Caderno modelagem matemática

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Modelagem 
Matemática
José Angel Dávalos Chuquipoma
MATEMÁTICA
Graduação
José Angel Dávalos Chuquipoma
Modelagem Matemática
2012
C559m Chuquipoma, José Angel Dávalos. 
 Modelagem matemática José Angel Dávalos Chuquipoma. – São João 
del-Rei, MG : UFSJ, 2012. 
 147p.
 Graduação em Matemática.
1. Modelagem matemática 2. Matemática I. Título.
CDU: 51
Reitora 
 Valéria Heloísa Kemp 
Coordenadora NEAD/UFSJ 
 Marise Maria Santana da Rocha 
Coordenador UAB 
 Carlos Alberto Raposo
Comissão Editorial:
 Fábio Alexandre de Matos
 Flávia Cristina Figueiredo Coura
 Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva
 José do Carmo Toledo
 José Luiz de Oliveira
 Leonardo Cristian Rocha (Presidente)
 Maria Amélia Cesari Quaglia
 Maria do Carmo Santos Neta
 Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo
 Maria Rita Rocha do Carmo
 Marise Maria Santana da Rocha
 Rosângela Branca do Carmo
 Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal
 Terezinha Lombello Ferreira
Edição
 Núcleo de Educação a Distância
 Comissão Editorial - NEAD-UFSJ
Capa
 Eduardo Henrique de Oliveira Gaio
Diagramação
 Luciano Alexandre Pinto
Sumário
MODELAGEM MATEMÁTICA 5
UNIDADE I - MODELAGEM MATEMÁTICA E FORMULAÇÃO DE
PROBLEMAS 6
1.1 Modelagem Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 O Que é Modelagem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 O Que é Modelagem Matemática? . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 A Modelagem no contexto da Educação Matemática . . . . . . . 11
1.1.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Formulação de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Escolha de Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Coleta de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Formulação de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
UNIDADE II - O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 23
2.1 Ajuste de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 O Método dos Mı́nimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Ajuste Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Ajuste Linear para o Modelo Exponencial . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Ajuste Linear de Modelos Geométricos . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Ajuste Quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
UNIDADE III - EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS 46
3.1 Variações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Variações Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.2 Variações Cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Equações de Diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 Equações de Diferenças Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Sistemas de Equações de Diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.3 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3
SUMÁRIO
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UNIDADE IV - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 72
4.1 Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Variáveis Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Equações Diferenciais Ordinárias de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.1 Redução de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.2 Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.3 Equações Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 98
4.3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
UNIDADE V - APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS OR-
DINÁRIAS 111
5.1 Modelos de Dinâmica Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1.1 Modelo de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.2 Modelo de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.1.3 Modelo de Lotka - Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Respostas das Atividades 133
6.1 Respostas das Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
REFERÊNCIAS 139
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80
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85
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MODELAGEM MATEMÁTICA
Seja bem-vindo (a)
ao Módulo da Disciplina Modelagem Matemática !
Este texto destina-se ao curso de graduação a distância da disciplina de Modelagem
Matemática no marco da Universidade Aberta do Brasil -UAB. O objetivo principal do
conteúdo do módulo é fornecer ao aluno um texto que desenvolva os tópicos principais
da ementa desta matéria que normalmente não é posśıvel encontrar num único texto,
facilitando, assim, o entendimento por parte do aluno no estudo desta matéria.
A informação teórica apresentada é complementada com os exerćıcios propostos, com
a intenção de que o aluno mostre os conhecimentos adquiridos no texto e nos exemplos
resolvidos. Os temas que apresentamos e discutimos neste texto são divididos em cinco
unidades que a seguir detalhamos.
A primeira unidade se destina ao estudo dos aspectos teóricos da Modelagem Ma-
temática, onde são abordadas as etapas da modelagem e em especial as etapas do
processo da Modelagem Matemática, escolha de temas, formulação de modelos.
Na segunda unidade, estudamos o método dos mı́nimos quadrados e suas implicâncias
no ajuste linear de curvas para os modelos de tipo exponencial e geométrico, como
também para o ajuste quadrático.
Na terceira unidade, estudamos as equações em diferenças finitas e destacamos os mo-
delos lineares de diferenças e abordamos os conceitos de variações discretas e cont́ınuas.
A unidade quatro está destinada ao estudo dos aspectos introdutórios das equações di-
ferenciais ordinárias, enfatizando o método de variáveis separáveis para solucionar uma
equação ordinária de primeira ordem; solucionamos uma equação de segunda ordem
homogênea com coeficientes constantes, consideramos exemplos de aplicação.
Por último, na quinta unidade, são vistos alguns problemas de aplicação das equações
diferenciais: abordamos problemas da dinâmica populacional, entre eles o modelo de
Malthus, o modelo de Verhulst e o modelo de Lotka-Volterra.
Apesar de este texto apresentar um conteúdo básico, é importante consultar outras
fontes com o intuito de enriquecer os conceitos, bem como auxiliar na resolução dos
exerćıcios.
O autor
5
unidade
7
unidade 1
MODELAGEM MATEMÁTICA 
E 
FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS
9
unidade 1
1.1 Modelagem Matemática
Objetivos
• Interpretar as etapas presentes no processo da modelagem.
• Explicitar a importância da matemática para a formação do aluno.
• Aplicar os conhecimento obtidos na formulação de novos problemas que envolvem
a modelagem matemática.
1.1.1 O Que é Modelagem?
A diversidade de fenômenos presentes ao longo do desenvolvimento de nossa história
tem sido um dos fatos pelos quais o homem vem se superando através das gerações, com
o intuito de ir além do desconhecido; estes fenômenos ou obstáculos têm permitido que
cada pessoa construa o seu conhecimento dentro de suas próprias limitações, quer dizer,
vai criando conhecimentos ante seus prórios problemas da vida cotidiana. Então, po-
demos dizer que esta éuma maneira de como o homem (aprendedor) constitui o sujeito
do processo congnitivo, que, dependendo de nossas capacidades, vamos estabelecendo
um conjunto de informações, ideias e abstrações da realidade, cujo comportamento
desejamos analisar e interpretar em um linguagem lógica, com caracteŕısticas similares
à magnitude do problema; conceitualmente, isto é o que é conhecido como modelo de
um problema.
Assim, se o modelo obtido não consegue interpretar a realidade do problema, seja por
diversos fatores como tamanho do problema, complexidade etc., somos obrigados a
simplificar as hipóteses(informações) do objeto de estudo (fenômeno) para obter um
modelo com caracteŕısticas semelhante ao problema, porém descartanto caracteŕısticas
ou comportamentos menos importantes ou secundários.
Neste contexto, entendemos por Modelagem o processo de aproximar ou transformar
problemas concretos do mundo real em modelos de problemas que simulem de forma
ótima o objeto de estudo e assim poder resolvê-los para interpretar suas soluções de
forma clara.
Etapas da Modelagem
Após ter entendido o conceito de modelagem, surge a questão: como é que podemos
confrontar problemas do mundo real com modelos que possam interpretar tais proble-
mas? Para responder essa pergunta, explicaremos a seguir as etapas ou momentos que
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devem ser tidos em conta na Modelagem.
Primeira Etapa: A primeira etapa consiste em reconhecer a existência de um pro-
blema real, no sentido de ser significativo, isto é, determinar a situação do problema a
ser modelado, quer dizer, determinar seu fator de impacto no mundo real.
Exemplo 1 Quando queremos prevenir a redução do nivel do lençol freático, causado
pelo desmatamento ou reflorestamento das áreas florestais, isso constitui um problema
de impacto florestal, que exige significação, avaliação e cŕıtica.
Segunda Etapa: Designado o problema, a segunda etapa da Modelagem exige hipóteses
de simplificação, ou seja, devemos conhecer o problema e simplificá-lo; não simplifica-
mos o problema real e sim introduzimos hipóteses que simplificam sua abordagem.
Todo problema nesta etapa deve ser tratado com um grau de simplificação, e, às vezes,
a simplificação é feita para facilitar a resolução do modelo.
Exemplo 2 No caso do problema de impacto florestal, o estudo é feito em uma região
do plano onde o meio poroso é homogêneo e isotrópico (ou seja, possui as mesmas carac-
teŕısticas em todas as direções e em todos os pontos); desta forma é que simplificamos
as hipóteses com o objetivo de poder fazer um estudo de forma clara.
Terceira Etapa: No passo seguinte do processo da Modelagem temos a terceira etapa,
que consiste na resolução do modelo decorrente através de diversas áreas do conheci-
mento; nesta etapa é muito importante a aproximação do modelo a considerar.
Exemplo 3 O modelo aproximado do problema de impacto florestal é dado através
de um modelo de tipo matemático definido por uma equação em derivadas parciais
cuja solução é dada pela função potencial e por uma função que define a localização
do lençol freático.
Quarta Etapa: Na quarta etapa, temos a avaliação das soluções encontradas na
etapa anterior, de acordo com a questão real do problema a modelar.
Quinta Etapa: Nesta quinta e última etapa da Modelagem, o que devemos ter em
consideração é definir a decisão com base nos resultados obtidos. É assim que, através
da Modelagem, conseguimos obter melhores condições para decidir o que fazer frente
a um fenônemo ou a uma situação real.
Na Figura 1.1 damos um esquema do processo da modelagem.
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unidade 1
Figura 1.1: Processo da Modelagem
1.1.2 O Que é Modelagem Matemática?
A Modelagem Matemática é uma matéria da Matemática que teve seu ińıcio na an-
tiguidade a partir de problemas práticos; a invenção da roda pelos sumérios, aproxi-
madamente 3.000 anos a.C., foi, por exemplo, um dos primeiros modelos matemáticos
produzidos pela humanidade que se conhece; eles observaram um tronco de árvore
rolando por um declive e tiveram a ideia de transportar cargas pesadas colocando-as
sobre objetos rolantes.
Modelos descrevem as nossas crenças sobre como o mundo funciona. Na modelagem
matemática, traduzimos essas crenças em termos da linguagem da matemática. Isso
tem muitas vantagens: primeiro, Matemática é uma linguagem muito precisa. Isso nos
ajuda a formular ideias e estabelecer premissas importantes; segundo, a matemática é
uma linguagem concisa, com regras bem definidas para manipulações; terceiro, todos
os resultados que os matemáticos provaram ao longo de centenas de anos estão à nossa
disposição, e, por último, os computadores podem ser usados para realizar os cálculos
numéricos.
Segundo BASSANEZI (2011), a ModelagemMatemática é a arte de transformar proble-
mas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções
na linguagem do mundo real. Assim, entre essas novas formas de considerar e entender
a Modelagem, podemos concluir que a Modelagem Matemática é utilizada como um
método cient́ıfico de pesquisa ou também como uma estratégia de ensino-aprendizagem.
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Podemos inferir então que a Modelagem Matemática surgiu da necessidade do homem
em resolver determinadas situações ou problemas do seu dia a dia. Nesse sentido,
pode-se dizer que Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de
um modelo que tenta descrever matematicamente um fenômeno da nossa realidade para
tentar compreendê-lo e estudá-lo, criando hipóteses e reflexões sobre tais fenômenos.
Há um grande elemento de compromisso em modelagem matemática. A maioria dos
sistemas que interagem no mundo real são demasiado complicados para modelar, na
sua totalidade. Dáı o primeiro ńıvel de compromisso é o de identificar as partes mais
importantes do sistema. Essas serão inclúıdas no modelo, o restante será exclúıdo. O
segundo ńıvel de compromisso diz respeito à quantidade de manipulação matemática
que vale a pena. Embora a matemática tenha o potencial de revelar os resultados
gerais, estes resultados dependerão essencialmente da forma das equações utilizadas.
Pequenas alterações na estrutura das equações podem exigir enormes mudanças nos
métodos matemáticos utilizados.
Que objetivos pode a modelagem alcançar? A Modelagem Matemática pode ser usada
para uma série de razões diferentes, qualquer objetivo espećıfico a ser alcançado, de-
pende tanto do estado do conhecimento do sistema e de como a modelage é feita..
Entre as muitas variedade de objetivos temos
• desenvolver a compreensão cient́ıfica - através da expressão quantitativa do conhe-
cimento atual de um sistema (bem como exibir o que sabemos ou o que não sa-
bemos);
• testar o efeito de alterações no sistema;
• tomar uma decisão, incluindo decisões táticas dos gestores e as decisões es-
tratégicas por planejadores.
Nesse contexto, o esquema da Modelagem dada pela Figura 1.1, em termos da Mode-
lagem Matemática é dado através da Figura 1.2:
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unidade 1
Figura 1.2: Esquema do Processo de Modelagem Matemática. Adaptação de Burghes
e Borrie, (1981). Fonte: DA COSTA, J. F. M.; CALDEIRA, A. D.; DOS SANTOS,
A. P, 1999.
1.1.3 A Modelagem no contexto da Educação Matemática
Pelo que foi dado anteriormente, quando estamos familiarizados com a Modelagem,
em que o aluno é o sujeito do processo cognitivo e não somente com problemas ma-
temáticos, o pesquisador ou pessoa que trabalha nesta área vai ter uma maior capaci-
dade em lidar com a Modelagem Matemática. De outro lado, muitas vezes, temos a
ideia de que trabalhar na Modelagem com conteúdos matemáticos altamente sofistica-
dos é uma condição que não se pode deixar de lado; isso, em geral, não é verdade, pois
a matemática a se utilizar deve ser aquela que permita a resolução do problema a tratar.
O procedimento ou processo de Modelagem Matemáticano contexto da educação ma-
temática, além das etapas presentes no processo, deve estar unido à introdução do
problema por meio de informações adicionais, como por exemplo, uma figura, um es-
quema ou um fluxograma; de tal maneira que possa facilitar ao aluno o entendimento
da situação do problema a estudar e das diversas formas de modelagens matemáticas.
Assim, isso quer dizer que a Modelagem Matemática, no campo da educação, tem que ir
além das etapas que o caracterizam, de fato; devemos entender que, quando na sala de
aula o professor ministra o que preparou ou programa com anticipação aquele conteúdo
11
14
matemático com o intuito de que os alunos aprendessem, são na verdade ferramentas
necessárias mas não suficientes para que o aluno comprenda o problema, o que significa
que é precisso cobrir esse vazio que ainda está presente na educação matemática.
O exemplo seguinte representa um problema que pode ser interpretado através da
Modelagem Matemática.
Exemplo 4 (Controle Biológico de pragas) Desejamos combater biologicamente
uma praga de insetos em uma plantação sem o uso de substâncias agroqúımicas.
A estratégia a utilizar é a seguinte: controlamos a população de insetos fazendo uma
plantação inicial da planta atacada com o objetivo de atrair os insetos a serem com-
batidos, para posteriormente serem recolhidos. No caso posśıvel de obter resultados
positivos, teremos determinado na verdade o fator de impacto do problema, pois, sem
o uso de substâncias qúımicas, o custo econômico resulta ser muito confortável, deter-
minando dessa forma a situação do problema (primeira etapa).
Claro está que devemos de considerar o caso em que temos um porcentagem máxima
de perda p relativa à plantação inicial, isso devido ao fato que pode não existirem
insetos na plantação inicial, o que origina uma coleta nula de insetos. O problema será
solucionado se conseguimos determinar a largura de uma faixa em torno de uma região
plantada em que pudesse ser colocada a plantação inicial, tendo em consideração o
percentual máximo de perda p.
Supondo que a região de plantação seja um retângulo e que a produção da plantação
seja igual à área plantada, estamos na verdade simplificando as hipóteses, é dizer que
fazemos uso de umas das etapas do processo da modelagem, isto é, a hipótese de sim-
plificação (segunda etapa). Representando por x a largura da faixa ao redor do campo
retangular EFGH, ver Figura 1.3.
Considerando um campo retangular de dimensões M = 90 e N = 45 dados em metros,
com um porcentual máximo de perda p = 5%, vemos da Fifura 1.3 que as dimensões
do retângulo interior EFGH são 90− 2x e 45− 2x metros.
Da hipótese, temos que a produção da plantação (1 − p)MN é igua à área plantada
(M − 2x)(N − 2x), isto é,
(1− 0, 05)(90)(45) = (90− 2x)(45− 2x),
ou
3847, 5 = (90− 2x)(45− 2x) = 4x2 − 270x+ 4050
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unidade 1
Figura 1.3: Geometria do problema
obtendo a expressão quadrática
4x2 − 270x+ 202, 5 = 0,
ou ainda
2x2 − 135x+ 101, 25 = 0,
o que significa que o modelo matemático de nosso problema é dado por uma equação
quadrática; encontrando as ráızes do polinômio de grau dois, estaremos resolvendo
nosso problema (terceira etapa). Logo, utilizando a fórmula que nos permite encontrar
ráızes de uma equação quadrática, temos
x =
135±
√
1352 − 4.2.101, 25
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16
obtendo os seguintes valores aproximados x = 66, 741 ou x = 0, 75.
Embora ambos os valores matemáticamente sejam corretos, observamos que o valor de
x = 66, 741 metros não faz sentido, pois a largura da faixa no interior da plantação deve
ser menor que 45 metros; isso corresponde à avaliação dos resultados (quarta etapa),
o que implica que a largura da faixa da plantação inicial deve ser aproximadamente
x = 0, 75 metros. Por último, devemos tomar a decisão correta, se for razoável ou não
o resultado obtido de 0, 75 metros da largura da faixa (quinta etapa).
No exemplo anterior, vemos a importância de representar o problema por meio de um
desenho, pois isso nos dá uma visão global do entendimento da situação do problema.
Como trabalhar com a Modelagem Matemática em sala de
aula?
Já no setor da educação, o ensino-aprendizagem realizado através da Modelagem Ma-
temática, permite lidar satisfatoriamente tanto entre a combinação dos aspectos da
matemática como com suas aplicações; isso faz parte de um dos objetivos que pre-
tendemos atingir nesta disciplina. Confiamos nos professores de matemática, temos a
obrigação de mostrar aos alunos estas duas alternativas que se complementam. Outro
aspecto a se ter em consideração para trabalhar com Modelegem Matemática em sala
de aula é que, devido a se caracterizar como um ambiente de ensino-aprendizagem, os
alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações
provenientes de outras áreas.
Assim, temos que ressaltar a importância da integração de situações provenientes do
cotidiano e de outras áreas do conhecimento na sala de aula, com o propósito de possi-
bilitar aos alunos intervirem na sua realidade. Por último, os parâmetros que devemos
deixar claro aos alunos no âmbito da investigação e compreensão em aula, envolvem
os seguintes aspectos: “identificar o problema; procurar, selecionar e interpretar in-
formações relativas ao problema; formular hipóteses e prever resultados; selecionar
estratégias de resolução de problemas; fazer e validar conjecturas, experimentando,
recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades.”
14
17
unidade 1
1.1.4 Atividades
1. Uma praga de cigarrinhas ataca uma plantação de arroz; deseja-se controlar, bio-
logicamente a praga, através de uma estratégia ótima dada no Exemplo 4. Tendo
em consideração uma margem de perda ao redor de 4% ao supor uma plantação
inicial para recolher as cigarrinha e supondo a área de plantação um campo re-
tangular de dimensões M = 80m e N = 35m, encontre a largura da faixa em
torno da plantação do campo retangular.
2. No exerćıcio anterior, identifique e explique as etapas que estão presentes na Mo-
delagem Matemática.
3. Um fazendeiro deseja circundar uma região junto a um rio com uma cerca de 120
metros de comprimento para encerrar seus animais. Se a região é representada
por um retângulo (hipóteses de simplificação), faça a Modelagem Matemática do
problema, para determinar as dimensões do retângulo para que a área cercada
seja a maior posśıvel.
4. Como você faria uma Modelagem Matemática dos seguintes problemas:
a) A pressão exercida por uma massa de um gás é diretamente proporcional à
temperatura absoluta e inversamente proporcional ao volume ocupado pelo gás
(Gases perfeitos).
b) A resistência de um fio condutor é diretamente proporcional ao seu compri-
mento e inversamente proporcional à área de sua seção reta (Resistência elétrica).
c) Dois corpos de massas m1 e m2 se atraem em razão direta das massas e na
razão inversa do quadrado das distâncias (Lei da gravitação universal).
5. No Exemplo 4 do controle biológico de pragas, faça um esquema do processo de
Modelagem Matemática igual que ao mostrado na Figura 1.2 para este problema.
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1.2 Formulação de Problemas
Objetivos
• Criar modelos matemáticos de problemas concretos do mundo real.
• Reconhecer os tipos de formulações de problemas em termos matemáticos.
Nesta seção estabeleceremos mecanismos para a formulação e obtenção de problemas
novos; cabe ressaltar que não existe a priori fórmula alguma que nos permita como
resolver habilidades de matemática nem tampoco como adquiri-las, mas isso não im-
pede o nosso interesse em desenvolver estratégias que possamos considerar no ińıcio da
modelagem sem ir além do objetivo principal, que é o ensino-aprendizagem.
Entretanto, o que entendemos por habilidades neste contexto é a capacidade de poder
tomar um problemaconcreto com algum grau de dificuldade e transformá-lo em um
modelo matemático para posteriormente solucioná-lo e possa ser interpretado em ter-
mos do problema incial.
Figura 1.4: Processo Simplificado da Modelagem Matemática. Fonte: BASSANEZI,
R. C, 2011.
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unidade 1
1.2.1 Escolha de Temas
Neste cenário da modelagem, o tema de estudo escolhido resulta ser o ińıcio do processo,
pois o conteúdo matemático a utilizar ainda é desconhecido; então, um dos mecanis-
mos a empregar nesta situação é começando a contar ou medir, com o intuito de se
obter uma tabela de dados de tal maneira que possamos representar em um sistema
de referência (por exemplo um sistema cartesiano) a visualização do evento em estudo.
Esta representação dos dados com certeza vai dar origem a conjecturas, e também à
formulação de modelos matemáticos.
A escolha de temas tem que ser feita de forma completa e motivadora para que possa
ter um fator de interesse na área da pesquisa dos alunos. Por exemplo, se o tema esco-
lhido for o desmatamento, então podemos pensar em modelar o problema de impacto
ambiental do deslizamento de terra ou pensar em modelar através de um problema
matemático de fronteira livre.
A importância da escolha de temas também reside em que estes sejam escolhidos pelos
próprios alunos com o próposito de que, junto com o professor, se sintam responsáveis
pelo processo da modelagem; o desenvolvimento deve ser feito em grupos, cada um
deles com sua própria responsabilidade, com o objetivo de obter resultados positivos
da modelagem do problema.
1.2.2 Coleta de dados
Depois de ter escolhido o tema, o procedimento seguinte será a coleta de dados, que
consiste basicamente em buscar informações (medições, resultados estat́ısticos etc.)
relacionadas com o objeto de estudo. Os dados coletados devem ser organizados em
tabelas que, por sua vez, podem ser utilizadas na elaboração dos gráficos da curva de
tendências. A coleta de dados qualitativos ou numéricos pode ser efetuada aplicando-se
as seguintes técnicas:
1. por meio de entrevistas e pesquisas realizadas com os métodos de amostragem
aleatória; neste caso, são fundamentais a qualidade das perguntas e noções de
Estat́ıstica;
2. através de pesquisa bibliográfica, uso da internet, procurando informação em
livros e revistas especializadas;
3. por meio de experiências dos próprios alunos.
Nesse processo de obter dados sobre a realidade a ser modelada, estamos desenvolvendo,
em outras palavras, um processo de experimentar novas informações.
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1.2.3 Formulação de Modelos
Uma vez feita a coleta de dados, o seguinte passo é a formulação matemática dos mo-
delos. A formulação matemática de modelos podem ser dada de dois tipos: formulação
estática e formulação dinâmica.
1. Formulação Estática
Estas formulações matemáticas envolvem equações ou funções dependendo de uma ou
mais variáveis; geralmente, essas formulações utilizam conceitos relacionados com a
Geometria, onde a variável tempo não tem importância alguma.
Exemplo 5 (Predador - Presa) Em uma população de veados se observa que a
taxa de mortalidade está inflingida por uma população de leões; sabendo-se que a taxa
de mortalidade é proporcional ao número de veados e também ao número de leões,
desejamos obter um modelo matemático que interprete o problema de encontrar a taxa
de mortalidade dos veados.
Primeiramente, da teoria de grandezas proporcionais lembramos o seguinte: se uma
grandeza z = f(x, y) é proporcional a x, enquanto y permanece constante, e quando z
é proporcional a y enquanto x permanece constante, então z é proporcional ao produto
xy, isto é,
z = c.xy
onde c ∈ R.
Então, denotando por z a taxa de mortalidade do número de veados, x o número de
veados e y o número de leões, vemos pelo anterior que a hipóteses de manter constante
uma das variáveis x e y implica que
f(x, y) = b.xy,
onde b é uma constante. Assim, a taxa de mortalidade dos veados é dado pela expressão
z = b.xy
O fato de considerar b constante não é sempre satisfeita; logo, aqui estamos fazendo
uso da hipóteses de simplificação do processo de modelagem.
18
21
unidade 1
2. Formulação Dinâmica
Em geral, esta formulação de modelos dinâmicos (modelos que dependem do tempo)
contém dois tipos de variáveis, chamadas variáveis dependentes e variáveis indepen-
dentes. Essa dependência é dada através de uma relação entre essas variáveis.
Exemplo 6 Do exemplo anterior podemos considerar um problema mais realista ao
considerar a taxa de mortalidade junto com o número de veados e leões dependendo
do tempo t.
Com efeito, representando por x(t) o número de veados e y(t) o número de leões
no tempo t, claro está que a taxa de mortalidade neste caso vai depender também do
tempo; assim, temos que a taxa de mortalidade dos veados é dada pelo modelo seguinte:
z(t) = b.x(t)y(t)
Por último, no caso de não existirem as hipóteses de proporcionalidade apresentadas
nos exemplos vistos, teŕıamos dificuldade em obter com exatidão a relação funcional
f(x, y); assim, devemos deixar indicado que uma coleta de dados facilitaria o estudo,
pois, utilizando-se técnicas estat́ısticas, é posśıvel ter uma aproximação do problema.
Exemplo 7 Em uma pesquisa feita por um grupo de biólogos para obter medidas
biométricas de atuns em uma gaiola, foram obtidos os seguintes dados do peso (gra-
mas) e o comprimento (cent́ımetros) médio de uma famı́lia de atuns em relação à sua
idade t dada em anos:
t idade comprimento (cm) peso (gr)
2 163.9 0.68
3 170 0.91
4 176.1 1.0
5 182.2 1.2
6 188.3 1.38
7 195.4 1.48
8 203.2 1.69
9 210 1.8
10 212.7 2.3
19
22
Deseja-se encontrar uma relação funcional entre o peso e o comprimento dos atuns
através da tabela anterior.
Solução
Definindo as seguintes variáveis
x e y como sendo o comprimento e peso médio respectivamente.
Podemos relacionar essas variáveis num sistema referencial por meio do gráfico de dis-
persão, Figura 1.5.
Figura 1.5: Gráfico de dispersão.
Esses dados estat́ısticos (tabela) podem ser aproximados por uma curva de regressão
(a ser definida no próximo caṕıtulo), curva vermelha na Figura 1.6.
A curva de regressão indica o comportamento ou tendência de tipo geral entre o peso
e o comprimento médio dos atuns. O gráfico de dispersão constitui um primeiro passo
para uma Modelagem Matemática. Observamos que os pontos (x, y) não estão sobre
a curva. Uma relação funcional, obtida através de um ajuste de dados, proporciona
informações iniciais para a elaboração de hipóteses e também para a formulação de
modelos.
Pesquisas biológicas estabelecem que o modelo matemático pode ser dado pela relação
funcional
y(x) = kxα, (1.1)
20
23
unidade 1
Figura 1.6: Curva de regressão
onde k é a taxa de metabolismo e α dá informação em termos matemáticos da forma
do atum. Devido à caracteŕıstica das variáveis consideradas, a relação funcional ainda
pode ser considerada como ummodelo estático, pois não existe uma relação de depêndencia
na variável temporal t em (1.1).
Modelos dinâmicos também podem ser considerados no caso em que tenhamos as se-
guintes relações funcionais
y(t) = y0
(
1− e−(β/3)t
)3
ou x(t) = x0(1− e−βλt),
onde β é a constante de metabolismo e representa a taxa de energia gasta para o atum
se movimentar, y0 e x0 são os respectivos valores máximos de y e x. Esses modelos são
chamados modelos de Von Bertalanffy, ver BASSANEZI (2011).
21
24
1.2.4 Atividade
1. Suponhamos que em uma famı́lia de Heterodon nasicus (cobra), todas as cobras
desta espécie sejam jovens ou velhas e que tenham a mesma forma e o mesmo
peso espećıfico, se a taxa de metabolismo é k = 446 e α = 3 e o peso dado em
gramas e o comprimento dado em metros.
a). Encontre a relação funcional entre as variáveis comprimento e peso que define
o modelo matemático; logo, determine seo modelo é de tipo estático ou dinâmico.
b). Determine o peso para um grupo de cobras cujos comprimentos são dados
por
COMPRIMENTO 0,4 0,6 0,8 1
c). Se a taxa de metabolismo para o modelo de Von Bertalanffy é β = 3 e
x0 = 1, y0 = 446, λ = 1, encontre o peso e o comprimento para um conjunto de
cobras depois de um mês.
2. Em certa espécie de peixes, verificou-se que o consumo de oxigénio O(l) dos peixes
por unidade de peso diminui com o aumento de seu comprimento l através da
relação funcional (modelo matemático):
O(l) = kql 0 ≤ l ≤ 80,
para certos parâmetros k e q. Estimar k e q utilizando os seguintes dados:
l (cm) 0 10 30 50 60 70 80
O (ml) 121 74 30 12 6,7 3,7 2
3. Uma plantação de cana de açúcar tem a forma de um retângulo de lados 2000 e
3000 m. Em cada peŕıodo de plantação se planta uma área de forma retangular
que está crescendo em razão de seus lados menor e lado maior a uma velocidade
de 4m/ano e 5m/ano respectivamente. Desejamos achar o modelo matemático
do problema, que consiste em encontrar a velocidade em litros por ano com que
a produção de álcool procedente da cana de açúcar está crescendo, sabendo-se
que a produção de álcool é dada pela área da plantação.
22
25
unidade 2
O MÉTODO DOS MÍNIMOS
QUADRADOS
27
unidade 2
O Método dos Mı́nimos Quadrados
Objetivos
• Aproximar uma função qualquer (conhecida ou não) ou um conjunto de pontos
por uma combinação de funções conhecidas.
• Determinar a impôrtancia do método na Modelagem Matemática.
• Reconhecer a curva de regressão que melhor aproxime o problema ou fenômeno
estudado.
O processo de coleta de dados constitui uma parte essencial na Modelagem Matemática
e também na metodologia cient́ıfica; também é fundamental para o desenvolvimento e
aplicação da própria ciência. No decorrer da Modelagem Matemáica, a parte experi-
mental ressalta o processo de coleta de dados.
No processo de obtenção de dados ou medidas utilizam-se diversos conceitos como,
por exemplo, dados estat́ısticos, desvios, o valor mais provável de uma grandeza etc.
fazendo convocação a noções intuitivas a cada novo conceito, isto é, sem a preocupação
de apresentar uma teoria axiomática partindo de prinćıpios gerais. Um primeiro passo
nessa direção está no que se chama de Método dos Mı́nimos Quadrados. Este processo
de sistematização da obtenção de dados permite, como veremos, obter bons resultados
no ajuste de curvas. Embora possa ser utilizado no ajuste de outras curvas, vamos
apresentar este método e seu uso para o ajuste de retas, por ser no momento nosso
principal objetivo.
Entre os motivos que avaliam a utilização do método, temos desde os mais variados,
desde o mais simples até os mais complicados. Por exemplo, pode-se querer manipular
uma funcão complicada f(x) = cos(e(cot 2x)), ou então encontrar uma aproximação para
funções que nem são conhecidas, como por exemplo.
24
28
2.1 Ajuste de Curvas
Definição 1 (Ajuste de Curvas) Um ajuste de curvas ou às vezes chamada curva
de regressão é um conjunto de técnicas numéricas que tem por objetivo expressar al-
guma tendência da relação de duas grandezas. Em outras palavras, ajuste de curvas é
um mecanismo ou artif́ıcio que fornece uma relação funcional de uma variável depen-
dente y quando relacionada com a variável independente x.
Exemplo 8 Considerando os dados da tabela do Exemplo 7 sobre o comprimento e
peso dos atuns, podemos ver que existe, para cada ńıvel de comprimento x, uma distri-
buição do peso y = kxα (curva de regressão) em cada ńıvel correspondente, conforme
Figura 1.6
Um ajuste de curvas é muito útil para uma formulação simplificada dos dados ou
também para uma verificação de alguma tendência entre as grandezas.
No estudo de algum fenômeno feito por medio de dados numéricos (dados experi-
mentais) estamos principalmente interessados, além das tendências fornecidas por um
ajuste de curvas ou curva de regressão, em saber se a correspondente relação funcio-
nal y = f(x) é compat́ıvel para futuras previsões de y no caso em que x está fora do
domı́nio de definição de f.
Na prática, acontece que nos modelos estáticos essas previsões se preservam na maioria
de casos; já nos modelos dinâmicos, devemos tomar em conta outros tipos de consi-
derações para preservar o ajuste de curvas, como por exemplo o comportamento do
problema estudado ante perturbações das variáveis que definem o fenômeno.
Quando obtemos um conjunto de dados, através de um processo de experimentação, e
desejamos obter um ajuste de curvas ou uma curva de regressão entre as variáveis que
definem o problema, a priori, escolhemos a forma da curva que desejamos ajustar para
poder expressar estas variáveis, isto implica que existem uma infinidade de curvas de
regressão, claro está que nem toda relação funcional obtida representa um bom modelo
matemático.
Exemplo 9 Considerando os dados da tabela do Exemplo 7 sobre o comprimento e a
idade dos atums, observamos que a reta (Figura 2.7)
y = 6.1t+ 151.7 (2.2)
25
29
unidade 2
obtida do ajuste entre os dados idade t e comprimento y é uma boa aproximação para
valores de t menores ou iguais a 10, pois seis dados da tabela estão sobre a reta; já
no caso em que t > 10 isso não é garantido, pois o comprimento dos atuns tende a se
estabilizar quando t cresce; caso contrário, acontece com os valores sobre a reta cujos
valores tendem a crescer indefinidamente, e portanto, não pode ser feita uma previsão
no futuro sobre o comprimento dos atuns.
Logo, conclúımos que a equação (2.2) não pode ser considerada de modo geral como um
bom modelo matemático, pois um dos objetivos principais da modelagem matemática é
obter uma relação funcional que interprete em seus variáveis ou parâmetros qualidades
próprias do fenômeno estudado, nesta parte resulta ser muito importante a validação
da solução.
Figura 2.7: Tendência do crescimento de uma famı́lia de atuns no peŕıodo de 10 anos.
A questão central, como vimos, para se determinar a equação da curva é encontrar a
melhor curva regular de ajuste dos dados. Pode-se usar um critério individual para
traçar uma curva de ajustamento que se adapte ao conjunto de dados. Se for conhecido
o tipo de equação dessa curva, é posśıvel obter suas constantes, mediante a escolha de
26
30
tantos pontos da curva quantas sejam as constantes da equação.
Em diversas situações como, por exemplo, num laboratório, nos deparamos com gran-
dezas que se relacionam entre si. Por exemplo, a pressão de uma determinada massa
de gás depende da sua temperatura e do seu volume; a distensão de uma mola de-
pende da força aplicada. Deseja-se, frequentemente, expressar essa relação sob forma
matemática, por meio de uma equação que ligue as variáveis. Para auxiliar a deter-
minação de uma equação que relacione as variáveis, um primeiro passo consiste em
colecionar dados que indiquem os valores correspondentes das variáveis consideradas.
Por exemplo, x pode representar o deslocamento de uma mola causado por uma força
aplicada y para os quais temos um conjunto de n medidas.
2.2 O Método dos Mı́nimos Quadrados
Um dos métodos mais utilizados para estimação (aproximação) de parâmetros ou ajuste
de curvas é denominado método dos mı́nimos quadrados que a seguir passamos a de-
talhar.
De modo geral, consideramos as variáveis ou grandezas x e y que definem o fenômeno
a analisar sujeitas a um conjunto de n medidas ou experimentos observados:
A = {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)} (2.3)
e uma função f : Rk+1 → R, tal que y(x) = f(x;α1, α2, ..., αk), onde α1, α2, ..., αk
são os parâmetros. O método dos mı́nimos quadrados consiste em determinar esses
parâmetros de modo que minimize o valor de
S(α1, α2, ..., αk) =
n∑
i=1
[f(xi;α1, α2, ..., αk)− yi]2, (2.4)
isto é, o método consiste em minimizar a soma dos quadrados de
εi = f(x;α1, α2, ..., αk)−yi
entre os diversos valores de yi observados e os valores y(xi) = f(xi;α1, α2, ..., αk) ajus-
tados. Os valores εi são chamados de desvios .
Em seguida, locam-se esses pontos num plano cartesiano. O conjunto de pontos resul-
tante é denominado diagrama ou gráfico de dispersão ( Figura 2.8).
27
31
unidade 2
Figura 2.8: Diagrama de dispersão, Curva de regressão e Desvios εn
Neste diagrama é posśıvel, frequentemente, visualizar uma curva regular que se apro-
xime dos pontos dados (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), isso como foi definido em 2.1.1 é
chamado ajustamento de curvas.
2.3 Ajuste Linear
Definição 2 (Ajuste Linear) Suponhamos que as grandezas x, y, cujas medidas são
dadas por (2.3) se relacionem linearmente. Um ajuste de curvas é denominado linear,
se a função f : R3 → R é definida por
f(x; a, b) = ax+ b.
Em outras palavras, um ajuste é linear se é definido pela equação da reta
y(x) = f(x; a, b) = ax+ b. (2.5)
Assim, a equação (2.5) será a melhor reta que se ajusta aos pontos (2.3) a qual deseja-se
determinar, Figura 2.9. Devido a erros de medida, os valores (xi, yi) não necessaria-
mente satisfazem exatamente à equação (2.5), isto é,
28
32
yi ∼= axi + b
Figura 2.9: Ajuste Linear
Para que essa expressão se transforme numa igualdade, deveremos levar em conta os
erros ou desvios ε cometidos na medida. Assim,
yi = (axi + b) + εi
Portanto, εi também depende de a e b:
εi(a, b) = yi − (axi + b) (2.6)
A soma dos quadrados dos desvios é dado por
S(a, b) =
n∑
i=1
[yi − axi − b]2
Aplicando-se o Método dos Mı́nimos Quadrados, tem-se que os melhores valores para
a e b (e portanto a melhor reta) são aqueles que minimizam E(a, b). Como E é uma
29
33
unidade 2
função de duas quantidades a e b, escrevemos essas condições necessárias de mı́nimo
como
∂S
∂a
= 0 e
∂S
∂b
= 0,
ou seja,
∂S
∂a
= −2
n∑
i=1
(xiyi − ax2i − bxi) = 0,
e
∂S
∂b
= −2
n∑
i=1
(yi − axi − b) = 0.
De onde obtemos as chamadas equações normais
n∑
i=1
xiyi =
n∑
i=1
(bxi + ax
2
i ) (2.7)
n∑
i=1
yi =
n∑
i=1
(axi + b) (2.8)
Resolvendo (2.7) e (2.8) simultaneamente, para a e b encontramos
a =
[
n∑
i=1
xi
][
n∑
i=1
yi
]
− n
[
n∑
i=1
xiyi
]
[
n∑
i=1
xi
]2
− n
[
n∑
i=1
x2i
] (2.9)
b =
[
n∑
i=1
xiyi
][
n∑
i=1
xi
]
−
[
n∑
i=1
x2i
][
n∑
i=1
yi
]
[
n∑
i=1
xi
]2
− n
[
n∑
i=1
x2i
] (2.10)
30
34
Por outro lado, de (2.8) obtemos
b =
n∑
i=1
yi − a
n∑
i=1
xi
n
(2.11)
Observação 1 Um ajuste de curvas é não linear se a função f(x;α1, α2, ..., αk) dada
pelos mı́nimos quadrados não é uma reta. Ao fazer um ajuste linear para relacionar
duas variáveis, não sabemos a priori se a reta encontrada é o melhor modelo de ajuste.
A verificação da existência e do grau de relação entre variáveis é o objeto de estudo da
correlação que a seguir definimos.
Definição 3 (Correlação Linear) A correlação linear mede a relação que existe en-
tre as variáveis (xi, yi) de um conjunto de dados em torno de uma reta ajustada
y = ax+ b.
O coeficiente de correlação de Pearson r é um mecanismo de medida da correlação
linear e é dado por
r =
n∑
i=1
xiyi −
[
n∑
i=1
xi
][
n∑
i=1
yi
]
n
{[
n∑
i=1
x2i −
(
∑n
i=1 xi)
2
n
][
n∑
i=1
y2i −
(
∑n
i=1 yi)
2
n
]}1/2 (2.12)
Verifica-se que r ∈ [−1, 1]. Se r está próximo de 1 ou −1, dizemos que a correlação
é mais forte. Se r está próximo de zero, dizemos que a correlação é fraca. Se r = 1
ou r = −1, então a correlação entre as variáveis é perfeita. Se r = 0, não existe
nenhuma correlação. Por último, o sinal de r indica o sinal do coeficiente angular da
reta ajustada.
Exemplo 10 Considerando-se os dados da tabela do Exemplo 7 sobre a idade t e o
peso y dos atuns:
31
35
unidade 2
ti idade yi peso (gr)
2 0.68
3 0.91
4 1.0
5 1.2
6 1.38
7 1.48
8 1.69
9 1.8
10 2.3
Encontrar um ajuste linear dos dados (ti, yi) mostrados na tabela anterior e calcular o
coeficiente de correlação linear entre a idade e o peso dos atuns.
Solução
De acordo com as equações (2.9) e (2.10), n = 9; devemos agora calcular as somas de
ti, yi, tiyi, t
2
i .
ti yi tiyi t
2
i
2 0.68 1.36 4
3 0.91 2.73 9
4 1.0 4 16
5 1.2 6 25
6 1.38 8.28 36
7 1.48 10.36 49
8 1.69 13.52 64
9 1.8 16.2 81
10 2.3 23 100
9∑
i=1
ti = 54
9∑
i=1
yi = 12.44
9∑
i=1
tiyi = 85.45
9∑
i=1
t2i = 384
32
36
Logo, substituindo-se esses valores nas equações (2.9) e (2.10), temos
a =
(54)(12.44)− 9(85.45)
(54)2 − 9(384)
=
−9729
−1309.05
= 0.074
b =
(85.45)(54)− (384)(12.44)
(54)2 − 9(384)
= 0.301
Portanto, a equação da melhor reta no sentido dos mı́nimos quadrados é dada por
y(t) = 0.074t+ 0.301
Esta equação define uma reta que passa pelos seguintes pontos corrigidos:
ti y(ti) = 0.074ti + 361.4
2 0.449
3 0.523
4 0.597
5 0.671
6 0.745
7 0.819
8 0.893
9 0.967
10 1.041
Para calcular o coeficiente de correlação dado por (2.12) devemos encontrar as somas
de y2i .
9∑
i=1
y2i = 0.68
2 + 0.912 + 1 + 1.22 + 1.382 + 1.482 + 1.692 + 1.82 + 2.32 = 118.75
Substituindo em (2.12), temos
33
37
unidade 2
r =
85.45− (54)(12.44)
9{[
384− (54)
2
9
] [
118.75− (12.44)
2
9
]}1/2 = 0.138
Sendo r = 0.138 próximo de zero, existe uma fraca correlação entre a idade e o peso
dos atuns.
Observação 2 O método do ajuste linear também pode ser aplicado a outros modelos
matemáticos definidos por funções não lineares, isso desde que seja posśıvel transformar
aquelas funções em funções lineares através de uma mudança de variável adequada, por
exemplo, modelos definidos por funções de tipo exponencial, função potência, funções
periódicas. Na seguinte seção veremos alguns desses modelos.
2.3.1 Ajuste Linear para o Modelo Exponencial
Suponhamos que a formulação de um modelo matemático é definido por meio de uma
função de tipo exponencial (Figura 2.10)
y(x) = β eαx, β > 0 (2.13)
Figura 2.10: Função de Tipo Exponencial
Fazendo a mudança de variável z = ln y com o objetivo de transformar a equação
que define o modelo (2.13) na forma de uma equação de uma reta, obtemos ao tomar
logaritmos de ambos os lados de (2.13)
34
38
z(x) = ln y = αx+ ln β (2.14)
Desta forma, podemos fazer um ajuste linear para o modelo exponencial, pois é mais
fácil lidar com (2.14) do que com (2.13). Além disso, o estabelecimento da curva com
dados emṕıricos e a análise dos desvios são extremamente facilitados.
Portanto, tomando-se a = α e b = ln β, a equação da reta ajustada ou equação auxiliar
é
z = ax+ b
Exemplo 11 O aumento de células cancerosas num tumor por unidade do tempo t,
supondo o tempo de duplicação das células constante, é dado através dos seguintes
dados experimentais:
Tempo (dias) Número de células (miles)
1.5 1,778
2.5 2,611
4.0 4,642
5.0 6,813
6.5 12,11
Com estes dados, determine a dependência funcional do número de células N(t) do
tumor em relação ao tempo t mediante um ajuste linear.
Solução
Através do gráfico de dispersão dos dados (ti, Ni) i = 1, 2, 3, 4, 5 mostrados na Figura
2.11, podemos ver que a forma da relação funcional procurada N(t) pode ser expressa
por uma função do tipo exponencial.
N(t) = βeαt, β > 0, α > 0. (2.15)
Assim, a dependência do número de células com o tempo não é linear; ou seja, a
curva que modela o decaimento não é uma reta. Então, com os dados mostrados na
tabela podemos fazer um ajuste linear para o modelo, definido por uma função de tipo
exponencial.
35
39
unidade 2
Figura 2.11: Gráfico de Dispersão
Utilizando a mudança de variável y(t) = lnN(t), obtemos em (2.15) a espressão linear
nas novas variáveis
y = αt+ ln β
Utilizando os dados da tabela, obtemos os dados auxiliares.
ti Ni yi = lnNi t
2
i tiyi
1.5 1,778 0.575 2.25 0.8625
2.5 2,611 0.959 6.25 2.3975
4.0 4,642 1.535 16 6.14
5.0 6,813 1.918 25 9.59
6.5 12,110 2.494 42.25 16.211
5∑
i=1
ti = 19.5
5∑
i=1
yi = 7.481
5∑
i=1
t2i = 91.75
5∑
i=1tiyi = 35.201
Para calcular os parâmetros a e b, empregamos as equações (2.9) e (2.10)
36
40
a =
[
5∑
i=1
ti
][
5∑
i=1
yi
]
− 5
[
5∑
i=1
tiyi
]
[
5∑
i=1
ti
]2
− 5
[
5∑
i=1
t2i
] = (19.5)(7.481)− 5(35.201)
(19.5)2 − 5(91.75)
= 0.383
b =
[
5∑
i=1
tiyi
][
5∑
i=1
ti
]
−
[
5∑
i=1
t2i
][
5∑
i=1
yi
]
[
5∑
i=1
ti
]2
− 5
[
5∑
i=1
t2i
] = (35.201)(19.5)− (91.75)(7.481)
(19.5)2 − 5(91.75)
= −0.00048
Portanto, obtemos a equação da reta ajustada (reta auxiliar y = lnN)
y = 0.383t− 0.00048
Como a = α e b = ln β obtemos β = eb = e−0.00048 ≃ 0.9995. A função exponencial é
N(t) = 0.383e0.9995t ∀ t ≥ 0.
Figura 2.12: Ajuste da reta y = 0.383t− 0.00048 aos pontos (t, ln t)
37
41
unidade 2
Figura 2.13: Modelo Matemático do Número de células na forma exponencial
2.3.2 Ajuste Linear de Modelos Geométricos
Suponhamos que a formulação do modelo matemático é definido através de um modelo
de tipo geométrico, isto é, um modelo onde a função que define o problema é dado por
uma função potência (Figura 2.14)
y(x) = α xβ, α > 0 e β > 0 (2.16)
Neste caso, a função é do tipo dado pela Observação 2; logo, o ajuste de parâmetros
pode ser feito através de um ajuste linear. Fazendo a mudança de variável
Y = ln y e X = ln x, (2.17)
com o objetivo de transformar a equação que define o modelo (2.16) na forma de uma
equação de uma reta, obtemos ao tomar logaritmos de ambos os lados de (2.16)
ln y = lnα + β ln x,
nas novas variáveis, isto é,
Y = a+ βX, onde a = lnα (2.18)
38
42
Figura 2.14: Função Potência
Portanto, tomando b = β a equação da reta ajustada ou equação auxiliar é
Y = a+ bX (2.19)
Exemplo 12 Com os dados do Exemplo 7 da relação do peso (gr) e comprimento (cm)
dos atuns, determinar a dependência funcional do peso dos atuns y(x) em relação ao
comprimento x mediante um ajuste linear.
Solução Vimos que a relação funcional que modela o problema é formulado pela
função potência dado em (1.1), isto é,
y(x) = αxβ,
onde α é a taxa de metabolismo e β dá informação em termos matemáticos da forma do
atum. Então é posśıvel fazer um ajuste linear, o que a seguir faremos. A reta ajustada
dada por (2.19) é
Y = a+ bX,
onde devemos encontrar os parâmetros a e b por meio de un ajuste linear. Formamos
a seguinte tabela:
39
43
unidade 2
xi yi Xi = ln xi Yi = ln yi XiYi X
2
i
163.9 0.68 5.099 -0.385 -1.963 25.999
170 0.91 5.135 -0.094 -0.482 26.368
176.1 1.0 5.171 0 0 26.739
182.2 1.2 5.205 0.182 0.947 27.092
188.3 1.38 5.238 0.322 1.686 27.436
195.4 1.48 5.275 0.392 2.067 27.825
203.2 1.69 5.314 0.524 2.784 28.238
210 1.8 5.347 0.587 3.138 28.590
212.7 2.3 5.359 0.832 4,438 28.718
9∑
i=1
Xi = 47.143
9∑
i=1
Yi = 2.36
9∑
i=1
XiYi = 12.615
9∑
i=1
X2i = 247.005
Aplicando o método dos mı́nimos quadrados para estimar os parâmetros, temos
a =
[
9∑
i=1
Xi
][
9∑
i=1
Yi
]
− 9
[
9∑
i=1
XiYi
]
[
9∑
i=1
Xi
]2
− 9
[
9∑
i=1
X2i
] = (47.143)(2.36)− 9(12.615)
(47.143)2 − 9(247.005)
= 3.907
b =
[
9∑
i=1
XiYi
][
9∑
i=1
Xi
]
−
[
9∑
i=1
X2i
][
9∑
i=1
Yi
]
[
9∑
i=1
Xi
]2
− 9
[
9∑
i=1
X2i
] = (12.615)(47.143)− (247.005)(2.36)
(47.143)2 − 9(247.005)
b = 20.2
Portanto,
Y = 3.907X + 20.2
sendo a = lnα, temos que α = ea = e3.907 ≃ 49.749. Assim, obtemos y = 49.749x20.2
40
44
Figura 2.15: Ajuste geométrico para a relação peso-comprimento dos atuns
2.4 Ajuste Quadrático
Definição 4 (Ajuste Quadrático) Sejam x, y duas grandezas cujas medidas são da-
das por (2.3). Um ajuste de curvas é denominado ajuste quadrático, se a função que
relaciona as grandezas é definido por f : R4 → R
f(x; a, b, c) = a+ bx+ cx2,
isto é, um ajuste quadrático é definido pela equação de uma parábola
y(x) = f(x; a, b, c) = a+ bx+ cx2. (2.20)
Aplicando o método dos mı́nimos quadrados, determinamos os parâmetros a, b e c mi-
nimizando a função
S(a, b, c) =
n∑
i=1
[f(x; a, b, c)− yi]2 =
n∑
i=1
[a+ bx+ cx2 − yi]2
As condições necessárias de mı́nimo são dadas pelas equações
∂S
∂a
= 0,
∂S
∂b
= 0,
∂S
∂c
= 0,
41
45
unidade 2
isto é 


n∑
i=1
yi = na+ b
n∑
i=1
xi + c
n∑
i=1
x2i
n∑
i=1
xiyi = a
n∑
i=1
xi + b
n∑
i=1
x2i + c
n∑
i=1
x3i
n∑
i=1
x2i yi = a
n∑
i=1
x2i + b
n∑
i=1
x3i + c
n∑
i=1
x4i
(2.21)
Exemplo 13 Ajustar uma parábola de mı́nimos quadrados da forma y(x) = a+ bx+
cx2 para os dados da tabela seguinte.
x 1.2 1.8 3.1 4.9 5.7 7.1 8.6 9.8
y 4.5 5.9 7 7.8 7.2 6.8 4.5 2.7
Solução Devemos utilizar as equações (13), a seguinte tabela permite fazer isso.
xi yi x
2
i x
3
i x
4
i xiyi x
2
i yi
1.2 4.5 1.44 1.73 2.08 5.40 6.48
1.8 5.9 3.24 5.83 10.49 10.62 19.12
3.1 7.0 9.61 29.79 92.35 21.70 67.27
4.9 7.8 24.01 117.65 576.48 38.22 187.28
5.7 7.2 32.49 185.19 1055.58 41.04 233.93
7.1 6.8 50.41 357.91 2541.16 48.28 342.79
8.6 4.5 73.96 636.06 5470.12 38.70 332.82
9.8 2.7 96.04 941.19 9223.66 26.46 259.31
8∑
i=1
xi =
42.2
8∑
i=1
yi =
46.4
8∑
i=1
x2i =
291.20
8∑
i=1
x3i =
2275.35
8∑
i=1
x4i =
18, 971.92
8∑
i=1
xiyi =
230.42
8∑
i=1
x2i yi =
1449.00
Para n = 8, as equações normais (13) são
8a+ 42.2b+ 291.20c = 46.4
42.2a+ 291.20b+ 2275.35c = 230.42
291.20a+ 2275.35b+ 18971.92c = 1449.00
42
46
Resolvendo o sistema algébrico anterior, obtemos a = 2.588, b = 2.065, c = −0.2110,
dáı, a parábola requerida pelo método dos mı́nimos quadrados tem a equação
y = 2.588 + 2.065x− 0.2110x2
43
47
unidade 2
2.5 Atividades
1. Demonstre que as equações (2.9) e (2.10) também são dadas da seguinte forma:
a =
∑n
i=1 xiyi − nx̄y∑n
i=1 x
2
i − nx̄2
, b = ȳ − ax̄
onde x̄ =
∑n
i=1 xi
n
e
ȳ =
∑n
i=1 yi
n
.
2. Aplicando o Método dos Mı́nimos Quadrados,ajuste uma reta ao seguinte con-
junto de dados:
A = {(1, 1), (3, 2), (4, 4), (6, 4), (8, 5), (9, 7), (11, 8), (14, 9)}
3. Em cinco páıses da Europa, foi encontrada uma relação entre o conteúdo de po-
eira de um elemento qúımico no ar (em g/m3) e o número de ausências femininas
em certas indústrias. Foram contadas somente ausências de pelo menos sete dias
e encontrados os seguintes dados.
Páıs g/m3 Número de ausências por 1000 empregados
França 7 19
Espanha 13 44
Itália 14 53
Alemania 17 61
Portugal 20 88
a) Desenhe o gráfico de dispersão dos dados da tabela.
b) Representar o número de ausências versus o conteúdo de poeira do elemento
qúımico.
c) Estabelecer uma reta de regressão linear pelo método dos mı́nimos quadrados.
4. Mostre que o ajuste de n pontos (xi, yi) a uma reta passando pela origem, y = kx
implica que k =
n∑
i
xiyi
n∑
i
x2i
.
44
48
5. Um grupo de pesquisadores obtém os seguintes dados experimentais depois de
fazer algumas medições entre o peso (gramas) e a velocidade (m/s) de um objeto
A = {(2, 3), (3, 4), (5, 6), (6, 5), (9, 7), (12, 8)}
Faça um ajuste linear dos dados obtidos, obtenha e interprete o coeficiente de
correlação.
6. A Tabela seguinte fornece os valores experimentais da pressão P de uma dada
massa de gás correspondente a vários valores do volume V . De acordo com
prinćıpios termodinâmicos, existe entre as variáveis uma relação PV β = α, onde
α e β são constantes.
a) Encontre os valores de α e β (aplique o método dos mı́nimos quadrados para
ajustar os dados através de um modelo de ajuste linear geométrico).
b) Escreva a equação relacionando P e V .
c) Estimar P quando v = 100.0 in3.
Volume V (in3) 54.3 61.8 72.4 88.7 118.6 194.0
Pressão P (lb/in) 61.2 49.5 37.6 28.4 19.2 10.1
7. A tabela seguinte dá informação do censo de uma população (em milhões) de um
certo páıs em relação ao tempo (anos).
Anos 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950
População 23.2 31.4 39.8 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 151.1
a) Faça um ajuste quadrático dos dados da tabela pelo método dos mı́nimos
quadrados.
b) Calcule os valores da regressão (comumente chamados de valores de tendência)para os anos dados e comparar com os valores reais.
c) Estime a população de 1945.
d) Estime a população de 1960 e compare com o valor real 178, 9.
45
unidade
49
unidade 3
EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS
51
unidade 3
Equações de Diferenças
Objetivo
• Analisar as caracteŕıstica variacionais de uma relação funcional presentes na mo-
delagem e saber quando sequências interpretam variáveis cont́ınuas.
• Solucionar uma equação em diferenças e obter a solução em forma expĺıcita.
• Interpretar problemas concretos através de equações de diferenças.
3.1 Variações
Como vimos anteriormente no processo da modelagem matemática, a obtenção de
um modelo matemático que interpreta o problema a estudar constitui a parte mais
complicada de dito processo. As relações de medida que existem entre as variáveis ou
grandezas observadas que define o problema (que não necessariamente são de caráter
matemático) são a base para a obtenção da formulação do modelo matemático. Uma
maneira de interpretar essas relações de medidas e em consequência obter um modelo
matemático é dada pela variação ou taxa de variação dessas variáveis. Iniciamos esta
seção através da definição a seguir.
Definição 5 Entendemos por variáveis quaisquer grandezas que se modificam du-
rante um processo dinâmico. O termo parâmetro se refere a quantidades que podem
ou não mudar durante o processo dinâmico. As constantes são quantidades que não
variam durante o processo e assumem valores fixados a priori.
Lembramos da análise real o seguinte.
Definição 6 (Sequência de números reais) Uma sequência de números reais é um
conjunto de pontos denotado por {xn}, definidos por uma função f : X ⊂ N → R, cujo
domı́nio é um subconjunto X dos números naturais N, tal que xn = f(xn). Quando
este conjunto é finito, dizemos que a sequência é finita.
Uma das caracteŕısticas importantes de uma sequência é sua convergência, que defini-
mos a seguir.
Definição 7 (Convergência de uma sequência ) Dizemos que uma sequência de
números reais xn converge para um número real x se xn pode se aproximar tanto quanto
se queira de x quando n cresce, isto é, dado ε > 0, arbitrariamente pequeno, existe
n0 ∈ N tal que 0 <| xn − x |< ε, quando n > n0.
47
52
Notação: Denotamos a convergência de uma sequência xn ao valor x por
xn → x ou x = lim
n→∞
xn,
onde a expressão x = lim
n→∞
xn indica que x é o limite da sequência xn quando n se
aproxima do infinito.
Definição 8 (Conjunto Discreto e Variável discreta) Uma variável discreta é
uma variável que toma valores isolados, ou seja, não admite valores intermediários
entre dois valores espećıficos. O conjunto formado por valores de uma variável discreta
é chamado de conjunto discreto.
Matematicamente podemos aprofundar essa definição. Dada uma sequência finita de
números reais {x1, x2, x3, ..., xn}, cada elemento da sequência é chamado de valor dis-
creto, e a variável x recebe o nome de variável discreta.
O conjunto finito {x1, x2, x3, ..., xn} formado por valores de uma variável discreta x é
denominado conjunto discreto. Em outras palavras, um conjunto é discreto se existe
uma correspondência bijetiva entre os elementos do conjunto e um subconjunto dos
números naturais {1, 2, 3..., n}.
Exemplo 14 Se desejamos encontrar o número de peixes capturados em uma empresa
pesqueira em cada mês n, durante un ano, devemos usar uma sequência finita xn para
representar o número de peixes capturados no mês n, isto é, {x1, x2, x3, ..., x12} é o
conjunto discreto e o número de peixes x é a variável discreta
Definição 9 (Variável Cont́ınua) Uma variável cont́ınua é aquela que pode assumir
valores entre dois números.
Em termos matemáticos podemos dar a seguinte interpretação: dada uma sequência
finita de números reais {x1, x2, x3, ..., xn}, uma variável x é dita cont́ınua se pode assu-
mir todos os valores reais intermediários entre os valores discretos da sequência. Em
outras palavras, uma variável que não é cont́ınua será discreta.
Exemplo 15 Se {y1 = 0.68, y2 = 0.91, y3 = 1.0, ..., y9 = 2.3} são os valores dados
do peso dos atuns do Exemplo 7, qualquer valor da variável peso y pode ser assumido
no intervalo [0.68, 2.3]; logo, a variável peso dos atuns é cont́ınua neste intervalo.
48
53
unidade 3
Na prática, sequências finitas de números reais representam grandezas que estão en-
volvidas na modelagem matemática do problema e, portanto, constituem conjuntos
discretos, isto é, o caso do número de peixes do Exemplo 14; então, resulta importante
saber quando tais sequências interpretam variáveis cont́ınuas.
Observação 3 Uma sequência finita {xn}kn=1 é um conjunto discreto de números
reais, logo x é uma variável discreta; porém, se conseguimos representar a variável
x = f(t) por uma função definida para todo t ∈ R, então, na verdade, x e t serão
variáveis cont́ınuas.
Definição 10 (Variação) Seja f : A ⊂ R → R y = f(x) uma função que associa a
cada variável independente x a variável dependente y. A variação de uma função f
é definida como a medida do comportamento da função em relação a um estágio da
variável independente x.
As variações são de dois tipos: variações discretas e variações cont́ınuas. A seguir es-
tudaremos cada tipo de variação.
3.1.1 Variações Discretas
Seja D = {y1, y2, y3, ..., yn} um conjunto discreto tal que a variável discreta y está em
relação à grandeza x através da função f : A ⊂ R → R, isto é, y = f(x), ∀ x ∈ A
subconjunto próprio de R.
Definição 11 (Variação Discreta) Uma variação é discreta se os valores da ima-
gem da função f , isto é, y = f(x) pertence ao conjunto discreto D.
Definição 12 (Variação Total) A variação total ou às vezes chamada variação de
y = f(x) ∈ D em relação ao intervalo [x1, x2] é definida por
∆y = y2 − y1 = f(x2)− f(x1) (3.22)
∆y também é chamado de incremento de y. Se ∆y > 0, então a função f aumenta em
tamanho; se ∆y < 0, a função f experimenta um decréscimo do tamanho; se ∆y = 0,
a função permanece inalterada.
49
54
Exemplo 16 Em um zoológico, uma famı́lia de pinguins se constitúıa de 43 pinguins
no primeiro dia de setembro de 1980, e um total de 95 pássaros no primeiro dia de
setembro de 1981. Calcular a variação total do número de indiv́ıduos de pinguins e
pássaros.
Solução Denotando por N o número de ind́ıviduos de pinguins e pássaros, podemos
considerar N como una função do tempo t dado em meses:
N = f(t)
Tomando t1 o primeiro dia de setembro de 1980 e t2 o primeiro dia de setembro de
1981, temos f(t1) = 43 e f(t2) = 95; logo, a variação total será ∆N = f(t2)− f(t1) =
95−43 = 52, o que implica que o número de ind́ıviduos aumentou. Observe que, sendo
os valores f(t1) = 43 e f(t2) = 95 inteiros, a variável N é discreta.
Definição 13 (Taxa Média de Variação) A taxa média de variação ou variação
média de y = f(x) ∈ D em relação x é definida por
∆y
∆x
=
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
x1 ̸= x2. (3.23)
∆x = x2 − x1 é a extensão do intervalo [x1, x2], também chamado de incremento da
variável x. A taxa de variação média representa o incremento da função f em relação
ao incremento da variável x.
Exemplo 17 No Exemplo 16, a taxa média de variação do número de indiv́ıduos de
pinguins e pássaros é
∆N
∆t
=
f(t2)− f(t1)
t2 − t1
=
52
12
= 4.33.
A população de pinguins e pássaros entre setembro de 1980 a 1981 aumentou em média
de 4.33 por mês. Naturalmente isso indica que o número de nascimentos foi maior em
relação ao número de mortes.
Outro tipo de medida variacional discreta aparece em particular na dinâmica popula-
cional que a seguir definimos.
Definição 14 (Taxa de Variação Relativa) A taxa de variação relativa é a taxa
de variação de uma população N = f(t) ∈ D em que a variação depende somente do
50
55
unidade 3
número de ind́ıviduospresentes inicialmente e não de fatores que dependem do tempo.
Temos os seguintes casos:
i) Taxa de Variação Relativa Média, que é definida por
α =
∆N
N1∆t
=
N2 −N1
N1∆t
N1 = f(t1), N2 = f(t2)
ii) Taxa de Variação Malthusiana, proveniente de um crescimento exponencial em
cada unidade de tempo.
α = ∆t
√
Nt+∆t
Nt
− 1.
Exemplo 18 A Tabela 3.1 fornece os censos demográficos do Brasil de 1950 a 2010
Neste caso, a variável temporal t e o número de indiv́ıduos assumem valores inteiros;
logo, ambas as grandezas (tempo-indiv́ıduos) são discretas.
ANOS POPULAÇÃO
TAXAS DE
CRESCIMENTO %
VARIAÇÃO TOTAL
1950 51.944.397
3.2 19.047.946
1960 70.992.343
2.8 22.146.694
1970 93.139.037
2.5 25.863.669
1980 119.002.706
1.9 27.822.769
1991 146.825.475
1.6 22.973.695
2000 169.799.170
1.1 20.933.524
2010 190.732.694
Tabela 3.1: Censos Demográficos do Brasil de 1950 a 2010.
As taxas de crescimento dadas em percentagem entre dois censos consecutivos mos-
trados na tabela são obtidas utilizando-se a taxa de variação malthusiana. Com
efeito, tomando-se como população inicial N0 = 51.944.397, e depois de dez anos,
51
56
N10 = 70.992.343, então a taxa de variação relativa dada pela variação malthusiana
entre 1950 e 1960 é dada por
α =
10
√
70992343
51944397
− 1 ≃ 0.032
isto é, aproximadamente 3.2%.
Se agora consideramos os censos de 1950 e 2010, α é dado por
α =
60
√
190732694
51944397
− 1 ≃ 0.022
isto é, aproximadamente 2.2%. E isso quer dizer que a população brasileira cresceu a
uma taxa média de aproximadamente 2.2% ao ano, nos 61 anos.
Exemplo 19 No Exemplo 16, a taxa de variação média relativa ao número de pinguins
e pássaros é
α =
∆N
N1∆t
=
52
43(12)
≃ 0.1.
Neste caso, a taxa de variação populacional entre setembro de 1980 e 1981 aumentou
em média 10% por mês.
Se tomamos ∆t = t2 − t1 = 12, temos N2 = Nt1+∆t = 95 e N1 = Nt1 = 43; logo,
α = 12
√
N2
N1
− 1 = 12
√
95
43
− 1 = 0.068
então isso quer dizer que a população cresceu em média 6.8% ao mês, relativamente à
proporção existente em cada mês, durante os 12 meses.
3.1.2 Variações Cont́ınuas
Definição 15 (Variação Cont́ınua) Uma variação é cont́ınua se os valores da ima-
gem da função f : A ⊂ R → R, isto é y = f(x) é válido para todo número real x ∈ A.
Observamos que uma variável cont́ınua pode assumir valores em um conjunto dis-
creto, isso significa que podemos generalizar as definições de variações do caso dis-
creto para o caso de variações cont́ınuas, o que faremos a seguir. Consideremos uma
variável y (cont́ınua ou discreta) que está em relação com a variável x através da função
52
57
unidade 3
f : A ⊂ R → R, isto é, y = f(x), ∀ x ∈ A subconjunto R.
Definição 16 (Variação Total) A variação total ou às vezes chamada variação ab-
soluta de y = f(x) em relação ao intervalo [x1, x2] é definida por
∆y = y2 − y1 = f(x2)− f(x1) (3.24)
A variação total é a diferença da variável dependente y em duas etapas da variável
independente x.
Definição 17 (Taxa Média de Variação) A taxa média de variação ou variação
média de y = f(x) em relação x é definida por
∆y
∆x
=
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
t1 ̸= t2. (3.25)
∆x = x2 − x1 é chamado o incremento da variável x em relação a dois estágios x1, x2.
A taxa de variação média representa o incremento da função f em relação ao incre-
mento da variável x, a variação média mostra quando variou y por unidade de x.
Considerando-se de forma geral as variáveis x, x+h, onde h = ∆x, a definição de taxa
média de variação também pode ser dada por
∆y
∆x
=
f(x+ h)− f(x)
h
. (3.26)
Geometricamente (escalas graduadas), a taxa média de variação tem a seguinte inter-
pretação. Se consideramos o gráfico da função f , isto é, Gra(f) = {(x, y) ∈ R2; y =
f(x)}, a taxa média de variação tem um significado intuitivo. Na Figura 3.16, a reta
l é traçada ligando os dois pontos (x, f(x)), (x + h, f(x + h)) do gráfico da função f .
A taxa média de variação é interpretada como a inclinação da reta secante l, isto é, o
coeficiente angular da reta coincide com a taxa média de variação
tan(α) =
∆y
∆x
=
f(x+ h)− f(x)
h
. (3.27)
É importante deixar claro que o coeficiente angular de uma reta só pode ser dito, no
caso de que as escalas dos eixos de coordenadas são igualmente espaçados, isto é, em
escala graduada. Já no caso geral, quer dizer que quando lidamos com funções, só
podemos dizer de taxa média de variação ou simplesmente variação, conforme o caso.
53
58
Figura 3.16: Taxa Média de Variação
∆y
∆x
=
f(x+ h)− f(x)
h
Exemplo 20 Entendemos por metabolismo o conjunto de transformações que as subs-
tâncias qúımicas sofrem no interior dos organismos vivos. Seja M(t) a massa de um
nutriente de um ser vivo como função do tempo t. Estamos interessados na velocidade
de uma reação qúımica.
A taxa média de variação da função massa irá responder a esta preocupação. Admi-
tamos a hipótese de que o nutriente se desintegra quimicamente; consequentemente,
a massa M decresce no tempo. Se consideramos dois instantes consecutivos t1, t2:
∆t = t2 − t1 representa o comprimento do intervalo [t1, t2] e ∆M = f(t2) − f(t1) o
decréscimo da massa. Logo, a taxa média de variação da massa por unidade de tempo é
∆M
∆t
=
f(t2)− f(t1)
t2 − t1
.
Este quociente é chamado a taxa média de reação no intervalo de tempo de t1 a t2.
Pelas hipóteses, temos que ∆M/∆t é negativo e podemos concluir que a reação qúımica
não tem que ter necessariamente uma taxa constante.
Definição 18 (Taxa de Variação Relativa) A taxa de variação relativa é a taxa
de variação de uma função y = f(x) por unidade de x relativa à etapa inicial y = yi:
1
yi
∆yi
∆xi
=
[
f(xi+1)− f(xi)
xi+1 − xi
]
1
yi
(3.28)
54
59
unidade 3
Muitas vezes não é sempre satisfatório considerarmos as variações simples, média e
relativa quando os dados envolvidos são variáveis cont́ınuas; nesse sentido, precisamos
de uma medida de variação que permita nos informar em tempo real o comportamento
da função; isso pode ser dado por uma variação em tempo real, a qual será oposta
a uma variação média, a variação instantânea que a seguir definimos dará resposta à
nossa inquietude.
Definição 19 (Taxa de Variação Instantânea) A taxa de variação instantânea é
a taxa de variação de uma função y = f(x) no ponto x dado por
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
h→0
[
f(x+ h)− f(x)
h
]
= f ′(x) (3.29)
desde que o limite existir.
A taxa de variação instântanea f ′(x) é chamada de derivada da função f no ponto x,
ela é o número real, cujos valores aproximados são os quocientes [f(x+ h)− f(x)] /h
para valores muito pequenos de h. A taxa de variação instântanea é o limite das taxas
médias de variação.
Geometricamente, a derivada f ′(x) é a inclinação da reta tangente l ao gráfico da
função f no ponto x.
Figura 3.17: Interpretação geométrica da derivada
55
60
O sinal e o valor da derivada f ′(x) indicam a tendência da variação de f a partir do
ponto x. Se f ′(x) > 0, então f(x+ h) > f(x) para pequenos valores positivos de h. Se
f(x) < 0, tem-se, ao contrário, f(x + h) < f(x) para h pequeno e positivo. Se f ′(x)
é um número positivo grande, então f cresce rapidamente a partir de x. E assim por
diante. A derivada é a noção fundamental do Cálculo Infinitesimal. Sua descoberta,
há três séculos e meio, teve uma grande repercussão e provocou um progresso extraor-
dinário na Ciência e em toda a civilização a partir daquela época.
Exemplo 21 Seja s(t) a posição de uma part́ıcula no instante t que se move ao longo
de uma linha reta; a velocidade média do corpo no intervalo de tempo de t1 a t2 é
definida por
vm =
∆s
∆t
=
s(t2)− s(t1)
t2 − t1
, (3.30)
isto é, a velocidade v = v(t) como função do tempo é na verdade uma taxa de variação.
Suponhamos que estamos interessados emmedir a rapidez com que a velocidade au-
menta ou diminui; para isso tomamos como referência dois instantes consecutivos t1 e
t2 o quociente
∆v
∆t
=
v(t2)− v(t1)
t2 − t1
, (3.31)
é a variação média da velocidade, por unidade de tempo. Esta quantidade é usual-
mente chamada a aceleração média e é responsável por medir a rapidez da velocidade.
Para ∆ > 0 a aceleração é positiva, caso contrário para ∆ < 0 a velocidade decresce e
a aceleração é negativa.
Em concordância com as leis da cinemática, o movimento de um corpo é um processo
cont́ınuo. Um corpo não pode nem acelerar nem desacelerar no tempo zero. Conse-
quentemente, não há dificuldade em chegarmos à noção de uma velocidade instantânea
no tempo t1 partindo de uma velocidade média; com efeito, tomando o limite em (3.30)
s′(t1) = lim
t2→t1
∆s
∆t
= lim
t2→t1
s(t2)− s(t1)
t2 − t1
, (3.32)
representa a velocidade instantânea no tempo t1, ela é definida como o limite da função
posição da part́ıcula.
56
61
unidade 3
Da mesma forma, a aceleração instantânea no tempo t1 é definida como segue:
v′(t1) = lim
t2→t1
∆v
∆t
= lim
t2→t1
v(t2)− v(t1)
t2 − t1
, (3.33)
quer dizer, o limite da aceleração média dado por (3.31) representa a aceleração ins-
tantânea.
Modelos matemáticos que relacionam as variáveis por meio de suas variações cont́ınuas
são formulados por equações diferenciais (veja Unidade IV ). Já os modelos discretos
utilizam as equações de diferenças, como veremos a seguir.
3.2 Equações de Diferenças
A teoria de equaçõs de diferenças é rica em muitos ramos das ciências naturais pelas
diversas aplicações que ela possui. Essas equações, em geral, descrevem fenômenos ao
longo do tempo. Essa evolução do tempo é medida em intervalos iguais de modo a
ser interpretado como uma variável discreta. Por exemplo, se desejássemos calcular o
número de indiv́ıduos numa população de seres vivos em um determinado tempo, cada
unidade de tempo poderá ser considerado como dias, ou, se se estiver a medir o caudal
de um rio, o tempo pode ser considerado em semanas, ou se pretendemos determinar
o produto nacional bruto de uma região, o tempo pode ser medido em anos etc.
Definição 20 (Equação de Diferenças) Uma equação que relaciona os termos de
uma sequência {y0, y1, y2, ..., yn, ...} é chamada equação de diferenças ou fórmula de re-
corrência. Se a sequência é finita dizemos que a equação é uma equação de diferenças
finitas. De modo geral, temos a seguinte definição para o caso finito. Seja n ∈ Z (ou
n ∈ N). Uma equação da forma
F (n, yn, yn−1, ..., yn−m) = 0 (3.34)
é designada por equação de diferenças finitas (EDF) de ordem m < n. Por ordem
entendemos a diferença entre o maior e o menor dos ı́ndices de y.
A equação estabelece uma relação entre yn e n, yn−1, ..., yn−m. Para simplificar, admite-
se que a equação anterior se pode escrever na forma normal :
yn = f(n, yn−1, ..., yn−m) (3.35)
57
62
Exemplo 22 Um exemplo de equação de diferenças é a seguinte:
(n+ 2)yn+1 − 3yn = n2 + 2
A equação anterior implica que, para cada valor de n entre zero e infinito, o termo de
ordem n + 1 na seqüência, multiplicado por n + 2 e menos 3 vezes o termo de ordem
n, é igual a n2 + 2.
Definição 21 (Solução de uma Equação de Diferenças) Uma função ϕn é de-
signada uma solução da EDF yn = f(n, yn−1, ..., yn−m) se ϕn satisfaz
ϕn = f(n, ϕn−1, ..., ϕn−m).
Uma solução de uma equação de diferenças finitas é uma expressão que fornece o valor
de uma variável num estágio n em função de n e dos m valores dos estágios iniciais,
chamados condições iniciais.
Observação 4 Se uma equação está em forma normal, então em prinćıpio é fácil
achar as soluções. Considere (3.35) para os valores sucessivos n = m,m+ 1,m+ 2, ...
ym = f(m, ym−1, ..., y0)
ym+1 = f(m+ 1, ym, ..., y1)
ym+2 = f(m+ 2, ym−1, ..., y2)
......
Note-se que, se y0, y1, ..., ym−1 são dados arbitrariamente, então f(m, ym−1, ..., y0) nos
fornece o valor de ym. Sabendo este valor, f(m + 1, ym, ..., y1) nos fornece o valor de
ym+1 e, sabendo este, f(m + 2, ym−1, ..., y2) nos fornece o valor de ym+2, e assim por
diante. Este processo, chamado de iteração, constrói uma solução da equação a partir
dos m condições iniciais y0, y1, ..., ym−1 que a seguir definimos e aos quais podem ser
atribúıdos valores arbitrários.
Definição 22 (Problema de Valor Inicial) Um problema de valor inicial (PVI) é
definido pela seguinte expressão:
(PV I)
{
yn = f(n, yn−1, ..., yn−m)
y0, y1, ... ym−1 são conhecidos.
58
63
unidade 3
Exemplo 23 Tomando a condição inicial y0 = 0, uma solução da equação de primeira
ordem do Exemplo 22 é dada pela função ϕn = yn = n.
Com efeito, completamos a sequência a partir da equação de diferenças
2y1 − 3y0 = 2 ⇒ y1 = 1
3y2 − 3y1 = 3 ⇒ y2 = 2
4y3 − 3y2 = 6 ⇒ y3 = 3
Deduzimos que a solução obtida a partir da condição inicial y0 = 0 é yn = n, e a
obtenção da solução através deste processo é chamado de método iterativo.
Exemplo 24 A função yn =
n(n− 1)
2
é solução do PVI:
{
yn = yn−1 + n− 1
y1 = 0
Com efeito, é simples verificar que
n(n− 1)
2
=
(n− 1)(n− 2)
2
+ n− 1;
portanto, yn = n(n − 1)/2 é solução da equação de diferenças dado. Por outro lado,
y1 = (0)(1)/2 = 0, verificando-se dessa forma a condição inicial, e, portanto, solução
do problema de valor inicial.
Observação 5 Observe que, uma vez dados os valores de y0, y1, ..., ym−1, os passos
iterativos determinam os números sucessivos ym, ym+1, ..., yn de maneira única. Uma
outra maneira de expressar isso é a seguinte: se u e v são duas soluções e se os primeiros
m valores coincidem, isto é, u0 = v0, u1 = v1, ..., um−1 = vm−1, então u = v. Esse
resultado é conhecido como Teorema de Unicidade.
3.2.1 Equações de Diferenças Lineares
Definição 23 (Equações de Diferenças Lineares de Ordem m ) Uma equação
de diferença linear de ordem m tem a seguinte forma:
yn + an−1yn−1 + an−2yn−2 + ...+ an−2yn−m = fn,
59
64
onde ai−1, (i = 1, 2, ...,m) e fn são funções em n.
Definição 24 (Equação Linear de Ordem m com Coeficientes Constantes)
Uma equação de diferença linear de ordem m com coeficientes constantes tem a seguinte
forma:
yn + an−1yn−1 + an−2yn−2 + ...+ an−myn−m = fn, (3.36)
onde ai−1, (i = 1, 2, ...,m) são constantes e fn é uma função que depende de n. No caso
fn = 0, a equação (3.36) é chamada homogênea; caso contrário, é dita não homogênea.
Observação 6 Note-se a convenção: fn é uma expressão em n onde n varia discreta-
mente; e f(n) é uma expressão em n onde n varia continuamente. Assim, se fn = n
2,
para n ≥ 0, então fn assume os valores {0, 1, 4, 9, ...}. Nessa seção estudam-se as EDF
de ordem m com coeficientes constantes.
O método iterativo, utilizado no ponto precedente, não funciona eficientemente para
essas equações. Exige-se, assim, um método alternativo de resolução. Começa-se por
resolver a equação (3.36) assumindo fn = 0.
Teorema 1 [Solução Geral] A solução geral da equação homogênea
yn + an−1yn−1 + an−2yn−2 + ...+ an−myn−m = 0,
é da forma
yn = c1u1 + c2u2 + ...+ cmum, (3.37)
onde ci (i = 1, ...,m) são constantes arbitrárias, ui são funções em n, e {u1, ..., um} é
uma base de dimensão m do espaço das soluções.
Qualquer solução particular pode ser obtida a partir da equação precedente mediante
uma escolha apropriada de ci.
O exemplo seguinte mostra como uma solução geral de uma equação de ordem m, de-
pende de m constantes arbitrárias.
60
65
unidade 3
Exemplo 25 A equação de segunda ordem yn+2 = 1 + 2yn + yn+1 tem como solução
geral
yn =
−1
2
+ a(−1)n + 2nb,
onde a e b são números quaisquer (observe que esta expressão é uma solução). O
método iterativo não nos leva necessariamente a enxergar uma maneira compacta de
expressar a solução geral, e em geral tal maneira