TP5_MH&A-2012

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Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Escola Politécnica 
Departamento de Recursos Hídricos e Meio Ambiente 
 
EEH591 - MODELAGEM HIDRÁULICA & AMBIENTAL 
 
Quinto Trabalho 
Entrega: 16/05/2012 (pode ser feito em grupos de até 3 alunos) Devolução: 06/06/12 
 
 
Questão 1: 
Escreva uma subrotina para resolver sistemas de equações tri-diagonais, usando o algoritmo de dupla 
varredura (double sweep), apresentado na seção 4.6.3 do livro Computational Fluid Dynamics (Abbott & 
Basco). [Dica: use precisão dupla.] 
Veja na página 3 um exemplo escrito em FORTRAN. Atenção: no exemplo, os vetores A e C estão tro-
cados em relação ao que consta no capítulo 4 do livro. 
 
Questão 2: 
a.) Resolva os problemas 7 e 10 do capítulo 4 do livro Computational Fluid Dynamics. 
b.) Repita o problema 7 indicado na questão 2, com as seguintes modificações: 
i. Use o esquema implícito de Crank-Nicholson ( = ½). 
ii. Idem. Use a subrotina da questão 1 para computar. 
iii. Idem. 
iv. Compare e comente os resultados das duas versões do problema 7. 
 
Questão 3: 
Suponha um reator, para tratamento de efluentes de uma indústria, composto por um tanque com 
barreiras alternadas, como indicado no esquema abaixo, onde Ca e Ce são as concentrações de afluxo e 
de efluxo. 
 
 
 
Neste tipo de tanque, o transporte do contaminante em geral é predominantemente advectivo. A re-
moção de contaminantes ocorre pela absorção feita pelas raízes de aguapé1. Um modelo matemático 
1D para o transporte advectivo-difusivo de contaminantes neste tanque, incluindo o processo de re-
moção de contaminantes, pode ser escrito como: 
 2
2
C C C
u D kC
t x x
  
  
  
 (1) 
 
Onde C é a concentração do contaminante, u=Q/A é a velocidade média do fluxo Q no canal com seção 
hidráulica A, e k é a constante de remoção. Considerando: 
Q = 0.1 m³/s ; A = 2.0 m² ; tempo de percurso = 2.0 horas 
Ca = 100 mg/l ; T90 = 2.5 horas; considere x = 4 m. 
 
Calcule analiticamente (sem difusão) o valor da concentração no efluente (Ce), e depois calcule através 
de modelos numéricos (com a difusão) usando as seguintes alternativas: 
 
 
1 Veja http://www.jardimdeflores.com.br/CURIOSIDADES/A24aguap%E9.htm 
Ca 
Ce 
2/4 
 
a. Esquema numérico explícito, progressivo no tempo. Para derivadas espaciais, use derivada à ré 
de 1ª ordem no termo advectivo e centrado no termo difusivo. Considere: 
1. Número de Courant = 1 e D = 0,001 m²/s 
2. Número de Courant = 1 e D = 0,010 m²/s 
3. Número de Courant = 1 e D = 0,100 m²/s 
4. Número de Courant = 1 e D = 1,000 m²/s 
 
b. Esquema numérico implícito, progressivo no tempo, centrado em n+½ (Cranck Nicholson). Para 
derivadas espaciais, use derivada à ré de 2ª ordem no termo advectivo e centrado no termo difusi-
vo. Considere pelo meonso os casos abaixo: 
1. Número de Courant = 2 e D = 0,001 m²/s 
2. Número de Courant = 3 e D = 0,010 m²/s 
3. Número de Courant = 4 e D = 0,100 m²/s 
4. Número de Courant = 5 e D = 1,000 m²/s 
 
Para o modelo numérico, faça um programa e use a subrotina da questão 1. Comente suas respostas. Para 
cada caso faça um gráfico mostrando como varia C ao longo do canal nos seguintes tempos: 
1. Instante inicial 
2. Após 20 passos de tempo. 
3. Após 100 passos de tempo. 
4. Último resultado satisfazendo o critério de parada. 
 
Dicas: 
 O item a) pode ser feito no Excel – é similar ao exercício da lista 3. 
 Para o item b) é necessário apenas 1 programa, basta programar de modo adequado, permitindo mudar 
os dados de entrada e rodar para as diferentes opções. 
 Crie um critério de parada do modelo. Por exemplo: o modelo deve parar quando o valor do resultado 
na última seção não mudar mais que 0,01% em relação ao valor da rodada anterior. 
 Veja esquema na página 4. 
 
 
Esta lista pode ser feita em grupos de até 3 alunos. 
 
 
3/4 
 
********************************************************************* 
* 
 SUBROUTINE VARRE2 (A,B,C,D,N,NORDEM) 
* 
********************************************************************* 
* 
* Subrotina para cálculo de sistemas tridiagonais Algoritmo "doublé 
* sweep". Secao 4.6.3. do livro Computational Fluid Dynamics (Abbot & 
* Basco). 
* N = numero de equações 
* Equações do tipo 
* A[j] Z(j-1) + B[j] Z(j) + C[j] Z(j+1) = Dj (1) 
* #### Note que A e C estão trocados em relação ao livro #### 
* 
* Condições de contorno: 
* #### ATENÇÃO: caso haja condição do tipo mista ou tipo Neumman, ou 
* #### seja, BET1 ou BETN são diferentes de zero, o ideal ‚ 
* #### armar o sistema de modo a colocar tal condição 
* #### no ponto 1. 
* 
* ponto 1 (ALF1 e BET1 são constantes) 
* ALF1*Z(1)+BET1*(dZ(1)/dx)=CC1 (2) 
* para um esquema de diferenças finitas progressivas de segunda 
* ordem, usando Z(3)=E2{E1*Z(1)+F1}+F2, e Z(2)=E1*Z(1)+F1, 
* ou seja, a recorrência do double sweep, tem-se: 
* Z(1)={CC1-BET1/(2DX)*[F1(4-E2)-F2]}/ 
* {ALF1+BET1/(2DX)*[E1(4-E2)-3]} 
* ponto N (ALFN e BETN são constante) 
* ALFN*Z(N)+BETN*(DZ(N)/DX)=CCN (3) 
* que pode ser escrito como 
* -E[N-1]*Z(N-1) + Z(N) = F[N-1] 
* onde E[N-1] e F[N-1] são funções da esquematização de (3). 
* por exemplo: 
* - esquema de diferenças regressivas de primeira ordem; 
* E[N-1] = BETN/DX/{ALFN+BETN/DX} 
* F[N-1] = CCN/{ALFN+BETN/DX} 
* - esquema de diferenças regressivas de segunda ordem; 
* E[N-1] = 4BETN/(2DX)/{ALFN+3*BETN/(2DX)} 
* F[N-1] = {CCN-BETN/(2DX)*Z'(N-2)}/{ALFN+3*BETN/(2DX)} 
* onde Z'(N-2) seria o valor de Z(N-2) extrapolado ou interpolado 
* para o instante de tempo adequado, dependendo do esquema de 
* discretização temporal adotado. Note que Z'(N-2) só e necessário no 
* caso de condição de contorno com derivada, i.e., BETN=/=0. 
* De qualquer modo, os valores de E[N-1] e F[N-1] são passados para a 
* subrotina pelo programa principal. 
* Deste modo define-se os valores dos vetores A, B, C , D nas posições 1 
* e N-1, ou seja: 
* ponto 1: 
* A[1]=0.0 
* B[1]=ALF1 
* C[1]=BET1/(DX) ...esquema de ordem DX 
* C[1]=BET1/(2DX) ...esquema de ordem DX^2 
* D[1]=CC1 
* ponto N: 
* A[N]=-E(N-1) 
* B[N]=1.0 
* C[N]=0.0 
* D[N]=F(N-1) 
* 
* Resposta sai no vetor D. 
********************************************************************* 
* 
 IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) 
 PARAMETER (NM=200) 
c 
 DIMENSION A(NM),B(NM),C(NM),D(NM),E(NM),F(NM) 
c 
C le E(N-1) & F(N-1) 
 E(N-1)=-A(N) 
 F(N-1)= D(N) 
C 
C Varre de N-1 ate 2 para calcular E & F de N-2 ate 1. 
 DO J=N-1,2,-1 
 DEN=C(J)*E(J)+B(J) 
 E(J-1)=-A(J)/DEN 
 F(J-1)=(D(J)-C(J)*F(J))/DEN 
 ENDDO 
C 
C Calcula Z(1) e coloca em D[1] 
 IF (C(1).EQ.0.0) THEN 
 D(1)=D(1)/B(1) 
 ELSEIF (NORDEM.EQ.2) THEN 
 D(1)=(D(1)-C(1)*(F(1)*(4.0-E(2))-F(2)))/ 
 & (B(1)+C(1)*(E(1)*(4.0-E(2))-3.0)) 
 ELSE 
 D(1)=(D(1)-C(1)*F(1))/(B(1)+C(1)*(E(1)-1.0)) 
 ENDIF 
C 
C Varre de 1 ate N-1 para calcular resposta de 2 ate N, pondo em D. 
 DO J=1,N-1 
 D(J+1)=D(J)*E(J)+F(J) 
 ENDDO 
C 
 RETURN 
 END 
 
 
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Esquema numérico 
Equação governante: 
 
2
2
C C C
u D kC
t x x
  
  
  
 
 
Esquema numérico: 
 
 
   
1 1 1 1
1 2 1 2
1 1 1
1 1 1 1 1
2 2
1 1 1 1
1 2 1 2
3 4 3 41
2 2 2
2 21
2 2
2 3 4 3 4
2 2
n n n n n n n n
j j j j j j j j
n n n n n n
j j j j j j n n
j j
n n n n n n nr r
j j j j j j j
C C C C C C C C
u u
t x x
C C C C C C t
D D kC kC
x x
C C
C C C C C C C
   
   
  
    
   
   
     
       
     
      
      
     1 1 1 11 1 1 12 2 2n n n n n n n n nj j j j j j j j jC C C C C C C t kC kC                
 
 
Selecionando variáveis: 
 
   
   
1 1 1
1 1
#
1 2 1 1 2
# 1
3
2 2 2
2
2 3 4 2
2 2
Linear: 2 2
sendo :
Quad:
jj
j
n
j
n n nr
r j j j
n n n n n n n n nr r
j j j j j j j j j
n n n
C
C C tk C C
C C
C C C C C C C tkC C
C C C
  
 
    

 
            
 
 
          
 
 
CA
B
D
# 1 2 3 3n n n nC C C C 


  
 
 
Ou mais simplesmente: 
 
1 1 1
1 1
n n n n
j j j j j j jC C C
  
   A B C D
 
 
Repare que neste exemplo, A e C são trocados em relação ao que está no livro. 
	Escola Politécnica
	Departamento de Recursos Hídricos e Meio Ambiente
	Quinto Trabalho
	Questão 1:
	Questão 2:
	Questão 3: