gabarito lista 3 -1

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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
EAE 0324 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2010
Monitores:
Heitor Sandes Pellegrina
Alessandro Casalecchi
Lista de Exercícios 3 - Solução
Questão 1
a)
�� =
�y
�x
=
P
ytP
xt
=
X
wtyt
onde
wt =
1P
xt
Assim, �� é linear em y. Desde que E ("tjx) = 0;
E (��jx) = E
�P
ytP
xt
jx
�
= E
�P
(xt� + "t)P
xt
jx
�
= � +
P
E ("tjx)P
xt
= �
Então �� é não viciado.
V (��jx) = V
�P
ytP
xt
jx
�
= V
�P
(xt� + "t)P
xt
jx
�
=
P
V ("tjx)
(
P
xt)
2 =
T�2
(
P
xt)
2 =
�2
T �x2
onde �x =
PT
t=1 xt=T: A variância do estimador de M.Q.O. é igual a
V
h
�^
OLS jx
i
= �2 (x0x)�1 =
�2P
x2t
Mas X
(xt � �x)2 =
X�
x2t � 2�xxt + �x2
�
=
X
x2t � 2T �x2 + T �x2
=
X
x2t � T �x2 � 0
como o quadrado de um número real não pode ser negativo, então,
P
x2t � T �x2;
que implica que
�2P
x2t
� �
2
T �x2
1
Consequentemente, V [��jx] � V
h
�^
OLS jx
i
:
b) ��� resolve
min
���
�X
t=1
(yt � ���xt)2
Diferenciando em relação a ��� e igualando o resultado a zero, temos:
�2
�X
t=1
(yt � ���xt)xt = 0) ��� =
P�
t=1 xtytP�
t=1 x
2
t
) ��� =
�X
t=1
wtyt
onde wt = xtP�
t=1 x
2
t
: Assim, ��� é linear em y. Calculando a esperança de ��� :
E (���jx) = E
�P�
t=1 xtytP�
t=1 x
2
t
jx
�
=
P�
t=1 xtE (ytjx)P�
t=1 x
2
t
=
P�
t=1 xtE (�xt + "tjx)P�
t=1 x
2
t
= � +
P�
t=1 xtE ("tjx)P�
t=1 x
2
t
= �
Assim podemos calcular a variância, usando o fato de que ��� = �+
P�
t=1 xt"tP�
t=1 x
2
t
;
de
V (���) = E (��� � E (���))2 = E
�
� +
P�
t=1 xt"tP�
t=1 x
2
t
� �
�2
= E
�P�
t=1 xt"tP�
t=1 x
2
t
�2
=
1
(
P�
t=1 x
2
t )
2
�X
t=1
x2tE ("t)
2
=
�2P�
t=1 x
2
t
onde na quarta igualdade usamos o fato de que E ("i"j) = 0 8i 6= j:
Por último, note que
TX
t=1
x2t =
�X
t=1
x2t +
TX
t=�+1
x2t �
�X
t=1
x2t
que implica que
�2PT
t=1 x
2
t
� �
2P�
t=1 x
2
t
Assim, ��� é também não viciado e tem variância maior ou igual a V
h
�^
OLS jx
i
:
c) Seja ���� = k; onde k é uma constante. Então ���� é linear e tem variância
zero. Mas se k 6= �; então, ele é viesado.
Questão 2
a) Esperamos que quanto maior as matrículas de estudantes, maior o número
anual de crimes nos campus. Então o sinal esperado de �2 é positivo.
2
b) �2 é a mudança percentual nos crimes no campus para uma dada mudança
percentual nas matrículas, ou seja, é a elasticidade dos crimes no campus em
relação às matrículas)
c) A estatística do teste é dada por
t =
�^2 � 1
se(�^2)
=
0:3
0:11
= 2:73
Degrees of freedom equals 198 (n � 2). The critical value from a t-table
or from a standard normal for a one sided test is t198;0:05 = 1:645. Since the
observed value is greater than the critical value (2.73>1.645), we reject H0:
d) A hipótese do teste sugere que a elasticidade do crime em relação à ma-
trícula de estudantes é maior que um. Assim, se o modelo é corretamente especi-
…cado podemos argumentar que o crime é um problema mais grave em campus
maiores. No entanto, altos índices de criminalidade podem estar associados
a outros fatores, como, por exemplo, localização do campus, etc. Deveriamos
controlar o modelo por esses outros fatores antes de chegar a uma conclusão.
Questão 3
Suponha que tenha yi = � + �xi + �i, onde yi é o salário de alguém que
tenha obtido graduação recentemente e xi é o salário que ele conseguiu em sua
última férias antes de graduar-se. A amostra contém 100 graduados. Também
admitimos que �i � N(0; �2) e que �i e xj são independentes para cada (i; j)
em �f1; :::; ng2.
Queremos estimar o intercepto e o coe…ciente de inclinação por M.Q.O. e
então testar:
i) se há uma relação linear entre o salário depois de graduado e o salário de
quando era um estagiário � = 0?
ii) se há um intercepto ou não. Ou seja, é � = 0?
Para responder a questäo necessita-se de:P
i yi = 700:000P
i yi = 20:000P
i yi = 130:000:000P
i yi = 150:000:000
a) Dada a fórmula dos estimadores de M.Q.O. para o intercepto e para o
coe…ciente de inclinação calcula-se os estimadores:
�^ =
Pn
i=1(yi � �y)(xi � �x)Pn
i=1(xi � �x)2
e
�^ = �y � �^�x
b) (x1; :::; xn) são …xos e os "0is são normais. Assim, y
0
is são normais. Temos
então que como �y é combinação linear de normais, então também é normal. Da
3
mesma forma, como o estimador é combinação linear de distribuições normais,
então ele também é normal.
�^ =
Pn
i=1(yi � �y)(xi � �x)Pn
i=1(xi � �x)2
=
nX
i=1
ki(xi � �x) para ki = (xi � �x)P
(xi � �x)
c) Os estimadores são não-viciados, então suas esperanças são iguais aos
valores verdadeiros, logo,
E [�^] = �
e
E
h
�^
i
= �
Encontramos também que
�^ = � +
P
(xi � �x)�iP
(xi� �x)2
V ar(�) =
�2
P
(xi� �x)2hP
(xi� �x)2
i2 = �2P
(xi� �x)2
d) Suponha que �2 = 25 é dado. Dado um intervalo de con…ança de 5%
para �. O intervalo de con…ança vem do fato que
�^ � N
�
�;
�2Pn
i=1(xi � �x)2
�
Portanto, o intervalo de con…anca 5% para � é24+� �
qP
(xi � �x)2
�
1; 96; � +
qP
(xi � �x)2
�
1; 96
35
Então, juntando os valores para cada termo
�^ =
Pn
i=1(yi � �y)(xi � �x)Pn
i=1(xi � �x)2
=
Pn
i=1 yi(xi � �x)Pn
i=1(xi � �x)2
=
P
yixi � (1=100)
P
yi
P
xiP
x2i � (1=100) (
P
xi)
2
=
130:000:000� (1=100)700:000� 20:000
150:000:000� (1=100)(20:000)2 = 36:3299
Sabendo �e sabendo que
pP
(xi � �x)2 =
qP
x2i � (1=100) (
P
xi)
2, então
pode-se calcular o intervalo de con…ança.
e,f)Faça um teste para Ho : � = 0 contra Ho : � 6= 0 com um nível de
signi…cância de 5%.
Primeiro calcula-se a estatística do teste t:
4
t =
�^ � �
se(�^)
=
�^ � 0pP
(xi��x)2
�
Então veri…ca-se se o tc encontra-se dentro do intervalo formado por
[t(1� �=2; 98);�t(1� �=2; 98)]
Se estiver dentro do intervalo então não se rejeita Ho, se estiver fora do
intervalo então rejeita-se Ho.
O mesmo vale para testar Ho : � = 0 contra Ho : � 6= 0, fazendo-se a
ressalva de que o desvio-padrão do intercepto, se(�^), é
q
n
P
(xi��x)2
�2
P
x2i
Questão 4
No modelo linear temos:
E(yjx) = P (y = 1jx):1 = x�
Então, para cada observação nós temos:
li(�jxi) = logf(x�)yi(1� x�)1�yig
= yi log(x�) + (1� yi) log(1� x�)
Porém, para cada indivíduo, o li(�jxi) só é de…nida para 0 < x� < 1.
Esse é o motivo que torna difícil estimar o modelo por MV. Além disso, a log-
verossimilhança da amostra …caria da seguinte forma:
L(�jx) =
X
fyi log(x�) + (1� yi) log(1� x�)g
Como li(�jxi) só é de…nida para 0 < x� < 1, teríamos que checar esta
desigualdade para cada observação. Provavelmente, teríamos algumas delas
violando esta condição.
5