5 Ex_Recurso_MatAplicada_EGI_2S_2021

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Departamento de Matemática
Exame de Época de Recurso de Mat. Aplicada de EGI
2.o Sem. 2020/2021 10/07/2021
Duração: 2h40 min ou 1h20 (só 1 módulo)
Data de lançamento de notas: até 19 de julho de 2021.
� Nesta prova apenas pode consultar os formulários fornecidos pelo professor vigilante.
� Indique todos os cálculos que efetuar, apresentando os resultados numéricos com pelo
menos 4 casas decimais salvo indicação adicional e utilize arredondamento simétrico.
� É permitida a utilização de máquina de calcular durante a prova escrita.
� Utilize apenas caneta de tinta azul ou preta e não é permitido o uso de corretor.
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Módulo 1
1. [1.5 val.] Um corpo a 100 ◦C é colocado numa sala onde a temperatura ambiente se mantém
constantemente igual a 25 ◦C. Após 5 minutos, a temperatura do corpo caiu para 90 ◦C. Depois
de quanto tempo o corpo estará a 50 ◦C?
Sugestão: Use a lei do arrefecimento de Newton dada por T ′(t) = −k(T (t)− Ta), onde T (t) é a
temperatura do corpo no instante t, k é uma constante de proporcionalidade e Ta é a temperatura
do meio envolvente.
2. [3.0 val.] Um corpo de massa 1.5 kg, preso na extremidade de uma mola com constante elástica
k = 1.5 movimenta-se sobre uma superf́ıcie, com constante de amortecimento b = 3, quando
sujeito à ação de uma força exterior F (t). O movimento da part́ıcula, x(t), é solução da equação
diferencial
1.5x′′ + 3x′ + 1.5x = F (t).
(a) [1.0 val.] Para F (t) = 0 determine a solução geral da equação diferencial e classifique a EDO
e o tipo de amortecimento.
(b) [1.5 val.] Para F (t) = 3te−2t, determine a solução da equação diferencial que satisfaz as
condições iniciais x(0) = 0 e x′(0) = 0.
(c) [0.5 val.] Indique a forma da solução particular da equação completa quando se considera
F (t) = (t2 + t)e−t. Não calcule a solução particular.
3. [3.5 val.] Considere o polinómio p(x) = 1.2x4 − 3.2x3 + 4.6x− 3.5.
(a) [0.8 val.] Mostre que o polinómio tem um único zero z ∈ I = [1.7, 2.5].
(b) [1.0 val.] Calcule a terceira iterada do método da bissecção a partir do intervalo I.
(c) Durante a aplicação do método de Newton ao polinómio p(x) com aproximação inicial x0 =
2.2 obtiveram-se os seguintes resultados:
i xi
1
2 2.128932431
3 2.119921673
4 2.119784614
5 2.119784583
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i. [0.7 val.] Calcule a iterada x1 em falta na tabela.
ii. [1.0 val.] Calcule uma estimativa do erro relativo e o número de casas decimais corretas
da iterada x5.
4. [2.0 val.] Considere o sistema não linear
x2
4
+ y4 = 1
cos(2x) + y2 = 0
que tem uma solução X na região retangular [0.5, 1.5] × [0.5, 1.5] (ver Figura 1 na FOLHA SU-
PLEMENTAR).
(a) [1.5 val.] Efetue duas iterações do método de Newton para determinar uma aproximação de
X com iterada inicial X(0) = [1, 1]T e indique o esquema iterativo utilizado.
(b) [0.5 val.] Calcule ‖F (X(2))‖2 sendo F : R2 → R2 com F (X) = [0, 0]T a função vetorial obtida
a partir do sistema dado.
Módulo 2
5. [3.5 val.] Considere a seguinte tabela de valores (aproximados) da função de Bessel
J 1
2
(x) =
√
2
πx
sinx.
xi 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
J 1
2
(xi) 0.541 0.671 0.650 0.513 0.302 0.065 -0.150 -0.302 -0.368 -0.342 -0.240
Para a resolução de algumas aĺıneas considere adicionalmente os gráficos representados na Figura
2 que se encontra na FOLHA SUPLEMENTAR.
(a) [1.0 val.] O gráfico (G1) da Figura 2 mostra que a função J 1
2
(x) tem um zero z numa
vizinhança de x = 3. Utilize um polinómio interpolador de grau 2 para calcular um valor
aproximado de z.
(b) [0.8 val.] Usando a Figura 2 determine um majorante do erro absoluto de interpolação
|J 1
2
(z̃)− p2(z̃)| sendo p2 e z̃ o polinómio e a aproximação obtidos na aĺınea anterior.
(c) Considere o integral I =
∫ 5.5
0.5
(J 1
2
(x) + 1)2 dx.
i. [1.3 val.] Calcule um valor aproximado de I usando os dados da tabela e a regra de
Simpson composta.
ii. [0.5 val.] Sabendo que para f(x) = (J 1
2
(x) + 1)2 se tem f (4)(x) ∈ [−14.21, 2], ∀x ∈
[0.5, 5.5] determine um majorante do erro absoluto da aproximação calculada na aĺınea
anterior.
6. [2.5 val.] Considere a tabela seguinte com os dados do número N de pessoas totalmente vacinadas
contra a COVID-19 em Portugal no ińıcio de cada mês de 2021, a começar em fevereiro.
dia 32 60 91 121 152 182
N 67 374 285 981 517 837 903 892 2 025 663 3 583 481
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(a) [1.5 val.] Determine as constante a e b do modelo exponencial y = aebx que melhor aproxima
os dados no sentido dos mı́nimos quadrados, considerando uma linearização adequada.
(b) [1.0 val.] Sabendo que o número de pessoas totalmente vacinadas em Portugal no dia 1 de
julho de 2021 corresponde a 34,9% da população Portuguesa total, determine a partir do
modelo da aĺınea anterior em que mês é que Portugal atingirá 75% da população Portuguesa
totalmente vacinada. Comente o resultado obtido e explique as limitações do modelo no
contexto do problema.
7. [1.5 val.] Considere o problema de valor inicial (PVI) dado por:
(1 + x2)y′ = 1− 2y2(1 + x2), y(0) = 0.
(a) [1.0 val.] Após três iterações do método de Runge-Kutta de ordem 4 obteve-se y(0.6) ≈
0.4411054. Determine um valor aproximado de y(0.8) com o mesmo passo h considerado nas
primeiras três iterações.
(b) [0.5 val.] Sabendo que a solução exata do PVI é y(x) =
x
1 + x2
, calcule o erro absoluto e a
percentagem de erro relativo globais da aproximação ỹ(0.6).
8. [2.5 val.] Uma fábrica produz três tipos de tecidos usando 3 cores diferentes de lã. Para cada
metro de tecido são necessárias as seguintes quantidades:
lã tecido
A B C
vermelha 40 g 40 g 10 g
verde 30 g 20 g 20 g
azul 30 g 60 g 10 g
A fábrica dispõe apenas de 10 kg de lã vermelha, 10 kg de lã verde, 12 kg de lã azul. O fabricante
deseja saber como estabelecer a produção, supondo que lucra 25 euros/m do tecido A, 30 euros/m
do tecido B e 20 euros/m do tecido C.
(a) [1.0 val.] Formule matematicamente o problema de programação linear para maximizar o
lucro, indicando as variáveis de decisão e apresente a formulação standard do problema.
(b) [1.5 val.] Apresente o quadro inicial do método Simplex e a partir deste obtenha o quadro
seguinte do método Simplex. Indique a solução admisśıvel obtida e justifique se é a solução
ótima. Utilize frações nos cálculos.
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Exame de Época de Recurso de Matemática Aplicada de EGI - 10/07/2021
FOLHA SUPLEMENTAR
4.
Figura 1
5.
G1 G2 G3
Figura 2
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Soluções
1. 38.39 minutos
2. (a) xh(t) = C1e
−t + C2te
−t, C1, C2 ∈ R
(b) x(t) = −4e−t + 2te−t + (2t + 4)e−2t. EDO linear de 2.a ordem de coeficientes constantes e
homogénea. Amortecimento cŕıtico.
(c) xp(t) = t
2(At2 +Bt+ C)e−t, com A,B,C a determinar
3. (a) —
(b) x3 = 2.2
(c)
i. x1 = 2.128932341
ii. δ ≈ 1.4624× 10−8; 7 casas decimais corretas.
4. (a) X(2) = [1.2377 0.8872]T
(b) 2.7089× 10−3
5. (a) z̃ = 3.1459
(b) 2.2246× 10−3
(c) i. 7.0958
ii. 0.02467
6. (a) g(x) = 45 197.6331 e0.0248x
(b) 207.179 dias (fim do mês de julho); Tal não parece ser realista. Isto acontece porque o modelo
exponencial cresce muito rápido e ilimitadamente. Para obter uma melhor aproximação dos
dados devia ser usado o modelo loǵıstico já que a população adulta Portuguesa que pode
receber a vacina é número finito.
7. (a) ỹ(0.8) ≈ 0.4877
(b) e = 7.1071× 10−5; %δ = 0.0161%
8. (a) Sejam x1 o número de metros do tecido A a produzir, x2 o número de metros do tecido B a
produzir e x3 o número de metros do tecido C a produzir
max z = 25x1 + 30x2 + 20x3
s.a

40x1 + 40x2 + 10x3 ≤10000
30x1 + 20x2 + 20x3 ≤10000
30x1 + 60x2 + 10x3 ≤12000
x1, x2, x3 ≥ 0
(b)
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 SBA
s1 40 40 10 1 0 0 10 000
s2 30 20 20 0 1 0 10 000
s3 30 60 10 0 0 1 12 000
z −25 −30 −20 0 0 0 0
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VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 SBA
s1 20 0 10/3 1 0 −2/3 2000
s2 20 0 50/3 0 1 −1/3 6000
x2 1/2 1 1/6 0 0 1/60 200z −10 0 −15 0 0 1/2 6000
Solução do 2.◦ quadro: x1 = 0, x2 = 200, x3 = 0 com z = 6000. Não é a solução ótima.
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