Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA II
PRÉ-VESTIBULAR 73PROENEM.COM.BR
RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO11
ELEMENTOS
Considere um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A.
Nesse triângulo retângulo ABC temos:
BC = a é a hipotenusa.
AC = b e AB = c, são os catetos.
AD = h é a altura relativa a hipotenusa.
BD = n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a 
hipotenusa.
CD = m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a 
hipotenusa.
As seguintes relações métricas são verdadeiras:
b² = a.m
c² = a.n
h² = m.n
b.c = a.h
b² + c² = a²
Vamos agora demonstrar essas relações. 
Note que, ∆ABC ~ ∆DBA ~ ∆DAC 
Traçando a altura e dividindo em dois triângulos, temos:
Dessa forma, podemos observar que os três triângulos são 
semelhantes dois a dois.
Semelhança 1:
Como , temos que em que c² = a.n.
Além disso, temos também que em que b.c = a.h.
Semelhança 2:
Usando agora ∆ABC~∆DAC, temos que em que b² = a⋅m.
Semelhança 3:
Usando agora ∆DBA~∆DAC, temos que em que h² = m⋅n.
Resumindo:
b² = a.m e c² = a.n
(o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa 
pela projeção do cateto)
h² = m.n
(o quadrado da altura é igual ao produto das projeções)
b·c = a·h
(o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela 
altura)
Uma consideração importante é que uma das formas de 
obtermos a fórmula do Teorema de Pitágoras vem dessas 
semelhanças. Note que somando, membro a membro, as duas 
relações a seguir, vem:
 b² = a·m
+ c² = a·n
b² + c² = a·m + a·n
Colocando a em evidência, temos:
b² + c² = a.(m + n)
Sabemos que m + n = a. Dessa forma, obtemos b² + c² = a². 
(A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da 
hipotenusa – Teorema de Pitágoras)
TERNOS PITAGÓRICOS
Chamamos de ternos pitagóricos os ternos de números 
naturais que atendem ao Teorema de Pitágoras. 
Observe abaixo alguns exemplos:
3, 4 e 5.
6, 8 e 10.
9, 12 e 15.
5, 12 e 13.
10, 24 e 26.
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR74
MATEMÁTICA II 11 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Podemos notar que existe uma relação de proporcionalidade 
entre elementos dos ternos 3, 4 e 5 e os elementos dos ternos 6, 8 
e 10 e do terno 9, 12 e 15.
Dizemos então que estes três ternos são da mesma família. 
Observe que ainda poderíamos obter mais ternos desta família 
apenas multiplicando o terno 3, 4 e 5 por outros números naturais.
Chamaremos de primitivo um terno pitagórico em que os 
três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos 
primitivos são (3, 4 e 5), (5, 12 e 13), (7, 24 e 25), (8, 15 e 17) entre 
outros...
FÓRMULA DE EUCLIDES 
a = m² − n², b = 2mn e c = m² + n², esse terno a, b e c é pitagórico 
mas é primitivo se, e só se, m e n são números naturais primos 
entre si e m > n.
1. Em um triângulo retângulo os catetos medem 7 cm e 24 
cm. Calcule:
a) A medida da hipotenusa.
b) A medida da altura relativa a hipotenusa.
Solução:
Para encontrar a hipotenusa usaremos que b² + c² = a².
72 + 242 = a²
49 + 576 = a²
625 = a²
Logo, a = 25.
Para encontrarmos a medida da altura relativa a 
hipotenusa usaremos que b.c = a.h.
Dessa forma, 7.24 = 25.h ⇒ 168 = 25.h ⇒ h = 6,72.
2. Determine os valores de m e n na fi gura abaixo:
Solução:
Note que podemos encontrar o valor de m, a partir da 
relação b² = a.m e conhecendo o valor de m o cálculo de n é 
imediato, pois m + n = 16.
8² = 16.m
64 = 16.m
m = 4
Com isso, temos que n = 12.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
3. Calcule o valor de n no triângulo abaixo:
Solução:
Podemos encontrar o valor de n usando h² = m.n.
15² = 9.n
225 = 9.n
n = 25
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Determine as medidas de a, h, m e n no triângulo retângulo 
abaixo.
02. Calcule a altura relativa à base AC do triângulo isósceles ABC 
abaixo.
03. Calcule o valor da projeção ortogonal do cateto AC sobre a 
hipotenusa, sabendo que os catetos medem 9 cm e 12 cm.
 
04. O perímetro de um triângulo equilátero mede 30cm. Determine 
a medida da altura desse triângulo.
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
11 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
75
MATEMÁTICA II
05. Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa BC e o cateto 
AB medem 30cm e 18cm, respectivamente. Traça-se a altura AH. 
Calcule as medidas dos segmentos AC e AH
.
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (FUVEST) Num triângulo retângulo ABC, seja D um ponto da 
hipotenusa AC tal que os ângulos DÂB e A D tenham a mesma 
medida. Então o valor de AD/DC é:
a) 
b) 1
c) 2
d) 
e) 1 
02. (FUVEST) No paralelepípedo reto retângulo da figura a seguir 
sabe-se que AB = AD = a, AE = b e que M é a intersecção das 
diagonais da face ABFE. Se a medida da MC também é igual a b, 
o valor de b será: 
a) a
b) a
c) a
d) a
e) a
03. (UFRGS) Observe a figura.
Qual o valor de x? 
a) 2,15
b) 2,35
c) 2,75
d) 3,15
e) 3, 35
04. (PUC-MG) No triângulo retângulo da figura, M é o ponto médio 
do cateto AB, AC = 4 cm e BC = cm. 
A medida de CM, em centímetros:
a) 3 b) c) 4 d) e) 5
05. (UFMG) Observe a figura.
 
Nessa figura, a reta CD é mediatriz do segmento AB, e F é ponto 
médio do segmento EB. Se AC = a e DF = b, então o valor de (CE)² – 
4 (DE)² em função de a e b, é:
a) a² + 4b²
b) 4a² + b²
c) (a + 2b) (a – 2b) 
d) (2a + b) (2a – b)
e) a² + b
06. (UEL) Na figura a seguir, tem-se o ponto P que dista 12 cm do 
plano α.
Traça-se por P a reta r, perpendicular a α e que o intercepta em 
A. Os pontos B e C, de α, são tais que BP = 13 cm, CP = 15 cm 
e AB é perpendicular AC. Nessas condições, a medida de BC, em 
centímetros, é igual a:
a) b) c) d) 11 e) 12
07. (MACKENZIE) A folha de papel retangular na figura I é dobrada 
como mostra a figura II.
Então, o seguimento DP mede: 
a) b) c) d) 21 e) 25
08. (CESGRANRIO) Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada 
de modo que o vértice C coincide com o ponto M médio de AB.
Se o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é:
a) 0,300 b) 0,325 c) 0,375 d) 0,450 e) 0,500
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR76
MATEMÁTICA II 11 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
09. (UFRRJ) Um eucalipto de 16 m de altura ergue-se, verticalmente, 
sobre um terreno horizontal. Mas, durante uma tempestade, seu 
caule é quebrado em um ponto, permanecendo preso ao tronco 
neste local. Seu topo é arremessado a uma distância de 4 m de sua 
base. Pode-se afirmar que o eucalipto foi quebrado a uma altura de:
a) 6,0 m b) 6,5 m c) 7,5 m d) 8,5 m e) 9,1 m
10. (FUVEST) Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB = 1, 
BC = e BE = 2DE. 
Logo, a medida de AE é:
a) b) c) d) e) 
11. (ENEM PPL) A inclinação de um telhado depende do tipo e 
da marca das telhas escolhidas. A figura é o esboço do telhado 
da casa de um específico proprietário. As telhas serão apoiadas 
sobre a superfície quadrada plana ABCD sendo BOC um triângulo 
retângulo em O. Sabe-se que h é a altura do telhado em relação 
ao forro da casa (a figura plana ABOE), b = 10 é o comprimento do 
segmento OB, e d é a largura do telhado (segmento AB) todas as 
medidas dadas em metro.
Sabe-se que, em função do tipo de telha escolhida pelo proprietário, 
a porcentagem i de inclinação ideal do telhado, descrita por meio 
da relação é de 40%, e que a expressão que determina o 
número N de telhas necessárias na cobertura é dada por N = d2 x 
10,5. Além disso, essas telhas são vendidas somente em milheiros.
O proprietário avalia ser fundamental respeitar a inclinação ideal 
informada pelo fabricante, por isso argumenta ser necessário 
adquirir a quantidade mínima de telhas correspondente a 
a) um milheiro.
b) dois milheiros.
c) três milheiros.
d) seis milheiros.
e) oito milheiros.
12. (ENEM) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de 
cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o 
qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar 
uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para 
garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role 
sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção 
circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe 
desejará dispor da maior área possível da regiãoem que serão 
afixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota 
do melão numa altura h, em centímetro, igual a 
a) b) c) 1 d) 4 e) 5
13. (ESPCEX) Na figura, o raio da circunferência de centro O é e 
a corda MP mede 10 cm.
A medida, em centímetros, do segmento PQ é 
a) b) 10 c) 5 d) e) 2
14. (ENEM 2019) Construir figuras de diversos tipos, apenas 
dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte 
do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado 
altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento 
do mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne 
usando técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm 
por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é 
a) b) c) 12 cm. d) e) 
15. (UEL) Convenciona-se que o tamanho dos televisores, de tela 
plana e retangular, é medido pelo comprimento da diagonal da tela, 
expresso em polegadas. Define-se a proporção dessa tela como sendo 
o quociente do lado menor pelo lado maior, também em polegadas. 
Essas informações estão dispostas na figura a seguir.
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
11 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
77
MATEMÁTICA II
Suponha que Eurico e Hermengarda tenham televisores como dado 
na figura e de proporção ¾. Sabendo que o tamanho do televisor 
de Hermengarda é 5 polegadas maior que o de Eurico, assinale 
a alternativa que apresenta, corretamente, quantas polegadas 
o lado maior da tela do televisor de Hermengarda excede o lado 
correspondente do televisor de Eurico. 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
16. (CMRJ) A figura abaixo apresenta 100 quadrados de lado 
medindo 1 cm. Uma formiga saiu do ponto A, passou pelo ponto B 
e foi até o ponto C. Se ela tivesse seguido o caminho em linha reta 
de A até C, teria percorrido
 
a) b) c) 8 cm d) 10 cm e) 52 cm
17. (UERJ) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar 
carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos 
isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por 
uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser 
alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura:
Considere as seguintes medidas: 
O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a: 
a) b) c) d) 
18. (IFSC) Um portão de elevação com 4,52 metros de altura é 
articulado em seu centro C, possui sua extremidade superior A 
fixa e a extremidade B só pode se mover verticalmente, conforme 
a figura. O portão, que inicialmente está fechado, é levantado 
de maneira que a extremidade B sobe 4 cm. Isso produz um 
deslocamento da articulação C. Qual a abertura horizontal X, em 
centímetros, percorrida pela articulação C? 
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) 24 cm b) 30 cm c) 17 cm d) 10 cm e) 4 cm
19. (IFCE) O quadrilátero ABCD é tal que os ângulos e 
são retos. Sabendo que os lados AB, BC e CD medem 7 m, 24 m e 
20 m, respectivamente, podemos concluir que o perímetro desse 
quadrilátero, em m, vale 
a) 66. b) 62. c) 51. d) 54. e) 70.
20. (COTIL) O mapa abaixo mostra o posicionamento de três 
cidades – nomeadas de A, B e C – e as rodovias que as ligam e se 
cruzam perpendicularmente na cidade A. Em uma rodovia, a 60 km 
de distância de A, encontra-se a cidade B; na outra, a 80 km de A, 
encontra-se a cidade C. Um posto policial deve ser construído na 
rodovia que liga a cidade B até a C, conforme o desenho.
Qual deve ser a distância do posto policial até a cidade B? 
a) 20 km b) 36 km c) 40 km d) 47 km e) 50 km
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (ESPM - ADAPTADA) Uma praça tem a forma de um quadrado 
de 200 m de lado. Partindo juntas de um mesmo canto P, duas 
amigas percorrem o perímetro da praça caminhando em sentidos 
opostos, com velocidades constantes. O primeiro encontro delas 
se dá em um ponto A e o segun do, em um ponto B. Se a medida do 
segmen to PA é 250 m, determine o comprimento do segmento PB.
02. (UERJ) Barris de carvalho costumam ser usados para dar sabor 
a muitos tipos de vinho. Considere um desses barris, representado 
na ilustração abaixo.
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR78
MATEMÁTICA II 11 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Um dos métodos usados para calcular o volume aproximado 
V desses barris, em litros, consiste em medir com uma vareta a 
distância interna x, em metros, do furo A, na metade da altura do 
barril, ao ponto C da base, situado no lado oposto. Em seguida, 
aplica-se fórmula V = 605 ·x3 litros.
Admita um barril com as seguintes medidas: 
Calcule o volume aproximado, em litros, de vinho que pode ser 
armazenado nesse barril.
03. (UNIFESP) Em um tapete retangular decorado com círculos 
idênticos, o círculo de centro C tangencia as laterais do tapete em 
P e Q. O ponto R pertence à circunferência desse círculo e está à 
distância de 18 cm e de 25 cm das laterais do tapete, como mostra 
a figura.
a) Calcule a distância de R até o canto superior do tapete, indicado 
por S. Deixe a resposta indicada com raiz quadrada.
b) Calcule o raio dos círculos que compõem a decoração do 
tapete. 
04. (FUVEST) Na figura abaixo, a circunferência de centro em O e 
raio r tangencia o lado BC do triângulo ABC no ponto D e tangencia 
a reta no ponto E. Os pontos A, D e O são colineares, AD =2 r e o 
ângulo ACO é reto. Determine, em função de r, 
a) a medida do lado AB do triângulo ABC;
b) a medida do segmento CO.
05. (UNESP) A figura, fora de escala, representa o terreno plano 
onde foi construída uma casa.
Sabe-se do quadrilátero ABEF que:
• Seus ângulos e são retos.
• AF mede 9 m e BE mede 13 m.
• o lado EF é 2 m maior que o lado AB.
Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados 
AB e EF ?
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. E
02. E
03. C
04. E
05. C
06. C
07. B
08. C
09. C
10. C
11. B
12. C
13. E
14. D
15. C
16. B
17. B
18. B
19. A
20. B
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. 100 m
02. 605 L
03. 
a. 
b. r = 73
04. 
a. 
b. 
05.