Aula 5 - Quadril+íteros - Papirando

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GEOMETRIA PLANA 
QUADRILÁTEROS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
DEFINIÇÃO 
Quadrilátero é todo polígono que possui 
quatro lados. 
 
PRINCIPAIS QUADRILÁTEROS 
I) Paralelogramo 
Paralelogramo é o quadrilátero que 
apresenta os lados 
opostos paralelos. 
 
ABCD é paralelogramo pois AB / /DC e 
AD / /BC 
Propriedades gerais 
a) Os lados opostos são congruentes. 
AB DC e AD BC 
b) Os ângulos opostos são congruentes. 
 A C e  B D 
c) Os ângulos consecutivos são 
suplementares. 
       A B B C C D D A 180º        
d) As diagonais cortam-se ao meio. 
AM MC e BM MD 
 
Paralelogramos importantes 
1) Retângulo 
É o paralelogramo que possui os ângulos 
congruentes. 
 
Propriedades 
a) As gerais. 
b) As diagonais são congruentes. 
AC BD 
 
Consequência da propriedade (b) 
Da figura temos que: AC BD e 
AC
AM
2
 
logo 
BD
AM
2
 
Como o triângulo ABD é retângulo, AM é 
mediana relativa à hipotenusa. Daí 
podemos concluir que: "em todo triângulo 
retângulo a mediana relativa à hipotenusa 
vale sempre a metade da hipotenusa". 
 
2) Losango ou rombo 
É o paralelogramo que possui os lados 
congruentes. 
 
 
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ABCD é losango pois 
AB BC CD DA   
 
Propriedades 
a) As gerais 
b) As diagonais são perpendiculares. 
AC BD 
c) As diagonais são bissetrizes. 
 
3) Quadrado 
É o paralelogramo que possui os lados e 
ângulos respectivamente congruentes. 
 
ABCD é quadrado pois 
   A B C D 90º    
AB BC CD DA   
Propriedades 
Valem para o quadrado todas as 
propriedades de paralelogramo, retângulo 
e losango. 
Nota: O quadrado é simultaneamente 
retângulo e losango. 
 
II) Trapézio 
Trapézio é o quadrilátero convexo que 
possui apenas dois lados paralelos 
 
Elementos e propriedades 
 
ABCD é trapézio pois AB / /DC 
 
a) Os lados paralelos são chamados de 
bases: AB é a base maior e DC é a 
base menor. 
b) AD e BC são os lados oblíquos. 
c) A distância entre as bases é a altura: 
h 
d)  A D 180º  e  B C 180º  
e) Base Média ( MN ) segmento que une 
os pontos médios dos lados oblíquos. 
É paralelo às bases e tem por medida 
a semissoma das bases. 
 
AB DC
MN
2

 
 
 
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f) Mediana de Euler (EF): segmento 
que une os pontos médios das 
diagonais. E paralelo às bases e tem 
por medida a semi-diferença das 
bases. 
AB DC
EF
2

 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS 
TRAPÉZIOS 
1) Isósceles: lados não paralelos são 
congruentes. 
 
ABCD é trapézio isósceles pois AD BC 
daí:  A B e  D C 
 
2) Escaleno: lados não paralelos não são 
congruentes. 
 
ABCD é trapézio escaleno pois AD BC , 
daí:  A B e  D C 
 
3) Retângulo: um dos lados oblíquos é 
perpendicular às bases 
 
ABCD é trapézio retângulo pois AD AB e 
AD DC 
 
III) Trapezoide 
Trapezoide é o quadrilátero convexo que 
não possui lados paralelos. 
 
 
BASE MÉDIA DE UM 
TRIÂNGULO 
Chamamos de base média de um triângulo 
ao segmento que une os pontos médios de 
dois lados desse triângulo, sendo paralela 
ao terceiro lado e valendo a metade dele. 
 
MN é base média do triângulo ABC. 
 
 
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Demonstração: 
Partindo da hipótese que M é ponto médio 
de AB e MN / /BC , tracemos NP / /AB . 
Pelo paralelismo temos que: a n e  m p . 
Como MNPB é um paralelogramo, 
NP MB AM  daí que os triângulos AMN 
e NPC são congruentes, logo: MN = PC e MN 
= PB e finalmente 
BC PB PC MN MN 2MN     . 
 
Observações importantes 
1) Em todo quadrilátero convexo, o 
ângulo formado pelas bissetrizes 
internas de dois ângulos 
consecutivos é sempre igual à 
semissoma dos outros dois ângulos 
internos. 
  C Dx
2

 
 
 
 
 
2) Em todo quadrilátero convexo, o 
ângulo formado pelas bissetrizes 
externas, traçadas de dois vértices 
consecutivos, é sempre igual à 
semissoma dos ângulos interno 
existentes nesses mesmos vértices. 
  A Bx
2

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Assinale a opção correta ao numerarmos 
a 2ª coluna acordo com a 1ª. 
1 Lados iguais 
2 Quatro lados 
3 Ângulos iguais 
4 Lados opostos paralelos 
5 Lados e ângulos respectivamente 
iguais 
( ) Retângulo 
( ) Quadrado 
( ) Losango 
( ) Quadrilátero 
( ) Romboide 
a) 5 – 1 – 4 - 3 – 2 
b) 3 – 5 – 1 – 2 – 4 
c) 3 – 1 – 2 – 5 – 4 
d) 4 – 2 – 1 – 3 – 5 
e) 2 – 4 – 5 – 3 – 1 
2) Dois ângulos de um romboide diferem 
de 70°. Determine todos os seus ângulos. 
Hora do papiro! 
 
 
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3) Em um paralelogramo, a soma de dois 
ângulos vale 220°. Determine os ângulos 
desse quadrilátero. 
4) Em um losango, uma das diagonais 
forma um angulo de 37° com um dos 
lados. Determine seus ângulos. 
5) Em um paralelogramo, um ângulo 
obtuso mede 149°37' 18". Determine a 
medida do ângulo agudo. 
6) Em um trapezoide, dois ângulos medem 
70° e 130°. Determine as medidas dos 
demais, sabendo-se que uma delas é o 
triplo da outra. 
7) Dois ângulos consecutivos de um 
paralelogramo são expressos por 2x – 
16° e 3x + 1°. Determine o valor da 
diferença entre eles. 
8) Em um paralelogramo, um dos ângulos 
equivale à quinta parte da soma dos 
demais. Determine as medidas dos 
ângulos desse quadrilátero. 
9) Um dos ângulos de um trapézio isósceles 
mede 43°. Determine as medidas dos 
demais. 
10) Dois ângulos de um trapézio isósceles 
diferem de 40°. Determine os ângulos 
desse trapézio. 
11) Os ângulos de um trapezoide são 
dados por x + 38°, 2x – 14°, 3x – 6° e 
2x + 6°. Calcule-os. 
12) Em um quadrilátero ABCD temos que 
 A B , 
 AC
2

 e 
 D 3C . Determine os 
ângulos desse quadrilátero. 
13) Em um paralelogramo um ângulo é o 
triplo do outro. Determine os ângulos 
desse quadrilátero. 
14) Dois ângulos de um trapézio medem 
76° e 93°. Determine as medidas dos 
outros dois. 
15) Dois ângulos de um losango são 
complementares. Determine os 
ângulos desse quadrilátero. 
16) Em um trapézio retângulo, o maior 
angulo excede o menor em 42°. 
Determine os ângulos desse trapézio. 
17) Os ângulos de um trapezoide são 
proporcionais a 5, 6, 9 e 4. Determine-
os. 
18) A diferença entre dois ângulos de um 
paralelogramo é de 30°. Determine os 
ângulos desse quadrilátero. 
19) Em um paralelogramo, um dos 
ângulos obtusos é o dobro da soma 
dos agudos. Determine o valor de cada 
ângulo obtuso desse quadrilátero. 
20) Determine o maior ângulo de um 
trapézio isósceles no qual uma altura 
forma um ângulo de 32° com um dos 
lados não paralelos. 
21) Em um quadrilátero ABCD, de ângulos 
opostos suplementares, o ângulo A é 
 
 
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o triplo de B e este é a terça parte de 
C . Determine os ângulos desse 
quadrilátero 
22) Em um retângulo, uma das diagonais 
forma 52° com um dos lados. 
Determine o maior angulo formado 
por suas diagonais. 
23) Em um trapézio de bases iguais a 6 e 
20, determine as medidas da base 
média e da mediana de Euler. 
24) As bases de um trapézio são 
proporcionais a 11 e 5. Determine a 
medida da mediana de Euler, sabendo 
que a base média vale 32. 
25) Em um trapézio, a medida da base 
maior é o triplo de medida da base 
menor. Sabendo-se que a base média 
mede 12 cm, determine a medida da 
mediana de Euler. 
26) Em um trapézio isósceles um ângulo 
vale 110°. Calcule o ângulo formado 
pelas bissetrizes dos ângulos internos 
da base maior. 
27) Seja ABCD um trapézio retângulo. O 
ângulo formado pelas bissetrizes do 
seu ângulo reto e do ângulo 
consecutivo da base maior mede 92°. 
Os ângulos agudo e obtuso deste 
trapézio medem, respectivamente: 
a) 88° e 92° 
b) 86° e 94° 
c) 84 e 96° 
d) 82° e 98° 
e) 79° e 101° 
28) Determine, oângulo formado pelas 
bissetrizes internas de dois ângulos 
adjacentes a um mesmo lado oblíquo 
de um trapézio. 
29) Determine o ângulo formado pelas 
bissetrizes de dois ângulos 
consecutivos de um paralelogramo. 
30) Um triângulo tem lados medindo 6, 7 
e 9. Determine o perímetro do 
triângulo que se obtém ao traçarmos 
de cada vértice uma paralela ao lado 
oposto. 
31) Em um paralelogramo ABCD, as 
bissetrizes de A e B encontram-se em 
P e as bissetrizes de B e C encontram-
se em Q. Sendo M e N os pontos 
médios dos lados AB e BC , 
respectivamente, e sabendo que 
PM 5 e QN 3 , determine o 
perímetro desse quadrilátero. 
32) Em um triangulo retângulo a mediana 
relativa à hipotenusa forma com ela 
um ângulo que vale 70°. Determine a 
medida do menor ângulo agudo desse 
triângulo. 
33) As diagonais de um quadrilátero 
medem 6 e 10. Determine o perímetro 
do quadrilátero convexo que se obtém 
unindo os pontos médios dos lados 
desse quadrilátero. 
34) As bases de um trapézio isósceles 
medem 12 e 8. Sabendo dois de seus 
ângulos são complementares, 
determine a altura desse trapézio. 
 
 
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35) Em um trapézio isósceles de bases 4 e 
9, as diagonais são bissetrizes dos 
menores ângulos. Determine o 
perímetro desse trapézio. 
36) Determine a distância entre o 
baricentro e o circuncentro de um 
triângulo retângulo de hipotenusa 
igual a 18 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. B 19. 144° 
2. 2 de 125° e 2 de 55° 20. 2 de 58° e 2 de 
122° 
3. 2 de 110° e 2 de 70° 21. 90°, 30°, 90° e 
150° 
4. 2 de 74° e 2 de 106° 22. 104° 
5. 30° 22' 42" 23. 13 e 7 
6. 40° e 120° 24. 12 
7.56 25. 6 cm 
8. 2 de 60° e 2 de 120° 26. 110° 
9. 43°, 137º e 137° 27. B 
10. 2 de 110° e 2 de 
70° 
28. 90° 
11. 80°, 70°, 120° e 
90° 
29. 90° 
12. 90°, 90°, 45° e 
135° 
30. 44 
13. 2 de 45° e 2 de 
135° 
31. 32 
14. 104° e 87° 32. 35° 
15. 2 de 45° e 2 de 
135° 
33. 16 
16. 69°, 111°, 90° e 
90° 
34. 2 
17. 75°, 90, 135° e 60° 35. 21 
18. 2 de 75° e 2 de 
105° 
36. 6 cm