Problemas de Geometria

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GEOMETRIA 
1. (Uepa) Um dos problemas enfrentado pelas em-
presas de telefonia celular e disponibilizar sinal de 
qualidade aos seus usuários, fato que nos últimos 
tempos tem gerado uma série de reclamações se-
gundo o PROCON. Visando solucionar os proble-
mas de infraestrutura e cobrir uma região com sinal 
de qualidade, uma operadora instalou 3 antenas 
(A1, A2 e A3) situadas nos vértices de um triân-
gulo equilátero cujo lado mede 8 km, conforme in-
dicado na figura abaixo. Nessas condições e con-
siderando que cada uma das antenas cobre uma 
área circular equivalente a 216 kmπ com sinal de 
qualidade, é correto afirmar que o usuário dessa 
operadora que se encontrar: 
 
 
 
a) num dos lados do triângulo não terá sinal de qua-
lidade. 
b) dentro da área delimitada pelo triângulo sempre 
terá um sinal de qualidade. 
c) no centro do triângulo não terá sinal de quali-
dade. 
d) a 4 km de um dos vértices do triângulo não terá 
um sinal de qualidade. 
e) num dos vértices do triângulo não terá sinal de 
qualidade. 
 
2. (G1 - ifsc) O fenômeno conhecido como Agro-
glifo, figuras geométricas ou grandes círculos, se 
repetiu em 2013 na cidade de Ipuaçu, no Oeste do 
Estado de Santa Catarina. Moradores avistaram 
dois desenhos em formatos diferentes e maiores 
que os do ano passado. Segundo os moradores, o 
fenômeno acontece na cidade desde 2008, sempre 
nesta época do ano e atrai curiosos e especialistas. 
Suponha que uma das figuras encontradas na ci-
dade de Ipuaçu seja a figura abaixo, formada por 
um círculo maior e dois semicírculos menores, cu-
jas dimensões estão indicadas na figura. Sendo as-
sim, é CORRETO afirmar que a área da região des-
tacada em preto é de: 
 
 
 
(Use 3,14π = ) 
a) 250,24m 
b) 225,12m 
c) 212,56m 
d) 2100,48m 
e) 2200,96m 
 
3. (Unesp) Os polígonos ABC e DEFG estão de-
senhados em uma malha formada por quadrados. 
Suas áreas são iguais a 1S e 2S , respectivamente, 
conforme indica a figura. 
 
 
 
 
 
Sabendo que os vértices dos dois polígonos estão 
exatamente sobre pontos de cruzamento das linhas 
da malha, é correto afirmar que 2
1
S
S
 é igual a 
a) 5,25. 
b) 4,75. 
c) 5,00. 
d) 5,50. 
e) 5,75. 
 
4. (Ufrgs) O emblema de um super-herói tem a 
forma pentagonal, como representado na figura 
abaixo. 
 
 
 
A área do emblema é 
a) 9 5 3.+ 
b) 9 10 3.+ 
c) 9 25 3.+ 
d) 18 5 3.+ 
e) 18 25 3.+ 
 
5. (Unifor) A prefeitura do município de Jaguaribe, 
no interior cearense, projeta fazer uma reforma na 
praça ao lado da igreja no distrito de Feiticeiro. A 
nova praça terá a forma de um triângulo equilátero 
de 40 m de lado, sobre cujos lados serão construí-
das semicircunferências, que serão usadas na 
construção de boxes para a exploração comercial. 
A figura abaixo mostra um desenho da nova praça. 
 
 
 
Com base nos dados acima, qual é aproximada-
mente a área da nova praça em 2m ? 
Obs.: use 3 1,7 e 3,1π 
a) 2.430 
b) 2.480 
c) 2.540 
d) 2.600 
e) 2.780 
6. (Upe) A figura a seguir representa um hexágono 
regular de lado medindo 2 cm e um círculo cujo 
centro coincide com o centro do hexágono, e cujo 
diâmetro tem medida igual à medida do lado do he-
xágono. 
 
 
 
Considere: 3π  e 3 1,7 
Nessas condições, quanto mede a área da superfí-
cie pintada? 
a) 2,0 cm2 
b) 3,0 cm2 
c) 7,2 cm2 
d) 8,0 cm2 
e) 10,2 cm2 
 
7. (Unifor) Uma rampa retangular, medindo 210 m , 
faz um ângulo de 25 em relação ao piso horizon-
tal. Exatamente embaixo dessa rampa, foi delimi-
tada uma área retangular A para um jardim, con-
forme figura. 
 
 
 
Considerando que cos 25 0,9,  a área A tem 
aproximadamente: 
a) 23 m 
b) 24 m 
c) 26 m 
d) 28 m 
e) 29 m 
 
 
 
8. (Ufrgs) A figura abaixo é formada por oito semi-
circunferências, cada uma com centro nos pontos 
médios dos lados de um octógono regular de lado 
2. 
 
A área da região sombreada é 
a) 4 8 8 2.π + + 
b) 4 8 4 2.π + + 
c) 4 4 8 2.π + + 
d) 4 4 4 2.π + + 
e) 4 2 8 2.π + + 
 
9. (G1 - utfpr) Seja α a circunferência que passa 
pelo ponto B com centro no ponto C e β a circun-
ferência que passa pelo ponto A com centro no 
ponto C, como mostra a figura dada. A medida do 
segmento AB é igual à medida do segmento BC e 
o comprimento da circunferência α mede 12 cm.π 
Então a área do anel delimitado pelas circunferên-
cias α e β (região escura) é, em cm2, igual a: 
 
 
a) 108 .π 
b) 144 .π 
c) 72 .π 
d) 36 .π 
e) 24 .π 
 
10. (Upe) Dois retângulos foram superpostos, e a 
intersecção formou um paralelogramo, como mos-
tra a figura abaixo: 
 
 
Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo 
mede 4,5 cm, quanto mede a área desse paralelo-
gramo? 
a) 12 cm2 
b) 16 cm2 
c) 24 cm2 
d) 32 cm2 
e) 36 cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
O raio r de cada região circular corresponde a 
 
2r 16 r 4km.π π =  = 
 
Considere a figura, em que C é o centro do triân-
gulo. 
 
 
 
Portanto, no centro do triângulo não haverá sinal de 
qualidade. 
 
Resposta da questão 2: [B] 
 
A área destacada é equivalente à área de um se-
micírculo de raio 4m. 
2
24A 3,14 8 25,12m
2
π 
= =  = 
 
 
Resposta da questão 3: [A] 
 
A fórmula de Pick estabelece a área, S, de um po-
lígono, construído sobre uma malha de pontos 
equidistantes, em função do número de pontos, f, 
sobre a fronteira do polígono, e o número de pon-
tos, i, interiores ao polígono, como segue: 
 
f
S i 1.
2
= + − 
 
Logo, temos 
 
1
4
S 1 1 2
2
= + − = 
 
e 
 
2
7
S 8 1 10,5.
2
= + − = 
 
Em consequência, a resposta é 
2
1
S 10,5
5,25.
S 2
= = 
 
 
Resposta da questão 4: [C] 
 
O triângulo ABC é equilátero, logo, AC = 10. 
A área A da figura será a soma da área do triângulo 
equilátero com a área do trapézio. 
 
( )2 10 810 3
A 25 3 9
4 2
+
= + =  + 
 
Resposta da questão 5: [C] 
 
O resultado pedido é dado por 
 
2 2
2
40 40 3 3,1 1600 1,7
3 3 400
2 2 4 2 4
1860 680
2.540 m .
   
  +    + 
 
= +
=
 
 
Resposta da questão 6: [C] 
 
O resultado pedido é dado por 
 
2
2 23 2 3 1 6 1,7 3 7,2cm .
2
π
 
−    − = 
 
Resposta da questão 7: [E] 
 
Tem-se que 2x y 10 m . = Logo, como z y cos25=   
e A x z,=  segue-se que 
 
2A x y cos25 10 0,9 9 m .=      = 
 
Resposta da questão 8: [A] 
 
 
 
Cálculo da área do octógono regular: 
2 2 2x x 2 x 2+ =  = 
 
Portanto, a área 1A do octógono regular será dada 
por: 
 
 
( )
( )
2
2
1
2
2
1
x
A 2 2x 4
2
2
A 2 2 2 4 8 2 8
2
 
= + −   
 
 
= + −  = +
 
 
Cálculo da área 2A dos oito semicírculos: 
2
2
1
A 8 4
2
π
π

=  = 
 
Logo, a área da figura será dada por: 
1 2A A A A 8 2 8 4π= +  = + + (Alternativa [A]). 
 
Resposta da questão 9: [A] 
 
CB AB x
2 x 12
x 6
π π
= =
=
=
 
 
Logo a área será 
 
2 2A .(12 6 ) 108π π= − = 
 
Resposta da questão 10: [E] 
 
Considere a figura, com CF DE 8cm.= = 
 
 
 
Como BF é hipotenusa do triângulo retângulo BCF, 
segue que BF CF 8cm. = Logo, AB 4,5cm= e a 
área pedida é dada por 
 
 2AB CF 4,5 8 36cm . =  = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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