Aula Quântica

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QUIA49
Química Quântica I: Estrutura Atômica e Molecular
Universidade Federal da Bahia
Instituto de Química
Departamento de Físico-Química
Equação de Schrödinger independente do tempo
−
ℏ2
2𝑚
ⅆ2𝜓 𝑥
ⅆ𝑥2
+ 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓 𝑥
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Erwin Schrödinger (1926)
Equações de autovalor na Mecânica Quântica
Mecânica ondulatória:
• baseada nos operadores e em equações de autovalor para descrever o
comportamento (ondulatório) da matéria.
• formalismo análogo ao de uma equação de onda, descrita pela mecânica
clássica, mas com implicações totalmente diferentes.
Em analogia a uma equação de onda clássica, a chamada “Equação de Schrödinger” é
uma equação diferencial, que pode ter mais de uma solução possível.
A resolução da Equação de Schrödinger fornece um conjunto de autofunções e os
respectivos autovalores.
Equação de Schrödinger 
unidimensional 
independente do tempo
෡𝐻𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓 𝑥
A função 𝝍 𝒙 é autofunção e a constante 𝑬 é autovalor 
do operador Hamiltoniano
Erwin Schrödinger (1926)
Equações de autovalor na Mecânica Quântica
Mecânica ondulatória:
• baseada nos operadores e em equações de autovalor para descrever o
comportamento (ondulatório) da matéria.
• formalismo análogo ao de uma equação de onda, descrita pela mecânica
clássica, mas com implicações totalmente diferentes.
Em analogia a uma equação de onda clássica, a chamada “Equação de Schrödinger” é
uma equação diferencial, que pode ter mais de uma solução possível.
A resolução da Equação de Schrödinger fornece um conjunto de autofunções e os
respectivos autovalores.
−
ℏ2
2𝑚
ⅆ2𝜓 𝑥
ⅆ𝑥2
+ 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓 𝑥
Equação de Schrödinger 
unidimensional 
independente do tempo
A função 𝝍 𝒙 é autofunção e a constante 𝑬 é autovalor 
do operador Hamiltoniano
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
Equação de onda clássica
x
Onda transversal unidimensional qualquer (amplitudes perpendiculares à propagação):
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
u(x,t)
descrita pela função u(x,t) = amplitude espacial (em x) e temporal (em t) da onda
propagação
Onda móvel se deslocando com velocidade v
u(x,t)
0 l
x
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condições de contorno):
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
Modo normal (definição breve):
Padrão de movimento oscilatório de um
sistema no qual todos os pontos se movem
com a mesma frequência. Cada modo
normal está associado a uma frequência de
oscilação própria.
0 l
x
(modo normal com n=1)
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condições de contorno):
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
Modo normal (definição breve):
Padrão de movimento oscilatório de um
sistema no qual todos os pontos se movem
com a mesma frequência. Cada modo
normal está associado a uma frequência de
oscilação própria.
0 l
x
(modo normal com n=2)
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condições de contorno):
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
Modo normal (definição breve):
Padrão de movimento oscilatório de um
sistema no qual todos os pontos se movem
com a mesma frequência. Cada modo
normal está associado a uma frequência de
oscilação própria.
0 l
x
(modo normal com n=3)
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condições de contorno):
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
Modo normal (definição breve):
Padrão de movimento oscilatório de um
sistema no qual todos os pontos se movem
com a mesma frequência. Cada modo
normal está associado a uma frequência de
oscilação própria.
0 l
x
(modo normal com n=4)
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condições de contorno):
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
Modo normal (definição breve):
Padrão de movimento oscilatório de um
sistema no qual todos os pontos se movem
com a mesma frequência. Cada modo
normal está associado a uma frequência de
oscilação própria.
0 l
x
Ondas oscilatórias bidimensionais
(modo normal com n=4)
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condições de contorno):
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
Ondas restritas a um disco (2D)
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
0 l
x
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condições de contorno):
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
(modo normal com n=4)
Mas como as soluções
são obtidas?
Método de separação de variáveis: 
u(x,t) = X(x)T(t)
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
0 l
x
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condições de contorno):
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
(modo normal com n=4)
Mas como as soluções
são obtidas?
Método de separação de variáveis: 
u(x,t) = X(x)T(t)
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
Onda em um certo instante no tempo t: “amplitude espacial” da onda é descrita por X(x)
Onda em um certo instante no tempo t: “amplitude espacial” da onda é descrita por X(x)
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condições de contorno):
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
(modo normal com n=4)
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
X(x) são as funções das 
ondas estacionárias
0 l
x
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condiçõesde contorno):
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
(modo normal com n=4)
Mas como as soluções
são obtidas?
Método de separação de variáveis: 
u(x,t) = X(x)T(t)
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
Onda em um certo ponto no espaço x: “amplitude temporal” da onda é descrita por T(t)
0 l
x
Onda transversal unidimensional restrita por condições do sistema (condições de contorno):
descrita pela função u(x,t), que agora são ondas oscilatórias (modos normais)
u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 
(modo normal com n=4)
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Equação de onda clássica
Equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação de onda clássica
Onda em um certo ponto no espaço x: “amplitude temporal” da onda é descrita por T(t)
t
T(t)
0
Equação de Schrödinger independente do tempo
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
𝜕2𝑢 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡2
Equação de onda (unidimensional):
𝑣 é a velocidade de propagação da onda
Método de separação de variáveis: 
u(x,t) = X(x)T(t)
Equação de Schrödinger a partir da equação de onda clássica: 4 etapas
1) Notação: 𝑢 𝑥, 𝑡 𝛹 𝑥, 𝑡
2) Separação de variáveis:𝛹 𝑥, 𝑡 = 𝜓 𝑥 𝑓 𝑡
3) Relações entre momento da partícula (p) e as energias (E, K e V)
4) Comportamento ondulatório da matéria:
𝑓 𝑡 = ⅇ−ⅈ𝜔𝑡
𝜓 𝑥 = ???
𝜆 = ℎ/𝑚𝑣 = ℎ/𝑝
etapa “não clássica”
𝑘 ≡
2𝜋
𝜆
(vetor de onda)
ⅆ2𝑋 𝑥
ⅆ𝑥2
+ 𝑘2𝑋 𝑥 = 0
Equação de onda clássica independente do tempo:
X(x) são as funções das ondas estacionárias 
(não variam com o tempo)
Para uma partícula em movimento ao longo do eixo x
𝒎 é a massa da partícula
𝑽 𝒙 é potencial ao qual
a partícula está sujeita
−
ℏ2
2𝑚
ⅆ2𝜓 𝑥
ⅆ𝑥2
+ 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓 𝑥
Equação de Schrödinger independente do tempo
Soluções são um conjunto de:
Autofunções: funções de onda do estados estacionários, 𝝍𝒏 𝒙
Autovalores: energias totais dos estados estacionários, 𝑬𝒏
෡𝐻𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓 𝑥෡𝐻 = −
ℏ2
2𝑚
ⅆ2
ⅆ𝑥2
+ 𝑉 𝑥
Operador 
Hamiltoniano
Referências e Créditos
Conteúdo discutido:
• bibliografia indicada do curso
• material complementar disponível no Moodle
Imagens (créditos e atribuições):
• Fotografia de E. Schrodinger, disponível em http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/
schrodinger-bio.html, domínio público.
• Ilustração animada de uma onda móvel, “A one-dimensional traveling wave at as a function of time. Traveling
waves propagate energy from one spot to another with a fixed velocity”, por Daniel A. Russell,
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/.
• Ilustrações animadas de ondas estacionárias, “Animation showing the first 6 modes of a standing wave on a string
fixed at both ends.”, por Adjwilley, disponível em https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standing_waves_on_
a_string.gif, https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en.
• Ilustrações animadas de ondas estacionárias, “ Animation of standing wave in the stationary medium with
marked wave nodes.”, por Lucas Vieira, disponível em https://en.wikipedia.org/wiki/File:Standing_wave.gif,
domínio público.
• Ilustrações animadas de vibrações em uma membrana circular, “Illustration of vibrations of a drum”, por Oleg
Alexandrov, disponíveis em https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drum_vibration_mode01.gif e https://com
mons.wikimedia.org/wiki/File:Drum_vibration_mode21.gif, domínio público.
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/schrodinger-bio.html
http://www.acs.psu.edu/drussell/
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/
https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Adjwilley
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standing_waves_on_a_string.gif
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en
https://commons.wikimedia.org/wiki/User:LucasVB
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Standing_wave.gif
https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Oleg_Alexandrov
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drum_vibration_mode01.gif
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drum_vibration_mode21.gif