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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia EAE 0324 - Econometria I Prof. Dr. Ricardo Avelino 1o Semestre de 2008 Lista de Exerc´ıcios 1 - Data de Entrega: 13/03 Voceˆ deve sempre explicar todas as suas respostas, a menos que seja dito para responder uma questa˜o sem provar. Questa˜o 1 Seja X a sentenc¸a de prisa˜o em anos, para pessoas condenadas em Illinois. Suponha que a f.d.p. (func¸a˜o densidade de probabilidade) de X e´ dada por f(x) = µ 1 9 ¶ x2, 0 < x < 3 (a) Ache a sentence de prisa˜o esperada. (b) Qual e´ a variaˆncia da varia´vel aleato´ria X com sua func¸a˜o de densidade? Questa˜o 2 Considere 2 eventos A e B. Se P(A) = (1/5) e P(Bc) = 1/6. A e B podem ser eventos disjuntos? Questa˜o 3 Seja a varia´vel aleato´ria X distribu´ıda com E[X]=2 e var(X)=4. Seja Y distribu´ıda com E[Y]=1 e var(Y)=2. (a) Ache E[3X + 2Y]. (b) Var[X - Y] assumindo que X e Y sa˜o independentes. (c) Var[3X + 2Y] assumindo X e Y sa˜o independentes. (d) Se a covariaˆncia entre X e Y e´ 3, qual e´ a resposta para os itens (a), (b), e (c) agora? Questa˜o 4 Considere a seguinte func¸a˜o de densidade conjunta de duas varia´veis aleato´rias cont´ınuas X e Y dada por fXY (x, y) = ½ kxy, 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 0 caso contra´rio 1 (a) Encontre k que fac¸a com que fX,Y (x, y) seja uma func¸a˜o de densidade conjunta va´lida? (b) Encontre as densidades marginais de X e Y (ie, ache fX(x) fy(y)). (c) Ache a densidade condicional de Y, condicionada em X=x. (d) Determine se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes. (e) Determine se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias na˜o correlacionadas. (f) Como fica sua resposta no item (d) em relac¸a˜o a sua resposta no item (e)? Questa˜o 5 Considere as seguintes distribuic¸o˜es de probabilidade: Y = y\X = x 5 10 1 112 1 12 2 16 1 4 3 112 1 3 (a) Ache a distribuic¸a˜o marginal de X. (b) Ache a distribuic¸a˜o marginal de Y. (c) Ache as medias e variaˆncias de X e Y, respectivamente. (d) X e Y sa˜o independentes? (e) X e Y sa˜o na˜o correlacionados? Questa˜o 6 Existe um antigo jogo de T.V. chamado “Monty Hall Show” ou “Porta dos Desesperados”. No “show” uma crianc¸a tem de escolher uma de treˆs portas. Atra´s de uma das portas ha´ um presente (p.ex., uma bicicleta) e atra´s das outras duas portas ha´ um monstro. Depois de escolher uma porta, Serginho Malandro abre uma das portas que a crianc¸a na˜o escolheu. Ele sempre escolhe uma porta onde ha´ um monstro. Por exemplo, se o presente esta´ atra´s da porta dois e a crianc¸a escolheu a porta um, Serginho Malandro abre a porta treˆs. Em seguida, Serginho Malandro pergunta a` crianc¸a se ela quer permanecer com sua escolha original ou quer mudar de porta. O que ela deve fazer? Em particular, deve ela mudar, deve ela permanecer, ou ser indiferente? Baseie sua resposta na probabilidade de ganhar se ela permanece e se ela mudar. Questa˜o 7 Probabilidades (a) Um dado justo de seis faces e´ jogado uma vez. Qual e´ a probabilidade de cada face aparecer? (b) Se 2 dados justos sa˜o jogados, qual e´ o menor nu´mero de jogadas para a qual a probabilidade de conseguir dois seis exceda 0,5? 2 (c) Numa classe de 40 estudantes, qual a probabilidade de que 2 pessoas tenham a mesma data de aniversa´rio? (d) Dois dados sa˜o jogados e 3 eventos sa˜o definidos assim: A significa “face ı´mpar no primeiro dado”; B significa “face ı´mpar no segundo dado”; C signifca “soma ı´mpar” (uma face e´ par e a outra ı´mpar). Se cada um dos 36 pontos amostrais tem probabilidade de 1/36, enta˜o: i) Mostre que os eventos sa˜o independentes dois a dois ii) Mostre que os eventos na˜o sa˜o mutualmente independentes Questa˜o 8 Considere o seguinte “record” no desempenho de lance livre de Kobe Bryant durante a temporada de 2001-02 e 2002-03. Algumas vezes um jogador e´ dito ter “hot hands” se ele tem mais probabilidade de fazer o segundo lance, dado que ele fez o primeiro do que quando ele perdeu o primeiro. A evideˆncia emp´ırica suporta que Kobe tem “hot hands”? 2o Lance Acertos Erros Total Acertos 251 34 285 1o Lance Erros 48 5 53 Total 299 39 3
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