Notas de Aula de Sistemas Fluido-Mecânicos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS – ESCOLA DE ENGENHARIA – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA – DISCIPLINA: EMA095 - SISTEMAS FLUIDO-MECÂNICOS – 3cr. 
NOTAS DE AULA DO PROFESSOR ANTÔNIO CARLOS DE ANDRADE – versão: 1S07- 1º semestre de 2007 
 1
 
Caros alunos, 
 
Este é um esclarecimento sobre as notas de aula a serem disponibilizadas na Internet. 
 
Neste semestre, me prontifiquei a criar as notas de aula da disciplina Sistemas Fluido-
mecânicos por algumas razões: 
 
- A bibliografia é extensa. 
- O conteúdo nestas referências é apresentado, às vezes, de forma superficial ou prática. 
- Existe um volume grande de informações tecnológicas importantes sobre toda a 
matéria, mas que devem ser filtrados para a disciplina. 
- Os conceitos teóricos não têm, às vezes, uma interpretação mais conceitual. 
- A nomenclatura é diversificada. 
- Não há uma referência única que atenda ao programa da disciplina e aos objetivos do 
currículo do curso. 
 
Este material consiste apenas em “notas de aula” e não deve substituir a consulta aos 
livros indicados. Não é apostila nem pretende que seja um livro mais tarde. Assim, 
pede-se que os alunos leiam o material com reserva e entrem em contato com o 
professor em caso de dúvida. Sugestões para melhoria e correção do material serão 
muito bem-vindas. 
 
As notas de aula serão organizadas em 15 partes, correspondentes às aulas lecionadas na 
semana. 
 
Haverá um monitor para me auxiliar nesta tarefa, mas, por enquanto, estão sendo 
escritas às pressas, e como sabem, defasadas em relação ao curso. A seqüência de 
apresentação do material também não é a mais adequada, pelos mesmos motivos. 
 
Esperando que este material seja realmente útil ao seu aprendizado, 
 
Atenciosamente 
Prof. Antônio Carlos de Andrade. 
 
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SEMANA 1 
 
1.Sistemas de unidades e fatores de conversão 
 
Um sistema de unidades deve apresentar equivalência dimensional e numérica, por 
exemplo: 1N = 1kg.m/s2. 
 
Um sistema de unidades é definido por unidades básicas, sendo as demais, derivadas 
por meio de leis e definições. O SI - Sistema Internacional, por exemplo, define 
unidades de base para medidas de comprimento, massa, tempo, intensidade de corrente 
elétrica, temperatura termodinâmica, intensidade luminosa e quantidade de matéria. 
Selecionadas as grandezas de comprimento, massa e tempo e definidas as unidades, por 
exemplo: 1m, 1kg, 1s, obtém-se as grandezas derivadas por meio de leis e definições. 
Dentre elas, pode-se citar a força, derivada da segunda lei de Newton1; pressão, trabalho 
e potência, das respectivas equações de definição; viscosidade dinâmica, da relação 
entre tensão de cisalhamento e taxa de deformação de um elemento de fluido, 
denominada lei de Newton da viscosidade; viscosidade cinemática, massa específica e 
peso específico das definições correspondentes e assim por diante. No caso, 
 
maF = (1.1) 
sendo, 
m, a massa uniforme do sistema considerado; 
F, o vetor força externa resultante aplicada a m; 
a, o vetor aceleração resultante da massa m; 
 
AFP n /= (1.2) 
sendo, 
P, o escalar pressão; 
A, superfície; 
nF , força normal de valor uniforme e sentido contrário ao do versor, ou vetor unitário, 
da superfície; 
 
drFW ∫ ∗= (1.3) 
sendo 
W, trabalho ou energia; 
r, vetor posição; 
F, vetor força, de direção arbitrária, atuando ao longo da trajetória definida pelo vetor 
posição; 
*, produto escalar 
 
dt
dW
W =& 
(1.4) 
sendo, 
•
W , potência; 
 
1 que, na verdade é apenas uma definição, derivada do princípio de conservação de quantidade de 
movimento – ALONSO, M., FINN, E. J. Física – um curso universitário, v1, Mecânica,São Paulo,Edgard 
Blucher, 1977 
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dW/dt, taxa de variação temporal da energia, W; 
 
i
j
ij
dx
dV
µτ = 
(1.5) 
 
A nomenclatura para a EQ.5, é dada por: 
τ ij, tensão de cisalhamento atuando na área de versor i, na direção j; 
µ, viscosidade dinâmica ou absoluta; 
dVj/dxi, variação espacial perpendicular à área de unitário i, do perfil de velocidades de 
direção j, paralelo aquela área. 
 
Observações sobre tensão de cisalhamento. 
 A variável xi, na EQ.5, está em notação indicial. Isto que dizer que, em coordenadas 
cartesianas, para i igual a 1,2 ou3, xi será igual a x,y ou z, respectivamente. 
Considerando coordenadas cartesianas e um elemento cúbico e diferencial de fluido, 
poderão existir, num escoamento tridimensional, um par de tensões de cisalhamento 
mutuamente perpendiculares, ambas paralelas a cada face, positiva e negativa do cubo. 
Assim, torna-se necessário definir a face e a direção em que atua a tensão de 
cisalhamento, o que caracteriza a tensão de cisalhamento como um tensor. Dessa forma, 
o sentido e respectivo valor numérico de Vj poderá ser positivo ou negativo. 
 
As tensões de cisalhamento são positivas nos casos em que: 
i, representa a face orientada para o sentido positivo de x, e j, a direção y ou z positivas; 
i, representa a face orientada para o sentido positivo de y, e j, a direção x ou z positivas; 
i, representa a face orientada para o sentido positivo de z, e j, a direção x ou y positivas; 
ou quando: 
-i, representa a face orientada para o sentido de -x, e j, a direção -y ou -z. 
-i, representa a face orientada para o sentido de -y, e j, a direção -x ou -z. 
-i, representa a face orientada para o sentido de -z, e j, a direção -x ou -y. 
Caso contrário a tensão é considerada negativa. 
 
Continuando, 
 
Vol
m
=ρ 
(1.6) 
sendo, 
ρ, massa específica; 
m, massa uniforme; 
vol, volume da massa, m; 
 
gργ = (1.7) 
sendo, 
γ, peso específico; 
ρ, massa específica; 
g, aceleração da gravidade, considerada, na prática, igual a 9,81m/s2; 
 
ρµ /=v (1.8) 
sendo, 
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ν, viscosidade cinemática; 
µ, viscosidade dinâmica; 
ρ, massa específica. 
 
Para as grandezas derivadas que foram citadas, bastam três grandezas fundamentais 
independentes. A TAB.1.1 mostra alguns sistemas de unidades, que utilizam a definição 
de comprimento massa e tempo. O nome de cada sistema não é tão relevante. 
 
Tabela 1.1. Sistemas de unidades 
 
Sistema Grandezas básicas Grandezas derivadas 
Comprimento 
L 
Massa 
M 
Tempo 
t 
Força 
F 
Pressão 
P 
Trabalho, 
energia, 
calor 
W, E, Q 
Potência, 
Taxa de 
calor 
•
W , 
•
Q 
S.I.(Sistema 
Internacional 
de 
Unidades) 
m kg s N Pa J W 
Técnico m utm s kgf kgf/m2 kgm kgm/s 
Absoluto 
Inglês 
ft lbm s pdl pdl/ft2 pdl.ft pdl.ft/s 
Técnico 
Inglês 
ft slug s lbf lbf/ft2 lbf.ft lbf.ft/s 
cgs cm g s d d/cm2 erg erg/s 
 
Se as unidades próprias de cada sistema citado forem utilizadas, os fatores de correção 
não serão necessários. 
 
Observe na TAB.1.2, algumas diferenças ou analogias sutis de nomenclatura entre os 
sistemas de unidades que foram extraídas da TAB.1.1. 
 
 
Tabela 1.1. Sistemas de unidades (continuação) 
 
Sistema Grandezas derivadas 
Viscosidade 
dinâmica 
µ 
Viscosidade 
cinemática 
ν 
Massa 
específica 
ρ 
Peso 
específico 
γ 
S.I. Pa.s m2/s kg/m3 N/m3 
Técnico (kgf/m2)s m2/s utm/m3 kgf/m3 
Absoluto 
Inglês 
(pdl/ ft2)s ft2/s lbm/m3 pdl/m3 
Técnico 
Inglês 
(lbf/ft2)sft2/s slug/m3 lbf/m3 
cgs (d/cm2)s cm2/s g/cm3 d/m3 
 
 
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Deve-se observar que kg é a unidade de massa do S.I. enquanto que kgf é a unidade de 
força do sistema Técnico. De forma análoga, lbm é unidade de massa do sistema 
Absoluto Inglês e lbf é a unidade de força do sistema Técnico Inglês. 
 
A unidade de massa do sistema técnico, pouco citada atualmente, é o utm, unidade 
técnica de massa. A unidade de força no sistema Absoluto Inglês é o poundal, pdl, 
também não muito familiar. 
 
Tabela 1.2. Diferenças sutis de nomenclatura de unidades de sistemas diferentes. 
 
Sistema Grandezas 
S.I. m kg N 
Técnico m utm kgf 
Absoluto 
Inglês 
ft lbm pdl 
Técnico 
Inglês 
ft slug lbf 
cgs cm g d 
 
 
Pod-se perceber o fato de que 1kgf = 9,81N decorre da diferença nas unidades de massa 
de cada sistema. Ou seja, 1utm = 9,81kg, então, 1utm.m/s2 = 9,81kg.m/s2. 
 
O fator: 9,81, a rigor é o valor da gravidade padrão, g=9,8067 m/s2, que foi 
arredondado, para fins de engenharia. Transformando este valor para as unidades 
inglesas obtém-se g=32,174 m/s2, ou arredondando, g=32,2 m/s2. Com este valor, 
verifica-se, analogamente que, 1lbf=32,174pdl, pelo mesmo motivo, que 
1slug=32,2lbm. 
 
O sistema cgs, centímetro, grama, segundo, por sua vez, é a base para a definição das 
unidades ainda largamente usadas, de viscosidade dinâmica e cinemática. 
 
O Poise e o Stokes, representados por P e St, com primeira inicial maiúscula porque se 
tratam de nomes próprios, são, respectivamente, a unidade de viscosidade dinâmica e 
cinemática, definidas no sistema cgs. Entretanto, o múltiplo destas unidades, na forma 
cP, centipoise e cSt, centiStokes, é que são mais usadas. 
 
Como recurso mnemônico, lembre-se que µ tem dimensão (pressão.tempo) ou (vazão 
em massa/ metro); ν é a difusividade de momentum, ou quantidade de movimento. 
Existe também a difusividade de massa, Dij e difusividade térmica, α, todas com a 
dimensão (área/tempo). Outro detalhe é que 1cSt é o mesmo que 1mm2/s. 
 
A viscosidade cinemática não parece acrescentar nenhuma informação nova, visto que 
representa a viscosidade dinâmica dividida pela massa específica do fluido a mesma 
temperatura. A pressão não é citada porque, em geral, afeta muito pouco as 
propriedades de líquidos e sólidos. Uma possível razão prática dessa grandeza se 
encontrar tabelada seria devido ao fato da mesma aparecer com freqüência nos cálculos. 
Mas a viscosidade cinemática tem, além de significado físico, utilidade prática. 
 
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Considere um recipiente com um furo no fundo. O tempo para escoar um mesmo 
volume de água e mercúrio é diferente. O mercúrio escoa mais rápido porque, apesar da 
sua viscosidade dinâmica ser maior, sua massa específica é muito maior do que a da 
água, o que torna sua viscosidade cinemática baixa. 
 
Este exemplo também mostra que o tempo de escoamento pode ser relacionado, nem 
sempre de forma linear, com a viscosidade cinemática. Com uma correlação desse tipo e 
o valor da massa específica do fluido na temperatura do ensaio, pode-se obter a 
viscosidade dinâmica. Esta é a base para viscosímetros capilares do tipo SAYBOLT, 
muito usado, dentre outros, para caracterizar derivados de produtos de petróleo. 
 
Existem várias escalas de tempo de escoamento versus viscosidade e, dentro de limites, 
a conversão de valor de uma escala para outra. Por curiosidade, citam-se a de Graus 
Engler, Graus Barbey, Segundos Furol, Segundos Redwood, Segundos Saybolt Furol, 
Segundos Saybolt Universal, Segundos Parlin, Segundos Copo Ford, Segundos 
McMichael, Segundos Gardner Holt Bubble, Segundos Zahn, Segundos Demmler, 
Segundos Stormer, Segundos Pratt e Lambert. 
 
Voltando aos sistemas de unidades, existem também os sistemas denominados 
gravitacionais2 Técnico e Inglês, porque adotam, além das três grandezas básicas: 
comprimento, massa e tempo; a força necessária para equilibrar a massa de 1kg sob a 
ação de g padrão. Com as quatro unidades definidas independentemente, torna-se 
necessária a criação de um fator gc com dimensões e unidades, que deve ser acoplado à 
segunda lei de Newton para garantir sua homogeneidade dimensional e numérica. 
Assim, a segunda lei de Newton deve ser escrita com o fator gc incorporado, na forma: 
 
cgmaF /= (1.9) 
cujas unidades, no caso do sistema Técnico Gravitacional, são 
F, o vetor força resultante, em kgf; 
m, a massa uniforme do sistema considerado, em kg; 
a, o vetor aceleração resultante da massa m, em m/s2; 
gc= 9,8067 (kg.m/s
2)/kgf 
 
ou no caso do sistema Técnico Gravitacional Inglês: 
F, o vetor força resultante, em lbf; 
m, a massa uniforme do sistema considerado, em lbm; 
a, o vetor aceleração resultante da massa m, em ft/s2; 
gc= 9,8067 (lbm.ft/s
2)/lbf 
 
Na prática, o gc tem a função equivalente de um fator de conversão de unidade de massa 
de um sistema para outro. Ou seja, para se obter 1 kgf a partir de 1 kg é necessário 
converter primeiro 1 kg para utm, na forma: 1 utm = 1kg/9,81. Observe o “9,81” no 
denominador, exatamente como no caso da EQ.1.9. Da mesma forma, 1 slug = 
1lbm/32,2, permite obter 1 lbf a partir de 1 lbm. 
 
 
2 VAN WYLEN, G. J.,SONNTAG, R. E. et al. Fundamentos da Termodinâmica 
Clássica. 2.ed. São Paulo, Edgard Blucher, 1976. 
 
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Ainda existem as grandezas que são normalmente utilizadas com várias unidades de 
sistemas diferentes. A lbf/in2, o kgf/cm2, são alguns exemplos. Neste caso, recomenda-
se a conversão para um sistema coerente de unidades, ou a atenção deve ser redobrada. 
Alguns fatores de conversão de unidades mais comuns são mostrados na TAB.1.3. 
 
Uma conversão de unidades pode ser efetuada de acordo com o seguinte exemplo. 
 
Quanto vale 1,43 gal/min em m3/s? 
Se não tiver uma referência do fator de conversão desejado, substitua a unidade “gal”, 
pelos fatores básicos, memorizados: 
1 gal = 3,78 L; 
1 L = 1 dm3; 
1 d m3=0,001 m3; 
 
e a unidade min pelo fator de conversão correspondente, 
1 min = 60s. 
 
Substitua os valores, agrupando respectivamente, todos os numeradores e 
denominadores e efetue as operações: 
(1,43)(gal)/(min) = (1,43)(3,78 L)/(60s) 
(1,43)(3,78)(L)/(60s)=(1,43)(3,78)(1dm3)/(60s) 
(1,43)(3,78)(1)(dm3)/(60s) = (1,43)(3,78)(1)(0,001 m3)/(60s) 
 
O valor resultante é 
1,43 gal/min = 0,00009009 m3/s; 
 
mas, lembre-se, observando o número de significativos, deve-se escrever 
1,43 gal/min = 9,01 m3/s. 
 
Procure memorizar, na medida do possível, estes números da TAB.1.3. Alguns valores 
são exatos, outros embora aproximados, são válidos na prática. 
 
Dentre as outras grandezas fundamentais do Sistema Internacional, a temperatura deve 
ser comentada pois também será usada no texto. 
 
As escalas mais conhecidas de temperatura são a Kelvin, Celsius, Rankine e Farenheit, 
respectivamente, do Sistema Internacional e Técnico, do Sistema absoluto Inglês e 
técnico Inglês. Alguns recursos mnemônicos podem ser utilizados para se construir tais 
escalas e obter as fórmulas de conversão. 
 
As escalas (K, Kelvin e R, Rankine), e (C, Celsius e F, Farenheit), tem o mesmo 
tamanho de grau. As escalas absolutas, (K e R) tem início nograu zero absoluto. Entre 
as escalas absolutas e práticas existem a relação entre os tamanhos de grau: 1K = 1,8C, 
ou 1R = 1,8F. Alguns pontos característicos são: 273K = 0C = 32F = 492R, ou, 
somando 100graus às escalas K e C, e 180 graus às escalas F e R: 
373K=100C=212F=672R. 
 
Com estes pontos extremos e regra de três pode-se obter as fórmulas de conversão de 
uma temperatura em outra, por exemplo: 
 
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373K está para 100C 
K está para C 
273K está para 0C 
 
então 
15,273+= CK 
ou 
( )32
9
5
−= FC . 
 
Da mesma forma, pode-se obter 
( )32
5
9
+= CF 
e 
67,459+= FR 
ou a relação entre K e R e assim por diante. 
 
Outra grandeza derivada, a densidade, é uma grandeza adimensional que representa a 
razão entre a massa específica de uma substância, relativa a um padrão. Para líquidos e 
também sólidos, o valor de referência é o da água líquida, que vale 1000kg/m3, ou 
1,94slug/ft3. Para sólidos, líquidos ou gases, a pressão de referência é 1 atmosfera. Para 
líquidos, a temperatura de referência pode ser: 
 
4C ou 39,2F – temperatura aproximada de máxima massa específica da água. 
Aproximada porque seu valor exato depende da pressão. 
20C ou 68F – temperatura recomendada pela ISO – International Standardization 
Organization 
15C ou 59F – temperatura recomendada pela API – American Petroleum Institute. 
Na prática, usa-se o valor 60F. 
 
Uma medida de densidade de petróleo, é dada em graus API, pela EQ1.10 
 
5,131
5,141
60/60
−





=
d
API 
(1.10) 
 
onde 
API, é a densidade em graus API 
d60/60, é a densidade do petróleo a 60F, referenciada a água a 60F. 
 
Por exemplo, petróleo com d60/60 = 0,86 tem densidade 33API. 
 
Para gases, a massa específica de referência é a do ar, na condição padrão. Mas a 
condição de referência também se apresenta com alguns valores diferentes. 
 
 
Tabela 1.3. Alguns fatores de conversão básicos mais comuns 
 
Comprimento (Medidas de superfície e volume, use as relações lineares elevadas ao quadrado e ao cubo, 
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respectivamente.) 
1m 100cm 
1ft 0,3048m 
1ft 12in 
1in 25,4mm 
1milha (terrestre inglesa) 1,609km 
Massa 
 
1kg 2,2046lbm, ≅2,2lbm 
1slug 14,59kg 
1kg 1000g 
1slug 32,174lbm 
1oz 28,35g 
Tempo 
 
1h 60min 
1min 60s 
Pressão 
 
1atm 10,33mca 
1psi 144 lbf/ft2 
1atm 14,69594psi, ≅14,7psi 
1atm 1,0332kgf/cm2 
1mmca 1 kgf/m2 
1bar 105Pa, 100kPa 
1mbar 102Pa, 0,1kPa 
1kPa 0,145psi 
1atm 29,92inHg 
1psi ≅6895Pa 
1mmHg(a 0C) 1torr 
1atm 101325Pa 
1atm 760mmHg 
Força 
 
1kgf 9,81N 
1lbf 32,174pdl 
1kgf 1,4888pdl 
1N 105d 
1lbf 4,448N 
1N 7,233pdl 
Trabalho, energia, calor 
 
 
1BTU 1055J 
1BTU 252cal 
1cal 4,18J 
1BTU 778pdl.ft 
1kW.h 860kcal 
 
 
 
 
Tabela 1.3. Alguns fatores de conversão básicos mais comuns (cont.). 
 
Potência 
 
1HP 745,7W ≅746W 
1HP 1,014CV 
1CV 735W 
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 10
1HP 75kgm/s 
1HP 550lbf.ft/s 
1HP 33000lbf.ft/min 
Viscosidade cinemática 
 
 
1 ft2/s (0,3048m ) 2/s = 0,0929m 2/s 
1 mm2/s 1cSt 
Viscosidade dinâmica 
 
 
1lbm.s/ft2 47,88 N.s/m2 
1kgf.s/m2 98,07P 
1kgf.s/m2 0,206lbm.s/ft2 
Volume específico 
 
 
1m3/kg (1/0,3048ft) 3/(2,2046lbm) ≅ 16,01846 ft3/lbm 
1m3/kg 1000cm3/g 
Peso específico 
 
 
1lbf/ft3 157,1N/m3 
Massa específica 
 
 
1slug/ft3 157,1N/m3 
1kg/L 62,4lbm/ft3 
1lbm/ ft3 16,02kg/ m3 
Volume 
 
lbm/s 
1ft3 28,32L 
1ft3 (0,3048m)3 
1gal(US) 3,785411L≅3,78L 
Área 
 
slug/min 
1 ft2 (0,3048) 2m2 
Vazão em volume 
 
lbm/s 
1mgd 43,81L/s 
1cfs 0,0285 m3/s 
1cfm 0,472L/s 
1cfm 44,8gpm 
1gpm 3,78Lpm 
1m3/min 264,2gpm 
1L/s 15,85gpm 
Tensão superficial 
 
 
1N/m 0,06853lbf/ft 
1kgf/m 9,81N/m 
 
 
Nas CNTP, Condições Normais de Temperatura e Pressão, a temperatura é 0C e a 
pressão, 1atm ou 101325Pa. 
 
Nas condições de atmosfera padrão, nos EUA, ao nível do mar, tém-se: 
CT o59= ; 
P=14,696psi; 
3/2377,00 ftslug=ρ 
2/737,3 ftlbfs=µ 
 
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ou 
CT o15= ; 
( )abskPaP 3,101= ; 
3/225,1 mkg=ρ ; 
µ= ---- lbf.s/ft2 
 
A nomenclatura da língua inglesa, comparada com a da língua portuguesa, é a seguinte: 
densidade – specific gravity, SpGr 
massa específica – mass density 
peso específico – specific weight. 
Density não é densidade, é massa específica. 
 
Como exemplo: 
a densidade da glicerina, a 68F, é igual a 1,26. A viscosidade da glicerina a 68,6F é 
2,950SSU, segundos Saybolt universal, ou 648cSt. as a 100F, a viscosidade da glicerina 
passa a ser 813SSU, ou 176cSt. 
 
Normalmente, pode-se usar para a pressão atmosférica, peso específico da água e 
aceleração da gravidade, os seguintes valores de engenharia: 
- no Sistema Internacional: Patm=101350Pa, ρ=9790N/m3 e g=9,81m/s2 
- no Sistema Inglês: Patm=14,7Psia, ρ=62,4lbf/ft3 e g=32,2ft/s2. 
 
A grandeza, vazão em volume, representa a razão volume/tempo. Assim as unidades 
podem ser: ft3/s, m3/s, L/s, ou outras. 
A vazão em volume produzida por compressores tem uma forma específica de ser 
referenciada. Para se ter uma base de comparação, a vazão em volume real é convertida 
em um valor de referência. Isto dá origem a algumas definições: 
 
SCFM – standard cubic feet per minute, ou pé cúbico por minuto padrão. A vazão em 
volume determinada por esta unidade é avaliada, segundo a ASME, a 68F e 14,7psia, 
para o ar com 36% com umidade relativa e massa específica de 0,075lbf/ft3. Na 
indústria americana em geral, usam-se as condições de referência: 60F e 14,7psia. 
 
A vazão em volume cuja unidade é Nm3/s, é denominada: normais metros cúbicos por 
segundo, e representa uma vazão a certa temperatura e pressão, convertida para a 
temperatura de 0C e pressão 101325Pa(abs) ou 1atm. 
 
Outras terminologias específicas são, ACFM – actual CF, ou, pé cúbico por minuto real, 
e, ICFM – inlet CFM, ou, pé cúbico por minuto de entrada do compressor. 
 
A equação que permite a conversão da vazão em volume real para a de referência é dada 
pela EQ1.11: 
 
ref
abs
abs
real
abs
abs
T
VP
T
VP








=







 ••
 
(1.11) 
 
onde 
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Pabs, é a pressão absoluta 
Tabs, é a temperatura absoluta 
•
V , é a vazão em volume 
real é a condição real 
ref é a condição padrão considerada 
 
2. Manometria 
 
Considere um balanço diferencial de forças em um fluido estático, com massa 
específica e aceleração da gravidade, g = 9,81 m/s2, constantes. Considerando apenas as 
forças de pressão e peso próprio do fluido, a integração do balanço diferencial resulta na 
“equação fundamental da hidrostática”: 
 
( )1212 HHPP −=− γ (2.1) 
onde 
P, pressão absoluta em um ponto do fluido estático; 
γ, peso específico do fluido de massa homogênea, igualao produto, ρg. 
H, cota ou distância vertical, na direção de g, determinada pelos limites de integração. 
1,2, pontos de integração. 1 superior a 2 ou vice-versa. 
 
Por exemplo, a FIG.2.1 mostra um recipiente com um vaso comunicante. O ponto 2 
corresponde à superfície livre do fluido. O ponto 1 é uma pressão no interior do vaso 
comunicante. O fluido do vaso em U não tem comunicação com o fluido do recipiente, 
mas o fluido é o mesmo, água, por exemplo. Nesta situação, a EQ.2.1 fornecerá a 
mesma diferença de pressão entre os pontos 1 e 2, assinalados com asterisco em ambos 
os casos, do vaso comunicante dentro ou fora do recipiente. 
 
O piezômetro, mostrado na FIG.2.2, é outro tipo de medidor de pressão, utilizado 
quando a pressão no interior do duto é pouco próxima da pressão atmosférica ambiente. 
Para pressões maiores, ambos os piezômetros poderão ser conectados pela parte 
superior, constituindo um tubo único. 
 
*
1
*
1
*
2
*
2 *
2
*
2
*
2
 
Figura 2.1 Exemplo de aplicação da equação fundamental da hidrostática – vasos 
comunicantes. 
 
 
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h1
h2
L
 
 
Figura 2.2 Exemplo de aplicação da equação fundamental da hidrostática - piezômetro. 
 
Considere a tomada de pressão de cada piezômetro, localizada na linha média do tubo 
de corrente de comprimento L. Assim, 
 
11 PhPatm =+ γ (2.2) 
 
22 PhPatm =+ γ (2.3) 
 
( )1212 hhPP −=− γ (2.4) 
 
As pressões absolutas P1-P2 ocorrem no fluido em escoamento, mas são calculadas com 
as colunas de fluido estático dos piezômetros. 
 
Um barômetro, mostrado na FIG2.3, é um dispositivo conhecido que mede pressão 
absoluta, a pressão atmosférica local. 
 
h
1
*
2
*
 
 
Figura 2.3 Desenho esquemático de um barômetro. 
 
Da equação fundamental da hidrostática, 
 
21 PhP =+ γ (2.5) 
identificando os valores respectivos 
 
atmvap PhP =+ γ (2.6) 
onde 
Pvap, é a pressão de vapor do mercúrio contido no tubo invertido, que na temperatura 
ambiente é da ordem de...; 
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γ, é o peso específico do mercúrio; 
h, é a coluna de mercúrio; 
Patm, é a pressão atmosférica local, atuando no ponto 2. 
podendo ser escrita na forma aproximada 
 
hPatm γ= (2.7) 
 
A Figura 2.4 mostra um tubo inclinado com um manômetro diferencial e manômetros 
do tipo Bourdon instalados. Os manômetros do tipo Bourdon se caracterizam pela 
utilização de um tubo curvo flexível como sensor de pressão. O sistema mostrado na 
FIG2.4 permite várias observações sobre medidas de pressão. 
 
Partindo do ponto A ao ponto B, ou vice-versa, 
 
( ) bHga PhhhhhP =−−−++ 12332 γγγγ (2.8) 
onde 
Pa, Pb, são as pressões absolutas, respectivamente nos pontos A e B; 
γ, γHg, são os pesos específicos, respectivamente dos fluidos: água e mercúrio, Hg; 
 
h1, h2, h3, são as cotas determinadas pelas colunas de mesmo fluido no manômetro 
diferencial. 
 
L
h1
h2
h3Hg
água
Θ
ponto A
ponto B
 
 
Figura 2.4 Diferença de pressão em tubo inclinado. 
 
Um balanço feito de B para A é equivalente à EQ.2.8, multiplicada por (-1). 
Observe que h2 se cancela na EQ.2.8, porque as colunas de água de cota h2 causam a 
mesma variação de pressão em ambos os ramos do manômetro diferencial. A EQ.2.8 
pode ser re-escrita na forma 
 
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Θ+




 −=− Lsenh
r
PP ba 3
1
1 γ 
(2.9) 
onde 
Θ= Lsenh1 , corresponde à projeção vertical do comprimento de duto, L, entre as 
tomadas de pressão; 
γ
γ Hg
r = , razão entre pesos específicos, correspondendo praticamente ao valor da 
densidade do mercúrio, relativa à água. 
 
A primeira observação curiosa é que a diferença de pressão medida representa a perda 
de pressão devida ao atrito viscoso, que é um efeito irreversível. Esta perda independe 
do ângulo do tubo, Θ, se a vazão e o padrão do escoamento forem mantidos no interior 
do tubo. A perda, em metros de coluna de fluido, água no caso, é denominada perda de 
carga, obtida da diferença de pressão dividida pelo peso específico do fluido. A 
conversão de Pascal para metros corresponde, dimensionalmente a aplicação da equação 
fundamental da estática dos fluidos, 
γ
P
h
∆
= . 
 
A segunda observação é sobre a combinação: fluido em escoamento e fluido 
manométrico. No caso, ambos são líquidos e a EQ.2.8 deve ser usada integralmente. 
Entretanto, quando o fluido em escoamento for um gás, a razão entre pesos específicos 
será da ordem de 10-3 e seu inverso, da ordem de 103. A razão, r, não corresponderá 
mais à densidade relativa à água. A diferença de pressão estática, LsenΘ também poderá 
ser desprezada em relação à diferença de pressão Pa-Pb, que é muito maior, por ser 
produzida pelo escoamento. A EQ.2.8, neste caso, torna-se: 
 
3hPP Hgba γ=− (2.10) 
 
Se as pressões em A e B forem manométricas, os manômetros, mostrados na FIG2.4 
medirão, respectivamente, 
 
3hPPP HgMAatmA γ=− (2.11) 
 
3hPPP HgMBatmB γ=− (2.12) 
onde 
PMA, PMB, são as pressões manométricas respectivas. 
 
Se as escala de A for em Pascal, o valor correspondente, em metros de coluna de água 
será dado por 
( ) ( ) águaMAMA PaPmcaP γ/= (2.13) 
onde 
γágua deve estar em N/m
3 
 
Analogamente, o valor em metros de coluna de ar, será dado por 
( ) ( ) arMAMA PaPmcarP γ/= (2.14) 
 
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Ou, em metros de coluna de querosene, 
( ) ( ) queroseneMAMA PaPemcquerosenP γ/= (2.15) 
 
A terceira observação: se o escoamento for para cima, como indicado, PMA será maior 
do que PMB. Se o escoamento for no sentido inverso, PMB poderá ser maior, igual o 
menor do que PMA porque existem dois fatores. A pressão estática aumenta sempre, de 
A para B. A perda de carga ocorre sempre no sentido do escoamento. Assim o peso do 
fluido aumenta a pressão enquanto a perda de carga a diminui. Entretanto, a queda de 
pressão devido ao atrito não é tão acentuada quanto a variação de pressão devido ao 
peso próprio do fluido. Assim, em geral a pressão do ponto mais baixo será maior do 
que a de qualquer ponto acima. 
 
A determinação de qual pressão é maior, fica mais complicada se houver uma 
ampliação ou redução de seção entre os pontos A e B. Neste caso ocorrerá também uma 
transformação, em boa parte reversível, de energia cinética em energia de pressão, no 
caso de um alargamento, e vice-versa, no caso de uma redução da seção transversal do 
escoamento. 
 
A Figura 2.5 mostra outra situação na qual a variação de pressão ao longo do 
escoamento é mais difícil de ser imaginada. 
 
1
*
2
*
3 *
+
-
Patm
Z
g
 
 
Figura 2.5 Distribuição de pressão em reservatório e duto. 
 
A pressão é atmosférica na superfície livre e na saída da válvula. Se não houver 
escoamento, a distribuição de pressão será hidrostática e independente da forma do 
recipiente. 
Mas, à medida que a vazão aumenta, os efeitos de entrada, em 2, podem criar uma 
região de pressão relativa negativa. 
 
A Figura 2.6 mostra uma turbo-bomba com manômetro e vacuômetro instalados. 
 
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O aumento de pressão produzido pela turbo-bomba é dado em função das leituras do 
vacuômetro, na entrada da bomba e do manômetro, na tubulação de recalque. 
 
33 vatmabs PPP −= (2.16) 
onde 
P3abs, é a pressão absoluta no ponto 3, do fluido em escoamento; 
Patm, é a pressão atmosférica; 
PV3, é o módulo da pressão vacuométrica, a leitura. 
 
 
44 Matmabs PPP += (2.17) 
onde 
P4abs, é a pressão absoluta no ponto 4, do fluido em escoamento; 
PM3, é o módulo da pressão manométrica, a leitura. 
 
4334 Mvabsabs PPPP +=− (2.18) 
 
 
1
*
2
*
4
*
5
*
6
*
7
*
8
*
*
3
 
 
Figura 2.6 Instalação de bombeamento 
 
Observe que a tubulação de sucção foi desenhada com diâmetro maior do que a de 
recalque. O diâmetro do flange de sucção e o de recalque da bomba, além de serem 
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diferentes, não tem que coincidir, necessariamente, com os diâmetros das tubulações 
respectivas. Outro detalhe de montagem da instalação, é que a tubulação de sucção deve 
ser inclinada, não tanto quanto mostrado no desenho, e a redução do flange de sucção 
não pode ser cônico, para evitar o depósito de ar na sucção. 
 
A EQ.2.18, expressa em metros, é a carga devido a pressão. A carga é equivalente a 
uma altura de coluna de fluido estático, o mesmo que está sendo bombeado. A FIG.2.6 
inclui manômetros instalados nos reservatórios de sucção e recalque e manômetros 
remotos, conectados nas tomadas de pressão da entrada e saída da bomba. Os 
manômetros dos reservatórios medem a pressão do volume do gás que é praticamente 
igual ao da superfície livre do líquido dos reservatórios. O manômetro e vacuômetro 
conectados nos pontos 3 e 4, medem, respectivamente, valores de pressão relativa, PV8 e 
PM7. Estas leituras devem ser corrigidas em relação às respectivas tomadas de pressão. 
 
8833 vabs PhP =− −γ (2.19) 
 
7744 Mabs PhP =− −γ (2.20) 
onde 
h3-8 e h4-7, representam o módulo das cotas verticais, determinadas pelos pontos, 3-8 e 4-
7, respectivamente. 
 
3. Princípios, Leis gerais e particulares 
 
Observação geral: supõe-se que o leitor já tenha um conhecimento prévio de 
Termodinâmica e de Mecânica dos Fluidos para um bom entendimento destas notas de 
aula. Como são notas de aula, não está dispensada a consulta aos livros sempre que 
necessário. 
 
3.1 Teorema do Transporte de Reynolds 
O ser humano observou que a natureza obedece a princípios universais. Estes são, na 
maioria, de conservação: da massa, da carga associada à massa, da quantidade de 
movimento, ou momentum, ou momento linear, e de momento angular e da energia. 
Existe um princípio de aumento, que corresponde ao da propriedade entropia. Por 
necessidade ou praticidade, foram surgindo os conceitos teóricos: massa, força, 
quantidade de movimento, momento angular, energia, entropia associados aos 
princípios. Destes princípios decorrem as leis gerais, enunciadas para sistemas 
realizando processos ou ciclos. O estudo de um sistema em movimento está relacionado 
com o método Lagrangeano, que necessita da equação da trajetória do sistema. 
 
Um sistema é caracterizado por, M, determinada quantidade de matéria, ou massa, com 
identidade fixa a ser estudada. Não se pode trocar um quilo de areia por outro. Assim, 
tém-se como lei geral, o próprio princípio de conservação da massa, 
 
( )
0=
dt
Md
 
(3.1) 
 
a segunda Lei de Newton, decorre do princípio da ação e reação, 
 
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( )
dt
MVd
Fext = 
(3.2) 
 
a equação do momento angular, ou momento da quantidade de movimento, para o caso 
de movimento não linear, é derivada do princípio de conservação de momento angular, 
 
( ) ( )[ ]
dt
MVxrd
M ext = 
(3.3) 
 
a equação da energia ou primeira Lei da Termodinâmica, aplicável a processos, 
derivada do princípio de conservação de energia para sistemas operando ciclicamente, 
 
( )
dt
Md
WQ e=− 
(3.4) 
 
a segunda Lei da termodinâmica, aplicável a processos, é derivada do princípio de 
aumento da entropia para sistemas operando ciclicamente, 
 
( )
dt
Md
S
T
Q s
g =− 
(3.5) 
 
As leis gerais aqui apresentadas foram escritas supondo propriedades uniformes e com a 
nomenclatura mais conhecida. 
Antes de continuar, observe a pele de seu dedo por 3 segundos... 
Considerando este sistema, pode-se afirmar o princípio dado pela EQ.3.1. 
Este é o significado do termo: princípio. Não há teorema para isto. 
 
No caso de fluidos em movimento, pode-se usar o conceito Euleriano, associado a 
observação de volumes de controle fixos, em vez de sistemas móveis. Fica difícil 
imaginar o conceito de centro de massa aplicado a uma massa de fluido que escoa por 
uma bifurcação. 
 
A mudança no método de descrição consiste em uma transformação matemática no lado 
direito das leis gerais. As leis continuam as mesmas. Esta transformação é efetuada pelo 
Teorema do Transporte de Reynolds. 
 
Considere um sistema passando por um volume de controle, conforme mostrado na 
FIG.3.1. 
 
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Volume de
Controle, VC
M(t1)VC
sistema, M(t0)
h(ti)
r(tf) s(∆t)
e(∆t) VC
VC
VC
≡
M(t)
 
 
 
Figura 3.1 Ilustração para o teorema do Transporte de Reynolds. 
 
O primeiro desenho representa um sistema, S, identificado pela posição do seu centro de 
massa, no tempo t0, que irá atravessar o volume de controle, VC. O último desenho 
representa o sistema, S, no tempo t1, após atravessar o VC. 
 
O segundo desenho representa o sistema, composto por duas partes, h(ti) e(∆t). 
O quarto desenho representa o sistema, composto pelas partes, r(tf) e s(∆t). 
 
h(ti) representa a parte da massa do sistema que havia no volume do VC, no tempo 
inicial, ti; 
r(tf), a massa do sistema que restou no volume do VC, no tempo final, tf; 
s(∆t), a massa do sistema que saiu do VC pela área de saída, em ∆t; e 
e(∆t), a massa do sistema que entrou no VC pela área de entrada, em ∆t. 
 
Atendendo ao princípio de conservação da massa, pode-se escrever, para um intervalo 
de tempo a escolher, por exemplo, ∆t = tf-ti, 
 
( ) ( )[ ] 0/ =∆− tiMfM (3.6) 
onde 
M(f) e M(i) é a massa do sistema, invariável no tempo. 
 
Mas, do ponto de vista do VC, 
 
( ) ( ) ( )tStfRfM ∆+= (3.7) 
 onde 
R(tf), é a parcela da massa do sistema que restou no VC no tempo tf; 
S(∆t), é a parcela da massa do sistema que saiu do VC em ∆t; 
 
e também 
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 21
 
( ) ( ) ( )tEtfHiM ∆+= (3.8) 
onde 
H(tf), é a parcela da massa do sistema que havia no VC em ti; 
E(∆t), é a parcela da massa do sistema que entrou no VC em ∆t; 
 
Substituindo a EQ.3.7 e a EQ.3.8 na EQ.3.6, faz-se, M-M=0, ou 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ttEtfHtStfR ∆∆+−∆+ / (3.9) 
 
Reordenando os termos correspondentes ao que ocorre no volume e nasáreas de entrada 
e saída 
 
 ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ttEttSttfHtfR ∆∆−∆∆+∆− /// (3.10) 
 
e aplicando o limite, para ∆t→0, correspondendo ao terceiro desenho, quando os limites 
físicos do VC correspondem exatamente aos do sistema de massa M, obtém-se a 
equação da continuidade, que é a expressão do princípio de conservação da massa para 
volumes de controle. 
 
••
−+= es
vc mm
dt
dM
0 
(3.11) 
 
Aplicando o teorema às outras leis gerais para volume de controle, 
 
es
vc
ext VmVm
dt
VMd
F )()(
)( rr
r
r ••
−+= 
(3.12) 
 
 
es
vc
ext VmxrVmxr
dt
VxMrd
M )()(
)( rrrr
rr
r ••
−+= 
(3.13) 
 
 
es
vc
extext
emem
dt
Med
WQ )()(
)( ••••
−+=− 
(3.14) 
 
 
es
vc
ger
ext smsm
dt
Msd
S
T
Q
)()(
)( •••
•
−+=+ 
(3.15) 
 
 
Lembra-se que a EQ.3.12 e a EQ.3.13 são válidas, neste formato, apenas para volumes 
de controle inerciais, não acelerados linear ou angularmente. Para volumes de controle 
elas apresentam mais termos. 
A EQ.3.14, também não está na forma para uso prático. Existe um trabalho associado 
ao escoamento, 
•
m , que não foi separado dos demais termos associados a extW
•
. 
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 22
 
Trabalho é o produto escalar de uma força associada a um deslocamento, d. Efetuado o 
produto escalar, e considerando uma força constante, com mesma direção e sentido do 
deslocamento, tém-se 
FdW = 
 
Se a força for devida a uma pressão, P, que empurra uma massa para dentro de um VC, 
através de uma área de entrada, A, tém-se 
 
PAdW = 
O volume de fluido correspondente ao trabalho realizado no intervalo de tempo é 
AdVol = 
 
então 
PVolW = 
O volume por unidade de tempo é a vazão, 
•
V 
VPW entra &=
•
 
 
Mas 
•
V =
•
ρ
m
 
e 
entraW
•
=
ρ
P
m
•
 
Pela convenção, 
entra
Q
•
 é positivo e entraW
•
 é negativo. Toda energia que entra em um 
sistema é uma contribuição positiva à energia do sistema. É por isto que aparece o sinal 
negativo associado ao trabalho, na EQ.3.14. Assim, o trabalho para colocar massa 
dentro do VC tem sinal resultante positivo. Como o trabalho por unidade de tempo está 
em função da vazão em massa, o termo é re-escrito do lado direito da EQ.3.14 
associado à vazão em massa que entra. Da mesma forma, para a vazão em massa que 
sai, a força de pressão, sempre orientada para dentro do VC e normal à área de saída, 
resultará em um produto escalar negativo e a potência do escoamento que sai também 
será escrita do lado direito da EQ.3.14, associada às demais energias da vazão em 
massa que sai. 
 
Com estas alterações, a EQ.3.14 é re-escrita na forma, 
 
es
vc
extext
P
em
P
em
dt
Med
WQ ))(())((
)(
ρρ
+−++=−
••••
 
(3.14) 
 
No caso de escoamento fluido, será considerada apenas a energia cinética, potencial e 
interna. A energia interna somada à energia de pressão, associada a
ρ
P
, é denominada 
entalpia, h, que significa a soma da energia interna com o trabalho efetuado sobre a 
massa que entra ou sai do VC. 
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 23
Re-escrevendo novamente, a primeira lei da Termodinâmica para processos em volumes 
de controle, 
 
es
vc
extext
gz
V
hmgz
V
hm
dt
gz
V
uMd
WQ ))
2
(())
2
((
))
2
(( 22
2
++−+++
++
=−
••••
 
(3.14) 
 
Observe a variável, u, na parcela transiente, correspondente ao volume de controle, e a 
variável, h, associada ao escoamento de massa que sai e/ou entra pela superfície de 
controle. 
Voltando à Equação da Continuidade, existem alguns esclarecimentos a respeito da 
variável 
•
m . 
Escreve-se m ponto, e não dM/dt porque não se pode associar uma massa física ao 
conceito de área. 
A vazão é a quantidade de massa por unidade de tempo que atravessa determinada área. 
Seja M essa quantidade. Por unidade de tempo: 
t
M
m
∆
=
•
 
•
=
∆
V
t
M
ρ 
onde 
•
V é a vazão em volume, ou Vol/∆t, se for uniforme com o tempo. 
Para um tubo, o volume escoado, correspondente à massa M pode ser escrito em função 
do comprimento de tubo ocupado pela massa M, e da área da seção transversal do tubo 
 
ALVol = 
 
Por unidade de tempo, 
t
AL
t
Vol
∆
=
∆
 
AVV =
•
 
onde V é a velocidade média do escoamento. 
 
Então 
Vm &ρ=
•
 
ou 
AVm ρ=& 
Mas ainda existem considerações a serem feitas. 
 
Considere a FIG.3.2, que mostra 4 situações de massa escoamento através de uma área. 
 
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 24
Vao VaoVaoVao
Vbo=0 VboVboVbo
-Vbo Vao
Vab
Vab
Vabn
vetor área, A
1. 2. 3 . 4.
4a. Vab 4b. Vabn
Referencial,"o"
Vabn
 
 
Figura 3.2 Cálculo de vazão em massa em 4 situações 
 
Considere as velocidades Vao e Vbo, medidas em relação a um referencial ou 
observador inercial, “o”, mostrado na FIG.3.2. Então, no caso 1, 
aoAVm ρ=& 
 
No caso 2 
( )VboVaoAm += ρ& 
 
No caso 3 
( )VboVaoAm −= ρ& 
 
Até aqui, o cálculo é intuitivo, deve-se usar a velocidade com que a massa chega na área 
A, ou seja, a velocidade da massa A em relação à área, denominada como B. 
 
No caso 4, torna-se necessário calcular, primeiro, a velocidade com que A chega em B, 
Vab, obter a componente de Vab, normal à área de B e efetuar o cálculo. 
abnAVm ρ=& 
 
Para calcular a velocidade relativa, usa-se a transformada de Galileu, que consiste na 
relação vetorial, 
VboVaoVab −= 
 
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 25
Acrescente o vetor Vbo com sentido invertido, à ponta do vetor Vao. O vetor resultante 
está mostrado na FIG.3.2., no caso (4a). No caso (4b) efetua-se o produto escalar da 
velocidade relativa com o vetor Área, cujo sentido é sempre para fora do volume e cujo 
módulo representa o valor da área plana. 
( )AVabVabn •= 
O valor de Vabn é positivo, neste caso, o que resulta em 
•
m positivo, ou 
•
m que sai de 
um VC. 
 
No caso da FIG.3.3, o observador no avião B verá o avião A se afastando, como se 
estivesse voando lateralmente. 
 
Outro exemplo de aplicação da equação da continuidade envolve a questão do volume 
de controle adequado. A FIG.3.4 mostra uma mesma situação envolvendo dois volumes 
de controle distintos. 
 
No primeiro caso, a área de entrada e saída é perpendicular à correspondente 
velocidade. No segundo caso, a área de saída do volume de controle não está 
perpendicular à velocidade de saída. Neste caso, o produto escalar resolve o problema 
automaticamente. Se a área real do VC é A’, o produto escalar retornará a área 
projetada na direção de V, ou a projeção de V na direção de A, o que é um resultado 
equivalente. 
 
Vao
Vbo
Velocidades em relação ao mesmo observador estac ionário "o"
Vao
-VboVab
Vab
Velocidade do avião A em realção a do avião B
(avião A visto de B) 
 
Figura 3.3 Exemplo de movimento relativo entre dois aviões. 
 
 
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 26
As'
Ve
Ae
Vs
AeAs
VsVe
As=As' cos
Vs'=Vscos
Vs
Θ
Θ
= VsAs = Vs(As'cosΘ) Θ)As(Vsco s 
 
Figura 3.4 Cálculo de vazão e o volume de controle 
 
A EQ.3.14 ainda não está na forma apropriada para o cálculo de escoamento em 
tubulações. 
Partindo de 
 
es
vc
extext
gz
V
hmgz
V
hm
dt
gz
V
uMd
WQ ))
2
(())
2
((
))
2
(( 22
2
++−+++
++
=−
••••
 
(3.14) 
 
com a consideração de regime permanente, um tubo de corrente, escoamento 
incompressível, ou seja, ρ constante; hipótese válida para líquidos e também para gases 
se a velocidade do escoamento não exceder 30% da velocidade do som, avaliada na 
temperatura do escoamento. 
 
))
2
(()
2
((
22
e
ee
es
ss
sextext
gz
VP
ugz
VP
umWQ +++−++++=−
•••
ρρ
 
(3.15) 
 
Reagrupando termos e dividindo toda a EQ.3.15 por (
•
m g) 
 
 
)
2
()
2
(
)( 22
e
ee
s
ssextesext z
g
V
g
P
z
g
V
g
P
gm
W
gm
uumQ
++−++=








−







 −−
•
•
•
••
ρρ
 
(3.16) 
 
e redenominando os termos, 
 
[ ] [ ] )()( 12 HHHbHp −=− (3.16) 
 
ou 
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 27
 
HpHHbH −=+ 21 (3.17) 
onde, 
H1 é a energia por peso ou metros de coluna de fluido no ponto inicial da linha de 
corrente representativa do tubo de corrente considerado. Considera-se escoamento 
uniforme. 
H1 é a energia por peso ou metros de coluna de fluido no ponto final da linha de 
corrente 
Hb é a energia por peso ou metros de coluna de fluido adicionada ao tubo de corrente. 
Esta energia será adicionada por máquinas motrizes, uma turbo-bomba ou uma bomba 
de engrenagens, por exemplo. 
Hp é a energia por peso ou metros de coluna de fluido perdida pelo atrito viscoso. 
 
H também tem a denominação de “carga, “Head”, em Inglês. 
 
A potência associada a um escoamento fluido é dada por: 
 
QHW γ=
•
 
(3.18) 
onde, 
•
W , é a potência 
γ, é o peso específico do fluido 
H, é a energia por peso 
Q, é a vazão em volume. 
 
A carga H, pode ter natureza diversa. No caso mais geral, é dada por 
 
( ) ( ) ( )12
2
1
2
212
2
zz
g
VVPP
H −+
−
+
−
=
γ
 
(3.19) 
onde 
( )
γ
12 PP − , é a energia armazenada no fluido, na forma de pressão; 
( )
g
VV
2
2
1
2
2 − , é a variação de energia cinética ocorrida no escoamento; 
( )12 zz − , é a variação de energia potencial. 
 
A EQ.3.18 pode ser derivada da definição de trabalho. ( )( )dxFW ∫= 
A demonstração será feita sem as inúmeras considerações conceituais que aparecem 
embutidas nestes passos, à primeira vista, puramente matemáticos. 
Para uma força, F, resultante constante, paralela e de mesmo sentido do deslocamento, 
x, da massa m, 
( )
dx
V
md
dx
dV
mV
dt
dx
dx
dV
m
dt
dV
mF
2/
2
1 2





=




=










=




= 
Como, 
( )2/
2
1 2VmdFdx 




= 
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 28
 
então, 






−




== ∫ 222
1 21
2
2 VVmFdxW 
 
Considerando, velocidade constante, o trabalho por peso será: 
( )
g
VV
mg
W
2
2/2/ 21
2
2 −= 
 
Esta energia específica equivale ao numerador e denominador por unidade de tempo, ou 
seja, à potência por unidade de peso escoado no tempo, que corresponde à carga, 
H
gm
W
mg
W
==
&
&
 
 
logo, 
( )
g
VV
H
2
2/2/ 21
2
2 −= 
 
 
Por exemplo, para se acelerar um jato horizontal, à pressão atmosférica, da condição 
inicial de energia cinética nula, a energia por unidade de peso de fluido será 
( )
g
V
H
2
2
1= 
 
e a potência, dada pela EQ.3.18, 
 
QHW γ=
•
 
 
No caso ilustrado na FIG.2.2, cuja equação para a queda de pressão é dada pela EQ.2.4. 
 
( )1212 hhPP −=− γ (2.4) 
 
Esta diferença de pressão, em Pascal, dividida por γ, em N/m3, resulta na carga perdida 
por atrito, denominada, perda de carga distribuída. 
Esta perda foi medida com os piezômetros, mas pode ser calculada analiticamente, para 
escoamento laminar ou turbulento. A equação geral da perda de carga distribuída é dada 
pela lei de Darcy-Weysback 
 











=
g
V
D
L
fHp
2
2
 
(3.20) 
 
o regime de escoamento, laminar ou turbulento, é determinado pelo Número de 
Reynolds, 
 
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 29
µ
ρDV
=Re ou 
v
DV
=Re 
(3.21) 
 
E função disso, o diagrama de Moody ou Moody-House pode ser usado, ou então a 
fórmula adequada para a determinação do fator de atrito deve ser usada. Dependendo do 
caso: 
- regime laminar, quando o fator de atrito é função apenas do Número de Reynols, 
- regime turbulento completamente desenvolvido, quando o fator de atrito torna-se 
 função apenas da rugosidade relativa, 
- tubo liso, quando pode ser usada a conhecida equação de Blasius 
- regime turbulento, quando o fator de atrito depende da rugosidade relativa do Número 
 de Reynolds, pode-se usar a equação de Colebrook-White. 
 
Para um sistema como no caso da FIG.2.6, onde aparecem válvulas, curvas, e outros 
componentes, existem perdas de carga, denominadas localizadas. Neste caso, pode-se 
considerar apenas: 
 
( ) ( )
g
V
KHL
2
2
= 
(3.20) 
onde 
K, é o coeficiente de perda de carga localizada respectivo, 
ou, 
usando o conceito de comprimento virtual ou equivalente 
 
( )
g
V
d
Le
fHp
2
2





= 
(3.20) 
onde 
Le/D, é o comprimento equivalente. 
Existem tabelas que relacionam (Le) versus (D), nominal. Pode ficar a dúvida: usar o 
diâmetro nominal ou o real de uma curva, por exemplo. O mais correto é o valor (Le/D), 
obtido em função do diâmetro nominal do acidente ou singularidade. 
 
 
 
 
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 30
SEMANA 2 
 
4. Balanços de massa e energia no escoamento em tubulações 
 
Considere novamente, a FIG.2.6, como uma instalação de bombeamento ainda “no 
papel”. Os reservatórios estão pressurizados. Não se sabe, em função disso, se deve ser 
instalado um manômetro ou vacuômetro na entrada da bomba, no ponto 3. Também não 
se sabe que fundo de escala adotar para o manômetro a ser instalado à saída da bomba, 
na tubulação de recalque. Considere que existe a necessidade das pressões à entrada e 
saída da bomba, serem medidas por medidores instalados nos pontos 7 e 8, para 
comodidade de leitura do operador. 
 
1
*
2
*
4
*
5
*
6
*
7
*
8
*
*
3
9*
 
Figura 2.6 Instalação de bombeamento 
 
A instalação apresenta-se com os requisitos mínimos: bomba instalada em base própria, 
elevada, tubulação de sucção inclinada, com redução excêntrica e válvula de pé com 
crivo; tubulação de recalque com válvula de gaveta e de retenção para minimizar efeitos 
de golpe de aríete. O reservatório de recalque é abastecido por cima, o que elimina o 
efeito da coluna de água no ponto de funcionamento, que ocorreria caso o reservatório 
fosse do tipo “castelo”, abastecido por baixo. 
 
Os dados iniciais do projeto são os seguintes, mostrados na TAB.4.1: 
 
Tabela 4.1 Dados iniciais do sistema de bombeamento mostrado na FIG.2.6. 
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 31
 
Especificação Valor 
Condições de operação 
Fluido água 
Temperatura: ambiente Tamb = 20,0C 
Viscosidade cinemática ν ≅ 1,0.10-6 m2/s 
Pressão atmosférica Patm = 9,5 mca 
Vazão em volume Q = 10.10-6m3/s 
Umidade relativa (informação útil para o motor elétrico) ϕ = 75% 
Cotas relativas ao ponto 5, nível do piso acabado: 
Nível do reservatório de sucção z1 = -3,0 m 
Nível de saída da tubulação de recalque z9 = 7,0 m 
Nível da tomada de pressão à entrada da bomba z3 = 0,5 m 
Nível da tomada de pressão à saída da bomba z4 = 1,0 m 
Nível do medidor remoto da tomada de pressão à saída da bomba z7 = 0,6 m 
Nível do medidor remoto da tomada de pressão à entrada da bomba z8 = 1,3 m 
Valores da instalação 
Altura geométrica de elevação, Hg = z9 – z1 Hg = 7-(-3) 
Hg = 10 m 
Cota de correção da leitura de pressão de sucção do medidor 
remoto, hv = z8 – z3 
hv = 1,3 – 0,5 
hv = 0,8 m 
Módulo da cota de correção da leitura de pressão de recalque do 
medidor remoto, hm = z4 – z7 
hm = 1,0-0,4 
hm = 0,4 m 
Bomba: 
Cota entre entrada e saída da bomba, hb = z4 – z3 hb = 1,0 - 0,5 
hb = 0,5 m 
Pressão relativa na entrada Pr3 = ? 
Diâmetro nominal do flange de entrada, sucção Dnsb = 4” 
Diâmetro nominal do flange de saída, recalque Dnrb = 3” 
Pressão relativa na entrada Pr4 = ? 
Sucção 
Diâmetro nominal da tubulação de sucção Dns = ? 
Diâmetro interno da tubulação de sucção Dis = ? 
Rugosidade es 
Fator de atrito fs 
Velocidade Vs 
Pressão vacuométrica do reservatório de sucção Pvrs =5 mca 
Comprimento desenvolvido total da tubulação de recalque Lr = 9 m 
Coeficiente de perda localizada da válvula de pé com crivo Kvpc = ? 
Coeficiente de perda localizada da curva, raio curto Kcc = ? 
Coeficiente de perda localizada da redução excêntrica 
(desprezando a excentricidade) 
Kre = ? 
Coeficiente de perda localizada da conexão flangeada Kfl = ? 
Recalque 
Diâmetro nominal da tubulação de recalque Dnr = ? 
Diâmetro interno da tubulação de recalque Dir = ? 
Rugosidade er 
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Fator de atrito fr 
Velocidade Vr 
Pressão manométrica do reservatório de recalque Pmrr =2 mca 
Comprimento desenvolvido total da tubulação de sucção Lr = 6 m 
Coeficiente de perda localizada da ampliação concêntrica Kac = ? 
Coeficiente de perda localizada da conexão flangeada Kfl = ? 
Coeficiente de perda localizada da válvula gaveta 100% aberta Kvg = ? 
Coeficiente de perda localizada da válvula de retenção Kvr = ? 
Coeficiente de perda localizada da curva, raio curto Kcc = ? 
 
 
Para as condições dadas, deseja-se saber, 
a.) a carga útil, Hu; 
b.) a altura manométrica, Hm; 
c.) o valor da potência de eixo, eW
•
; 
d.) da pressão no ponto remoto de leitura, 8; 
e.) da pressão no ponto remoto de leitura, 7. 
f.) Obter o valor de H u, a partir de um balanço de energia na bomba, entre os pontos 3 e 
4, com os valores de pressão absoluta calculados. 
 
Solução de (a.) 
Aplica-se o balanço de energia a todo o sistema, do ponto 1 ao ponto 9, com o balanço 
de massa já implícito, para um tubo de corrente, vazão que entra igual à vazão que sai; 
 
 
( ) ( ) pu Hz
g
VP
Hz
g
VP
++





+





=++





+





9
2
99
1
2
11
22 γγ
 
(4.1) 
na qual, Hp, é a perda de carga total, de 1 a 9 
 
prpsp HHH += (4.2) 
com 
Hps, a perda de carga total, da sucção; 
Hpr, a perda de carga total, do recalque; 
 
pslpsdps HHH += (4.3) 
sendo 
Hpsd, a perda de carga distribuída, da sucção, 
dada, para um mesmo diâmetro, por 












=
g
V
D
L
fH s
s
s
spsd 2
2
 
(4.4) 
e 
Hpsl, a perda de carga localizada, da sucção, 
dada, para um mesmo diâmetro, por 
( ) 





= ∑
g
V
KH sspsl 2
2
 
(4.5) 
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 33
ou especificamente, 
 ( ) 





+++=
g
V
KKKKH sflrecnvpcpsl 2
2
 
(4.6) 
 
Analogamente, tém-se 
prlprdpr HHH += (4.7) 
 












=
g
V
D
L
fH r
r
r
rprd 2
2
 
(4.8) 
 
( ) 





= ∑
g
V
KH rrprl 2
2
 
(4.9) 
no caso, 
( ) 





+++=
g
V
KKKKH rflrecnvpcprl 2
2
 
(4.10) 
 
Para efetuar o balanço de energia dado pela EQ.4.1, são necessárias a velocidade de 
sucção e de recalque. O processo determina a vazão enquanto os diâmetros de sucção e 
recalque permitirão o cálculo das velocidades e das perdas. O diâmetro de sucção é 
determinado pelo critério de perda de carga admissível na sucção. Dados práticos 
permitiram montar tabelas com o diâmetro recomendado em função da velocidade e do 
tipo de fluido. A perda de carga na sucção deve ser limitada porque existe a 
possibilidade do fluido atingir sua pressão de vapor na temperatura de bombeamento, na 
entrada do rotor da bomba. O fenômeno denomina-se cavitação. O vapor gerado 
diminui a força centrífuga e o bombeamento pode cessar, ou, danificar, por processos 
físico-químicos, o interior da bomba. A cavitação é mais comum do que parece, 
ocorrendo em tubos, válvulas, no interior de máquinas da indústria. 
O diâmetro de recalque é determinado por critério econômico: quanto menor o 
diâmetro, menor o custo inicial e maior o custo do processo. E vice-versa. Estes dois 
efeitos, contabilizados, apresentam, para determinado diâmetro, um custo mínimo. Da 
mesma forma, existem tabelas com o diâmetro recomendado em função da velocidade e 
do tipo de fluido. Estas tabelas são encontradas em livros de Mecânica dos Fluidos ou 
de Tubulações Industriais, ou Handbooks e outros materiais da área. 
 
A TAB.4.2 mostra, para a sucção, os diâmetros recomendados em função da velocidade 
do fluido: água a temperatura ambiente. A TAB.4.3, mostra os valores para o recalque. 
 
Tabela 4.2 Valores recomendados para a sucção – fluido: água a temperatura ambiente 
 
Vs(m/s) Ds(m) Qs(m3/s) 
0,55 0,100 4,32.10-3 
0,60 0,150 1,06.10-2 
0,90 0,250 4,42.10-2 
1,50 0,300 1,06.10-1 
 
Tabela 4.3 Valores recomendados para o recalque – fluido: água a temperatura 
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CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA – DISCIPLINA: EMA095 - SISTEMAS FLUIDO-MECÂNICOS – 3cr. 
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ambiente 
 
Vr(m/s) Dr(m) Qr(m3/s) 
1,15 0,075 5,08.10-3 
1,25 0,100 9,82.10-3 
1,5 0,150 2,65.10-2 
 
 
Foi acrescentada às tabelas, na coluna à direita, a vazão correspondente ao diâmetro e 
velocidade respectiva. 
Comparando a vazão dada, Q = 10.10-3m3/s, ou , Q = 1.10-2m3/s, verifica-se que os 
diâmetros recomendados mais próximos são, Ds=0,150m e Dr=0,100m, ou, Ds=5,9in e 
Dr=3,94”in. Os valores nominais recomendados podem ser arredondados, para a 
sucção, Dns=6in e para o recalque, Dnr=4”in. 
 
Resta determinar qual o diâmetro interno. As dimensões das tubulações como as de aço 
carbono ou aço baixa liga ou inox, são normalizadas. As Normas ANSI ou API, são 
exemplos. Por estas normas, os tubos são classificados pelo diâmetro nominal externo, 
em polegadas, ou pelo diâmetro real externo, em milímetros, de ¼”, ou 13,7mm até 30” 
ou 762mm. Cada tubo de diâmetro externo apresenta de 3 a 7 espessuras diferentes. A 
escolha da espessura correta depende do projeto da tubulação, que leva em conta, o 
tempo de vida útil previsto, normalmente menor do que 20 ou 30 anos,os efeitos de 
corrosão, erosão e os esforços de pressão ou tensões a que a tubulação estará sujeita. 
Cada espessura está relacionada com um número, denominado Schedule do tubo, Sch. 
Originalmente, o Sch é dado pela EQ.4.11 
 
SPSch /1000= (4.11) 
na qual, 
P é a pressão de projeto, em psi; 
S é a tensão admissível do material, em psi. 
 
Existem as denominações: 
Sch40, 40S ou 40, onde S significa Standard; 
Sch80, 80S ou Xs, onde XS extra-forte; 
XXX, onde XXS significa duplo-extra-forte; 
 
Existem de 3 a 7 valores de Sch, relacionados com as espessuras, para cada diâmetro 
nominal de tubo. A designação, S, corresponde ao tubo de uso e espessura mais 
comumemte utilizado, quando o serviço não requer condições especiais. 
 
Na indústria, os diâmetros utilizados são em geral maiores do que 2”. Para 2” ou 
inferior, deve-se usar Sch80 ou Sch160 pois a espessura Standard, em geral, não é 
suficiente para dar rigidez suficiente ao tubo para sustentar até o seu peso próprio. 
 
Só a partir de 14”, o diâmetro nominal externo passa a coincidir aproximadamente com 
o diâmetro real. 
 
Consultando por exemplo, a tabela de tubos da norma ANSI B.36.10, disponível e 
livros, obtém-se: 
 
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Sch40, Dns = 6”, Dis = 154mm Vs = 0,537m/s, para a sucção; 
Sch40, Dns = 4”, Dis = 102,3mm Vs = 1,217m/s, para o recalque; 
onde 
Dis é o diâmetro interno da tubulação de sucção; 
Dir é o diâmetro interno da tubulação de recalque; 
 
Note que as velocidades a serem usadas no cálculo da perda de carga devem se referir 
ao diâmetro interno real das tubulações. 
 
Tendo o diâmetro nominal, todos os valores em branco, da TAB.4.1, dos coeficientes de 
perda de carga localizada, K, ou comprimentos equivalentes, Le/D, podem ser obtidos. 
Com isto efetuam-se os cálculos das perdas localizadas. Os valores do fator de atrito e 
as correspondentes perdas distribuídas também podem ser calculadas a partir dos 
números de Reynolds, RE, e das rugosidades relativas, ε=k/D. 
 
O número de Reynolds surgiu da análise dimensional e tem a forma, 
 
v
DV
=Re 
(4.12) 
na qual, 
V é a velocidade média do escoamento real; 
D é uma dimensão característica; 
ν é a viscosidade cinemática, sendo, ν=µ/ρ. 
 
A dimensão característica, D, é o diâmetro, para tubos com escoamento a seção plena; o 
comprimento da superfície, na direção do escoamento, a partir da borda, para aerofólios 
ou placas planas e diâmetro hidráulico, para seções diferentes da circular ou para 
escoamentos que não preenchem totalmente a área disponível para a vazão, ou canais, 
com superfície livre. 
 
O diâmetro hidráulico é dado por 
 
Pm
A
Dh 4= 
(4.13) 
na qual, 
A é a área real de escoamento; 
Pm é o perímetro molhado. 
 
A área real de escoamento pode ser um setor circular, para o escoamento parcialmente 
preenchido em um tubo. 
O perímetro considera toda a interface, fluido-parede ou fluido-fluido, onde o atrito é 
significativo. No caso do escoamento parcialmente preenchido em um tubo, o perímetro 
molhado será apenas o perímetro da interface parede-fluido. Caso o escoamento seja a 
seção plena, mas com dois fluidos estratificados e com interface definida, o perímetro 
molhado será uma linha fechada considerando a interface parede-fluido e fluido-fluido, 
para a análise de cada um dos fluidos separadamente. 
 
O diâmetro hidráulico é definido na forma da EQ.4.13 porque para um escoamento a 
seção plena em duto circular, o diâmetro hidráulico resulta dimensionalmente no 
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diâmetro original. 
O diâmetro hidráulico é utilizado em correlações que foram, originalmente, obtidas para 
tubos circulares. Esta modificação torna a correlação de cálculo do fator de atrito, válida 
para uso, dentro de limites. 
O conceito de diâmetro hidráulico não corrige, na correlação original, situações de 
tensão de cisalhamento não uniforme no perímetro molhado. No caso de escoamento 
anular entre dois tubos concêntricos, por exemplo, a correlação do fator de atrito para 
escoamento em tubo simples poderá ser utilizada desde que o diâmetro hidráulico 
substitua o valor de diâmetro no Número de Reynolds da correlação. Se os tubos não 
forem concêntricos, o fator de atrito será diferente, mas o resultado da correlação, 
modificada pelo diâmetro hidráulico continuará o mesmo. 
 
A EQ.4.12, com o diâmetro hidráulico, também é encontrada na forma, 
 
( )
v
VRh4
Re = 
(4.14) 
na qual 
Rh é o raio hidráulico. 
 
O Raio hidráulico é 
 
Pm
A
Rah = 
(4.15) 
 
Assim, tanto faz escrever (4Rh) ou (D) na EQ.4.12. 
 
Com os diâmetros nominais pode-se obter os valores de K; com os diâmetros internos, 
rugosidade e velocidades pode-se obter os valores de f. 
 
Os coeficientes de perda localizada tem uma incerteza maior associada, se comparado 
com o cálculo de perda de carga em um trecho suficientemente longo para que os 
efeitos de entrada ou saída possam ser desprezados, pois a equação considera 
escoamento desenvolvido. Existe pequena variação nos valores de K para a mesma 
singularidade, dependendo da fonte bibliográfica. 
 
Comprimentos equivalentes a 10 diâmetros de singularidades como bombas, sucção de 
reservatório, curvas, é a distância mínima para instalação de tomadas de pressão e 
cálculo de fator de atrito. Para instalação de medidores de vazão, uma distância segura é 
120 diâmetros. 
 
Valores de K são definidos na região de turbulência completamente desenvolvida, onde 
o fator de atrito só é função da rugosidade relativa. Não existe valore de K para regime 
laminar. também é difícil imaginar que um valor, K=2, permaneça constante para RE 
variando de 1000000 a 4000. 
 
Na prática, a perda distribuída é a mais significativa, o que não ocorre, em geral, com 
montagens de laboratório didático, onde, por limitações de tamanho, ocorrem muito 
mais singularidades do que trechos retos nas montagens. Isto pode elevar o desvio entre 
valores medidos e calculados, facilmente a mais de 10%. 
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A ligação dos tubos e componentes pode ser soldada, flangeada ou roscada. Na indústria 
não é comum conexão roscada porque a rosca enfraquece a ligação. Existem tabelas de 
coeficientes de perda para união por flange ou rosca. Na falta de informação, os dados 
sem referência ao tipo de união podem ser usados sem risco, se forem perdas menores 
do sistema. 
 
-Cálculo dos valores de K da sucção 
Alguns dados foram aproximados para ilustrar o procedimento. No caso real, busque e 
utilize as informações corretas, a não ser que tenha certeza que a aproximação não 
comprometerá a exatidão do resultado final. 
 
Válvula de pé com crivo. 
Pode-se achar separado, os valores de K para a válvula de pé e do crivo. Existe válvula 
de pé tipo levantamento e dobradiça. 
No caso, encontrou-se, para tipo levantamento, 
fvpc FK 420= 
onde 
Ff é um fator de atrito tabelado em função do diâmetro nominal, o que deixa implícita a 
consideração, Ff função da rugosidade relativa, (ε), apenas. 
 
Com Dns = 6” e Ff =0,015, obtém-se, 
para válvula de pé com crivo, Kvpc = 6,3 
 
Para a curva, raio curto, Kcn = 0,3 
O ideal, para minimizar perda é utilizar raio normal. Se não for possível evitar curvas na 
entrada de bombas, utilizar raio longo.A junção por flange, provavelmente não é considerada nos cálculos. Tenho uma 
referência para perdas em união sem uma especificação mais detalhada. O comprimento 
equivalente seria de 30 diâmetros, Le/D=30. Neste caso, talvez possa ser considerada a 
união de PVC ou o niple, que é um componente de rosca externa nas extremidades, para 
ligação de dois componentes, por exemplo uma válvula com uma curva. 
Assim, 
Para união flangeada, (Le/D)fl = 30 
 
A redução na entrada da bomba é de 6 para 4 e na saída a ampliação é de 3 para 4. 
Uma tabela prática indica o comprimento de tubo ser somado ao comprimento real do 
tubo de menor diâmetro para ampliações e reduções. Em ambos os casos, a perda 
localizada deve ser calculada com o valor da velocidade do tubo de menor diâmetro. 
 
Para redução de 6” para 4”, à entrada da bomba, Le=1,22m 
Para ampliação de 3” para 4”, no recalque, à saída da bomba, Le=0,91m 
Como após a redução da sucção não há tubo e sim o bocal de entrada da bomba, será 
utilizada a referência mais conhecida, que fornece valor de K em função do fator de 
redução, β=Dmenor/Dmaior. 
Usando β=4”/6”, ou 0,67, tém-se 
Para redução excêntrica, considerada concêntrica, por falta de dados, Kre = 0,25 
 
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-Cálculo dos valores de K do recalque 
 
Usando β=4”/6”, ou 0,67, o parâmetro, β, é o mesmo, mas a curva referente à expansão 
é diferente da usada para redução. Neste caso, o valor numérico coincide. 
Para ampliação concêntrica, Kac = 0,25 
A mesma consideração feita para a união flangeada na sucção vale para o recalque, logo 
Para união flangeada, Kfl = ? 
Para válvula de gaveta, 100% aberta, Kvg = 0,12 
Foi encontrado um valor para a válvula de retenção tipo portinhola horizontal, Kvr = 2 
Como um valor genérico seria 2,5, então, 
Para válvula de retenção, Kvr = 2,5 
Para curva, raio curto, Kcn = 0,3 
 
O cálculo da tubulação de sucção dever ser feito separado do cálculo da tubulação de 
recalque. Uma das razões é que os diâmetros serão, em geral, diferentes e as perdas 
dependem do diâmetro. Se houver mudança do diâmetro na mesma tubulação, as 
perdas também devem ser especificamente calculadas. 
 
-Cálculo dos valores de fator de atrito. 
A perda distribuída pode ser obtida direto de tabelas, a partir do valor de f, obtido do 
diagrama de Moody ou do valor de f, calculado a partir de correlações. 
 
As tabelas são práticas mas um recurso antigo, o diagrama de Moody é fácil de ser 
utilizado mas o risco de leitura errada ou imprecisa é alto por falta de prática. As 
equações são, na atualidade, mais práticas. Mas seria bom conferir o resultado com o 
diagrama. 
 
Citando algumas correlações, tém-se: 
 
Regime laminar 
Re
64
=f 
(4.16) 
para 
2300Re0 ≤≤ 
 
Equação de Blasius - Regime turbulento – tubo liso 
( ) 4/1Re
315,0
=f 
(4.17) 
Para 
 
100000Re3000 ≤≤ 
 
Equação de Kármán-Prandtl - Regime turbulento – conduto liso 
( ) 







−=
2/12/1 Re
51,2
log2
1
ff
 
(4.18) 
para 
4000Re > aproximadamente 
 
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Equação de Nikuradse - Regime turbulento pleno – região predominantemente rugosa 






−=
71,3
log2
1
2/1
ε
f
 
(4.19) 
Re>4000 aproximadamente 
 
Equação de Colebrook-White - Regime turbulento de transição e pleno 
( ) 







+−=
2/12/1 Re
51,2
71,3
log2
1
ff
ε
 
(4.20) 
para 
( )( )( ) 200Re14 2/1 ≤≤ εf 
Re > 4000 aproximadamente 
 
Equação de Podalyro Amaral de Souza – EPUSP,1977 - Regime turbulento de transição 






+−=
9,02/1 Re
62,5
71,3
log2
1 ε
f
 
(4.21) 
para 
4000 ≤ Re ≤ 1000000 
10-5 ≤ Re ≤ 10-2 
 
ou 
Equação de Miller,R.W– Flow Measurement Engineering Handbook,1996 - Regime 
turbulento de transição 






+−=
9,02/1 Re
74,5
71,3
log2
1 ε
f
 
(4.22a) 
ou 
2
9,0Re
74,5
71,3
log
4
1












+




=
ε
f 
(4.22b) 
usado como valor inicial para a equação de Colebrook –White, resulta em 1% de erro 
após uma iteração. 
 
Equações empíricas – sem maiores informações 
 
Equação de Fair-Whipple-Hsiao – tubos de pequeno diâmetro até 4”. Recomendada pela 
Norma Brasileira para Instalações de Água Fria potável NB-92 
-aplicada a cano de ferro galvanizado 
 
569,2
632,0
113,27 D
L
Hp
Q 




= 
(4.23a) 
ou 






=
88,4
88,1
002021,0
D
D
LHp 
(4.23b) 
- aplicada a cano de cobre e latão conduzindo água fria 
 
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 40
71,2
57,0
934,55 D
L
Hp
Q 




= 
(4.24) 
- aplicada a cano de cobre e latão conduzindo água quente 
 
 (4.25) 
71,2
57,0
281,63 D
L
Hp
Q 




= 
Equação de Hazen-Williams 
 
( )
54,0
63,202788 




=
L
Hp
DCQ 
(4.26) 
com 
Q em m3/s; 
D, Hp, L em m; 
C uma constante do material 
Por exemplo: 
aço galvanizado, C=125; 
aço soldado novo, C=130; 
aço soldado em uso, C=90; 
ferro fundido novo, C=130; 
ferro fundido com 20-30 anos de uso, com incrustações C=100; 
plástico, PVC, C=140. 
A equação serve a condutos de seção plena, água a temperatura ambiente, diâmetros de 
50 a 3500mm. É utilizada para redes de abastecimento de água. 
 
A equação mais exata é a mais complicada para solução, a equação de Colebrook-
White. 
Por ser transcendente, pode-se usar um método iterativo para cálculo do valor de f. 
Considere a EQ.4.20, re-escrita na forma de EQ.4.27, 
 
0
Re
51,2
71,3
log2
1
2/12/1
=





++
ff
ε
 
(4.27) 
 
Dados os parâmetros, ε e RE, a EQ.4.27, é uma função de f, que só será nula com o 
valor correto de f. O valor pesquisado de f, será a raiz da função G, dada pela EQ.4.28, 
 
G
ff
=





++
2/12/1 Re
51,2
71,3
log2
1 ε
 
(4.28) 
 
Falta um procedimento convergente para a solução. Será utilizada a EQ.4.22b, para um 
valor inicial, e o método de Newton-Raphson, para determinar a raiz de G, ou, o valor 
de f no qual G=0. 
 
Relembrando o método de Newton-Raphson, considere os valores dados de f e G(f), 
mostrados na FIG.4.2. 
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 41
f
*
G' = dG/dfG
fnovo
*Gnovo
* *
*
f=raiz de G 
Figura 4.2 ilustração do Método de Newton-Raphson 
 
O método fornece o valor de fnovo, cujo valor correspondente de Gnovo deve ser 
calculado a seguir, para continuação do processo iterativo até a precisão desejada. 
Da Série de Taylor, truncada na derivada segunda, ou da interpretação geométrica da 
FIG.4.2, 
 






−
−
=
novoff
G
G
0
' 
(4.29) 
ou 
'G
G
ff novo −= 
(4.30) 
onde, para a primeira iteração 
a.) f é obtido da EQ.4.22b 
b.) G e G’ são calculadas com o valor de f 
c.) fnovo constitui o valor mais aproximado da raiz de G 
para as demais iterações, 
d.) fnovo torna-se a condição inicial, f 
e.) os passos (b),(c) e (d) são repetidos até que o valor de f não varie na quarta casa 
decimal. 
Para a equação de Colebrook-White, lembrando que 
 
( )( )( )
( )( ) ( )[ ]{ } ( )xgbxgdx
xgd b
'ln
1log
= , 
 
 
( ) ( )












+
−
−
=