\[\oint_C P\partial x+Q \partial y = \iint_D \bigg({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y } \bigg)\partial A\]
Pela integral \(\oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y\)do enunciado, tem-se \(P=xy\)e \(Q=x^2 y^3\) Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:
\[\oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y = \iint_D \bigg({\partial (x^2 y^3) \over \partial x}-{\partial (xy) \over \partial y } \bigg)\partial A\]
O triângulo de vértices \((0,0)\) \((1,0)\)e \((1,2)\)é um triângulo retângulo, cuja hipotenusa conecta os pontos \((0,0)\)e \((1,2)\) Portanto, a hipotenusa consiste na função \(y=2x\)
Portanto, os intervalos de \(x\)e \(y\)são:
\[\left\{ \begin{matrix} 0 \le x \le 1 \\ 0 \le y \le 2x \end{matrix} \right.\]
Portanto, substituindo \(\partial A= \partial y \partial x\) a equação anterior fica da seguinte forma:
\[\oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y = \int_0^{1} \int_0^{2x} \bigg({\partial (x^2 y^3) \over \partial x}-{\partial (xy) \over \partial y } \bigg)\partial y \partial x\]
Realizando a integral primeiramente em \(y\) tem-se o seguinte:
\[\eqalign{ \oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y &= \int_0^{1} g[ \int_0^{2x} \bigg({\partial (x^2 y^3) \over \partial x}-{\partial (xy) \over \partial y } \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \int_0^{2x} \bigg(2xy^3-x \bigg)\partial y g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({2xy^4 \over 4}-xy \bigg)\bigg|_0^{2x} g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({2x\cdot (2x)^4 \over 4}-x\cdot(2x) \bigg) g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({2x\cdot 16x^4 \over 4}-2x^2 \bigg) g] \partial x \\ &= \int_0^{1} g[ \bigg({32x^5 \over 4}-2x^2 \bigg) g] \partial x \\ &= \int_0^{1} \bigg(8x^5-2x^2 \bigg) \partial x \\ }\]
Realizando a integral em \(x\) o resultado é:
\[\eqalign{ \oint_C xy\partial x+x^2 y^3 \partial y &= \int_0^{1} \bigg(8x^5-2x^2 \bigg) \partial x \\ &= \bigg({8x^6 \over 6}-{2x^3 \over 3} \bigg) \bigg| _0^1 \\ &= {8\cdot 1^6 \over 6}-{2\cdot 1^3 \over 3} \\ &= {8 \over 6}-{2 \over 3} \\ &= {4 \over 3}-{2 \over 3} \\ &= {2 \over 3} \\ &= 0,667 \\ &\approx 0,7 }\]
Resposta correta: E) 0,7.
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta
Compartilhar