Eletricidade e Magnetismo - Elias Arcanjo - webconferênica 6 - unidade 4

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ELETRICIDADE E MAGNETISMO
Webconferência VI: Unidade IV
Prof. MSc. Elias Arcanjo
UNIDADE 4 – Circuitos Elétricos 
e Campos Magnéticos
Dúvida:
O movimento orientado dos elétrons recebe o nome de fluxo líquido de
cargas.
Errata:
Efeito pelicular: é a tendência de uma corrente elétrica alternada (CA) se
distribuir dentro de um condutor de forma que a densidade da corrente seja
maior perto da superfície do condutor e diminua exponencialmente com
maiores profundidades no condutor.
Dúvida:
O movimento orientado dos elétrons recebe o nome de fluxo líquido de
cargas.
Errata:
Efeito pelicular: é a tendência de uma corrente elétrica alternada (CA) se
distribuir dentro de um condutor de forma que a densidade da corrente seja
maior perto da superfície do condutor e diminua exponencialmente com
maiores profundidades no condutor.
+
-
Dúvida:
O movimento orientado dos elétrons recebe o nome de
fluxo líquido de cargas.
Errata:
Efeito pelicular: é a tendência de uma corrente elétrica
alternada (CA) se distribuir dentro de um condutor de forma
que a densidade da corrente seja maior perto da superfície
do condutor e diminua exponencialmente com maiores
profundidades no condutor.
+
-
+
-
CIRCUITO COM MAIS DE UMA MALHA
CIRCUITO COM MAIS DE UMA MALHA
▪ Nó
CIRCUITO COM MAIS DE UMA MALHA
▪ Nó
▪ Ramo
CIRCUITO COM MAIS DE UMA MALHA
▪ Nó
▪ Ramo
▪ Malha
CIRCUITO COM MAIS DE UMA
MALHA
EXEMPLO 1: CIRCUITO DE COM MAIS DE UMA MALHA
A figura mostra um circuito cujos elementos têm os seguintes valores:
ξ1= 3,0 V, ξ2= 6,0 V
R1 = 2,0 Ω, R2 = 4,0 Ω
As três fontes são ideais. Determine o valor absoluto e o sentido das 
corretes nos três ramos. 
Regra dos nós:
i3 = i1 + i2
Regra dos nós:
i3 = i1 + i2 (I)
Regra das malhas: malha 1.
ξ1 – i1R1 – i3R2 – ξ2 –i1R1 =0 (II)
Regra dos nós:
i3 = i1 + i2 (I)
Regra das malhas: malha 1.
ξ1 – i1R1 – i3R2 – ξ2 –i1R1 =0 (II)
Regra das malhas: malha 2.
ξ2 – i2R1 – i3R2 – ξ2 – i2R1 =0 (III)
Regra dos nós:
i3 = i1 + i2 (I)
Regra das malhas: malha 1.
ξ1 – i1R1 – i3R2 – ξ2 –i1R1 =0 (II)
Regra das malhas: malha 1.
ξ2 – i2R1 – i3R2 – ξ2 – i2R1 =0 (III)
ξ1 – i1R1 – (i1 + i2 )R2 – ξ2 –i1R1 =0 
ξ2 – i2R1 – (i1 + i2 )R2 – ξ2 – i2R1 = 0 
Substituindo (I) em (II) e (III), 
temos: 
Regra dos nós:
i3 = i1 + i2 (I)
Regra das malhas: malha 1.
ξ1 – i1R1 – i3R2 – ξ2 –i1R1 =0 (II)
Regra das malhas: malha 1.
ξ2 – i2R1 – i3R2 – ξ2 – i2R1 =0 (III)
ξ1 – i1R1 – (i1 + i2 )R2 – ξ2 –i1R1 =0 
ξ2 – i2R1 – (i1 + i2 )R2 – ξ2 – i2R1 = 0 
Substituindo (I) em (II) e (III), 
temos: 
E substituindo valares das fontes 
e resistência : 
8i1 + 4i2 = -3 
4i1 + 8i2 = 0 
Com o auxílio da equação (II), 
temos: 
8i1 + 4i2 = -3 
-8i1 + -16i2 = 0 
Resolvendo o sistema de 
equações encontramos: 
8i1 + 4*0,25= -3 
E com o auxílio da equação (I) temos:
i3 = i1 + i2 = - 0,25 A 
-12i2 = -3 
i2 = 0,25 A 
i1 = -0,5 A 
MAGNÉTICOS
(FORÇA E CAMPOS MAGNÉTICOS)
O QUE PRODUZ CAMPOS MAGNÉTICOS
Já que o campo elétrico 𝐸 é produzido por cargas
elétricas, seria natural que campos magnéticos 𝐸 fosse
produzidos por cargas magnéticas. Mas essas cargas não
foram observadas. Como são produzidos então os
campos magnéticos?
Os campos magnéticos podem ser produzidos de duas
formas:
▪ A partir de partículas carregadas em movimento;
▪ A partir de partículas elementares.
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛∅
FORÇA MAGNÉTICA
FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR UMA
CORRENTE
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑖𝐿 × 𝐵
FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR UMA
CORRENTE
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑖𝐿 × 𝐵
𝐹 = 𝑖𝑙𝐵𝑠𝑒𝑛∅
(Módulo da força magnética)
EXEMPLO: FORÇA MAGNÉTICO SOBRE UM CARGA PONTUAL.
Um elétron com uma velocidade
Ԧ𝑣 = (2 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑖 + (3 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑗
está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme
𝐵 = 0,05 Ƹ𝑖 + 0,1 Ƹ𝑗. Determine a força que age sobre o elétron.
EXEMPLO: FORÇA MAGNÉTICO SOBRE UM CARGA PONTUAL.
Um elétron com uma velocidade
Ԧ𝑣 = (2 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑖 + (3 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑗
está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme 𝐵 = 0,05 Ƹ𝑖 +
0,1 Ƹ𝑗. Determine a força que age sobre o elétron.
Solução:
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵
EXEMPLO: FORÇA MAGNÉTICO SOBRE UM CARGA PONTUAL.
Um elétron com uma velocidade
Ԧ𝑣 = (2 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑖 + (3 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑗
está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme 𝐵 = 0,05 Ƹ𝑖 +
0,1 Ƹ𝑗. Determine a força que age sobre o elétron.
Solução:
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵
Ԧ𝐹𝐵 = −1,6 × 10
−19 (2 × 106) Ƹ𝑖 + (3 × 106) Ƹ𝑗 × 0,05 Ƹ𝑖 + 0,1 Ƹ𝑗
EXEMPLO: FORÇA MAGNÉTICO SOBRE UM CARGA PONTUAL.
Um elétron com uma velocidade
Ԧ𝑣 = (2 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑖 + (3 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑗
está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme 𝐵 = 0,05 Ƹ𝑖 +
0,1 Ƹ𝑗. Determine a força que age sobre o elétron.
Solução:
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵
Ԧ𝐹𝐵 = −1,6 × 10
−19 (2 × 106) Ƹ𝑖 + (3 × 106) Ƹ𝑗 × 0,05 Ƹ𝑖 + 0,1 Ƹ𝑗
Ԧ𝐹𝐵 = −1,6 × 10
−19 0,1 × 106 ෠𝑘 − (0,15 × 106)෠𝑘
EXEMPLO: FORÇA MAGNÉTICO SOBRE UM CARGA PONTUAL.
Um elétron com uma velocidade
Ԧ𝑣 = (2 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑖 + (3 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑗
está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme 𝐵 = 0,05 Ƹ𝑖 +
0,1 Ƹ𝑗. Determine a força que age sobre o elétron.
Solução:
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵
Ԧ𝐹𝐵 = −1,6 × 10
−19 (2 × 106) Ƹ𝑖 + (3 × 106) Ƹ𝑗 × 0,05 Ƹ𝑖 + 0,1 Ƹ𝑗
Ԧ𝐹𝐵 = −1,6 × 10
−19 0,1 × 106 ෠𝑘 − (0,15 × 106)෠𝑘
Ԧ𝐹𝐵 = −1,6 × 10
−19 −0,05 × 106 ෠𝑘
EXEMPLO: FORÇA MAGNÉTICO SOBRE UM CARGA PONTUAL.
Um elétron com uma velocidade
Ԧ𝑣 = (2 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑖 + (3 × 106𝑚/𝑠) Ƹ𝑗
está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme 𝐵 = 0,05 Ƹ𝑖 +
0,1 Ƹ𝑗. Determine a força que age sobre o elétron.
Solução:
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑞 Ԧ𝑣 × 𝐵
Ԧ𝐹𝐵 = −1,6 × 10
−19 (2 × 106) Ƹ𝑖 + (3 × 106) Ƹ𝑗 × 0,05 Ƹ𝑖 + 0,1 Ƹ𝑗
Ԧ𝐹𝐵 = −1,6 × 10
−19 0,1 × 106 ෠𝑘 − (0,15 × 106)෠𝑘
Ԧ𝐹𝐵 = −1,6 × 10
−19 −0,05 × 106 ෠𝑘
Ԧ𝐹𝐵 = (8,0 × 10
−15 ෠𝑘)N
EXEMPLO: FORÇA MAGNÉTICO SOBRE UM FIO COM CORRENTE 𝑖.
Um fio horizontal retilíneo, feito de cobre, é percorrido por
uma corrente i = 28 A. Determine o módulo e orientação do
menor campo magnético B capaz de manter o fio suspenso,
ou seja, equilibrar a força gravitacional. A densidade linear
do fio é 46,6 g/m.
EXEMPLO: FORÇA MAGNÉTICO SOBRE UM FIO COM CORRENTE 𝑖.
Um fio horizontal retilíneo, feito de cobre, é percorrido por uma corrente
i = 28 A. Determine o modelo e orientação do menor campo magnético B
capaz de manter o fio suspenso, ou seja, equilibrar a força gravitacional.
A densidade linear do fio é 46,6 g/m.
Solução:
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑃
EXEMPLO: FORÇA MAGNÉTICO SOBRE UM FIO COM CORRENTE 𝑖.
Um fio horizontal retilíneo, feito de cobre, é percorrido por uma corrente
i = 28 A. Determine o modelo e orientação do menor campo magnético B
capaz de manter o fio suspenso, ou seja, equilibrar a força gravitacional.
A densidade linear do fio é 46,6 g/m.
Solução:
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑃
𝑖𝐿 × 𝐵 = 𝑚 Ԧ𝑔
𝑖𝑙𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑔
Para 𝜃 = 90°
𝑖𝑙𝐵 = 𝑚𝑔
EXEMPLO: FORÇA MAGNÉTICO SOBRE UM FIO COM CORRENTE 𝑖.
Um fio horizontal retilíneo, feito de cobre, é percorrido por uma corrente
i = 28 A. Determine o modelo e orientação do menor campo magnético B
capaz de manter o fio suspenso, ou seja, equilibrar a força gravitacional.
A densidade linear do fio é 46,6 g/m.
Solução:
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑃
𝑖𝐿 × 𝐵 = 𝑚 Ԧ𝑔
𝑖𝑙𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑔
Para 𝜃 = 90°
𝑖𝑙𝐵 = 𝑚𝑔
𝐵 =
𝑚𝑔
𝑖𝑙
𝐵 =
𝑚
𝑙
𝑔
𝑖
𝐵 = 46,6 × 10−3
10
28
𝐵 = 16,6 × 10−3T
𝐵 = 16,6 mT (→)
CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO PELA CORRENTE EM UM
FIO RETILÍNEO LONGO
𝐵 =
𝜇0𝑖
2𝜋𝑅
𝜇0 = 4𝜋 × 10
−7𝑇 ∙ 𝑚/𝐴
(permeabilidade magnética)
CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO PELA CORRENTE EM UM
FIO RETILÍNEO LONGO
CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR UMA
CORRENTE EM UM FIO EM FORMA DE ARCO DE
CIRCUNFERÊNCIA
𝐵 =
𝜇0𝑖∅
4𝜋𝑅
(no centro de um arco de circunferência)
Para calcular o módulo do campo magnético no centro de uma
circunferência completa de fio, deve ser substituídopor
2𝜋(rad), o que nos dá circunferência completa
𝐵 =
𝜇0𝑖(2𝜋)
4𝜋𝑅
=
𝜇0𝑖
2𝑅
(no centro de uma circunferência completa)
EXEMPLO: CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO PELA CORRENTE EM UM FIO RETILÍNEO
LONGO
Dois fios condutores, dispostos paralelamente, estão separados um do 
outro pela distância b 10,0 cm. Por eles passam as correntes i1 e i2 que 
valem, respectivamente, 0,50 e 1,00 A, em sentidos opostos, conforme 
a figura. Determine o vetor indução magnética B no ponto A e B.
Dois fios condutores, dispostos paralelamente, estão separados um do outro pela distância b 10,0 cm. Por eles
passam as correntes i1 e i2 que valem, respectivamente, 0,50 e 1,00 A, em sentidos opostos, conforme a figura.
Determine o vetor indução magnética B no ponto A e B.
Solução:
Dois fios condutores, dispostos paralelamente, estão separados um do outro pela distância b 10,0 cm. Por eles
passam as correntes i1 e i2 que valem, respectivamente, 0,50 e 1,00 A, em sentidos opostos, conforme a figura.
Determine o vetor indução magnética B no ponto A e B.
Solução:
𝐵𝐴 = 𝐵𝐴2 − 𝐵𝐴1
Dois fios condutores, dispostos paralelamente, estão separados um do outro pela distância b 10,0 cm. Por eles
passam as correntes i1 e i2 que valem, respectivamente, 0,50 e 1,00 A, em sentidos opostos, conforme a figura.
Determine o vetor indução magnética B no ponto A e B.
Solução:
𝐵𝐴 = 𝐵𝐴2 − 𝐵𝐴1
𝐵𝐴 =
𝜇0𝑖𝐴2
2𝜋𝑅𝐴2
−
𝜇0𝑖𝐴1
2𝜋𝑅𝐴1
𝐵𝐴 =
4𝜋 × 10−7 ∙ 1,0
2𝜋 ∙ 0,2
−
4𝜋 × 10−7 ∙ 0,5
2𝜋 ∙ 0,1
𝐵𝐴 = 10,0× 10
−7 − 10,0 × 10−7
𝐵𝐴 = 0
Dois fios condutores, dispostos paralelamente, estão separados um do outro pela distância b 10,0 cm. Por eles
passam as correntes i1 e i2 que valem, respectivamente, 0,50 e 1,00 A, em sentidos opostos, conforme a figura.
Determine o vetor indução magnética B no ponto A e B.
Solução:
𝐵𝐴 = 𝐵𝐴2 − 𝐵𝐴1
𝐵𝐴 =
𝜇0𝑖𝐴2
2𝜋𝑅𝐴2
−
𝜇0𝑖𝐴1
2𝜋𝑅𝐴1
𝐵𝐴 =
4𝜋 × 10−7 ∙ 1,0
2𝜋 ∙ 0,2
−
4𝜋 × 10−7 ∙ 0,5
2𝜋 ∙ 0,1
𝐵𝐴 = 10,0× 10
−7 − 10,0 × 10−7
𝐵𝐴 = 0
𝐵𝐵 = 𝐵𝐵2 + 𝐵𝐵1
Dois fios condutores, dispostos paralelamente, estão separados um do outro pela distância b 10,0 cm. Por eles
passam as correntes i1 e i2 que valem, respectivamente, 0,50 e 1,00 A, em sentidos opostos, conforme a figura.
Determine o vetor indução magnética B no ponto A e B.
Solução:
𝐵𝐴 = 𝐵𝐴2 − 𝐵𝐴1
𝐵𝐴 =
𝜇0𝑖𝐴2
2𝜋𝑅𝐴2
−
𝜇0𝑖𝐴1
2𝜋𝑅𝐴1
𝐵𝐴 =
4𝜋 × 10−7 ∙ 1,0
2𝜋 ∙ 0,2
−
4𝜋 × 10−7 ∙ 0,5
2𝜋 ∙ 0,1
𝐵𝐴 = 10,0× 10
−7 − 10,0 × 10−7
𝐵𝐴 = 0
𝐵𝐵 =
𝜇0𝑖𝐵2
2𝜋𝑅𝐵2
+
𝜇0𝑖𝐵1
2𝜋𝑅𝐵1
𝐵𝐵 =
4𝜋 × 10−7 ∙ 1,0
2𝜋 ∙ 0,05
+
4𝜋 × 10−7 ∙ 0,5
2𝜋 ∙ 0,05
𝐵𝐵 = 40,0× 10
−7 + 20,0 × 10−7
𝐵𝐵 = 60,0× 10
−7𝑇
𝐵𝐵 = 𝐵𝐵2 + 𝐵𝐵1
EXEMPLO: CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO PELA CORRENTE EM UM FIO EM
FORMA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA.
Duas espiras concêntricas e situadas num mesmo plano são percorridas
pelas correntes elétricas i1 e i2. Sendo seus raios respectivos R1 = 2R e
R2 = R, qual deve ser o sentido da corrente i2 e qual a razão entre as
intensidades i1 e i2, para que o campo magnético resultante no centro
das espiras seja nulo?
Duas espiras concêntricas e situadas num mesmo plano são percorridas pelas correntes
elétricas i1 e i2. Sendo seus raios respectivos R1 = 2R e R2 = R, qual deve ser o sentido da
corrente i2 e qual a razão entre as intensidades i1 e i2, para que o campo magnético resultante
no centro das espiras seja nulo?
Solução:
𝐵1 = 𝐵2
Duas espiras concêntricas e situadas num mesmo plano são percorridas pelas correntes
elétricas i1 e i2. Sendo seus raios respectivos R1 = 2R e R2 = R, qual deve ser o sentido da
corrente i2 e qual a razão entre as intensidades i1 e i2, para que o campo magnético resultante
no centro das espiras seja nulo?
Solução:
𝐵1 = 𝐵2
𝜇0𝑖1
2𝑅1
=
𝜇0𝑖2
2𝑅2
𝑖1
𝑅1
=
𝑖2
𝑅2
𝑖1
𝑖2
=
𝑅1
𝑅2
Duas espiras concêntricas e situadas num mesmo plano são percorridas pelas correntes
elétricas i1 e i2. Sendo seus raios respectivos R1 = 2R e R2 = R, qual deve ser o sentido da
corrente i2 e qual a razão entre as intensidades i1 e i2, para que o campo magnético resultante
no centro das espiras seja nulo?
Solução:
𝐵1 = 𝐵2
𝜇0𝑖1
2𝑅1
=
𝜇0𝑖2
2𝑅2
𝑖1
𝑅1
=
𝑖2
𝑅2
𝑖1
𝑖2
=
𝑅1
𝑅2
𝑖1
𝑖2
=
2𝑅
𝑅
𝑖1
𝑖2
= 2
𝐸 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖2é 𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜