ÂNGULOS E TRIÂNGULOS

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ÂNGULOS 
Região convexa: Uma região plana é chamada de Convexa se, e 
somente se, todo segmento de reta cujas extremidades 
pertencem à região só tem pontos na mesma região. 
Se uma região não é convexa, ela é uma região côncava. 
 
 
 
 
Região convexa Região Côncava 
Ângulo: É a reunião de duas semirretas de mesma origem, 
não contidas numa mesma reta. 
Exemplo: 
 
 
 
Na figura temos o ângulo ou ângulo α. O ponto O é 
chamado de vértice do ângulo. 
Ângulos Consecutivos: Dois ângulos são consecutivos se, e 
somente se, um lado de um deles é também lado do outro. 
Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos que não 
possuem ponto interior comum são denominados ângulos 
adjacentes. 
Exemplo: 
 
 
 
 
Os ângulos e são consecutivos e os ângulos e 
 são adjacentes. 
Ângulos congruentes: Intuitivamente, dois ângulos são 
congruentes se eles têm a mesma abertura. 
 
 
 
 
Usaremos o símbolo ≡ para indicar a congruência de ângulos. 
Assim, para denotar que é congruente a escrevemos 
simplesmente ≡ . 
Bissetriz de um ângulo: É a semirreta interior ao ângulo, que 
determina com os seus lados, dois ângulos adjacentes e 
congruentes. Na figura a semirreta é bissetriz de 
 
 
 
 
 
Teorema: O ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos 
adjacentes é a média aritmética dos dois ângulos. 
Unidades de medida do ângulo: As unidades mais usadas 
para medir ângulos são grau, radianos e grado. Por enquanto 
ficaremos restritos ao estudo dos ângulos em grau. 
O grau: Se dividirmos uma circunferência de centro O e raio R 
em 360 partes iguais, como “fatias de pizza”, a abertura de cada 
“fatia” corresponde a medida do ângulo de um grau. 
Submúltiplos do grau. 
 
 
O ângulo cujos lados são semirretas opostas, é chamado de 
ângulo raso e mede 180
0
. 
Dois ângulos cuja soma é igual a 180
0
 são chamados ângulos 
suplementares. 
Exemplos: 
 
 
 
140
0
 e 40
0
 são ângulos suplementares, pois 140
0
 + 40
0
 = 180
0 
 
 
 
 
 e são ângulos suplementares adjacentes. 
Ângulo Reto: É todo ângulo congruente a seu suplementar 
adjacente. (90
0
) 
 
 
 
 
 
 
 ≡ são ângulos suplementares adjacentes, logo são 
ângulos retos. (90
0
) 
Dois ângulos cuja soma é um ângulo reto são chamados de 
ângulos complementares. 
 
 
 
 
 
50
0
 e 40
0
 são ângulos complementares, pois 50
0
 + 40
0
 = 90
0
 
Ângulos menores que 90
0
 são chamados de ângulo agudo 
enquanto os maiores que 90
0
 são chamados de ângulo obtuso. 
 
O . 
. 
. 
B 
α 
A 
 
 
Ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulos que são opostos 
pelo vértice são congruentes. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1) Estabeleça a correspondência dos itens a seguir com as 
figuras de 1 a 5. 
( ) bissetriz de um ângulo; 
( ) ângulos complementares; 
( ) ângulos suplementares; 
( ) ângulos adjacentes e complementares; 
( ) ângulos adjacentes e suplementares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o ângulo entre as bissetrizes de dois ângulos 
adjacentes e complementares. 
3. Simplifique as seguintes medidas: 
a) 30º 70’= d) 30º 56’ 240” = 
b) 110º 58’ 300” = e) 65º 39’ 123” = 
c) 45º 150’ = 
4. Determine as somas: 
a) 30º 40’ + 15º 35’ = 
b) 10º 30’ 45” + 15º 29’ 20” = 
5. Determine as diferenças: 
a) 20º 50’ 45” – 5º 45’ 30” = 
b) 31º 40’ – 20º 45’ = 
c) 90º 15’ 20” – 45º 30’ 50” = 
d) 90º - 50º 30’ 45” = 
6. Determine os produtos: 
a) 2 x (10º 35’ 45”) = 
b) 5 x (6º 15’ 30”) = 
7. Determine as divisões: 
a) (46º 48’ 54”) ÷ 2 = 
b) (31º 32’ 45”) ÷ 3 = 
c) (52º 63’ 45”) ÷ 5 = 
8. Calcule o complemento dos ângulos: 
a) 27
0
 b) 35
0 
 c) 56
0
 
9. Calcule o suplemento dos ângulos: 
a) 30
0
 b) 68
0 
c) 95
0
 
10. Determine o valor de x nos casos: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
. x 
4x - 25° 
2x 
4x + 30° 
30º 
x 
50º 
. 
30º 
x 
35° x . 
 
 
11. Dado um ângulo de medida x, indique: 
a) Seu complemento; 
b) Seu suplemento; 
c) O dobro do seu complemento; 
d) A metade do seu suplemento; 
e) O triplo do seu suplemento; 
f) A sétima parte do complemento; 
g) O complemento da sua terça parte; 
h) O triplo do suplemento da sua quinta parte. 
12. Qual é a medida de um ângulo que excede o seu 
complemento de 69
0
? 
13. Considere a figura abaixo. Se é a bissetriz de , é 
bissetriz de e é a bissetriz de , determine a 
medida do ângulo . 
 
 
 
 
14. Dê a medida do ângulo que vale o dobro do seu 
complemento. 
15. Calcule o ângulo que vale ao quádruplo do seu complemento. 
16. Calcule um ângulo, sabendo que um quarto do seu 
suplemento vale 36°. 
17. Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 76°? 
18. Determine as medidas de dois ângulos suplementares, 
sabendo que o dobro de um deles, somado com a sétima parte 
do outro, resulta em 100°. 
19. Dois ângulos suplementares têm suas medidas expressas, em 
graus, por 3x – 20
0
 e 6x + 65
0
. Calcule-os. 
20. Dois ângulos opostos pelo vértice tem medidas expressas em 
graus por 4x – 20
0
 e 2x + 15
0
. Calcule a medida desses ângulos. 
21. Determine o valor de x nos casos: 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
22. Quanto medem dois ângulos opostos pelo vértice, sabendo 
que somam 120
0
 ? 
23. Na figura abaixo, os ângulos d e c somam 195
0
. O ângulo a 
excede o ângulo b de 15 
0
. Então a e b medem: 
 
 
 
 
 
 
27. Duas retas interceptam-se em um ponto P, formando quatro 
ângulos coplanares. Sendo o maior deles o dobro do menor, 
quanto medem os quatro ângulos? 
 
TRIÂNGULOS 
Definição: Dados três pontos A, B e C não colineares. À reunião 
dos segmentos chama-se triângulo ABC. (Triângulo 
ABC = ∆ ABC) 
Os pontos A, B e C são chamados de vértices do ∆ABC e os 
segmentos de lados do ∆ABC. 
Os ângulos , são os ângulos internos do 
triângulo ABC e poderão ser representados por 
respectivamente. 
Prolongando as retas suportes de cada lado do ∆ABC, formamos os 
ângulos externos, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades importantes : 
I) Em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a 1800. 
 
 
2x – 10° 40° 
2x – 10° x + 20° 
 
 
II) A soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a 3600. 
 
 
III) Os ângulos internos e externos adjacentes são 
suplementares. 
 
IV) Cada ângulo externo é igual a soma dos dois ângulos internos 
não adjacentes a ele. 
CLASSIFICAÇÃO DE TRIÂNGULOS 
1) Quanto aos lados: 
1.1) equilátero: tem os três lados congruentes. 
1.2) isósceles: tem dois lados congruentes. 
1.3) escaleno: tem os três lados diferentes. 
OBS.: 
a) Todo triângulo equilátero é isósceles. 
b) Em todo triângulo equilátero, os ângulos internos são 
congruentes e medem 600. 
c) Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. 
Exemplos: 
 
 
 
2) Quanto aos ângulos: 
2.1) acutângulo: tem os três ângulos agudos; 
2.2) retângulo: tem um ângulo reto; 
2.3) obtusângulo: tem um ângulo obtuso. 
 
 
 
 
PRINCIPAIS CEVIANAS DO TRIÂNGULO 
Ceviana: 
É todo seguimento que tem uma das extremidades num vértice 
qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta 
suporte ao lado oposto a esse vértice. 
Mediana de um triângulo: 
Mediana de um triângulo é um 
segmento com extremidades num 
vértice do triângulo e no ponto médio 
do lado oposto. 
 
Bissetriz interna de um triângulo: 
Bissetriz interna de um triângulo é o 
segmento com extremidades em um 
vértice do triângulo e no lado oposto, 
que divide o ângulo desse vértice em 
dois ângulos congruentes. 
 
Altura de um triângulo: 
É a ceviana que é perpendicular a reta suporte do lado oposto 
ao vértice que é uma de suas extremidades. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS1. Dois ângulos de um triângulo medem 81° e 28°. Qual a medida do 
terceiro ângulo? 
2. No triângulo ABC abaixo, determine as medidas de a, b e c. 
 
 
 
3. Determine o valor de x 
 
 
 
 
4. Calcule a(s) incógnita(s) em cada caso: 
a) ≡ 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
x 
A 
B C 
125
º 
y 
2x+10º 
A 
B 
C 
2x-30º 
x+10º 
2x 
A 
B 
C 
80º 
 
 
A 
B C H 
30° 
x 
S 
40° 
5. Calcule os valores de x e y em cada caso: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
f) 
 
 
g) 
 
 
6. Na figura a seguir, calcule o ângulo α: 
 
 
 
 
 
7. Na figura a seguir, P é a interseção das bissetrizes internas em e . 
Calcule a medida do ângulo sabendo que o ângulo  mede 80 0. 
 
 
 
 
8. Na figura a seguir, calcule a soma dos quatro ângulos α, β, γ e θ. 
 
 
 
 
9. Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo em  e isósceles. 
Sendo ≡ , calcule a medida do ângulo . 
 
 
 
 
 
10. O triângulo ACD da figura é isósceles de base . Calcule a 
medida do ângulo . 
 
 
 
 
11. Se AH é a altura relativa ao lado BC do ΔABC, determine 
 . 
 
 
 
 
12. No triângulo ABC da figura, se AH é altura e BS é bissetriz, 
determine . 
 
 
 
 
 
E 
B 
A 
x 
55º 
y 
40º 
30º 
C 
A 
B C H 
20°
150
° 
50° 
 
 
13. Da figura, sabemos que AH é a altura e AS é a bissetriz 
relativas a do triângulo ABC. Se , 
determine . 
 
 
 
14. Na figura abaixo, calcule o valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
15. Na figura, determine o valor de α β e γ. 
 
 
 
 
 
16. (FUVEST) Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo  
mede 40º calcule o ângulo XYZ. 
 
 
 
17. (PUC-MG) Na figura seguinte, o ângulo ADC é reto. Calcule o 
valor em graus do ângulo CBD. 
 
 
 
18. Um triângulo retângulo é tal que um de seus ângulos mede 
20º. Determinar o ângulo entre a altura e a mediana relativa à 
hipotenusa do triângulo, sabendo. 
 
 
 
 
 
 
19. Calcule os ângulos externos de um triângulo, sabendo que os 
ângulos internos são proporcionais a 1, 2 e 3. 
20. Dois ângulos externos de um triângulo medem 141° e 112°. 
Qual outro ângulo externo ? 
21. Dois ângulos internos de um triângulo medem 41°e 68°. 
Quais os ângulos externos? 
22. Os ângulos de um triângulo ABC medem respectivamente 
48°, 57° e 75°. Determine o ângulo formado pelas bissetrizes 
internas traçadas dos vértices B e C. 
23. Os ângulos M e N de um triângulo MNP medem 56° e 72° 
respectivamente. Determine o ângulo formado pelas bissetrizes 
de M e N. 
24. Em certo triângulo ABC as bissetrizes internas dos ângulos A 
e C formam ângulo de 122°. Calcule o ângulo . 
25. Calcule os ângulos de um triângulo isósceles sabendo que o 
ângulo o formado pelas bissetrizes internas dos ângulos da base 
vale o triplo do ângulo do vértice. 
26. Os ângulos de um triângulo ABC medem respectivamente 
42°, 76°e 62°. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes 
traçadas de B e C. 
27. ABC é um triângulo isósceles com BC = AB. Calcule o ângulo 
formado pelas bissetrizes externas traçadas de B e C, sabendo 
que B = 32°. 
28. Qual o ângulo formado pelas bissetrizes externas traçadas 
dos vértices dos ângulos agudos de um triângulo retângulo. 
29. 0 ângulo C de um triângulo ABC mede 120° e o ângulo A ê 
quíntuplo de B. Qual o ângulo formado pela altura e a bissetriz 
relativas ao vértice C. 
30. O triângulo ACD da figura é isósceles de base AD. Sendo 420 a 
medida do ângulo BÂD e 200 a medida do ângulo , determine a 
medida do ângulo . 
 
 
 
31. Na figura, AB = AC, CD = CE e AFD = 600. Calcule a medida do 
ângulo Â. 
 
 
 
 
 
 
A 
B C H S 
x 
2 
40° . 
. 
C 
A B E 
130° 
α 
γ . 
. 
D 
β 
F 
 
 
32. Na figura, sendo AB congruente a AC e AE congruente a AD, 
calcule a medida do ângulo dado . 
 
 
 
 
33. Em um triângulo obtusângulo a medida da soma dos ângulos 
agudos é igual à metade da medida do ângulo obtuso. Calcule este 
ângulo, sabendo que um ângulo agudo é o dobro do outro. 
34. Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que = 
300. 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Ângulos 
1. 3 – 5 – 2 – 1 – 4 // 2. 45
0
 // 3. a) 31
0
 10’ b) 11
0
 3’ 
c) 47
0
 30’ d) 31
0
 e) 65
0
 41’ 3” // 4. a) 46
0
 15’ b) 26
0
 5” // 
5. a) 15
0
 5’ 15” b) 10
0
 55’ c) 24
0
 44’ 30” d) 39
0
 24’ 15” // 
6. a) 21
0
 11’ 30” b) 31
0
 17’ 30” // 7. a) 23
0
 24’ 27” b) 10
0 
30’ 55” c) 10
0 
36’ 45” // 8. a) 63
0
 b) 55
0
 c) 34
0
 // 
9. a) 15
0
 b) 112
0
 c) 85
0
 // 10. a) 20
0
 b) 55
0
 c) 60
0
 
d) 23
0
 e) 25
0
 // 11. a) 90 – x b) 180 – x c) 2.( 90 – x) 
d) 
 
 
 e) 3.(180 – x) f) 
 
 
 g) 
 
 
 h) 
 
 
 
// 12. 79
0
 30’ // 13. 68
0
 // 14. 60
0
 // 15. 72
0
 // 
16. 36
0
 // 17. 83
0
 // 18. 40
0
 // 19. 25
0
 e 45
0
 // 20. 
50
0
 // 21. a) 25
0
 b) 30
0
 c) 7
0
 30’ 22. 60
0
 // 23. a = 90
0 
e b = 75
0
 24. 60
0
, 120
0
, 60
0
 e 120
0
 
TRIÂNGULOS 
1. 71
0
 // 2. a = 113
0
 , b = 45
0
 e c = 22
0
 // 3. 45
0
 // 4. a) 
x = 55
0
 e y =70
0
 ; b) x = 70
0
 ; c) x = 65
0
 // 5. a) x = 70
0
 e y = 125
0
 
; b) x = 30
0
 e y = 75
0
 ; c) x = 50
0
 e y = 90
0
 ; d) x = y = 30
0
 ; e) x = 
35
0
 ; f) x = 65
0
 ; y = 120
0
 ; g) x = 145
0
 // 6. 33
0
 // 7. 130
0
 
// 8. 540
0
 // 9. 15
0
 // 10. 56
0
 // 11. 70
0
 e 40
0
 // 
12. x = 110
0
 // 13. 40
0
 // 14. 40
0
 // 15. α = 40
0
 ; β = 
50
0
 e γ = 40
0
 // 16. 70
0
 // 17. 100
0
 // 18. 50
0
 // 
19. 150
0
 ; 120
0
 ; 90
0
 // 20. 107
0
 // 21. 139
0
 ; 112
0
 e 109
0
 
// 22. 114
0
 // 23. 116
0
 // 24. 64
0
 // 25. 36
0
 ; 72
0
 e 
72
0
 // 26. 111
0
 // 27. 53
0
 // 28. 135
0
 // 29. 20
0
 // 
30. 56
0
 // 31. 100
0
 // 32. 24
0
 // 33. 120
0
 // 34. 120
0