadrado. Ela decide dividi-lo em 
cinco regiões, sendo quatro retângulos e um quadrado, como ilustrado na figura abaixo:
Na figura acima temos que:
•	o	quadrado	do	centro	tem	área	igual	a	64	m2;
•	os	lados	maiores	dos	quatros	retângulos	têm	o	mesmo	comprimento;
•	as	cinco	regiões	têm	o	mesmo	perímetro;
determine a área do terreno de dona Lígia.
a 1,5
a
86 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 6. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou 
o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um 
ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo 
que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2a. A figura 
ilustra essa situação:
A
B
P
Trajetória do barco
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo a = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que 
o barco havia percorrido a distância wAB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma 
trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será:
a) 1 000 m
b) 1 000 fi3 m
c) 2 000 
fi3
3 m
d) 2 000 m
e) 2 000 fi3 m
2aa
87
Atividade 7. (Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor 
firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual 
os postes são descritos pelos segmentos wAC e wBD e a haste é representada pelo segmento wEF, todos 
perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta wAB. Os segmentos wAD e wBC 
representam cabos de aço que serão instalados.
A B
D
C
E
F
6 m
4 m
Qual deve ser o valor do comprimento da haste wEF ?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 26fim
Atividade 8. (Saresp) Para as comemorações de aniversário de uma cidade, foi construído um 
grande painel de forma triangular na fachada de um edifício, sendo wAB paralelo a wCD. 
(dados: wVA = 10 m; wAC = 5 m e wCD = 18 m.)
A B
C D
V
5 m
10 m
18 m
Portanto, wAB mede:
a) 9 m
b) 12 m
c) 15 m
d) 16 m
88 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 9. As circunferências de centros M, N e P são tangentes externamente, duas a duas, e 
seus raios medem, respectivamente, 10 cm, 8 cm e 20 cm. determine o perímetro do triângulo MNP.
M N
P
Atividade 10. Na figura a seguir, estão representados um triângulo e uma circunferência inscrita 
nesse triângulo.
C
A B
16 cm
12 cm
x
R
S
T
O
determine:
a) a medida x do lado wAB do triângulo ABC.
b) a medida do segmento wRC, sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 64 cm.
89
Atividade 11. (Enem) durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja 
fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) (x, y) e representa na lousa a descrição de 
cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:
I – é a circunferência de equação x2 + y2 = 9;
II – é a parábola de equação y	=	−x2	−	1,	com	x	variando	de	−1	a	1;
III	–	é	o	quadrado	formado	pelos	vértices	(−2,	1),	(−1,	1),	(−1,	2)	e	(−2,	2);
IV – é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
V – é o ponto (0, 0).
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadri-
culada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento cada, obtendo 
uma figura.
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? 
a) 
y
x
9
9–9
–9
 d) y
x
3
3–3
–3
b) y
x
9
9–9
–9
 e) y
x
3
3–3
–3
c) y
x
3
3–3
–3
90 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 12. (Enem) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas 
paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas 
cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são 
dadas em quilômetros.
2
–2–4–6–8 8642
4
6
8
y
x
–8
–6
–4
–2
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo 
que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (–5, 5), localiza-se um hospital 
público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do 
metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade,o comitê argumentou corretamente que isso seria automa-
ticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto:
a) (–5, 0)
b) (–3, 1)
c) (–2, 1)
d) (0, 4)
e) (2, 6)
91
REFERêNCIAS BIBLIOGRáFICAS
dANTE, Luis Roberto. Tudo é Matemática: Ensino Fundamental. São Paulo: ática, 2005. 
v. I a IV.
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