Relações Métricas no Triângulo Retângulo

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AULAS DE MATEMÁTICA 
Prof. Alyxandre Pedrosa 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Observe o triângulo retângulo ABC da figura ao lado. Nesse 
triângulo, destacamos: 
• a, que é a medida da hipotenusa BC̅̅̅̅ , oposta ao ângulo Â. 
• b, que é a medida do cateto AC̅̅̅̅ , oposto ao ângulo B̂. 
• c, que é a medida do cateto AB̅̅ ̅̅ , oposto ao ângulo Ĉ. 
• h, que é a medida da altura AH̅̅ ̅̅ , relativa à hipotenusa. 
• m, que é a medida da projeção ortogonal de AC̅̅̅̅ sobre BC̅̅̅̅ . 
• n, que é a medida da projeção ortogonal de AB̅̅ ̅̅ sobre BC̅̅̅̅ . 
 
1ª relação: 
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos catetos. 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
 
2ª relação: 
O quadrado da medida de cada cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da 
projeção ortogonal desse cateto sobre ela. 
𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑚 ou 𝑐2 = 𝑎 ∙ 𝑛 
 
3ª relação: 
O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções 
ortogonais dos catetos sobre ela. 
ℎ2 = 𝑚 ∙ 𝑛 
 
4ª relação: 
O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das 
medidas dos catetos. 
𝑎 ∙ ℎ = 𝑏 ∙ 𝑐 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Aplicando as relações métricas dos triângulos 
retângulos, calcule o valor de x. 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
2) (UFPE) Quanto mede, em cm, a altura relativa 
à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos 
catetos medem 15 cm e 20 cm? 
 
 
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RELAÇÕES MÉTRICAS 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
3) Calcule as medidas indicadas por letras no 
triângulo retângulo abaixo. 
 
 
4) As projeções dos catetos de um triângulo 
retângulo sobre a hipotenusa medem 1,8 cm e 
3,2 cm. Determine a medida dos catetos desse 
triângulo. 
 
5) Dois ciclistas, A e B, partem de um ponto O e 
movem-se perpendicularmente um ao outro, a 
velocidades de 16 metros por segundo e 12 
metros por segundo, respectivamente. Que 
distância os separa após 10 segundos? 
 
6) (Unifor-CE) Na figura abaixo, tem-se um 
retângulo cujos lados medem 8 cm e 6 cm. Os 
pontos M, N, P e Q são pontos médios dos lados. 
 
O perímetro do quadrilátero MNPQ é 
a) 20 cm. 
b) 24 cm. 
c) 32 cm. 
d) 36 cm. 
e) 52 cm. 
 
7) (UPF-RS) Para que o triângulo ABC da figura 
seja retângulo em B, o lado BC deve medir 
aproximadamente 
 
a) 10 cm. 
b) 20 cm. 
c) 26,45 cm. 
d) 28,28 cm. 
e) 50 cm. 
 
8) Determine a medida do diâmetro da 
circunferência da figura abaixo. 
 
 
9) (OM-ABC) No triângulo ABC, a medida do 
ângulo A é 90° e AD̅̅ ̅̅ é a altura relativa ao lado 
BC̅̅̅̅ . 
 
 
Se 𝐿 = 25 ∙ BD̅̅ ̅̅ ∙ DC̅̅ ̅̅ , então L é igual a 
a) 100. 
b) 121. 
c) 169. 
d) 144. 
e) 225 
 
10) A figura abaixo mostra o esquema do roteiro de 
uma prova de ciclismo. 
 
 
A sequência do percurso é: 
𝐴 → 𝑀 → 𝐵 → 𝐴 → 𝐶 → 𝑃 
 
O ponto P está a 80 metros do ponto M. 
Quantos quilômetros tem esse percurso?