Trabalho_Academico(AV2)_Matematica_Discreta_2021-1_GABARITO

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Matemática Discreta – 2021.1
 TRABALHO ACADÊMICO (AV2)
GABARITO
Questão 1 (2.0 ponto)
Um banco possui 36.652 clientes cadastrados. Senhas de 5 dígitos foram utilizadas para permitir que cada
cliente acesse sua conta por um aplicativo de smartphone. As senhas possuem o formato NXXXX, onde X
pode assumir qualquer algarismo de 0 a 9. Nesse caso, qual é a quantidade mínima de algarismos diferentes
que N deverá assumir para que se tenha senhas para todos os clientes? Lembrando que cada cliente possuirá
uma senha única. Sugestão (não é obrigatório): Resolva pelo Princípio da Casa de Pombos.
Resposta:
Pelo Princípio da Casa de Pombos (PCP):
Considerando apenas os dígitos representados por X, ou seja, XXXX, teremos no máximo
10*10*10*10 = 10.000 senhas. Generalizando o PCP , entre 36.652 de clientes, pelo menos
⌈36.652/10.000⌉=4 receberão a mesma senha. Portanto, o dígito N deve assumir pelo menos 4
(quatro) valores diferentes para asegurar que todos os clientes terão senhas diferentes. (vide o
exercício 02 dos slides da aula do tema 05)
Pelo princípio multiplicativo:
Já sabemos que X pode assumir qualquer algarismo de 0 a 9. Se N puder assumir 4 algarismos
diferentes (ex.: 3, 5, 7 e 8) então teremos:
4 10 10 10 10 onde esses valores são os números de possibilidades de escolha de cada posição da senha.
Aplicanco o princípio da multiplicação teremos 4x10x10x10x10 = 40.000, ou seja, será possível formar
40.000 senhas, o que é suficiente, pois são apenas 36.652 clientes e dessa forma é possível que cada um
cliente tenha uma senha única. Resposta: N deve assumir no mínimo 4 algarismos diferentes.
Questão 2 (2.0 ponto)
Seja o conjunto P o conjuntos dos pares ordenados de números inteiros definido da seguinte forma:
Passo base: (0,0) P; ∈
Passo recursivo: Se (a, b) P então (a, b + 1) P, (a + 1, b) P e (a + 2, b + ∈ ∈ ∈ 2) P.∈
Assim, quais são os elementos de P após as duas primeiras aplicações do passo recursivo?
Resposta:
(0,0); (0,1); (1,0); (2,2); (0,2); (1,1); (2,3); (2,0); (3,2); (4,4) 
Questão 3 (2.0 pontos)
Em um experimento, certa colônia de bactérias tem inicialmente uma população de 10.000. Uma
leitura é feita a cada uma hora, e no final de cada hora de intervalo há 4 (quatro) vezes mais
bactérias que antes.
a) Escreva a definição recursiva para A(n), onde A(n) é o número de bactérias presentes no início do
n-ésimo período de tempo.
b) Encontre a expressão da solução de forma fechada da relação de recorrência do item a), usando a
abordagem expandir, supor e verificar (por indução matemática).
Prof. Lincoln Faria - lfaria@unicarioca.edu.br
Resposta:
a) 
b)
Prof. Lincoln Faria - lfaria@unicarioca.edu.br
Questão 4 (2.0 pontos) 
Revolva (ou seja, ache uma solução de forma fechada para) a relação de recorrência S(n) = S(n - 1)
+ 5, onde S(1) = 10, usando a abordagem “expandir, supor e verificar (por indução matemática).
Resposta: 
Prof. Lincoln Faria - lfaria@unicarioca.edu.br