Material Apoio Estatística Descritiva

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MATERIAL DE APOIO – ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
 
 
 
 
CONTEÚDO: 
 
 
● Breves Conceitos 
 
 ● Tipos de Dados 
 
● Apresentação do Dados 
 
● Medidas de Posição 
 
 Média 
 
 Mediana 
 
 Moda 
 
 Percentis 
 
● Medidas de Dispersão 
 
 Variância 
 
 Desvio -Padrão 
 
 Coeficiente de Variação 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: ESTE MATERIAL É DE USO EXCLUSIVO PARA O 
APRENDIZADO DO CONTEÚDO DESTA DISCIPLINA NO SEMESTRE 
ESPECIAL 2020/1 – EARTE. EU NÃO AUTORIZO A UTILIZAÇÃO DESTE 
MATERIAL PARA OUTROS FINS. PROFA. ANA CRISTINA – DEST/CCE/UFES. 
 
 
 
 
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BREVES CONCEITOS: 
 
 
ESTATÍSTICA– conjunto de métodos que se destinam a tomada de decisões 
acertadas face às incertezas. 
 
POPULAÇÃO – conjunto completo de indivíduos ou objetos a serem analisados 
(investigados). 
 
AMOSTRA – parte (representativa) da população. Usualmente a intenção é fazer 
Inferência Estatística. 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA – Consiste na elaboração e interpretação de tabelas, 
gráficos e medidas que descrevam o comportamento dos dados e sua variabilidade. 
 
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA – metodologia da estatística em que buscamos fazer 
previsões do comportamento da população, com base na amostra, levando-se em 
consideração certa margem de erro. 
 
QUANDO PREFERIR CENSO (entrevista de toda a população) ou AMOSTRAGEM 
(entrevista de parte representativa da população): 
 
CENSO x AMOSTRAGEM: 
População pequena População grande 
Precisão Redução de tempo e custos para obtenção de resultados 
 Testes destrutivos 
 
 
 
FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO: 
 
1- Formulação do problema (objetivo). 
2- Planejamento : nesta etapa tudo deve estar bem pensado: formulação do 
questionário, tipos de dados a serem trabalhados, tabelas, gráficos e medidas a 
serem elaborados, treinamento de entrevistador/digitador, material a ser 
utilizado,.... 
3- Coleta dos dados 
4- Apuração dos dados 
5- Apresentação dos dados em tabelas gráficos e medidas. 
6- Tomada de decisões. 
 
 
 
DADOS: Quaisquer características a serem observadas ou medidas. 
 
 
 
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EXEMPLO: PESQUISA: 
 
 
Observação: Seja uma pesquisa feita com os alunos do Curso “A” da UFES. 
 
Objetivo da pesquisa: Estabelecer Perfil sócio - econômico do estudante do Curso “A”. 
 
Lembrando que se for feita uma amostragem, uma amostra representativa da 
população deve ser analisada, o que inclui alunos de todos os diversos períodos. 
 
 
Alguns dados a serem incluídos no questionário (outros dados podem ser incluídos se 
julgar necessário): 
 
 Gênero, idade, estado civil, renda familiar, número de dependentes, número de 
residentes na mesma casa, escolaridade dos pais, tipo de escola de origem, município 
de residência, entre outros que julgar necessário. 
 
 
Observando-se as possíveis respostas que poderão surgir a estes dados, percebemos 
que podemos classificar os dados em: 
 
 
- DADOS QUALITATIVOS (expressam qualidade): gênero, estado civil, 
escolaridade dos pais, tipo de escola de origem e município de residência 
 
 
- DADOS QUANTITATIVOS (expressam quantidade): idade, renda familiar, 
número de dependentes e número de residentes na mesma casa 
 
 
 
 Os Dados Quantitativos ainda podem ser classificados em: 
 
 
 - DISCRETOS (assumem somente valores inteiros): 
número de dependentes, número de residentes na mesma 
casa 
 
 
- CONTÍNUOS (assumem qualquer valor em uma faixa de 
valores): 
idade(tempo), renda familiar 
 
 
 
 
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SÉRIE ESTATÍSTICA – é a representação dos dados em tabela e gráfico. Toda tabela 
em Estatística tem o seguinte formato: 
 
Título 
( no título devem constar: do que se tratam os dados, onde foram coletados e quando) 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: 
 
Todo gráfico elaborado também requer Título e Fonte. 
 
 
 
Seja uma entrevista feita com os alunos da disciplina Estatística – Curso “A” - UFES 
presentes no dia 05/03/2020, que gerou a seguinte representação em tabela para Dados 
Qualitativos: 
 
 
 
Elaboração da tabela para o Gênero: 
 
 
Gênero dos alunos da disciplina Estatística - Curso “A” UFES - 05/03/2020 
Gênero Frequência 
Feminino 13 
Masculino 6 
Fonte: Entrevista aos alunos 
 
 
Observação: Perceba que a tabela é elaborada com a coluna de frequência em ordem 
decrescente. 
 
 
Gráficos a serem elaborados: - Gráfico em Colunas 
 - Gráfico em Barras 
 - Gráfico em Setores 
 
 
O programa deste Curso se inicia com o estudo dos dados quantitativos. 
 
 
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DADO QUANTITATIVO DISCRETO 
 
 
Exemplo: Uma entrevista foi feita com os alunos da disciplina Estatística – Curso “A” 
UFES, presentes na aula do dia 10/03/20, a respeito do número de dependentes. As 
seguintes respostas foram dadas: 
 
1 2 3 3 3 3 3 4 4 5 2 3 3 5 4 3 5 3 3 4 
 
 
Elaboração da tabela: 
 
 
Número de Dependentes dos alunos da disciplina Estatística Curso “A” - UFES 
presentes na aula do dia 10/03/20 
Número de Dependentes Frequência 
1 1 
2 2 
3 10 
4 4 
5 3 
Fonte: Entrevista aos alunos 
 
 
Gráfico pode ser elaborado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Medidas de Posição ou de Tendência central 
 
 
Média 
 
Vamos calcular mais facilmente a média utilizando o Quadro Resumo. O quadro 
resumo é um quadro em que vamos colocar todos os nossos cálculos sem nos 
preocupar com normas e podendo utilizar as seguintes simbologias: 
xi – é a observação. 
fi – é a frequência absoluta de ocorrência de cada observação. 
Fi – é a frequência acumulada. 
xi.fi – é o produto dos valores de xi e fi de cada linha. 
 
 
 
Quadro Resumo: 
 
Xi fi Fi xi.fi 
1 1 1 1 
2 2 3 4 
3 10 13 30 
4 4 17 16 
5 3 20 15 
Total 66 
 
 
Média = (Somatória de xi.fi)/n = (⅀xi.fi)/n 
 
 
Logo: Média = 66/20 = 3,3 
 
 
 
MEDIANA 
 
Colocados os valores em ordem (crescente ou decrescente), a mediana divide o 
conjunto de dados em duas partes exatamente iguais. 
 
 
Vamos colocar um exemplo didático: sejam as sequências de números abaixo. 
Estabeleça a mediana: 
a)1 3 2 4 5 → 1 2 3 4 5 → Mediana = 3 
b)2 1 4 2 3 1 5 → 1 1 2 2 3 4 5 → Mediana = 2 
 
 
7 
 
Observe que quando o número de observações é IMPAR, a mediana é o elemento 
central. Generalizando: Mediana = elemento( n + 1)/2 
Observe que no item: 
a)n = 5 → a mediana é o elemento (5 + 1)/2 = elemento 3ª. posição 
b)n = 7 → a mediana é o elemento (7 + 1)/2 = elemento 4ª. posição 
 
 
 
c)2 1 3 4 → 1 2 3 4 → Mediana = (2 + 3)/2 = 2,5 
d)2 3 1 4 2 4 → 1 2 2 3 4 4 → Mediana = (2 + 3)/2 = 2,5 
 
 
Observe que quando o número de observações é PAR, a mediana é a média entre os 
dois elementos centrais. Generalizando: Mediana = (elemento n/2 + elemento 
seguinte)/2 
 
 
 
Observe que no item: 
c)n = 4 → a mediana =(elemento 2ª. posição + elemento 3ª. posição)/2 
d)n = 6 → a mediana =(elemento 3ª. posição + elemento 4ª. posição)/2 
 
 
Agora que já vimos o exemplo didático vamos ao nosso exemplo real: Número de 
Dependentes dos alunos. Vamos colocar os valores em ordem: 
 
1 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 
 ↓ ↓ 
 
Como o número de observações é n = 20 Par a mediana é: 
 
Mediana = (elemento 10ª. posição + elemento 11ª. posição)/2 = (3 + 3)/2 = 3 
 
 
Como já fizemos o quadro resumo fica muito mais fácil obter a mediana da 
visualização do quadro. 
 
 
Sabemos que n = 20 par. A coluna de Fi nos mostra as posições. O que a coluna de Fi 
mostra: a primeira posição é o número 1; da posição 2 a posição 3 temos o número 2 e 
da posição 4 a posição 13 temos o número 3. Sendo assim, a posição 10 e 11 são 
ocupadas pelo número 3. Com este raciocínionão é necessário reescrever os números 
colocando-os em ordem. 
 
Logo Mediana = (elemento 10ª. posição + elemento 11ª. posição)/2 = (3 + 3)/2 = 3 
 
 
8 
 
 
MODA 
 
É o valor mais frequente. Obtido por visualização (verifique a frequência de maior 
ocorrência) 
 
Olhando o quadro resumo o valor que ocorre com maior frequência é o número de 
dependentes 3. 
 
 
CONCLUSÃO 
 
Média = 3,3 
 
Mediana = 3 
 
Moda = 3 
 
 
 
 
Percentual de residências com pelo menos três residentes: 
 
20 - 100% → 20 - 100% → x = 85% 
(10 + 4 + 3) - x 17 - x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 DADO QUANTITATIVO CONTÍNUO 
 
Exemplo: Sejam os valores de monóxido de carbono em ppm em São Paulo nos dias 
de janeiro e fevereiro de 1991, conforme dados da página 485 do livro texto Bussab. 
 
Procedimento de representação: 
a) Amplitude total = At = maior valor observado – menor valor observado 
b) K = número de classes = número de linhas = √n , onde n é o tamanho da 
amostra. Considere k sempre o maior inteiro. 
c) Amplitude de Classe = Ac = At/k 
 
Seguindo este procedimento, conseguimos gerar a tabela abaixo. Outras 
tabelas muito próximas a esta podem ser geradas, dependendo do 
arredondamento adotado. 
 
 
 
Quantidade de Monóxido de Carbono em São Paulo – meses de janeiro e fevereiro 
 Ano de 1991 
Quantidade de Monóxido de Carbono Frequência 
4,4 |-- 5,0 1 
5,0 |-- 5,6 4 
5,6 |-- 6,2 10 
6,2 |-- 6,8 22 
6,8 |-- 7,4 9 
7,4 |-- 8,0 9 
8,0 |-- 8,6 1 
8,6 |-- 9,2 3 
Fonte: Livro Estatística Básica: Autor Bussab 
 
 
Para a tabela acima, faremos o quadro resumo, em que não temos preocupação com 
titulação e usaremos a seguinte simbologia: 
 
 
 xi – é o ponto médio da classe, já que em cada classe perdemos a informação 
de quais as quantidades de monóxido de carbono. Sabemos, por exemplo, na segunda 
classe tivemos 4 observações. Em média, a quantidade de carbono foi de 5,3, e assim 
por diante. 
 
fi- é a frequência absoluta de cada classe. 
 
Fi – é a frequência acumulada de cada classe. Por exemplo, até menos de 5,6 de 
monóxido de carbono, nós tivemos 5 dias, e assim por diante. 
 
 
10 
 
 
Quadro Resumo: 
Classe Fi Xi Fi 
4,4 |-- 5,0 1 4,7 1 
5,0 |-- 5,6 4 5,3 5 
5,6 |-- 6,2 10 5,9 15 
6,2 |-- 6,8 22 6,5 37 
6,8 |-- 7,4 9 7,1 46 
7,4 |-- 8,0 9 7,7 55 
8,0 |-- 8,6 1 8,3 56 
8,6 |-- 9,2 3 8,9 59 
 
 
 
Podemos elaborar os gráficos: 
- Histograma 
- Polígono de frequência absoluta 
- Polígono de frequência acumulada (Ogiva) 
 
 
Procure visualizar as medidas média e moda no Histograma e mediana no polígono de 
frequência acumulada. 
Visualizando o Histograma e verificando que Média > Mediana > Moda, justificamos 
uma curva Assimétrica Positiva ou à direita. 
 
 
 
TIPOS DE CURVA: 
 
Simétrica: Média = Mediana = Moda 
 
Assimétrica Positiva ou à direita: Média > Mediana > Moda 
 
Assimétrica Negativa ou à esquerda: Média < Mediana < Moda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Medidas de Posição ou de Tendência Central 
 
(Média, mediana, Moda e Percentis) 
 
Vamos trabalhar as medidas de posição para os dados contínuos. 
 
MÉDIA 
 
Assim como já calculamos a média para os dados quantitativos discretos, 
calcularemos a média: 
 
Média = (⅀xi.fi)/(n) 
 
Vamos acrescentar no quadro resumo a coluna xi.fi 
 
 
 
Quadro Resumo: 
Classe Fi Xi Fi xi.fi 
4,4 |-- 5,0 1 4,7 1 4,7 
5,0 |-- 5,6 4 5,3 5 21,2 
5,6 |-- 6,2 10 5,9 15 59 
6,2 |-- 6,8 22 6,5 37 143 
6,8 |-- 7,4 9 7,1 46 63,9 
7,4 |-- 8,0 9 7,7 55 69,3 
8,0 |-- 8,6 1 8,3 56 8,3 
8,6 |-- 9,2 3 8,9 59 26,7 
Total 59 396,1 
 
 
Logo Média = 396,1/59 = 6,71 
 
 
 
MODA 
 
Da visualização do quadro resumo, verificamos que a moda está na classe de 6,2 a 
menos de 6,8 (classe modal). 
Do traçado gráfico que mostramos em sala de aula para a identificação da moda, 
surge a expressão que traduz o traçado: 
 
Mo = lmo +[ ∆1/(∆1 + ∆2)]. Ac 
 
 
 
12 
 
Onde: lmo – limite inferior da classe modal 
 ∆1 – frequência absoluta da classe modal – frequência absoluta da classe 
anterior (lê-se delta 1) 
 ∆2 – frequência absoluta da classe modal – frequência absoluta da classe 
posterior (lê-se delta 2) 
 Ac – amplitude de classe 
 
Logo: 
 
∆1 = 22 - 10 = 12 
∆2 = 22 – 9 = 13 
Mo = 6,2 + [ 12/ (12 + 13)]. 0,6 = 6,488 
 
 
 
 
MEDIANA 
 
Para o caso contínuo, não importa se n é par ou ímpar. 
 
Procedimento: 
 
● Passo 1: Calcula-se n/2. 
 
No nosso exemplo n/2 = 59/2 = 29,5 (A posição da mediana é a posição 29,5) 
 
 
● Passo 2: Identifica-se a classe da Mediana através da coluna de Fi. 
 
Observe que a posição 29.5 está na classe de 6,2 a menos de 6,8. Observe 1ª. classe 
posição 1; 2ª. classe da posição 2 a posição 5; 3ª. classe da posição 6 a posição 15; 4ª. 
classe da posição 16 a posição 37 ,,,,. Logo achamos a classe da mediana 
 
 
● Passo 3: Calcula-se a mediana. 
 
Imagine a classe da mediana de 6,2 a menos de 6,8 como sendo um ” pedaço de bolo” 
que vamos dividir para 22 pessoas. (observe que 22 é a frequência desta classe) 
 
←Fi antes de 6,2 = 15 
 
6,2 |__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__6,8 
 ↓ ↓ 
 Posição 15 Posição 29,5 
 
 
13 
 
Da posição 15 a posição 29,5 temos (29,5 – 15) = 14,5 “pedaços de bolo” 
 
 
Logo, já sabemos quanto vale a mediana: 
 
Mediana = 6,2 + 14,5 “ pedaços de bolo” = 6,2 + 14,5 . (0,6/22) = 6,595 
 
 
Esta linha de raciocínio se traduz na expressão: 
 
 
Mediana = lmd + {[n/2 - Fiantes]. Ac}/fmd 
 
Onde: 
lmd – limite inferior da classe da mediana 
Fiantes – Frequência acumulada da classe anterior a da mediana 
Ac – amplitude de classe 
Fmd- frequência absoluta da classe da mediana 
 
Logo: Mediana = 6,2 +{[29,5 - 15].0,6}/22 = 6,595 
 
 
 
CONCLUSÃO 
Média = 6,71 
Mediana = 6,595 
Moda = 6,488 
 
 
Procure se lembrar da visualização das medidas média e moda no Histograma e 
mediana no polígono de frequência acumulada. 
Visualizando o Histograma e verificando que Média > Mediana > Moda, justificamos 
uma curva Assimétrica Positiva ou à direita. 
 
 
 
 
Atividade Proposta: Para os exercícios indicados (duas provinhas deixadas como 
exercícios) calcule a média, mediana e moda para os dados contínuos e procure 
estabelecer o tipo de curva. 
 
 
 
 
 
PERCENTIS 
14 
 
 
 
Os percentis dividem a amostra em 100 partes iguais. 
 
Seja o exemplo abordado: 
 
Quantidade de Monóxido de Carbono em São Paulo – meses de janeiro e fevereiro 
 Ano de 1991 
Quantidade de Monóxido de Carbono Frequência 
4,4 |-- 5,0 1 
5,0 |-- 5,6 4 
5,6 |-- 6,2 10 
6,2 |-- 6,8 22 
6,8 |-- 7,4 9 
7,4 |-- 8,0 9 
8,0 |-- 8,6 1 
8,6 |-- 9,2 3 
Fonte: Livro Estatística Básica: Autor Bussab 
 
 
Assim: Seja amplitude total de 4,4 a 9,2 dividida em 100 partes iguais. Cada percentil 
é um corte. Logo Pi, com i de 1 a 99. 
 
4,4 |__|__|__|__|__ ..... |__|__|_ .... _|__|__|__| ... __|__|__|__|__|__9.2 
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 P1 P4 P30 P50 P75 P99 
 
 
Significado: 
P1- é uma quantidade de monóxido de carbono abaixo da qual temos 1% dos dados. 
P2- é uma quantidade de monóxido de carbono abaixo da qual temos 2% dos dados. 
... 
Pi- é uma quantidade de monóxido de carbono abaixo da qual temosi% dos dados. 
 
P75- é uma quantidade de monóxido de carbono abaixo da qual temos 75% dos dados. 
 
 
Já estudamos um destes percentis. Qual? 
 
P50 que é a mediana. Logo, o cálculo do percentil é análogo ao feito para calcular a 
mediana. 
 
 
 
Seja o nosso quadro resumo já apresentado anteriormente: 
15 
 
 
Quadro Resumo: 
Classe fi Xi Fi xi.fi 
4,4 |-- 5,0 1 4,7 1 4,7 
5,0 |-- 5,6 4 5,3 5 21,2 
5,6 |-- 6,2 10 5,9 15 59 
6,2 |-- 6,8 22 6,5 37 143 
6,8 |-- 7,4 9 7,1 46 63,9 
7,4 |-- 8,0 9 7,7 55 69,3 
8,0 |-- 8,6 1 8,3 56 8,3 
8,6 |-- 9,2 3 8,9 59 26,7 
Total 59 396,1 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Exercício 1: Qual a quantidade de monóxido de carbono abaixo da qual temos 25% 
dos dados? 
Vamos calcular P25 
 
Procedimento: 
● Passo 1: Calcula-se in/100 
 No nosso exemplo in/100 = (25 x 59)/100 = 14,75 (A posição do P25 é a posição 
14,75) 
 
● Passo 2: Identifica-se a classe do Percentil através da coluna de Fi 
 Observe que a posição 14,75 está na classe de 5,6 a menos de 6,2. Observe 1ª. classe 
posição 1; 2ª. classe da posição 2 a posição 5; 3ª. classe da posição 6 a posição 15; 
 
● Passo 3: Calcula-se o percentil. 
 
 Imagine a classe da mediana de 5,6 a menos de 6,2 como sendo um ” pedaço de bolo” 
que vamos dividir para 10 pessoas. (observe que 10 é a frequência desta classe) 
 
←Fi antes de 5,6 = 5 
 
5,6 |__|__|__|__|__|__|__|__|__|__6,2 
 ↓ ↓ 
 Posição 5 Posição 14,75 
 
 
Da posição 5 a posição 14,75 temos (14,75 – 5) = 9,75 “pedaços de bolo” 
 
 
Logo, já sabemos quanto vale o Percentil 25: 
16 
 
 
P25 = 5,6 + 9,75 “ pedaços de bolo” = 5,6 + 9,75 . (0,6/10) = 6,185 
 
 
Esta linha de raciocínio se traduz na expressão: 
 
 
Pi = lpi + {[in/100 - Fiantes]. Ac}/fpi 
 
Onde: 
lpi – limite inferior da classe do percentil 
Fiantes – Frequência acumulada da classe anterior a do percentil 
Ac – amplitude de classe 
fpi- frequência absoluta da classe do percentil 
 
Logo: P25 = 5,6+{[14,75 - 5].0,6}/10 = 6,185 
 
 
 
 
Exercício 2: Qual a quantidade de monóxido de carbono abaixo da qual temos 75% 
dos dados? 
Vamos calcular P75 
 
Procedimento: 
● Passo 1: Calcula-se in/100 
 No nosso exemplo in/100 = (75 x 59)/100 = 44,25 (A posição do P75 é a posição 
44,25) 
 
● Passo 2: Identifica-se a classe do Percentil através da coluna de Fi. 
 Observe que a posição 44,25 está na classe de 6,8 a menos de 7,4. 
 
● Passo 3: Calcula-se o percentil. 
 
 
 P75 = 6,8+{[44,25 - 37 ].0,6}/9 = 7,283 
 
 
 
Observação: P50, a mediana já foi calculada. 
 
 
 
 
 
 
 
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OUTRAS MEDIDAS MUITO IMPORTANTES 
 
QUARTIS 
Dividem a amostra em 4 partes iguais 
 
 
 25% 25% 25% 25% 
4,4 |________|________|________|________9.2 
 ↓ ↓ ↓ 
 
 P25 P50 P75 
 
 ↓ ↓ ↓ 
 
 Q1 Q2 Q3 
 
 6,185 6,595 7,283 
 
 
 
DECIS 
Dividem a amostra em 10 partes iguais 
 
 
 
4,4 |________|_ .... __|____ ... |________9.2 
 ↓ ↓ ↓ 
 
 P10 P50 P90 
 
 ↓ ↓ ↓ 
 
 D1 D5 D9 
 
 
 
 
 
Exercício 3: Qual o percentual de dias com quantidade de monóxido de carbono 
abaixo de 6,5ppm? 
Utilizando a expressão do percentil: Pi = 6,5, conhecemos tudo na expressão, a menos 
do i, que é o que nos interessa. 
Pi = 6,5 = 6,2 + [(0,59i – 15). 0,6]/22 
 
(0,3 x 22)/0,6 = 0,59i – 15 
 
11 = 0,59i – 15 
18 
 
 
i = 44,068 
Resposta: 44,068% 
 
 
 
Exercício 4: Qual o percentual de dias com quantidade de monóxido de carbono igual 
ou acima de 7,0ppm? 
 
 
O raciocínio é análogo ao utilizado no Exercício 3, porém sua resposta será 100 – i 
 
 
 
Observação: Os exercícios desta aula também podem ser resolvidos utilizando 
regra de três. 
 
 
Atividade Proposta: 
Para a tabela de Quantidade de monóxido de carbono, pede-se: 
a)Calcule P40 e interprete o resultado. 
b)Calcule P85 e interprete o resultado. 
c)Qual o percentual de dias com quantidade de monóxido de carbono abaixo de 
7,25ppm? 
d) Qual o percentual de dias com quantidade de monóxido de carbono igual ou acima 
de 6,6ppm? 
 
 
 
 
 
 
Atividade Proposta: 
Para os exercícios indicados (duas provinhas deixadas como exercícios) resolva os 
exercícios que envolvem a teoria de percentis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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EXEMPLO DIDÁTICO: Sejam dois grupos de cinco pessoas em que se observa a 
idade: 
Grupo A: 20 20 20 20 20 anos 
Grupo B: 10 15 20 25 30 anos 
 
Medidas de Posição nos grupos: 
Grupo A: Média = 20, Mediana = 20 e Moda = 20 
Grupo B: Média = 20, Mediana = 20 
 
Observe que pelas medidas de posição não conseguimos diferenciar os grupos. 
Precisamos então de mais medidas. No grupo A, as idades estão concentradas na 
média, enquanto que no grupo B as idades se dispersam em torno da média. Vamos 
estudar as medidas de dispersão com o objetivo de verificar a representatividade da 
média. 
 
Vamos calcular o desvio no grupo B, Desvio = xi – Média. 
Grupo B: Desvio: -10 -5 0 5 10 anos 
 
Se calcularmos a média dos desvios este resultado é zero. Este resultado não é 
coincidência. Quaisquer que sejam os números utilizados e feito o procedimento 
acima, a média dos desvios dará zero. Precisamos utilizar artifícios para evitar 
resultado zero. Um artifício é utilizar o quadrado do desvio: 
 
Grupo B: Desvio ao Quadrado: 100 25 0 25 100 anos ao quadrado 
 
O que vai gerar a medida chamada Variância. A variância é a média aritmética dos 
desvios quadráticos. O cálculo da variância é feito com uma correção no denominador 
da seguinte maneira: 
 
→ Variância = (⅀ Desvio Quadrático)/(n – 1) 
 Variância = 250/4 
 
 
 
Precisamos retornar a unidade de medida, visto a variância estar em anos ao 
quadrado. Logo: 
 
→ Desvio Padrão = Raiz quadrada da Variância 
 Desvio Padrão = √62,5 = 7,90 
 
 
 
→ Coeficiente de Variação = Desvio-Padrão/Média 
20 
 
 Coeficiente de Variação = 7,90/20 = 0,395 = 39,5% 
 
 
Quanto maior o Coeficiente de variação, menor a representatividade da média. Dados 
mais heterogêneos, menos homogêneos. 
 
Quanto menor o Coeficiente de variação, maior a representatividade da média. Dados 
menos heterogêneos, mais homogêneos. 
 
 
 
 
 
Conclusão : Medidas de Dispersão estudadas: 
 
Absoluta: variância e Desvio Padrão 
Relativa: Coeficiente de Variação. O coeficiente de variação é chamado também de 
variação relativa ou dispersão relativa. 
 
 
Para dados em tabela: 
 
→ Variância = (⅀ Desvio Quadrático. fi)/(n – 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o exemplo (Dado Quantitativo Discreto): 
21 
 
 
Número de Dependentes dos alunos da disciplina Estatística Curso “A” - UFES 
presentes na aula do dia 10/03/20 
Número de Dependentes Frequência 
1 1 
2 2 
3 10 
4 4 
5 3 
Fonte: Entrevista aos alunos 
 
 
Vamos calcular as medidas de dispersão: 
 
Seja o quadro resumo já apresentado. Média já calculada = 3,3 
 
 
Quadro Resumo: 
 
Xi Fi Desvio 
(Xi – Média) 
Desvio quadrático. 
fi 
1 1 - 2,3 5,29 
2 2 -1,3 3,38 
3 10 - 0,3 0,9 
4 4 0,7 1,96 
5 3 1,7 8,67 
Total 20,2 
 
 
 
 
 
→ Variância = (⅀ Desvio Quadrático. fi)/(n – 1) 
 Variância =20,2 / 19 = 1,06 dependentes ao quadrado 
 
→ Desvio Padrão = Raiz quadrada da Variância 
 Desvio Padrão = √1,06 = 1,029 
 
→ Coeficiente de Variação = Desvio-Padrão/MédiaCoeficiente de Variação = 1,029 / 3,3 = 0,3118 = 31,18% 
 
A variação relativa se mostrou de baixo valor. Veja a interpretação do coeficiente de 
variação e procure elaborar suas conclusões. 
 
 
Para o exemplo (Dado Quantitativo Contínuo): 
22 
 
 
Quantidade de Monóxido de Carbono em São Paulo – meses de janeiro e fevereiro 
 Ano de 1991 
Quantidade de Monóxido de Carbono Frequência 
4,4 |-- 5,0 1 
5,0 |-- 5,6 4 
5,6 |-- 6,2 10 
6,2 |-- 6,8 22 
6,8 |-- 7,4 9 
7,4 |-- 8,0 9 
8,0 |-- 8,6 1 
8,6 |-- 9,2 3 
Fonte: Livro Estatística Básica: Autor Bussab 
 
 
Vamos calcular as medidas de dispersão: 
 
Seja o quadro resumo já apresentado. Média já calculada = 6,71 
Quadro Resumo: 
Classe fi Xi Desvio 
(Xi – Média) 
Desvio 
quadrático. fi 
4,4 |-- 5,0 1 4,7 - 2,01 4,0401 
5,0 |-- 5,6 4 5,3 - 1,41 7,9524 
5,6 |-- 6,2 10 5,9 - 0,81 6,561 
6,2 |-- 6,8 22 6,5 - 0,21 0,9702 
6,8 |-- 7,4 9 7,1 0,39 1,3689 
7,4 |-- 8,0 9 7,7 0,99 8,8209 
8,0 |-- 8,6 1 8,3 1,59 2,5281 
8,6 |-- 9,2 3 8,9 2,19 14,3883 
Total 46,6299 
 
 
 
→ Variância = (⅀ Desvio Quadrático. fi)/(n – 1) 
 Variância = 46,6299/58 = 0,8040 ppm ao quadrado 
 
→ Desvio Padrão = Raiz quadrada da Variância 
 Desvio Padrão = √0,8040 = 0,8967 ppm 
 
→ Coeficiente de Variação = Desvio-Padrão/Média 
 Coeficiente de Variação = 0,8967/6,71 = 0,1336 = 13,36% 
 
A variação relativa se mostrou de baixo valor. Veja a interpretação do coeficiente de 
variação e procure elaborar suas conclusões. 
 
 
23 
 
 
Atividade Proposta: 
 
Para os exercícios indicados (duas provinhas deixadas como exercícios) resolva os 
exercícios que envolvem a teoria de medidas de dispersão. 
 
Neste momento você já tem condições de resolver toda a lista de exercícios (duas 
provinhas deixadas como exercícios).