LISTA DE EXERCÍCIOS - PREPARATÓRIO PROVA SEMESTRAL - CALCULO II

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LISTA DE EXERCÍCIOS – PREPARATÓRIA PROVA SEMESTRAL CÁLCULO 2
1) (THOMAS, 2012, P.37) A população de Konoxville é de 500.000, e cresce a uma
taxa de 3,75% ao ano. Quando, aproximadamente, a população atingirá 1 milhão?
a) 15 anos
b) 16 anos
c) 18 anos
d) 19 anos
e) 21 anos
Gabarito D
Resolução
Vamos resolver a equação exponencial
t
t
t
t
500.000(1, 0375) 1.000.000
1.000.000(1, 0375)
500.000
(1, 0375) 2
log(1, 0375) log2
t. log1, 0375 log2
log2t 18, 82anos 19anos
log1, 0375
=
=
=
=
=
= @ @
A população chegará a 1 milhão por cerca de 19 anos.
2) (THOMAS, 2012, P.37) Determine quanto tempo é necessário para triplicar o valor
de um investimento a uma taxa de juros anuais de 5,75% compostos anualmente.
Assinale a altenativa correta.
a) 7 anos
b) 14 anos
c) 19 anos
d) 23 anos
e) 22 anos
Gabarito C
Resolução
Podemos pensar em uma quantidade de investimento, ou seja, nosso montante M, em t
anos. Desejamos resolver 0,0575tAe 3A= temos o equivalente sendo
Por ser uma equação de base e, o logaritmo natural é o
mais adequado a ser aplicado a expressão
ln "É consequência da definição que lne
0,0575t
0,0575t n
e 3
e ln 3 n "
0, 0575t ln 3
ln 3t 19,10anos
0, 0575
=
= =
=
= @
3) (THOMAS, 2012, P.36) Assinale a alternativa que apresenta corretamente o gráfico
para o sistema de coordenadas y=ex e y=1/ex.
a)
b)
c)
d)
e)
Gabarito B
Resolução
A função exponencial natural cuja base é o número e, possui coeficiente angular 1 (positivo)
quando cruza o eixo y. Assim temos, o gráfico que apresenta a exponencial com expoente
positivo com um crescimento exponencial a esquerda e um decaimento a direita do gráfico,
e m=1.
4) (THOMAS, 2012, P.36) Assinale a altenativa que apresenta a correta simplificação
da exponenciação .
a) 14 3
b) 13
c)
3
25
d) 4
e)
1
26
Gabarito E
Resolução
Considerando que temos um produto de raizes de mesmo expoente, podemos realizar a
simplicação multiplicando as raizes e encontrando o radicando, mantendo o expoente.
5) (THOMAS, 2012, P 48). Resolva y em função de x para a função
ln(y² 1) ln(y 1) ln(senx)- - + = . Assinale a alternativa correta.
a) y = ln5
b) y = ln(senx)
c) y = ln(x+1)
d) y = ln(senx+1)
e) y = ln(y+senx)
Gabarito D
Resolução
Aplicando a propriedade Bln ln B ln C
C
= - , temos
ln(senx) ln(y 1)
n
Bln ln B ln C
C
ln(y² 1) ln(y 1) ln(senx)
y² 1ln(senx) ln
y 1
ln(senx) ln(y 1)
e e
como ln e n, temos
senx y 1
y senx 1
-
= -
- - + =
æ ö- ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç +è ø
= -
=
=
= -
= +
6. (THOMAS, 2012, P 48) Expresse a razão 2
8
log x
log x
como razões de logaritmo natural e
simplifique. Assinale a alternativa correta.
a) logx
b) 3
c) 5
d) 8
e) ln2
Gabarito B
Resolução
Considerando a propriedade A
ln Blog B
ln A
= e aplicando a razão temos
2
8
log x ln x ln x ln x ln 8 ln 8 ln(2³) 3. ln 2. 3
log x ln 2 ln 8 ln 2 ln x ln 2 ln 2 ln 2
= ¸ = = = = =
7. (THOMAS, 2012, P. 48) Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a
expressão 1ln(3x² 9x) ln
3x
æ ö÷ç ÷- + ç ÷ç ÷çè ø
. Assinale a alternativa correta.
a) ln5
b) ln(x-3)
c) ln(x²)
d) ln(3x-9)
e) ln9
Gabarito B
Resolução
Aplicando a propriedade do logaritmo a a alog (B.C) log B log C= + ,
Assim temos
a a alog (B.C) log B log C
1 1ln(3x² 9x) ln ln 3x² 9x. ln(x 3)
3x 3x
= +
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- + = - = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
8.(THOMAS, 2012, P. 48) Resolva y em função de t ln y 2t 4= + , e assinale a alternativa
correta.
a) y= 2t+4
b) y= e2t
c) y= 4et+1
d) y= e2t+4
e) y= e4t
Gabarito D
Resolução
Como temos a propriedade lnx=lny desde que x>0 e y>0, podemos encontrar para a
expressão:
ln y 2t 4
ln y
2t 4
ln y 2t 4
e e
Logo, e y, assim :
y e
+
+
= +
=
=
=
9. (THOMAS, 2012, p. 27). O triângulo possui lados a=2 e b=3, e ângulo C=40°.
Determine o comprimento do lado c, assinale a alternativa correta.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Gabarito A
Resolução
Utilizando a lei dos cossenos temos:
c² a² b² 2ab cosC
c² 2² 3² 2.(2).(3). cos 40
c² 13 12 cos(40 )
c 13 12 cos(40 ) 1, 951 2
= + -
= + - °
= - °
= - ° @ @
10. (THOMAS, 2012, p. 27). Um triângulo possui lado c=2 e ângulos A / 4p= e
B / 3p= . Determine o comprimeneto a do lado oposto de A.
a) 0,6
b) 1,4
c) 2
d) 3,5
e) 4
Gabarito B
Resolução
Considerando a figura, pela lei dos cossenos temos:
Aplicando a lei dos senos,
Substituindo as variáveis temos:
para
2
b² a² 2² 2(2a) cosB
1b² a² 4 4a( )
2
b² a² 2a 4
senA senB
a b
2 / 2 3 / 2 3b a
a b 2
b² a² 2a 4
3 a a² 2a 4
2
3 a² a² 2a 4
2
10 a² 2a 4
2
0 a² 4a 8,
= + -
= + -
= - +
=
= ® =
= - +
æ ö÷ç ÷ç = - +÷ç ÷ç ÷çè ø
= - +
= + -
= + - a>0
4 4² 4(1)( 8) 4 3 4a 1, 465
2 2
- + - - -= = ;
11. (THOMAS, 2012,p.26) Utilize o gráfico da função sen(x / 2) , e assinale a alternativa
que apresenta o período desta função?
a) p
b) 2p
c)
2
p
d) 4p
e)
4
p
Gabarito D
Resolução
Considerando que o período é 2p
c
p= e substituindo (x / 2) , temos:
2 2 2p . 4
1 1 1
2
p p p= = = , observe a representação gráfica.
12. (THOMAS, 2012, p.27) Assinale a alternativa que apresenta a fórmula de adição
para deduzir a identidade da expressão cos x senx
2
pæ ö÷ç ÷- =ç ÷ç ÷çè ø
.
a) cos(A B) cosA cosB senAsenB+ = -
b) s en(A B) s enA cosB cosAsenB+ = -
c) cos ² sen² 1a a+ =
d) a² b² 2ab cos a+ -
e) senA senB senC
a b c
= =
Gabarito A
Resolução
Considerando as fórmulas válidas para quaisquer ângulos A e B, temos a aplicação
cos(A B) cosA cosB senAsenB+ = - , aplicando na expressão temos:
cos x cos(c) cos senxsen cos x.0 senx.( 1) senx
2 2 2
p p pæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- = - - - = - - =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
13.(FLEMMING, 2006, p.54) Assinale a alternativa que apresenta a inversa da função
x ay
x a
+=
- .
a) 1 ayx
y
+=
b) 1 axy
x
+=
c) a axx
x 1
+=
-
d) y 4x
3
-=
e) 1x
y
=
Gabarito C
Resolução
14. (FLEMMING, 2006, p.55) Considere a função apresentada e sua condição de
existência
x²y , x 0
x² 1
= ³
+ .Assinale a alternativa que apresenta a inversa desta
função.
a) 1x y
y
= - -
b) xy
1 x
=
-
c) xy
1 x²
=
-
d) x 1y
x²
+=
e) xy
x² 1
=
-
Gabarito B
Resolução
15. (THOMAS, 2012, p.47) Assinale a alternativa que apresenta a inversa da função
( ) 3f x x 1= - .
a) 1f (x) x 1- = -
b) 1f (x) y² 1- = -
c) 1f (x) y- = -
d) 1 3f (x) y 1- = -
e) 1f (x) 1 x- = +
Gabarito A
Resolução
Substituindo f(x) e calculando a inversa temos:
1
y x² 1 x² y 1
x 1
x y 1
y f (x)-
= + ® = - ® =
= = -
-
16. (THOMAS, 2012, p.47) Assinale a alternativa que apresenta o gráfico para a
inversa de f(x)=x+1.
a)
b)
c)
d)
e)
Gabarito A
Resolução
Calculando a inversa da função temos:
1y x 1 x y 1 f (x) x 1-= + Þ = - Þ = -
Desta forma temos uma reta que cruza o eixo em x=1 para f(x) e em x=-1 para f-1(x).
17.Considerando a regra de integração imediata, assinale a alternativa que apresenta
a integral de 5 1(x 4)dx
x³
+ +ò .
a) 44x 3x² 4 c- + +
b)
4 24x x 3x c
5 3
- + +
c)
6 2x x 4x c
6 2
-
- + +
d)
2
5 3x6x 4 c
2
+ + +
e) x³ 2x² x c- + +
Gabarito C
Resolução
Quando realizamos a integral imediata, somamos 1 ao expoente de divimos pela soma.
Para a integral apresentada, realizamos a integral em cada termo, assim temos:
5 5
5 3
5 1 3 1 6 2
1 1(x 4)dx x dx dx 4 dx
x³ x³
x dx x dx 4 dx
x x x x4x 4x
5 1 3 1 6 2
-
+ - + -
+ + = + +
= + +
= + + = - +
+ - +
ò ò ò ò
ò ò ò
18. Considerando a regra de integração imediata, assinale a alternativa que apresenta
a integral de 1( x )dx
x
+ò .
a) ln x 1+
b) x ln x
2
+
c) 3x ln 2x
2
+
d)
3
22x ln x
3
+
e)
1
2x ln x
3
+
Gabarito D
Quando realizamos a integral imediata, somamos 1 ao expoente de divimos pela soma.
Para a integral apresentada, realizamos a integral em cada termo, assim temos:
1 3 31
2 2 2
1 1( x )dx xdx dx
x x
x x 2xln x ln x ln x
1 3 31
2 2
+
+ = +
= + = + = +
+
ò ò ò
19.Considerando a regra de integração imediata, assinale a alternativa que apresenta
a integral de xf(x) (cos(x) e )= -ò .
a) xsenx e c- +
b) xxe senx c+ +
c) xtan x x²e c- + +
d) xcos x e- -
e) x xe senx e- +
Gabarito A
ResoluçãoQuando realizamos a integral imediata, somamos 1 ao expoente de divimos pela soma.
Para a integral apresentada, realizamos a integral em cada termo, assim temos:
x x x(cos(x) e )dx cos(x) e senx e c- = - = - +ò ò ò
20. Considerando a regra de integração imediata, assinale a alternativa que apresenta
a integral de 33f(x) 5x cos sec(x)
x
= + -ò .
a) cot gx ln x 1- +
b)
45x3 ln x ln | cos sec(x) cot g(x) | c
4
+ + - +
c)
43x xln(x 1) arcsen c
2 2
æ ö÷ç ÷- + + +ç ÷ç ÷çè ø
d)
31 3xx ln | sen(x) | c
2 2
- + + +
e)
1
2x ln x
3
+
Gabarito B
Quando realizamos a integral imediata, somamos 1 ao expoente de divimos pela soma.
Para a integral apresentada, realizamos a integral em cada termo, assim temos:
3
4
3 15x cos sec(x) 3 dx 5 x³dx cos sec(x)dx
x x
5x3 ln x ln | cos sec(x) cot g(x) | c
4
+ - = + -
= + + - +
ò ò ò ò
21. (THOMAS, 2012, p. 331) Assinale a alternativa que apresenta a integral para
sen(2t 1) dt
cos ²(2t 1)
+
+ò .
a) cos(2t) c
sen(2t 1)
+
+
b) 1 c
2 cos(2t 1)
+
+
c) sen²t c
(2t 1)
+
+
d) sen(2t 1) c
2
+ +
e) cos ²(t) c
2sen(t 1)
+
+
Gabarito B
Resolução
Vamos verificar na função quem será u, neste caso como a derivada de cosseno é seno e
temos cos², aplicamos a substituição
1u cos(2t 1) du 2sen(2t 1)dt du sen(2t 1)dt
2
log o
sen(2t 1) 1 du 1 1dt c c
cos ²(2t 1) 2 u² 2u 2 cos(2t 1)
= + ® = - + ® - = +
+ = - = + = +
+ +ò ò
22. (THOMAS, 2012, p. 331) A velocidade de uma partícula quese move de um lado
para o outro em uma reta é m/sdsv 6sen2t
dt
= = para qualquer t. Se s=0 quanto t=0,
determine o valor de s quando t= s
2
p . Assinale a alternativa correta.
a) 2m
b) 5m
c) 6m
d) 8m
e) 10m
Gabarito C
Resolução
Como temos uma função seno em razão de t, vamos substituir u e encontrar a derivada da
função e após aplicando o valor de t, encontraremos a posição da partícula. Logo,
 t=0 e s=0 temos
u 2t du 2dt 3du 6dt
s 6sen2tdt (senu)(3du) 3 cos u c 3cos2t c;
para 0 3cos 0 c c 3 s 3 3cos2t
s 3 3 cos 6m
2 2
p p
= ® = ® =
= = = - + = - +
= - + ® = ® = -
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
ò ò
23. (THOMAS,2012, p. 331) Assinale a alternativa que apresenta a integral indefinida
para 9r²dr , u 1 r³
1 r³
= -
-
ò .
a)
1
26(1 r³) c- - +
b) 2 (1 r²) c
3
- +
c)
3
2(2 r²) c- +
d) 2(3r² 4) c+ +
e)
1
33(r³ 1) c- - +
Gabarito A
Resolução
Aplicando a substituição na função onde u=1-r³, temos:
1/ 2 1/ 2 1/ 2
u 1 r³ du 3r²dr 3du 9r²dr
9r²dr 3u du 3(2)u c 6(1 r³) c
1 r³
-
= - ® = - ® - =
= - = - + = - - +
-
ò ò
24. (THOMAS,2012, p. 331) Assinale a alternativa que apresenta a integral indefinida
para
1
dy
(tg y)(1 y²)- +ò .
a) ln seny c+
b) 1ln tan y c- +
c) 13(tan y)³ c- +
d) 6 c
2 tan ³y
+
+
e)
1
seny c
2 cos y-
+
+
Gabarito B
Resolução
Observe que devemos sempre verificar na função quem iremos substituir, neste caso quem
será u. Assim:
quando u=tan e1
1 1
1
1
1 1 dy(1 y²)dy dy du, y du
u 1 y²(tan y)(1 y²) tan y
ln u c ln tan y c
-
- -
-
+= ® =
++
= + = +
ò ò ò
25.Assinale a alternativa que apresenta a resposta correta para a integral da função
definida
/ 2
0
senx cos xdx
p
ò
a) -1/2 u.a.
b) 0 u.a.
c) ½ u.a.
d) 1 u.a.
e) 2,5 u.a.
Gabarito C
Resolução
/ 2
0
/ 2
0
senx cos xdx
duu cos x senx du senxdx
dx
u²senx cos xdx udu
2
2(cos x)² 1 1cos cos(0) u.a.
02 2 2 2
p
p
p p
= ® = - ® - =
= - = -
é ùæ ö÷çê ú÷= - = - - =ç ÷ê úç ÷çè øê úë û
ò
ò ò
26.Assinale a alternativa que apresenta a resposta correta para a integral da função
definida
3
2
(5 x 6x²)dx
-
+ -ò
a) -2,5u.a
b) -25u.a
c) -35,2u.a
d) -42,5u.a
e) -55,4u.a
Gabarito D
Resolução
3
2
3x² x³(a) (5 x 6x²)dx 5x 6
22 3
9 415 2(27) 10 2( 8) 42, 5u.a.
2 2
-
é ù
ê ú+ - = + -ê ú-ë û
é ù é ù
ê ú ê ú= + - - - + - - = -ê ú ê úë û ë û
ò
27. Assinale a alternativa que apresenta a resposta correta para a integral da função
definida
1
3
1
(x² 1) xdx
-
-ò
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
Gabarito B
Resolução
O exemplo apresenta duas funções, um produto entre elas, não existe regra imediata para
efetuar a integral, assim vamos utilizar a substituição:
1
3
1
41
3
1
4 4 4
(x² 1) xdx
du duu x² 1 2x xdx
dx 2
du 1 u(x² 1) xdx u³
2 2 4
1(x² 1) (1 1) (1 1) 0
18 8 8
-
-
-
= - ® = ® =
- = =
- - -= = - =
-
ò
ò ò
28. (Thomas, 2012, p. 340) Determine a área da região no primeiro quadrante, limitada
à esquerda pelo eixo y, abaixo pela reta y=x/4, acima à esquerda pela curva
y 1 x= + e acima à direita pela curva y 2 / x= . Assinale a alternativa correta.
a) 11
5
p
b) 11
3
c) 22
3
d) 15
8
p
e) 8
9
Gabarito B
Resolução
29. (Thomas, 2012, p. 339) Determine a área para a função apresentada no gráfico e
assinale a alternativa correta.
a) 2p
b) 2
c) 3p
d) 3
e) p
Gabarito B
Resolução
Considerando a função y=(1-cosx) senx, temos uma função composta. Logo, vamos aplicar
substituição para realizar a integral.
2
0 0
u 1 cos x du senxdx; x 0 u 0;x u 2
2u² 2² 0²(1 cos x)senxdx u.du 2
02 2 2
p
p= - ® = = ® = = ® =
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú- = = = - =ê ú ê ú ê úë û ë û ë û
ò ò
30. (Thomas, 2012, p. 339) Determine a área para a função apresentada no gráfico e
assinale a alternativa correta.
a)
3
p
b) 4
3
p
c) 2
3
p
d) 5
3
p
e) 8
3
p
Gabarito B
Resolução
Para o gráfico apresentado temos:
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3
33 3
1 1a , b ; f(t) g(t) sec ²t ( 4sen²t) sec ²t 4sen²t;
3 3 2 2
1 1 1 (1 cos2t)A ( sec ²t 4sen²t) sec ²tdt 4 sen²tdt sec ²tdt 4 2dt
2 2 2 2
1 1sec ²tdt 2 (1 cos2t)dt [t an t ] 2[t
2 2
p p p p p
p p p p p
p p p
pp p
p p
- - - - -
-- -
= - = - = - - = +
-= + = + = +
= + - = + -
ò ò ò ò ò
ò ò 3sen2t 32 3 3] 3 4 3 4p p pp- = + - =