Álgebra Booleana e Lógica Digital

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LÓGICA MATEMÁTICA
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
Aula 7. Noções de Álgebra Booleana 
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Aula 7
Álgebra Booleana
Conjunto numérico binário.
Valores lógicos verdadeiro e falso e zero e um.
Tabela verdade usando o conjunto binário 0 e 1.
Todo o raciocínio lógico é baseado na tomada de uma decisão a partir do cumprimento de determinadas condições. 
Inicialmente tem-se os dados de entrada e uma condição (ou uma combinação de condições). Aplica-se a condição aos dados de entrada para decidir quais são os dados de saída. 
Descartes: “Penso, logo existo”. 
O fato de pensar (dado de entrada) levou Descartes à constatação de sua existência (dado de saída).
Lógica Digital
Trabalha com a tomada de decisões mediante o cumprimento de determinadas condições. 
Utiliza apenas variáveis cujos valores alternam exclusivamente entre dois estados e não admitem valores intermediários. 
Lógica Digital
Estados: podem ser representados por “um” e “zero”, “sim” e “não”, “verdadeiro” e “falso” ou quaisquer outras grandezas cujo valor possa assumir apenas um dentre dois estados possíveis. 
Ferramenta ideal para trabalhar com grandezas 
cujos valores são expressos no sistema binário.
Sistema Binário
O Sistema Binário, ou de base 2, é um sistema de numeração em que todas as quantidades são representadas com base em dois numeros: zero e um 
Sistema Binário
Um dos primeiros defensores: o matemático alemão do século XVII, Golttfried Wilhelm von Leibniz .
1666 – esboçou aos 20 anos.
De Arte Combinatória (Sobre a Arte das Combinações): método geral para reduzir todo pensamento (de qualquer tipo e sobre qualquer assunto) a enunciados de perfeita exatidão. 
Leibnitz
Estudava o livro chinês  "I Ching, ou Livro das Mutações", que procura representar o universo e todas as suas complexidades por meio de uma série de dualidades: contrastando luz e trevas, macho e fêmea. 
Investir o sistema binário de significados místicos, vendo nele a imagem da criação
Transcrevia fileiras após fileiras de números decimais transformados em binários.
Encorajado por essa aparente validação de suas próprias noções matemáticas, Leibniz continuou aperfeiçoando e formalizando as intermináveis combinações de uns e zeros, que constituíram o moderno sistema binário. 
Leibniz não conseguiu descobrir nenhuma utilidade imediata para o produto de seus esforços
Seus contemporâneos, talvez perplexos, talvez sentindo-se insultados por suas idéias, ignoraram esse ensaio, e o próprio Leibniz, ao que parece, nunca voltou a retomar a idéia da nova linguagem. Uma década mais tarde, porém, ele começou a explorar de uma nova maneira as potencialidades da matemática, concentrando-se em aprimorar o sistema binário. 
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Leibnitz e a Calculadora Dentada
Calculadora de rodas dentadas: projetada para trabalhar com números decimais.
Leibniz nunca a converteu para números binários, talvez intimidado pelas longas cadeias de dígitos criadas por esse sistema.
Situação 1: Clube das Mulheres
Estatuto: um único artigo, excludente, uma única condição. 
“Homem não entra”. 
Dado de entrada: a situação daquele que se propõe a entrar no clube em relação à condição de ser homem. 
Dado de saída: a decisão sobre o fato do pretendente poder ou não entrar no Clube 
Situação 1 da pretendente a entrada
É homem?
SIM ou NÃO
NÃO ou SIM
Pode
entrar?
A decisão é “não” se o pretendente “não” for mulher. 
E será “sim” se, “sim”, o pretendente for mulher. 
Dado de entrada: a situação daquele que se propõe a entrar no clube em relação à condição de ser mulher. 
Dado de saída: a decisão sobre o fato do pretendente poder ou não entrar no Clube, 
Dado de saída: obtido mediante a aplicação da condição ao dado de entrada. É mulher? Sim ou não? 
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Porta Lógica NOT
Há apenas um dado de entrada e o dado de saída é exatamente o oposto dele. 
Um “sim” gera um “não” e um “não” gera um “sim”. 
Esta condição é representada pela porta lógica NOT.
A
Y
NOT
Situação 2: Clube das Mulheres
Suponha que a gerência do Clube das Mulheres decidiu dar uma festa para os membros do clube, porém resolveu cobrar o ingresso para cobrir os custos do evento. 
Assim, para entrar, além de ser membro, a pessoa precisa comprar um ingresso. 
Situação da pretendente a festa
Para que o dado de saída seja “sim”, ou seja, para que o pretendente ingresse na festa, ele tem que cumprir AMBAS as condições. 
É membro 
do Clube?
Possui
Ingresso? 
SIM ou NÃO
Entra
na 
Festa ?
Dois Dados de Entrada: 
Situação do pretendente em relação ao fato de ser membro do Clube das Mulheres (sim ou não)
Posse do ingresso (sim ou não). 
Não basta ser membro do clube (“sim” para a primeira condição) se não possui o ingresso (“não” para a segunda). 
Nem basta possuir o ingresso (“sim” para a segunda condição) se não é membro (“não” para a primeira). 
Decisão: os dados de entrada são submetidos à condição. 
Para uma decisão “sim” que garante a entrada na festa é preciso, ao mesmo tempo, “sim”, ser membro do clube e, “sim”, dispor do ingresso. 
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Porta Lógica AND
A saída somente será “sim” se ambos os dados de entrada forem “sim”. 
Esta condição é representada pela porta lógica AND 
A
B
Y
AND
Situação 3: Clube das Mulheres
Suponha que os membros do Clube das Mulheres tenham levado ao Presidente um reclamação, uma ponderação: 
- Somos membros, e a festa é no clube, por que razão temos que pagar ingresso? 
A Gerencia entendeu a posição mas alegou que ainda assim precisaria de recursos para cobrir os custos. 
Decidiu-se então abrir o evento à toda a comunidade e não apenas aos membros do clube, cobrando o ingresso apenas dos que não fossem membros. 
Primeira condição. É membro do clube? Sim ou não? Se “sim”, a primeira condição foi cumprida e “sim”, ele pode entrar, independente de ter ou não ingresso. 
É membro 
do Clube?
SIM
Entra
na 
Festa ?
SIM
Segunda condição. Comprou ingresso? Sim ou não? Se “sim”, a segunda condição está cumprida e a decisão é “sim”, o pretendente pode entrar, independentemente de ser ou não sócio do clube.
 
É membro 
do Clube?
SIM
Entra
na 
Festa ?
NÃO
Possui
Ingresso? 
SIM
Se o pretendente não é membro do clube nem comprou ingresso... Nenhuma das duas condições foi cumprida. Portanto, ele não pode entrar na festa. 
 
É membro 
do Clube?
NÃO
Entra
na 
Festa ?
NÃO
Possui
Ingresso? 
NÃO
Situação da pretendente a festa
Então, para entrar, seria necessário ou ser membro do clube ou comprar um ingresso. 
Cumprida qualquer uma das duas condições, seja qual for, o pretendente poderia entrar, independentemente da outra. 
É membro 
do Clube?
Possui
Ingresso? 
SIM ou NÃO
Entra
na 
Festa ?
Porta Lógica OR
Para que o dado de saída seja “sim” basta que um dos dados de entrada seja “sim”.
Esta condição é representada pela porta lógica OR 
 A 
 Y 
OR
 B 
Computador: todas as operações são feitas a partir de tomadas de decisões que, por mais complexas que sejam, nada mais são que combinações das três operações lógicas correspondentes às condições: NOT, AND e OR. 
Para tomadas de decisões mais complexas: é preciso é combinar estas operações. 
E para isto é necessário um conjunto de ferramentas capaz de manejar variáveis lógicas: 
 “Álgebra Booleana”. 
Algebra Booleana e George Boole
Matemático inglês George Boole, 
concebeu e publicou as bases em 1854, em um trabalho intitulado “An Investigation of the Laws of Thought on Which to Found the Mathematical Theories of Logic and Probabilities”. 
a booleana recebeu seu nome em homenagem ao matemático inglês George Boole, que a concebeu e publicou suas bases em 1854
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“An Investigation of the Laws of Thought on Which to Found the Mathematical Theories of Logic and Probabilities”.
O trabalho foi publicado quase um século antes que computadores digitais fossem inventados. 
Tratado sobre lógica.
Matemáticos se adiantam ao tempo e criam com décadas de avanço as bases abstratas para uma tecnologia de ponta que só vai ser “descoberta” muitos anos depois. 
Algebra Booleana e George Boole
Lógica Booleana e Claude Shannon
Claude Shannon, pesquisador do MIT
ferramenta ideal para analisar
circuitos elétricos baseados em relés, os antecessores imediatos dos computadores eletrônicos digitais à válvula, que originaram os modernos computadores.
1938
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Veja também:
Claude Shannon, Father of Information Theory, Dies at 84
http://landley.net/history/mirror/pre/shannon.html
Álgebra de Boole
Sistema algébrico que consiste: 
conjunto {0,1}; 
duas operações binárias chamadas OR (operador: +) e AND (operador: • ) 
uma operação unária NOT ( ~ negação).
NOT
O resultado do operador unário NOT sobre uma variável é a inversão ou negação do valor da variável. 
Se a A = 1 então Ā = 0 e vice-versa. 
A
Ā
p
~p
F
V
NOT
O resultado do operador unário NOT sobre uma variável é a inversão ou negação do valor da variável. 
Se a A = 1 então Ā = 0 e vice-versa. 
A
Ā
0
1
1
0
p
~p
F
V
V
F
AND (produto lógico)
O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 somente se todas as variáveis forem iguais a 1.
Caso contrário, o resultado é 0. 
p
q
p∧q
V
V
V
F
F
V
F
F
A
B
A·B
AND (produto lógico)
O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 somente se todas as variáveis forem iguais a 1.
Caso contrário, o resultado é 0. 
p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
A
B
A·B
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
OR (soma lógica)
O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 se pelo menos uma das variáveis for igual a 1. 
Caso contrário, o resultado é 0. 
p
q
p∨q
V
V
V
F
F
V
F
F
A
B
A+B
OR (soma lógica)
O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 se pelo menos uma das variáveis for igual a 1. 
Caso contrário, o resultado é 0. 
p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
A
B
A+B
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Lógica Booleana
Lógica
zero
falso
um
verdadeiro
Circuitos e dispositivos do computador 
A nível físico, só existem dois estados possíveis - ausência ou presença de corrente eléctrica -, 
o sistema tem de ser de base dois (pelo que se chama binário), pelo que atribui a cada um desses estados um dígito (ou bit) distinto - 0 para a ausência e 1 para a presença de corrente. 
A analogia lógica é quase imediata, pois os mesmos valores podem, também, ser usados para representar o falso e o verdadeiro.
Números Decimais
CódigoBinário
0
1
2
3
4
5
6
7
Números Decimais
CódigoBinário
8
9
10
11
12
13
14
Números Decimais
CódigoBinário
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
Números Decimais
CódigoBinário
8
1000
9
1001
10
1010
11
1011
12
1100
13
1101
14
1110
Binário / Decimal
10110110
1
0
1
1
0
1
1
0
Binário / Decimal
10110110
1
0
1
1
0
1
1
0
Decimal - Binário
182 | 2 
 02 91 | 2 
 (0) 11 45 | 2 
 (1) 05 22 | 2
 (1) 02 11 | 2
 (0) (1) 5 | 2
 (1) 2 | 2
 (0) (1)