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Teorema de Green Calculo III

O teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada simples "C" e uma integral dupla sobre a região " D", limitada pela curva " C". Como foi visto, é possivel utilizar qualquer uma das duas formas deste teorema para se determinar uma integral de linha sobre uma curva fechada simples "C". Sendo assim, o valor aproximado da integral de linha ( xy dx + x²y³ dy), onde "C" é o triângulo de vértices: (0,0), (1,0) e (1,2) é:

A) 0,3
B) 1,0
C) 2,4
D) 1,2
E) 0,7

Cálculo III

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Há mais de um mês

De forma resumida, o Teorema de Green consiste na seguinte equação:


\[\oint_C P\partial x+Q \partial y = \iint_D \bigg({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y } \bigg)\partial A\]

Pela integral \(\oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y\)do enunciado, tem-se \(P=xy\)e \(Q=x^2 y^3\) Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:


\[\oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y = \iint_D \bigg({\partial (x^2 y^3) \over \partial x}-{\partial (xy) \over \partial y } \bigg)\partial A\]

O triângulo de vértices \((0,0)\) \((1,0)\)e \((1,2)\)é um triângulo retângulo, cuja hipotenusa conecta os pontos \((0,0)\)e \((1,2)\) Portanto, a hipotenusa consiste na função \(y=2x\)

Portanto, os intervalos de \(x\)e \(y\)são:


\[\left\{ \begin{matrix} 0 \le x \le 1 \\ 0 \le y \le 2x \end{matrix} \right.\]

Portanto, substituindo \(\partial A= \partial y \partial x\) a equação anterior fica da seguinte forma:


\[\oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y = \int_0^{1} \int_0^{2x} \bigg({\partial (x^2 y^3) \over \partial x}-{\partial (xy) \over \partial y } \bigg)\partial y \partial x\]

Realizando a integral primeiramente em \(y\) tem-se o seguinte:


\[\eqalign{ \oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y &= \int_0^{1} g[ \int_0^{2x} \bigg({\partial (x^2 y^3) \over \partial x}-{\partial (xy) \over \partial y } \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \int_0^{2x} \bigg(2xy^3-x \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({2xy^4 \over 4}-xy \bigg)\bigg|_0^{2x} g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({2x\cdot (2x)^4 \over 4}-x\cdot(2x) \bigg) g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({2x\cdot 16x^4 \over 4}-2x^2 \bigg) g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({32x^5 \over 4}-2x^2 \bigg) g] \partial x \\ &= \int_0^{1} \bigg(8x^5-2x^2 \bigg) \partial x \\ }\]

Realizando a integral em \(x\) o resultado é:


\[\eqalign{ \oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y &= \int_0^{1} \bigg(8x^5-2x^2 \bigg) \partial x \\ &= \bigg({8x^6 \over 6}-{2x^3 \over 3} \bigg) \bigg| _0^1 \\ &= {8\cdot 1^6 \over 6}-{2\cdot 1^3 \over 3} \\ &= {8 \over 6}-{2 \over 3} \\ &= {4 \over 3}-{2 \over 3} \\ &= {2 \over 3} \\ &= 0,667 \\ &\approx 0,7 }\]

Resposta correta: E) 0,7.

De forma resumida, o Teorema de Green consiste na seguinte equação:


\[\oint_C P\partial x+Q \partial y = \iint_D \bigg({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y } \bigg)\partial A\]

Pela integral \(\oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y\)do enunciado, tem-se \(P=xy\)e \(Q=x^2 y^3\) Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:


\[\oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y = \iint_D \bigg({\partial (x^2 y^3) \over \partial x}-{\partial (xy) \over \partial y } \bigg)\partial A\]

O triângulo de vértices \((0,0)\) \((1,0)\)e \((1,2)\)é um triângulo retângulo, cuja hipotenusa conecta os pontos \((0,0)\)e \((1,2)\) Portanto, a hipotenusa consiste na função \(y=2x\)

Portanto, os intervalos de \(x\)e \(y\)são:


\[\left\{ \begin{matrix} 0 \le x \le 1 \\ 0 \le y \le 2x \end{matrix} \right.\]

Portanto, substituindo \(\partial A= \partial y \partial x\) a equação anterior fica da seguinte forma:


\[\oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y = \int_0^{1} \int_0^{2x} \bigg({\partial (x^2 y^3) \over \partial x}-{\partial (xy) \over \partial y } \bigg)\partial y \partial x\]

Realizando a integral primeiramente em \(y\) tem-se o seguinte:


\[\eqalign{ \oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y &= \int_0^{1} g[ \int_0^{2x} \bigg({\partial (x^2 y^3) \over \partial x}-{\partial (xy) \over \partial y } \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \int_0^{2x} \bigg(2xy^3-x \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({2xy^4 \over 4}-xy \bigg)\bigg|_0^{2x} g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({2x\cdot (2x)^4 \over 4}-x\cdot(2x) \bigg) g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({2x\cdot 16x^4 \over 4}-2x^2 \bigg) g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({32x^5 \over 4}-2x^2 \bigg) g] \partial x \\ &= \int_0^{1} \bigg(8x^5-2x^2 \bigg) \partial x \\ }\]

Realizando a integral em \(x\) o resultado é:


\[\eqalign{ \oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y &= \int_0^{1} \bigg(8x^5-2x^2 \bigg) \partial x \\ &= \bigg({8x^6 \over 6}-{2x^3 \over 3} \bigg) \bigg| _0^1 \\ &= {8\cdot 1^6 \over 6}-{2\cdot 1^3 \over 3} \\ &= {8 \over 6}-{2 \over 3} \\ &= {4 \over 3}-{2 \over 3} \\ &= {2 \over 3} \\ &= 0,667 \\ &\approx 0,7 }\]

Resposta correta: E) 0,7.

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