Lista - Integral de linha - Calculo 3

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Ministerio da Educação
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO
PARANÁ
Campus Campo Mourão
Lista de Exerćıcios: Integrais de linha
Exerćıcio 1 Calcule a integral de linha onde C é a curva dada:
a)
∫
C
y3 ds, C : x = t3, y = t, 0 ≤ t ≤ 2
b)
∫
C
xy4 ds, C é a metade direita do ćırculo x2 + y2 = 16
c)
∫
C
xy dx+ (x− y) dy C consiste nos segmentos de reta (0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2)
d)
∫
C
3xdx + 2xy dy + z dz C é definida por x = cos(t), y = sen(t) e z = t, 0 ≤ t ≤ 2π
e)
∫
C
(x+ y)dx+ (y − x)dy se C é o segmento de reta de (1,1) a (4,2).
f)
∫
C
xeyzds, C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).
g)
∫
C
x2y
√
z dz, C: x = t2, y = t3, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1.
Exerćıcio 2 Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha.
a) F (x, y) = (3x+ y, 4x− 5y) e C é a elipse x
2
4
+ y2 = 16.
b) F (x, y) = (ex + y2, x2y + cos(y)) e C é o triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,2).
c)
∮
C
4ydx+ 3xdy e C é o quadrado de vértices (0,0), (1,0), (0,1) e (1,1).
d)
∮
C
(x2− y2)dx+ 2xydy e C é a curva fechada que consiste no arco de 4y = x3 de (0,0) à
(2,2) e no segmento de reta de (2,2) à (0,0).
e)
∮
C
(x− y)dx+ (x+ y)dy e C é o ćırculo com centro na origem e raio 2.
f)
∮
C
y2 dx+ 3xy dy e C é a fronteira da região semianular contida no semiplano superior
entre os ćırculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
Exerćıcio 3 Desenhe um número suficiente vetores para ilustrar o padrão do campo de vetores
A) F (x, y) = (y,−x) b) F (x, y) = 2x~i+ 3y~j
Exerćıcio 4 Determine o campo do vetor gradiente de f :
a) f(x, y) = ln(x+ 2y)
b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2
i
Exerćıcio 5 Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
a) f(x, y) = 3x2 + 2y2
b) f(x, y) = arctg(x2y2)
Exerćıcio 6 Determine se o campo vetorial é conservativo. Em caso afirmativo determine
uma função potencial para F :
a) F (x, y) =
1
y
~i− x
y2
~j
b) F (x, y) = (x2 + 2y, x− y)
c) F (x, y) = (y, x)
d) F (x, y) = (2xy2 − y3, 2x2y − 3xy2 + 2)
e) F (x, y, z) = (2y − 5z, 2x+ 8z, 8y − 5x)
f) F (x, y, z) = (ey sin(z), xey sin(z), xey cos(z))
Exerćıcio 7 Calcule a integral de linha
∫
C
F · dr, onde C é dada pela função vetorial r(t).
Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons.
a) F (x, y) = xy~i+ 3y2~j r(t) = 11t4~i+ t3~j 0 ≤ t ≤ 1
b) F (x, y, z) = sin(x)~i+ cos(y)~j + xz~k r(t) = t3~i− t2~j + t~k 0 ≤ t ≤ 1
c) F (x, y) = 2xy ~i+ (x2 + y2) ~j, r é o segmento de reta da origem ao ponto (1,1).
d) F (x, y) = (x2 + y2)~i+ 2xy~j e C é a parábola y = x2 de (0,0) até (2,4).
e) F (x, y) = xy ~i + x2~j e C é o ćırculo de raio 2 e centro na origem, tomado no sentido
anti-horário.
f) F (x, y) = (2x + 3y) ~i + xy~j e C é o ćırculo de equações x2 + (y − 1)2 = 1, de (0,0) a
(1,1).
Exerćıcio 8 Uma part́ıcula percorre a cúbica retorcida R(t) = t~i + t2~j + t3~k, 0 ≤ t ≤ 1.
Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças F (x, y, z) =
ex~i+ xez~j + x sin(πy2)~k. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons.
Exerćıcio 9 Suponha que uma part́ıcula move-se ao longo da parábola y = x2 do ponto (-1,1)
ao ponto (2,4). Ache o trabalho total realizado, se o movimento for causado pelo campo de
forças F (x, y) = (x2 +y2) ~i+ 3x2y ~j. Suponha que os arcos sejam medidos em metros e a força
em newtons.
Exerćıcio 10 Use o Teorema da divergência de Gauss (no plano) para calcular a taxa de
escoamento do fluido (
∮
C
−→
F · −→n ds) para fora da região R, limitada pela curva C, com F sendo
ii
o campo de velocidade do fluido. Suponha a velocidade medida em cent́ımetros por segundo e a
área de R em cent́ımetros quadrados:
a) F (x, y) = (y2 + 6x, 2y − x2), C é a elipse x2 + 4y2 = 4.
b) F (x, y) = (x3, y3), C é a circunferência x2 + y2 = 1.
Exerćıcio 11 Use o Teorema de Stokes para calcular
∮
C
−→
F
−→
T ds. Pelo resultado, determine se
a circulação do fluido é anti-horária, horária ou se
−→
F e
−→
T são ortogonais.
a) F (x, y) = (4y, 6x) e C é o triângulo de vértices (0, 0), (3, 0)e(3, 5).
b) F (x, y) = (sen2x, cos2y) e C é a elipse 9x2 + y2 = 9.
Exerćıcio 12 Calcule
∫
C
xy dx+ (x+ y) dy ao longo de cada curva C de (0,0)a (1,3).
iii
Exerćıcio 13 Seja F um campo vetorial conservativo e f um função potencial de F . A tabela
abaixo apresenta os valores de f para alguns pontos. Utilizando os valores da tabela, determine∫
C
∇f ·, na qual C tem equações paramétricas das por: x = t2 + 1, y = t3 + t, 0 ≤ t ≤ 1.
Respostas:
Exerćıcio 1: a)
1
54
(1453/2 − 1) b) 1638, 4 c) 17/3 d) 2π2 e) 11 f)
√
14
12
(e6 − 1)
g)
1
5
Exerćıcio 2: a) 96π b) -4/3 c) -1 d) 64/21 e) 8π f) 14/3
Exerćıcio 4: a) ∇f = 1
x+ 2y
(1, 2) b)∇f = 1√
x2 + y2 + z2
(x, y, z)
Exerćıcio 5: a)F (x, y) = (6x, 4y) b)F (x, y) =
( 2xy2
1 + x4y4
,
2x2y
1 + x4y4
)
Exerćıcio 6: a) Sim. f(x, y) =
x
y
+ C b) Não. Não tem função potencial.
c) Sim. f(x, y) = yx+ C d) Sim. f(x, y) = x2y2 − xy3 + 2y + C
e)Sim. f(x, y, z) = 2xy − 5xy + 8yz + C f) Sim. f(x, y, z) = xey sin(z) + C
Exerćıcio 7: a) 45 J b)
[
6
5
− cos(1)− sin(1)
]
J c) 4/3J d) 104/3J e) 0 f) 12/5J
Exerćıcio 8:
[
5
3
(e− 1) + 3
2π
]
J Exerćıcio 9: 363/5 J
Exerćıcio 10:a) 16πcm3/s b) 3
2
πcm3/s
Exerćıcio 11: a) 15, anti-horária, b) 0, ortogonais.
Exerćıcio 12: a) 15/2 b) 6 c) 7 d) 29/4
Exerćıcio 13: 6.
iv