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Medidas de Tendência Central
Professor Autor: Iderval Silva de Souza
Módulo 2
Bioestatística
2
Sumário
Conversa inicial �������������������������������������������������������������������������������������� 4
1� Medidas de Tendência Central: Média, Moda e Mediana Separatrizes ����� 5
2� Média de dados em tabelas de distribuição de frequência �������������� 7
3. Medidas de dispersão: variância e coeficiente de variação ������������ 16
4� Medidas de Assimetria �������������������������������������������������������������������� 23
Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������� 25
Considerações Finais ���������������������������������������������������������������������������� 28
3
• Proporcionar ao aluno a oportunidade de conhecer e saber realizar cálculos 
com medidas de tendência central utilizando médias de dados e medidas 
de assimetria�
Objetivo Geral
Objetivos Específicos
• Compreender a forma como se calcula as Medidas de Tendência Central;
• Calcular a Média de dados em tabelas de distribuição de frequência;
• Checar as Medidas de dispersão: variância e coeficiente de variação;
• Resolver cálculos que envolvam Medidas de Assimetria�
4
Conversa inicial
Olá!
Seja bem-vindo (a) ao segundo módulo da disciplina de Bioestatística�
Nesse momento de estudo, você conhecerá como ocorrem os cálculos 
que envolvem Medidas e Médias Estatísticas�
Dedique-se aos estudos dessa disciplina, pois esses conhecimentos são 
imprescindíveis à formação do Gestor Hospitalar�
De início, trago a você noções relacionadas às Medidas de Tendência Central, 
que são a Média, Moda e Mediana Separatrizes; no instante seguinte, será 
possível conhecer o passo a passo dos cálculos que envolvem Média de dados 
em Tabelas de Distribuição de Frequência; para o terceiro instante, veremos 
as Medidas de Dispersão: variância e coeficiente de variação; por último, você 
entrará em contato com as Medidas de Assimetria�
Pronto, agora que você já conhece toda a nossa trajetória de estudos deste 
módulo, vamos aos trabalhos?
Bons estudos!
5
1� Medidas de Tendência Central: Média, Moda e 
Mediana Separatrizes
Para analisar e interpretar um conjunto de dados numéricos podemos utilizar 
um valor que represente esse conjunto, que é a média aritmética, moda 
ou mediana� Esse valor é apenas parte da informação dada, mas pode ser 
o suficiente para resumir a informação do conjunto de dados.
Vejamos a primeira medida:
Assim, para obtermos a média aritmética basta somarmos os valores de todos 
os dados e dividir o total pelo número deles.
Como exemplo, podemos considerar o peso, em gramas, de 12 ratos com 30 
dias de idade:
50 62 70
86 60 64
66 77 58
55 82 74
Média aritmética (Ma ou x barra) de um conjunto de n valores x1, x2,���,xn 
é o quociente entre a soma dos n valores e o número n de valores desse 
conjunto�
6
A média aritmética destes dados é feita somando todos os pesos e dividindo 
pelo número de ratos (12).
A fórmula usada para encontrarmos a média aritmética é a seguinte:
Notação: x (x-barra ou x-traço)�
Somatório de xi, e de 1 a n – indica que todos os valores x
i 
devem ser 
somados, desde o primeiro (x
1 
) até o n-ésimo (x
n
)�
7
2� Média de dados em tabelas de distribuição de 
frequência
Se os dados estão em uma tabela de distribuição de frequências o cálculo 
da média é feito de outra forma� Consideremos a tabela abaixo:
Peso ao nascer, em Kg
O número de nascidos vivos nessa amostra é:
n = 3 + 16 + 31 + 34 + 11 + 4 + 1 = 100
Classe Ponto Médio Frequência (f
i
)
1,5├ 2,0 1,75 3
2,0├2,5 2,25 16
2,5├ 3,0 2,75 31
3,0├ 3,5 3,25 34
3,5├4,0 3,75 11
4,0├ 4,5 4,25 4
4,5├ 5,0 4,75 1
Para obter a média:
Generalizando:
8
Vejamos a seguinte situação:
Num laboratório trabalham 10 pessoas e nove operários que ganham um salário 
mínimo por mês, já o gerente que ganha 91 salários mínimos� O salário médio 
dos funcionários é:
Salários mínimos
A média de dez salários mínimos não representa bem o conjunto de dados, 
pois a maioria ganha um salário mínimo por mês� Logo, um salário mínimo 
representa melhor o conjunto de dados� Este valor é chamado de moda 
do conjunto e é nossa segunda medida de tendência central�
Exemplos:
Achar a moda dos conjuntos de dados abaixo:
a� 6, 7, 5, 4, 3, 8, 9�
Não existe moda.
b� 3, 4, 4, 4, 5, 8, 8, 8�
Aqui, as modas são 4 e 8�
c� Indivíduos, segundo o tipo de sangue�
Tipo de Sangue Frequência
O 547
A 441
B 123
AB 25
A moda dessa amostra é sangue tipo O�
D� azul, azul, azul�
Neste caso não existe moda.
Vejamos agora a terceira medida de tendência central de nosso curso:
Portanto, Moda (M
o
) de um conjunto de n valores é o valor que aparece 
com maior frequência� Há conjuntos que apresentam mais de uma moda 
e outros em que não existe uma moda�
9
Se a amostra é constituída por um número ímpar de dados, a mediana é o valor 
que fica no centro dos dados ordenados.
Por exemplo, a mediana dos valores:
1, 2, 3, 5 e 9 é 3�
Se a amostra é constituída por um número par de dados, a mediana é a média 
aritmética de dois valores que ficam na posição central dos dados ordenados.
Por exemplo, a mediana dos valores:
Quando existem na amostra valores repetidos, eles devem ser considerados� 
Assim, um conjunto com os seguintes valores: 1, 2, 1, 2, 0 tem mediana igual 
a 1, pois colocado em ordem decrescente temos a seguinte ordem 0, 1, 1, 2, 
2; sendo a posição central ocupada pelo número 1. As medidas de tendência 
central são maneiras de resumir um conjunto de dados, mas são insuficientes 
para representar o conjunto�
Separatrizes
Neste módulo, já tivemos a oportunidade de conhecermos um pouco sobre 
medidas de tendência central como média, mediana, moda, mas não é raro que 
nos deparemos com a necessidade de dividir conjuntos numéricos em partes 
com mesmo número de elementos, assim como é feito na mediana. As medidas 
que possuem esta característica são chamadas de separatrizes e recebem 
o nome de acordo com a quantidade de partes em que é dividido o conjunto 
de dados�
Mediana (Md) de um conjunto de n valores é o valor que ocupa 
a posição central quando esses dados são colocados em ordem crescente 
ou decrescente�
Veja o link:
Disponível em: https://www�todamateria�com�br/desvio-padrao/� 
Acesso em: 09/01/2020�
Saiba Mais
https://www.todamateria.com.br/desvio-padrao/
10
Relato de Experiência
Exemplo 1
Calcule os quartis da série: {5, 2, 6, 9, 10, 13, 15}�
O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) 
dos valores:
{2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, 
logo a Md = 9 que será = Q2�
Temos agora {2, 5, 6} e {10, 13, 15} como sendo os dois grupos 
de valores iguais proporcionados pela mediana (quartil 2)�Para o cálculo 
do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes iguais provenientes 
da verdadeira Mediana da série (quartil 2)�
Logo em {2, 5, 6} a mediana é = 5 � Ou seja: será o quartil 1�
Em {10, 13, 15} a mediana é =13 � Ou seja: será o quartil 3�
Exemplo 2
Calcule os quartis da série: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13}�
Quartis
Os valores que fazem com que o conjunto de dados, ordenados de forma 
crescente, seja dividido em quatro partes iguais são chamados de Quartis, 
normalmente referenciados de Q1, Q2 e Q3� Note que são necessários somente 
três valores para dividir o conjunto de dados em quatro partes iguais�
Cálculo do Quartil
Esta divisão funciona da seguinte forma, o primeiro quartil Q1 é o número 
que deixa 25% das observações abaixo e 75% acima, enquanto que o terceiro 
quartil, Q3, deixa 75% das observações abaixo e 25% acima� É interessante 
observar que o segundo quartil (Q2) é na verdade a mediana, porque ele divide 
o conjunto de dados em duas partes iguais, ou seja, deixa 50% das observações 
abaixo e 50% das observações acima� Uma das partes dessa divisão contém 
os valores mais baixos do conjunto, cuja a mediana é, na verdade,o primeiro 
quartil, assim como na segunda parte da divisão, a que contém os valores mais 
altos, sua mediana é também o terceiro quartil�
11
A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2 = Md = (5+6) 
/2 = 5,5�
O quartil 1 será a mediana da série à esquerda de Md : {1, 1, 2, 3, 5, 5}�
Q1 = (2+3)/2 = 2,5
O quartil 3 será a mediana da série à direita de Md : {6, 7, 9, 9, 10, 13}�
Q3 = (9+9)/2 = 9
Percentil
Assim como chamamos de quartis aos três valores que fazem com que o conjunto 
de dados, ordenados de forma crescente, seja dividido em quatro partes iguais, 
chamamos de percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 
100 partes iguais� Indicamos: P1, P2, ��� , P99� É evidente que P50 = Md ; P25 
= Q1 e P75 = Q3� O cálculo segue a mesma estratégia do cálculo do quartil, 
ou seja, a determinação da mediana dos segmentos que são criados�
Box plot
O Box plot é uma representação gráfica em na qual se visualizam algumas 
características da amostra e é utilizado para avaliar a distribuição empírica 
dos dados� A partir das medidas de posição, mediana e quartil, ele evidencia 
informação importante sobre os dados� O Box Plot fornece informação sobre 
as seguintes características do conjunto de dados: locação, dispersão, assimetria, 
comprimento da cauda e outliers (medidas discrepantes). A figura a seguir 
ilustra um Box plot.
Observe que o boxplot é delimitado pelo primeiro e terceiro quartil e pela 
mediana (Q2)� As hastes que saem do box podem se estender até os limites 
inferior (Li) e superior (Ls), assim determinados:
Li = Q1-1,5*(Q
3
-Q
1
);
12
Altura dos pacientes
1,59 1,79 1,68 1,80
1,58 1,60 1,69 1,73
1,87 1,68 1,85
Ordenando os valores, temos que:
Desta forma, temos que o valor mínimo é 1,58, o valor máximo é 1,87� 
Para calcular a tri-média de 5% da amostra, retiramos o menor e o maior elemento 
da amostra e calculamos a média dos elementos restantes� O primeiro quartil 
é dado por 1,60 e o terceiro quartil é 1,80�
Ls = Q3+1,5*(Q
3
-Q
1
)�
Exemplo 1 (adaptado de: http://www�portalaction�com�br/estatistica-
basica/31-boxplot)�
Considere as medidas das alturas de 11 pacientes, dadas abaixo:
Mínimo 1,58
1° Quartil 1,6
3° Quartil 1,8
Máximo 1,87
A construção do box plot é feita com base nos dados acima�
Mediana
http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/31-boxplot
http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/31-boxplot
13
Podem ocorrer pontos fora destes limites, este pontos são considerados 
valores discrepantes (outliers) que podem ser representados por ser um traço, 
um asterisco ou um ponto�
Exemplo 2 (retirado e adaptado de: http://www�escolaedti�com�br)
Um engenheiro numa indústria química é responsável pela produção de acetona. 
Para avaliar a linha de produção, o gerente monitora o processo�
Durante uma semana, 16 bateladas de acetona são produzidas e uma leitura 
por batelada é feita� Os resultados são apresentados na tabela abaixo:
Batelada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Leitura 6 24 12 11 34 32 28 19 31 22 29 58 15 5 17 25
Arrumamos os dados em ordem crescente (Rol):
5, 6, 11, 12, 15, 17, 19, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 32, 34, 58
Desses dados calculamos:
Q1=13�5 
M=23 
Q3=30
Min=5 Max=58
http://www.escolaedti.com.br
14
O boxplot pode ainda ser utilizado para uma comparação visual entre dois 
ou mais grupos� Isso pode ser conseguido desenhando-se os Box Plots para 
cada conjunto de dados, paralelamente, num mesmo gráfico. Veja o exemplo 
retirado e adaptado de: http://www�escolaedti�com�br�, que apresenta 
na tabela a seguir três conjuntos de dados referentes a viscosidade�
Mistura 1 Mistura 2 Mistura 3
20�02 21�49 20�33
23�83 22�67 21�67
26�67 24�62 24�67
25�38 24�18 22�45
25�49 22�78 22�29
23�50 22�56 21�95
25�90 24�46 20�49
24�89 23�79 21�81
O Box plot é apresentado a seguir:
http://www.escolaedti.com.br.
15
Os dados já estão organizados de forma crescente e a construção do box plot, 
após os devidos cálculos, para as três séries de dados, ficou assim:
Note que as misturas apresentam níveis médios diferentes de viscosidade, 
decrescentes da mistura 1 para a mistura 3�
16
3. Medidas de dispersão: variância e coeficiente de 
variação
Os dados distribuem-se em torno da média� Então o grau de dispersão de um 
conjunto de dados pode ser medido pelos desvios em relação à média�
Se a média de idade de uma família é 30 anos, a pessoa com 54 anos terá 
um desvio em relação à média de 54 – 30 = 24 anos�
E com 3 anos?
3 – 30 = -27
Para medir a dispersão dos dados em torno da média, os estatísticos usam 
a soma de quadrado dos desvios�
Veja o cálculo:
Desvio em relação à média é a diferença entre cada dado e a média 
do conjunto, representado por (x - x)�
17
Dados (x) Desvios (x-x̅)
Quadrados 
dos desvios 
(x-x̅)2
X2
0 -5 25 0
4 -1 1 16
6 1 1 36
8 3 9 64
7 2 2 49
X = 5
Qualquer que seja o conjunto de dados, a soma dos desvios é sempre igual 
a zero� Então, para medir a dispersão dos dados em torno da média, os estatísticos 
usam a soma dos quadrados dos desvios (x - x)², ou melhor, a variância, 
que leva em consideração o tamanho da amostra�
Onde n é o número de elementos de uma amostra.
No caso de:
Variância
Usamos a letra S2 para indicar a variância, que é dada pela seguinte 
fórmula:
18
Podemos dizer, simplificando bastante, que o desvio padrão é quanto, 
em média, os valores do conjunto de dados se afastam do valor média 
do mesmo conjunto�
Mede a dispersão em relação à média com a vantagem de não conter unidades 
de medidas� Assim, podemos comparar a variação entre duas variáveis com 
unidade de medidas diferentes�
Desvio padrão
É a raiz quadrada da variância, com sinal positivo�
Coeficiente de variação
É a razão entre o desvio padrão e a média� O resultado é multiplicado por 
100, para que o coeficiente de variação seja dado em porcentagem (%).
Clique nos links e saiba mais sobre desvio padrão:
Disponível em: http://educacao�uol�com�br/disciplinas/matematica/
med ia - desv io -padrao - e -va r ianc ia -nocoes- de - es ta t i s t i ca �h tm 
Acesso em: 10/01/20�
Disponível em: http://www�infoescola�com/estatistica/variancia-e-
desvio-padrao/� Acesso em: 10/01/20�
Disponível em: http://www�inf�furb�br/sias/saude/Textos/desvio_
padrao�htm� Acesso em: 10/01/20�
Disponível em: http://www�assimsefaz�com�br/sabercomo/desvio-
padrao-excel� Acesso em: 10/01/20�
Saiba Mais
http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/media-desvio-padrao-e-variancia-nocoes-de-estatistica.htm 
http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/media-desvio-padrao-e-variancia-nocoes-de-estatistica.htm 
http://www.infoescola.com/estatistica/variancia-e-desvio-padrao/
http://www.infoescola.com/estatistica/variancia-e-desvio-padrao/
http://www.inf.furb.br/sias/saude/Textos/desvio_padrao.htm
http://www.inf.furb.br/sias/saude/Textos/desvio_padrao.htm
http://www.assimsefaz.com.br/sabercomo/desvio-padrao-excel
http://www.assimsefaz.com.br/sabercomo/desvio-padrao-excel
19
O nosso próximo assunto neste módulo tratará sobre medidas de assimetria, 
mas antes de entrarmos neste conteúdo é importante falarmos de média, 
variância e desvio padrão sob a ótica de dados agrupados em classes�
Média
O cálculo da média é similar ao já comentado:
Onde:
fi: frequência absoluta da classe;
xi: ponto médio da classe, obtido através da média aritmética entre os limites 
da classe;
n: número de elementos, equivalente a ∑fi.
Variância
O cálculo da variância leva em consideração o a frequência absoluta da classe:
O uso da tabela facilita imensamente a organização dos dados na busca 
dos resultados�
Vejamos um exemplo:
Exemplo
A tabela a seguir contém dados referentes a um estudo sobre a estatura 
de jovens da 8ª série do ensino fundamental�
Clique nos links e saiba mais sobre coeficiente de variação:
http://mundoeducacao�bol�uol�com�br/matematica/coeficiente-
variacao�htm �Acesso em: 15/01/2020�
Saiba Mais
20
Estatura
Frequência Absoluta 
(fi)
1,55├1,572
1,57├1,59 6
1,59├1,61 7
1,61├1,63 8
1,63├1,65 2
Total 25
A partir desses dados, vamos obter a frequência relativa, a média e o desvio 
padrão mas para que fique claro, vamos montando a tabela passo a passo.
Neste primeiro segmento da tabela é acrescentada uma coluna com os valores 
da frequência relativa, que já estudamos�
Estatura
Frequência 
Absoluta 
(fi)
Frequência 
Relativa 
(fr)
1,55├1,57 2 0,08
1,57├1,59 6 0,24
1,59├1,61 7 0,28
1,61├1,63 8 0,32
1,63├1,65 2 0,08
Total 25
21
A próxima tabela traz também as colunas necessárias para o cálculo da média 
para dados agrupados em classes�
Estatura
Frequência 
Absoluta 
(fi)
Frequência 
Relativa 
(fr)
Ponto 
Médio (xi)
xi * fi
1,55├1,57 2 0,08 1,56 3,12
1,57├1,59 6 0,24 1,58 9,48
1,59├1,61 7 0,28 1,6 11,2
1,61├1,63 8 0,32 1,62 12,96
1,63├1,65 2 0,08 1,64 3,28
Total 25 40,04
Agora vamos trabalhar para obter a variância e depois o desvio padrão�
22
Estatura
F re q u ê n c i a 
Absoluta (fi)
Frequência 
R e l a t i v a 
(fr)
P o n t o 
Médio (xi)
xi * fi (x
i
 - x̅)² (x
i
 - x̅)² fi x (x
i 
- x̅)²
1,55 ⊢1,57 2 0,08 1,56 3,12 -0,0416 0,00173 0,0035
1,57 ⊢1,59 6 0,24 1,58 9,48 - 0,0216 0,00047 0,0028
1,59 ⊢1,61 7 0,28 1,6 11,2 -0,0016 0,00000 0,0000
1,61 ⊢1,63 8 0,32 1,62 12,96 0,0184 0,00034 0,0027
1,63 ⊢1,65 2 0,08 1,64 3,28 0,0384 0,00147 0,0029
Total 25 40,04 0,011936
23
4� Medidas de Assimetria
Uma distribuição de frequência é denominada simétrica quando os seus valores 
de média, mediana e moda, coincidem, portanto, uma distribuição assimétrica 
ocorre quando há divergências nessas medidas de posição�Os exemplos a seguir, 
que ilustram essas condições, foram extraídos de:
Coeficiente de Assimetria de Pearson
O coeficiente de Pearson é uma forma de se quantificar a assimetria que não 
depende dos valores da variável em estudo� Quando dispomos de valores 
da média e do desvio-padrão, o cálculo é feito utilizando a expressão abaixo:
24
X̅= Média;
M˳ = Moda;
S = Desvio padrão da população;
σ = Desvio padrão da amostra.
As = 0 Distribuição Simétrica
As < 0 Distribuição Assimétrica Negativa
As > 0 Distribuição Assimétrica Positiva
Medidas de Achatamento ou Curtose
Denominamos Curtose o grau de achatamento de uma distribuição em relação 
à Distribuição Normal� É possível que quando pesquisar mais sobre o assunto 
você se depare com a distribuição Normal sendo chamada de Mesocúrtica (Meso 
= Meio, Central)�
25
Exercícios
13� São consideradas medidas de tendência central:
a� Média, Mediana e Moda;
b� Variância, Desvio Padrão, Coeficiente de Dispersão;
c� Média, Moda e Desvio Padrão;
d� Desvio Padrão, Média e Assimetria;
e� Curtose Variância e Desvio Padrão�
14� Encontre a mediana da série: 25, 26, 26, 28, 30, 34, 38, 40, 40, 40, 45, 50, 
52, 56�
15� Encontre os quartis da série 1, 14, 5, 19, 2, 12, 20, 22, 13�
16� A tabela a seguir apresenta o peso, em kg, de crianças de 1 dia à 2 anos:
2,9 3 3,3 6 3
11,5 6 8 4 9
10 4,4 6,5 8,3 7
9 4 3,3 2,8 9,8
Qual a mediana dos dados apresentados?
17� A tabela a seguir apresenta o peso, em kg, de crianças de 1 dia à 2 anos:
Quais são os quartis Q1, Q2 e Q3 dos dados apresentados?
18� A tabela a seguir apresenta o peso, em kg, de crianças de 1 dia à 2 anos, 
e abaixo o Boxplot dos dados:
2,9 3 3,3 6 3
11,5 6 8 4 9
10 4,4 6,5 8,3 7
9 4 3,3 2,8 9,8
2,9 3 3,3 6 3
11,5 6 8 4 9
10 4,4 6,5 8,3 7
9 4 3,3 2,8 9,8
26
19� Quais os valores LI, Q1, Q2, Q3, LS que compoem o Boxplot?
20� Na medição da altura de 10 atletas de um time feminino de vôlei, algo 
muito raro aconteceu, todas as jogadoras apresentaram a mesma altura� 
Qual o valor do desvio padrão desse conjunto de dados?
21� Analisando as curvas abaixo marque a resposta correta�
a� Curva I é simétrica - x̅ > med > mo;
b� A curva II é assimétrica positiva - mo = σ² > x̅;
c� A curva I é simétrica - x̅ = med > mo;
d� A curva III é assimétrica positiva - x̅ > med > mo;
22� A tabela a seguir contém dados referentes a um estudo sobre ao peso 
de crianças de 1 dia à 12 anos�Qual o desvio padrão dos dados apresentados?
Estatura Frequência Absoluta (fi)
2├ 4 5
4├ 6 9
6├ 8 12
8├ 10 8
10├ 12 6
27
23� A tabela a seguir apresenta a quantidade de pessoas que participaram 
voluntariamente de um programa de redução de peso, divididas por faixas 
etárias�
Qual a média e o desvio padrão desses dados?
Classes (fi)
18├ 24 31
25├ 34 45
35├ 44 58
45├ 54 62
55├ 64 47
65├ 74 11
total 254
28
Considerações Finais
Chegamos ao final desse segundo módulo de Bioestatística.
Nesse momento de estudo estivemos em contato com as Médias e Medianas 
compreendendo o quanto esses saberes são importantes para a gestão de uma 
organização hospitalar�
Seguiremos adiante para vermos no módulo três noções relacionadas 
às probabilidades�
Avante!