GRA1046 TERMODINÂMICA A2 - Estudo da energia em sistemas fechados

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Introdução
Olá, estudante!
TERMODINÂMICATERMODINÂMICA
ESTUDO DA ENERGIA EM ESTUDO DA ENERGIA EM 
SISTEMAS FECHADOSSISTEMAS FECHADOS
Au to r ( a ) : D r. G a b r i e l A l ve s G o m e s
R ev i s o r : Pa u l o Fe r n a n d o F i g u e i re d o
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Nesta unidade, falaremos um pouco mais sobre o conceito de energia. Você sabe que a energia
pode se manifestar de diversas formas em nosso dia a dia, mas, aqui, iremos tratar de duas
formas de transferência de energia clássicas e demasiadamente importantes em nossas
discussões. Abordaremos também os conceitos de variação da energia, bem como
demonstraremos uma importante relação — que será nosso leme em diante — conhecida como
primeira lei da termodinâmica. Além disso, analisaremos todos os parâmetros de energia
importantes para a caracterização dos processos em sistemas fechados, nos quais veremos as
principais equações de estado em cada caso. Você aprenderá, ainda, a analisar e identi�car as
propriedades de uma substância a partir de tabelas e diagramas de propriedades, o que será de
extrema utilidade para os assuntos seguintes.
Pronto(a) para começar? Bons estudos!
Estudante, o conceito de energia é fundamental em termodinâmica, além de ser um dos
aspectos mais signi�cativos nas análises em diversas áreas da engenharia. Sendo assim, a
noção de energia nos soa bastante familiar, e provavelmente você já conhece bastante sobre ela
a partir do seu convívio. Uma ideia básica para compreendermos o que é energia é a de que esta
pode ser armazenada no interior de um sistema de várias maneiras.
A energia também pode ser convertida de uma forma em outra e transferida entre sistemas,
sejam eles um volume de controle ou sistemas fechados, como uma sala bem isolada e com
janelas e portas hermeticamente fechadas. Neste último caso, a energia pode ser transferida
por meio de duas formas principais: trabalho e transferência de calor.
Uma vez que já possuímos o conhecimento dos mecanismos de conservação de energia,
anteriormente estudados na mecânica, sabemos de modo bastante familiar que, em sistemas
adiabáticos (fechados), a quantidade total de energia é sempre conservada em todas as
transformações e transferências. Sendo assim, o princípio de conservação de energia nos
Formas de energia
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permite a�rmar que, caso você deixe um refrigerador ligado e de portas abertas em uma cozinha
fechada, a quantidade de energia da cozinha deverá aumentar na mesma proporção que a
quantidade de energia elétrica consumida pelo refrigerador.
Isso contradiz inicialmente o nosso senso comum, que tenderia a nos fazer considerar que,
estando o ar que sai do refrigerador mais denso e com menor temperatura, virtualmente haveria
uma redução na temperatura média do ar no entorno. Contudo, ao tomarmos a cozinha como o
sistema a ser analisado, incluindo o ar e o calor gerado por meio do refrigerador, o único
mecanismo de interação será a própria energia elétrica, que alimenta o refrigerador ao cruzar a
fronteira do sistema e entrar na sala, fazendo com que a energia líquida se conserve (ÇENGEL;
BOLES, 2013).
Assim, é possível percebermos que a energia pode existir de diversas formas, podendo ser
térmica, mecânica, cinética, potencial, elétrica, magnética, química e nuclear, e a soma de todas
elas constitui o que chamamos de energia total de um sistema.
De acordo com Moran et al. (2018), na termodinâmica aplicada à engenharia, normalmente
consideramos que a variação da energia total de um sistema é composta por três contribuições
macroscópicas. As duas principais são a variação da energia cinética, relacionada ao
movimento do sistema, e a variação da energia potencial gravitacional, que deriva da posição do
sistema em relação ao campo gravitacional terrestre. Todas as outras variações de energia
(relacionadas ao potencial elétrico ou à energia de reação dos núcleos atômicos, por exemplo)
são reunidas no que chamamos de energia interna do sistema.
REFLITA
Estudante, a energia mecânica pode ser de�nida como a forma
de energia que pode ser convertida completa e diretamente em
trabalho mecânico por um dispositivo mecânico ideal, como
uma turbina ideal. As energias cinética e potencial são as
formas conhecidas de energia mecânica.
Fonte: Adaptado de Çengel e Boles (2013).
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Segundo Çengel e Boles (2013), os tipos de energia não armazenados internamente em um
sistema, identi�cados na fronteira do sistema ao atravessá-la, podem ser interpretados como
interações de energia. Nos sistemas fechados ou adiabáticos, as duas únicas formas de
interação de energia associadas são transferência por calor e trabalho.
O trabalho possui unidade de força multiplicada pela distância. Por ser também uma forma de
transferência de energia, as unidades da energia cinética e da energia potencial são as mesmas
do trabalho. No sistema internacional de unidade, a unidade para as medidas de energia é o
joule (J), assim chamada em reconhecimento pelo trabalho de James P. Joule (1818-1889),
quem primeiro comprovou experimentalmente que o calor não se comportava como uma
substância, e sim como uma forma de energia em trânsito. Outras unidades úteis em engenharia
e frequentemente encontradas em nosso cotidiano incluem o múltiplo da unidade internacional,
quilojoule (kJ), a unidade de energia calorias e seu múltiplo, quilocalorias (kcal), e a unidade
térmica britânica (Btu).
Diversos sistemas em engenharia são projetados de modo a produzir trabalho mecânico, como
uma turbina de uma instalação industrial, ou consumir trabalho pelo funcionamento de uma
bomba durante o processo. Esses sistemas não envolvem conversão de energia nuclear,
química ou térmica em energia mecânica, e, por operarem em temperatura aproximadamente
constante, não apresentam transferência de calor em quantidades signi�cativas.
Dessa forma, podemos enunciar a variação total de energia de um sistema por meio da relação
mostrada na Eq. 1:
(Eq. 1)
Podemos também reescrever essa relação de modo mais simpli�cado, em forma de variação,
�cando:
(Eq. 2)
em que , e representam, respectivamente, a energia interna do sistema e as energias
cinética e potencial, que fazem parte das três contribuições de energia citadas anteriormente.
Se considerarmos como exemplo uma instalação de conversão energética, como uma usina de
potência, temos que a bomba transfere energia mecânica para um �uido elevando sua pressão,
assim como uma turbina extrai energia mecânica de um �uido diminuindo sua pressão. Na
Figura 2.1, ilustramos o rotor interno de uma turbina movida a vapor, componente essencial de
uma usina térmica de potência, que tem por função a realização de trabalho mecânico (e
consequente geração de potência) por meio do movimento rotacional das pás da turbina
induzido pelo vapor aquecido recebido do gerador de vapor.
− = ( − ) + (E − E ) + (E − E )E2 E1 U2 U1 C2 C1 P2 P1
ΔE = ΔU + ΔEC + ΔEP
U EC EP
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Dessa forma, é possível a�rmar que a pressão de um �uido em escoamento também está
associada à sua energia mecânica. Repare que esses sistemas dos quais estamos tratando
podem ser analisados de forma conveniente, considerando apenas as formas mecânicas de
energia e os efeitos de atrito responsáveis pela perda de energia mecânica (ÇENGEL; BOLES,
2013).
Vejamosa seguir os processos de conversão energética por transferência de calor e trabalho.
Transferência de energia por calor
Antes de de�nirmos como ocorrem os processos de transferência de energia por calor, devemos
pensar em como a energia pode passar de um meio para o outro, desde que a energia total do
sistema se conserve. Esse é um dos princípios básicos da lei zero da termodinâmica que
enuncia os mecanismos pelos quais um corpo, deixado em um meio de temperatura diferente
da sua, sempre buscará interagir com seu entorno, de modo a promover o equilíbrio térmico, ou
seja, de forma que a transferência de energia ocorra até que ambos atinjam a mesma
temperatura.
Nesse caso, seguindo os preceitos dessa regra, podemos dizer simplesmente que a energia é
transferida sob a forma de calor na qual o sentido natural ou espontâneo da transferência de
energia será do corpo com temperatura mais alta (mais energético) para aquele com
temperatura mais baixa (de menor energia). Desse modo, o calor pode ser corretamente
descrito como uma forma de energia que transita entre dois sistemas devido a uma diferença
térmica ou variação de temperatura entre esses sistemas, ocorrendo somente no sentido
decrescente de temperatura.
Figura 2.1 - A turbina movida a vapor é um dos principais componentes de uma usina térmica
industrial 
Fonte: arogant / 123RF.
#PraCegoVer: na �gura, temos uma fotogra�a colorida de uma turbina movida a vapor. Ela é
composta por vários discos e hastes ou pás na cor laranja. Essas hastes se movimentam pelo �uxo
de um �uido aquecido em uma caldeira e tem por função a geração de potência em sistemas de
produção de energia.
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Por se tratar de uma unidade de energia, a quantidade de calor transferida durante um processo
entre dois estados pode ser representada por e terá a mesma unidade das interações de
energia de�nidas previamente, ou seja, o quilojoule (kJ).
De acordo com Çengel e Boles (2013), ao considerarmos uma quantidade de energia transferida
por meio da fronteira de um sistema, precisamos de�nir em que sentido essa interação se dá, ou
seja, se o sistema recebe ou doa energia. Por esse motivo, utilizaremos uma convenção de
sinais em que a transferência de calor para um sistema é considerada positiva (ou seja, )
e a transferência de calor a partir de um sistema é considerada negativa (isto é, ).
Em alguns cálculos mais usuais de engenharia, é desejável obtermos a quantidade de calor
transferida por unidade de tempo, em vez de somente calor total transferido ao longo de um
intervalo. Essa taxa, simbolizada como Q ̇, representa a taxa de transferência de calor que pode
variar com o tempo e pode ser relacionada com o calor total transferido durante um processo
pela integral de�nida da Eq. 3:
(Eq. 3)
Vale lembrar que, como a taxa de transferência de calor se refere a uma medida realizada por
unidade de tempo, ela pode ser expressa em termos de quaisquer unidades de energia e tempo.
No sistema internacional de unidades, a unidade de taxa de calor é designada pela unidade joule
por segundo (J/s), sendo também chamada mais usualmente de watt. Conforme já �zemos
anteriormente com outras unidades, normalmente convenciona-se utilizar o quilowatt (kW), um
Q
Q > 0
Q < 0
Q =  dt∫
t1
t2
Q̇
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dos possíveis múltiplos dessa medida. No caso das interações por trabalho ao longo do tempo,
essa taxa é chamada de potência.
De acordo com Moran et al. (2018), o calor pode ser transferido essencialmente por meio de três
mecanismos: condução, convecção e radiação. Veja no infográ�co abaixo a descrição de cada
um desses mecanismos de transferência de calor.
Transferência de energia por trabalho
Na mecânica, sabemos que trabalho representa a energia transferida quando uma força age
sobre um sistema ao longo de uma distância. Em termodinâmica, o conceito de trabalho é uma
extensão natural do conceito de trabalho na mecânica, sendo representado na Eq. 4 pela
integral da força atuante ao longo da distância do estado 1 a um estado 2:
Fonte: Adaptada de udaix / 123RF.
#PraCegoVer: o infográ�co apresenta, ao lado esquerdo, o título “Mecanismos de transferência de
calor”. Logo abaixo, há o texto “Condução: pode ocorrer em sólidos, líquidos e gases, sendo
frequentemente imaginada como um processo de transferência de energia das partículas mais
energéticas de uma substância para as partículas menos energéticas, como resultado da interação
entre elas. Convecção: transferência de energia que ocorre entre �uidos (gás ou líquido). A
transferência de calor por convecção pode ocorrer, por exemplo, em um processo de aquecimento de
um líquido em uma panela, após a transferência de calor por condução ceder energia para o sistema.
Radiação: a energia é transferida ou transportada pela emissão de ondas eletromagnéticas (fótons) e,
diferentemente da condução, não requer nenhum meio para se propagar, ocorrendo, inclusive, no
vácuo”. Ao lado direito, é apresentada a imagem ilustrativa de uma mão segurando uma panela sobre
o fogo. Dentro dessa panela, há água, e ela está borbulhando, com �echas que apontam para cima e
para baixo. A imagem apresenta três pontos: o primeiro é a “condução”, marcado pelo cabo da panela;
o segundo é a “convecção”, representado pela água; e o terceiro é a “radiação”, representado pelas
ondas que circulam ao lado de fora da panela.
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(Eq. 4)
Em termodinâmica, essa relação é fundamental para descrevermos os processos na expansão
ou compressão de um gás, por exemplo, ou o alongamento, sob efeito da transferência de calor,
na deformação de uma barra ou viga metálica. Mais adiante, veremos a extensão dessa integral
para incluir as relações de trabalho com a pressão e a variação de volume.
Assim, temos que o trabalho termodinâmico se refere a um fenômeno de fronteira, ou seja, que
passa a existir ao cruzar as fronteiras de um sistema, padronizado internacionalmente com a
unidade de energia quilojoule (kJ), a mesma que usamos para o calor.
Podemos ampliar as de�nições sobre trabalho no escopo da termodinâmica ao considerar que,
assim como o calor, o trabalho representa uma interação de energia entre um sistema e sua
vizinhança. Dessa forma, por um critério de exclusão, podemos dizer que, se a energia que cruza
a fronteira de um sistema fechado não é calor, logo ela deve estar na forma de trabalho (MORAN
et al., 2018).
Assim como no caso do calor, podemos utilizar uma convenção de sinais para descrever em que
direção é dada a interação de energia por trabalho. Neste caso, convencionamos que o trabalho
realizado pelo sistema sobre as vizinhanças é positivo e o trabalho realizado sobre o
sistema pelas vizinhanças é negativo . Cabe observar que a convenção de sinais para a
transferência de calor é justamente o inverso daquela adotada para o trabalho. Indicaremos
esses sentidos de entrada ou saída de energia por setas, indicando as direções da transferência
de energia no sistema, conforme ilustrado na Figura 2.2.
W =  ds∫
s1
s2
F ⃗ 
W > 0
W < 0
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Perceba que, enquanto a transferência de calor para um sistema é tida como positivo, o trabalho
só será positivo quando realizado por um sistema, ao passo que a transferência de calor a partir
de um sistema e o trabalho realizado sobre um sistema são negativos.
Na termodinâmica aplicada aos problemas de engenharia, uma das preocupações frequentes é
a forma como dispositivos — dentre os quais podemos citar os motores de combustão interna e
turbinas — convertem energia em trabalhoútil. Segundo Moran et al. (2018), existem várias
maneiras diferentes de realizar trabalho, contudo, em diversos problemas práticos, o trabalho
mecânico acaba por ser a única forma de trabalho envolvida, sendo associado ao movimento do
sistema (de fronteira ou como um todo).
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
Leia o trecho a seguir:
Figura 2.2 - Convenção formal de sinais para os sentidos de entrada e saída de calor e trabalho 
Fonte: Adaptada de Çengel e Boles (2013).
#PraCegoVer: a imagem ilustra um sistema, representado por um retângulo, com interior pontilhado
na cor rosa, escrito no centro do retângulo “Sistema”. Acima, do lado de fora do retângulo, está escrito
“Vizinhança”. No lado esquerdo, há duas retas, uma apontando para dentro do sistema e indicando
“Calor de entrada” e outra que aponta para fora e indica “Calor de saída”. Abaixo, outras duas setas
indicam “Trabalho de entrada” e “Trabalho de saída”, apontando para dentro e para fora do sistema,
respectivamente.
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“As formas de energia que constituem a energia total de um sistema podem estar contidas ou
armazenadas em um sistema e, portanto, podem ser vistas como formas estáticas de energia.
Os tipos de energia não armazenados em um sistema podem ser visualizados como formas
dinâmicas de energia ou como interações de energia. As formas dinâmicas de energia são
identi�cadas na fronteira do sistema à medida que a atravessam e representam a energia
ganha ou perdida por um sistema durante um processo”.
ÇENGEL, Y. A.; BOLES, M. Termodinâmica. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. p. 13.
Considerando as informações sobre as interações de energia em sistemas termodinâmicos, é
correto a�rmar que:
a) O trabalho não constitui uma forma de interação de energia em um sistema
fechado, mas somente em sistemas isolados.
b) As duas únicas formas de interação de energia associadas a um sistema fechado
são por transferência de calor e de trabalho.
c) A transferência de calor é uma interação de energia que somente pode ser
visualizada em sistemas abertos.
d) As energias cinética e elétrica são duas formas de interação de energia associadas a
um sistema fechado.
e) A energia pode cruzar as fronteiras de um sistema fechado por interações como
energia potencial e energia mecânica.
Prezado(a) estudante, podemos expressar o princípio de conservação da energia de uma
maneira bem genérica e prática, em que a variação líquida da quantidade de energia contida no
Variação da energia e
calor específico
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sistema durante um processo é igual à diferença entre a quantidade de energia transferida para
dentro do sistema por calor e a quantidade de energia transferida para fora do sistema por
trabalho durante o intervalo de tempo considerado.
Dessa forma, o balanço de energia se aplica a todo tipo de sistema que passa por qualquer tipo
de processo e pode ser descrito pela Eq. 5:
(Eq. 5)
ou, de forma equivalente:
(Eq. 6)
Como a energia é uma propriedade do sistema, somente haverá variação da energia de um
sistema se houver mudança no estado do sistema. Na ausência de outros efeitos de natureza
não mecânica, que relacione outras formas de energia (nuclear, elétrica e magnética, por
exemplo), a variação de energia total de um sistema durante um processo será dada pela soma
das variações de uma ou mais formas macroscópicas de energia, como a energia interna,
cinética e potencial gravitacional, ou seja:
(Eq. 7)
Em situações práticas, a maioria dos sistemas serão tratados como estacionários. Dessa forma,
não consideramos, nesses sistemas, qualquer variação de velocidade ou de altura durante um
processo, ou seja, não existirão contribuições por variação das energias cinética e potencial
gravitacional. Assim, a relação proposta na Eq. 7 torna-se:
(Eq. 8)
ou, de modo similar:
(Eq. 9)
Nesse ponto, é crucial relembrarmos a importância das convenções de sinais de�nidas
anteriormente para a transferência de energia por calor ou trabalho.
ΔE = − = −E2 E1 Eent Esai
ΔE = Q − W
ΔE = ΔU + ΔEC + ΔEP = Q − W
ΔE = − = ΔUE2 E1
ΔU = Q − W
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A partir daqui, estamos aptos para analisar o conceito da variação de energia aplicada a
sistemas fechados. Vejamos, a seguir, a primeira lei da termodinâmica aplicada aos sistemas
fechados, na qual discutiremos um pouco as equações do balanço de energia em sistemas
cíclicos.
A primeira lei da
termodinâmica para
para sistemas fechados
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Caro(a) estudante, conforme já discutimos aqui, os processos pelos quais um sistema passa de
um estado de equilíbrio a outro foram estudados e analisados inicialmente por Joule no início
do século XIX, e as conclusões foram interessantíssimas para este nosso debate. Com isso, foi
possível deduzir que o trabalho líquido realizado em um sistema fechado, passando por um
processo adiabático entre dois estados dados, depende somente dos estados inicial e �nal, e
não dos detalhes do processo ou da natureza do sistema fechado.
Esse é o preceito que anunciamos como princípio de conservação da energia, o qual iremos
interpretar aqui como o conceito-chave da primeira lei da termodinâmica.
Mudanças de estado em um sistema
Para ilustrar esse método, vamos imaginar, por exemplo, que estamos aquecendo certa
quantidade de água para fazer um café. Ao fornecermos energia — por meio de um fogão, por
exemplo — para o recipiente no qual a água está, certamente a energia média das moléculas de
água aumentará como resultado dessa transferência de energia. Se desprezarmos qualquer
transferência de massa decorrente da evaporação do líquido, o aumento da energia total da
água certamente será igual à quantidade de calor transferido.
Dessa forma, se 10 kJ de calor forem transferidos do queimador do fogão para a água durante o
processo de aquecimento, logo o aumento de energia do sistema também será igual a 10 kJ.
Agora, se cerca de 20 kJ de calor forem transferidos para a água durante esse processo, e 5 kJ
se perderem para o ar ambiente (o que de fato ocorre em processos de aquecimento reais), logo
o aumento de energia será igual ao calor líquido transferido para a água - neste caso, 15 kJ.
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Perceba que todos esses processos têm a ver com o balanço energético a partir das formas de
energia que agem no sistema. Algo similar acontece com o ar quando ele é comprimido,
fazendo com que a temperatura do ar se eleve devido à energia transferida na forma de trabalho
de fronteira. Assim, podemos a�rmar que, quando não há transferência de calor , a
totalidade do trabalho de fronteira �ca armazenado no ar como parte de sua energia total. Para
isso, conforme a�rmam Çengel e Boles (2013), o princípio de conservação da energia demanda
que o aumento da energia do sistema seja igual ao trabalho de fronteira realizado sobre o
sistema.
Análise da energia em sistemas fechados
A partir desse ponto, já estamos aptos a discutir alguns aspectos da aplicação da equação de
conservação de energia para os sistemas fechados, que não envolvem �uxo de massa por meio
das suas fronteiras. De acordo com o que de�nimos anteriormente, sabemos que o trabalho é
uma função da trajetória do processo e, para a sua determinação, dependemos apenas do
conhecimento prévio dos estados inicial e �nal do processo.
Para ilustrar essa situação, podemos citar uma forma de trabalho mecânico frequentemente
encontradaem situações práticas, como nos processos de admissão que ocorrem em motores
de automóveis, associada à expansão ou compressão de um gás em um arranjo cilindro-pistão
(Figura 2.3).
Esse é o preceito que anunciamos como princípio de conservação da energia, o qual iremos
interpretar aqui como o conceito-chave da primeira lei da termodinâmica.
Mudanças de estado em um sistema
Para ilustrar esse método, vamos imaginar, por exemplo, que estamos aquecendo certa
quantidade de água para fazer um café. Ao fornecermos energia — por meio de um fogão, por
exemplo — para o recipiente no qual a água está, certamente a energia média das moléculas de
água aumentará como resultado dessa transferência de energia. Se desprezarmos qualquer
transferência de massa decorrente da evaporação do líquido, o aumento da energia total da
água certamente será igual à quantidade de calor transferido.
Dessa forma, se 10 kJ de calor forem transferidos do queimador do fogão para a água durante o
processo de aquecimento, logo o aumento de energia do sistema também será igual a 10 kJ.
Agora, se cerca de 20 kJ de calor forem transferidos para a água durante esse processo, e 5 kJ
se perderem para o ar ambiente (o que de fato ocorre em processos de aquecimento reais), logo
o aumento de energia será igual ao calor líquido transferido para a água - neste caso, 15 kJ.
Perceba que todos esses processos têm a ver com o balanço energético a partir das formas de
energia que agem no sistema. Algo similar acontece com o ar quando ele é comprimido,
fazendo com que a temperatura do ar se eleve devido à energia transferida na forma de trabalho
(Q = 0)
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de fronteira. Assim, podemos a�rmar que, quando não há transferência de calor , a
totalidade do trabalho de fronteira �ca armazenado no ar como parte de sua energia total. Para
isso, conforme a�rmam Çengel e Boles (2013), o princípio de conservação da energia demanda
que o aumento da energia do sistema seja igual ao trabalho de fronteira realizado sobre o
sistema.
Análise da energia em sistemas fechados
A partir desse ponto, já estamos aptos a discutir alguns aspectos da aplicação da equação de
conservação de energia para os sistemas fechados, que não envolvem �uxo de massa por meio
das suas fronteiras. De acordo com o que de�nimos anteriormente, sabemos que o trabalho é
uma função da trajetória do processo e, para a sua determinação, dependemos apenas do
conhecimento prévio dos estados inicial e �nal do processo.
Para ilustrar essa situação, podemos citar uma forma de trabalho mecânico frequentemente
encontrada em situações práticas, como nos processos de admissão que ocorrem em motores
de automóveis, associada à expansão ou compressão de um gás em um arranjo cilindro-pistão
(Figura 2.3).
Repare que, durante esse processo, parte da fronteira (a superfície interna do pistão) se
movimenta para cima ou para baixo, realizando um trabalho de expansão e compressão,
geralmente chamado de trabalho de fronteira móvel ou, simplesmente, trabalho de fronteira.
Ocorre que, em processos reais de motores ou compressores, os estados pelos quais o sistema
passa durante o processo não podem ser especi�cados por uma análise direta, uma vez que o
(Q = 0)
Figura 2.3 - Ilustração de um sistema pistão-cilindro (vista lateral) em um motor automotivo 
Fonte: Teerawut Masawat / 123RF.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma fotogra�a colorida em que há quatro pistões metálicos na cor
cinza, com fundo de cor acobreada, em um corte lateral de um motor automotivo, durante um
processo de expansão e compressão do �uido de trabalho.
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pistão se movimenta muito rapidamente devido aos processos pelos quais passam os gases de
combustão, di�cultando a manutenção em equilíbrio do gás con�nado ao sistema.
Devido a essa di�culdade, muitas vezes, é útil analisarmos o trabalho de fronteira em um
processo no qual o sistema tende a permanecer aproximadamente em equilíbrio durante todo o
tempo, o que chamamos de processo quase estático ou processo de quase equilíbrio. Para isso,
vamos considerar o gás do arranjo pistão-cilindro con�nado, quando este se desloca por uma
distância in�nitesimal ds em quase-equilíbrio por ação de uma força . Dessa forma, o trabalho
diferencial realizado durante o processo será proporcional à pressão sobre o gás:
(Eq. 10)
em que representa a pressão inicial do gás, é a área da seção transversal do pistão e é
a variação in�nitesimal no volume do sistema.
Como consequência da relação mostrada na Eq. 10, o trabalho de fronteira total realizado é
obtido pela soma dos incrementos diferenciais de trabalho do estado inicial até o �nal, isto é:
(Eq. 11)
Para um sistema fechado executando um ciclo, os estados inicial e �nal são idênticos, como
podemos observar no ciclo de um refrigerador, ilustrado na Figura 2.4. As setas indicam o
percurso dos processos de expansão ou compressão do gás refrigerante no interior do cilindro.
F
δW = Fds = pA ds  ⇒ δW = p dV
p A dV
W = p dV∫
1
2
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Observando que em um sistema fechado não existe �uxo de massa por meio de suas fronteiras,
o balanço de energia em um ciclo pode ser expresso pela relação , uma
vez que toda energia que entra em um ciclo deve ser igual à porção de energia produzida no
ciclo. Adicionalmente, podemos avaliar que havendo interações entre calor e trabalho, o
trabalho líquido produzido pelo ciclo é igual ao calor líquido que entra, ou seja: .
Eficiência térmica
ΔE = − = 0E2 E1
=Wsai Qent
S A I B A M A I S
Para saber mais sobre o desenvolvimento de um modelo numérico para simulação de ciclos de
compressão a vapor em refrigeradores domésticos, leia o material a seguir, produzido por Gustavo
Matana Aguiar e Gherhardt Ribatski:
https://bit.ly/3fXx7D2
https://www.researchgate.net/publication/294856044_Desenvolvimento_de_um_modelo_numerico_para_simulacao_de_ciclos_de_compressao_a_vapor_em_refrigeradores_domesticos_operando_com_R134a_e_R600a
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A análise do desempenho de sistemas, sobretudo em sistemas que percorrem ciclos, é
fundamental para fornecer estimativas em diversos aspectos práticos de geração de energia,
como na propulsão de veículos e nos sistemas de refrigeração. Sabemos que, em todo ciclo, as
propriedades do início do processo devem ser as mesmas do início, ou seja, após percorrer um
ciclo, o sistema está apto a realizar novamente todos os processos de forma contínua.
realizar novamente todos os processos de forma contínua.
Dessa forma, em processos de ciclos utilizados para produção energética (chamados de ciclos
de potência), o desempenho do sistema pode ser descrito com base em uma parte da energia
adicionada por calor, o que chamamos aqui de , que é utilizada na produção de trabalho
líquido na saída, e que podemos chamar de ou . Essa taxa de conversão de energia
de calor para trabalho é chamada de e�ciência térmica e relacionada por meio da Eq. 12:
(Eq. 12)
em que o trabalho líquido será sempre igual à transferência líquida de calor para o ciclo, ou seja:
(Eq. 13)
Relacionando a Eq. 13 na Eq. 12, temos que:
(Eq. 14)
Como a energia se conserva, observamos que a e�ciência térmica jamais pode ser maior do que
a unidade, que representa a conversão energética total de calor em trabalho.
No entanto, da experiência com ciclos de potência reais, é fácil perceber que o valor da
e�ciência térmica nunca chega a 100%, sendo sempre menor do que a unidade, o que nos
permite a�rmar que nem toda a energia adicionada ao sistema por transferência de calor éconvertida em trabalho: uma parte sempre é rejeitada para o meio de menor temperatura por
transferência de calor. Como exemplo, tomemos um ar-condicionado que indique em seu rótulo
uma e�ciência mecânica de 95%. Essa informação acusa que 5% da energia mecânica
fornecida para o dispositivo foi perdida para o meio de alguma forma, podendo, por exemplo, ter
sido convertida em energia térmica como resultado de um processo de aquecimento por atrito
dos seus componentes.
Vamos considerar agora um tipo de ciclo bastante útil em termodinâmica: o ciclo de
refrigeração. De modo geral, o objetivo de um ciclo de refrigeração é reduzir a temperatura de
Qent
Wsai Wciclo
η
η =
Wciclo
Qent
= −Wciclo Qent Qsai
η = = 1 −
−Qent Qsai
Qent
Qsai
Qent
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um espaço refrigerado ou manter a temperatura do interior de uma residência, por exemplo,
abaixo da temperatura ambiente. Nesse tipo de ciclo, as quantidades de energia transferida por
calor do corpo frio para o sistema que percorre o ciclo e a energia descarregada por
transferência de calor do sistema para o corpo quente estão relacionadas entre si pelo
balanço de energia, no qual o trabalho líquido do ciclo é sempre positivo e descrito por:
, com 
(Eq. 15)
Sendo assim, o desempenho de um ciclo de refrigeração pode ser descrito como a razão entre a
quantidade de energia recebida pelo sistema e o trabalho líquido realizado sobre
o sistema. Dessa forma, o coe�ciente de desempenho de um ciclo de refrigeração é calculado
como:
 ou 
(Eq. 16)
De acordo com Moran et al. (2018), para um refrigerador doméstico, por exemplo, o
compartimento interno age como o corpo frio e o ar ambiente em torno do refrigerador como o
corpo quente. Desse modo, a energia de entrada passa dos alimentos e demais itens do
compartimento interno para o �uido de refrigeração circulante. A parcela de energia é
descarregada a partir do �uido de refrigeração para o ambiente no qual o refrigerador está
localizado. Dessa forma, o trabalho é normalmente fornecido sob a forma de eletricidade
para alimentar o motor que aciona o refrigerador.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
O rendimento de um processo é um dos termos mais utilizados na termodinâmica e indica o
grau de sucesso com o qual uma transferência ou conversão de energia é realizada. Em geral,
a e�ciência de sistemas de aquecimento de prédios residenciais e comerciais é expressa com
base na e�ciência da utilização anual de combustível, que leva em conta os parâmetros de
( )Qent
( )Qsai
= −Wciclo Qsai Qent >Qsai Qent
( )Qent Wciclo
ε =
Qent
Wciclo
ε =
Qent
−Qsai Qent
( )Qent
( )Qsai
Wciclo
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combustão, bem como perdas de calor para áreas não aquecidas, perdas de partida e parada
dos sistemas.
ÇENGEL, Y. A.; BOLES, M. Termodinâmica. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
Considerando as informações sobre e�ciência térmica e energética, assinale a a�rmativa
correta.
a) O limite mínimo de 20% corresponde à conversão de toda a energia elétrica ou
mecânica fornecida em energia térmica.
b)A e�ciência de um refrigerador é de�nida como a razão entre o aumento de energia
mecânica do �uido e a entrada de energia pelo trabalho de refrigeração.
c) Uma e�ciência de conversão maior que 100% indica que parte da energia mecânica
foi convertida em energia térmica.
d) A e�ciência mecânica de um dispositivo ou processo é de�nida como a razão entre
a energia mecânica de saída e a energia mecânica de entrada.
e) Para dispositivos ideais que operam entre dois estados de um ciclo, o rendimento
mecânico resulta em valores entre 1 e 2.
Prezado(a) estudante, neste tópico, falaremos sobre algumas propriedades e formas de
descrever interações de substâncias puras. Conforme abordamos anteriormente, uma
substância é chamada de pura se apresentar a mesma composição química em toda extensão
de seu volume, independente dessa substância ser monofásica ou multifásica. Nesse sentido,
os gases ideais podem ser tomados como substâncias puras, uma vez que exibem, em geral, o
mesmo comportamento durante transições de fase ou processos de transferência de energia.
Propriedades de
substâncias puras
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Como discutimos, existem essencialmente três estados globais que uma substância pura pode
experimentar em determinadas condições de temperatura e pressão: os estados sólido, líquido
e gasoso. Contudo, dentre esses processos transitórios, essas substâncias passam por alguns
eventos que ocorrem no limiar da mudança de fase de uma substância pura. Estudaremos, a
partir daqui, esses estados.
Equações de estado
Estudamos anteriormente que o trabalho termodinâmico é diretamente dependente da variação
do volume em um processo de expansão ou compressão de um �uido em um sistema fechado.
Dessa forma, podemos avaliar que, em um processo isométrico (a volume constante), o trabalho
de fronteira será:
(Eq. 17)
uma vez que em um processo a volume constante .
Isso indica que, em um processo isométrico, nenhum trabalho é produzido nas fronteiras do
sistema, ou seja, o trabalho de fronteira realizado durante um processo a volume constante é
sempre zero.
Se considerarmos agora um processo isobárico de expansão em um sistema pistão-cilindro, a
pressão deve ser mantida constante em um valor inicial e o trabalho poderá ser calculado pela
variação dos volumes entre os dois estados. Isso nos fornece como resultado a integral da Eq.
18:
(Eq. 18)
Agora discutiremos a relação para um processo isotérmico, no qual podemos considerar um
arranjo em que um gás esteja sendo comprimido em um processo quase-estático. Sendo o gás
ideal, o comportamento desse �uido pode ser modelado segundo a equação de estado do gás
ideal à temperatura constante, representado por:
 ou (Eq. 19)
em que representa a massa molar da substância e é a constante universal dos gases
perfeitos.
W = p dV = p ( − ) = 0∫
1
2
V2 V1
ΔV = − = 0V2 V1
W = p dV =  dV = ( − )∫
1
2
∫
1
2
p0 p0 V2 V1
pV = mRT0 p =
mRT0
V
m R
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Substituindo a relação da Eq. 19 na integral do trabalho, temos que:
(Eq. 20)
Na relação da Eq. 20, o produto pode ser substituído por ou . De forma
semelhante, a razão pode também ser substituída por , já que, para um gás ideal,
vale a relação entre as propriedades em dois estados diferentes.
Embora os processos idealizados sejam mais fáceis de analisar em um regime quase-estático,
em processos reais de expansão e compressão de gases, a pressão e o volume costumam ser
relacionados por meio da equação de um processo politrópico, em que , sendo e 
constantes.
Associando essa equação do processo politrópico de quase-equilíbrio para calcular o trabalho
de fronteira de um gás ideal, temos:
(Eq. 21)
Aqui cabe fazer a restrição de que ao retratarmos um processo real, já que no caso em
que nos processos envolvendo gases ideais, o resultado da integral é equivalente à
relação do processo isotérmico discutido na Eq. 19.
W = p dV =  dV = mR = mR  ln( ) ⇒ W =  ln( )∫
1
2
∫
1
2
mRT0
V
T0 ∫
1
2
dV
V
T0
V2
V1
p1V1
V2
V1
p1V1 p2V2 mRT0
/V2 V1 /p1 p2
  / =   /  p1 V1 T1 p2 V2 T2
p = CV n n C
W = C  dV = ⇒ W =∫
1
2
V −n
−p2V2 p1V1
1 − n
mR ( − )T2 T1
1 − n
n ≠ 1
n = 1
VAMOS PRATICAR
Vamos analisar agora um processo quase-estático de
compressão de um gás num dispositivo con�nado, por meio da
análise da relação linear de variação da pressão com o volume.
Considere, então, um gás com volume inicial de 0,45 m³ sendo
comprimido até alcançar um volume �nal de 0,15m³. Sabe-se
que, durante o processo de quase-equilíbrio, a pressão varia
com o volume de acordo com a relação em que 
= −1500 kPa/m³ e = 730 kPa. 
 
p = aV + b
a b
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Utilizando as tabelas de propriedades
termodinâmicas
Segundo Çengel e Boles (2013), existem diversas situações práticas nas quais duas fases de
uma substância pura podem coexistir em equilíbrio. A água, por exemplo, pode existir como
uma mistura de líquido e vapor na caldeira de uma usina termoelétrica, enquanto um �uido
refrigerante passa de líquido para vapor no congelador de um refrigerador.
Vamos ilustrar esses processos na Figura 2.5 entre os estados de líquido e vapor da água.
Agora, vamos conhecer mais sobre os processos de mudança de fase para substâncias puras.
Vem comigo! Leia atentamente as informações apresentadas na sequência.
Clique no (+) das abas a seguir para visualizar o conteúdo:
Agora precisamos calcular o trabalho realizado durante esse
processo. Como poderemos fazer isso?
Figura 2.5 - Ilustração de uma transformação líquido-vapor para a água a pressão constante 
Fonte: Adaptada de Moran et al. (2018).
#PraCegoVer: a �gura ilustra três sistemas cilindro-êmbolo. Na primeira �gura, indicada pela letra a, o
êmbolo está em uma posição inferior, na qual, con�nado ao cilindro, indica-se “Água líquida”. Na
segunda �gura, indicada pela letra b, o êmbolo encontra-se em uma posição acima da primeira, na
qual, no seu interior, lê-se duas fases separadas: vapor d’água e água líquida. Na terceira �gura,
indicada pela letra c, o êmbolo se encontra na maior posição possível e, no interior do cilindro, lê-se
vapor d’água.
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1. Líquido comprimido: vamos considerar um arranjo pistão-cilindro contendo água
no estado líquido a uma pressão local de 1 atm. Dizemos que a água, nessas
condições, está na fase líquida e é chamada de líquido comprimido ou líquido sub-
resfriado, devido ao fato dessa substância não estar pronta ou não apta para se
converter em vapor.
2. Líquido saturado: à medida que continuamos cedendo calor ao sistema, a água
líquida se expande e seu volume especí�co aumenta. De acordo com Çengel e
Boles (2013), quando a temperatura da substância líquida alcança o ponto de
ebulição, qualquer adição de calor fará com que o líquido se torne vapor. Nesse
ponto, a transformação de fase está prestes a ocorrer e chamamos o líquido
pronto para se vaporizar de líquido saturado.
3. Vapor saturado: após o início da ebulição, a temperatura para de subir até que o
líquido se converta inteiramente em vapor. Neste ponto, todo o cilindro está cheio
de vapor no limite com a fase líquida — chamado de vapor saturado —, o que indica
que qualquer perda de calor por parte desse vapor fará com que parte dele se
condense.
4. Vapor superaquecido: após a conclusão do processo de mudança de fase,
voltamos novamente a uma região de única fase (vapor), e qualquer transferência
de calor para o vapor resulta em um aumento tanto de temperatura quanto de
volume especí�co (MORAN et al., 2018). Neste ponto, a temperatura do vapor está
acima do valor de saturação (100 °C a 1 atm), de modo que, se removermos parte
do calor do vapor, a temperatura poderá cair um pouco, mas nenhuma
condensação ocorrerá desde que a temperatura seja mantida acima dos 100 °C.
Podemos dizer então que um vapor que não está pronto para se condensar é
chamado de vapor superaquecido.
As misturas bifásicas líquido-vapor intermediárias podem ser distinguidas entre si pelo título ,
uma propriedade que relaciona, por meio de uma razão, a massa de vapor presente e a massa
total da mistura. Matematicamente, temos que:
O valor do título varia de zero até a unidade, mas pode ser escrito também em porcentagem.
Veja que, para estados de líquido saturado, em que não há fase vapor presente, o valor do título
deve ser igual a zero ( ), e, para estados de vapor saturado, em que não há fase líquida
presente, este valor tende a ser igual a um ( ).
Diagramas de propriedades
x
x =
mvapor
+m
l quidoí
mvapor 
x = 0
x = 1, 0
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Na maioria dos casos práticos, é muito mais fácil estudar e entender as variações das
propriedades durante os processos de mudança de fase com o auxílio dos diagramas de
propriedades. Nas seções a seguir, buscaremos desenvolver e analisar os diagramas
temperatura-volume especí�co ( ) e pressão-volume especí�co ( ) das substâncias
puras.
2.4.3.1. Superfície p-v-T
Iniciemos o estudo das substâncias puras compressíveis e suas relações com as propriedades
básicas, como pressão, temperatura e volume especí�co. Vamos analisar, aqui, o grá�co
resultante da função , uma vez que temperatura e volume especí�co podem ser
considerados como propriedades independentes.
Na Figura 2.6, ilustramos o grá�co dessa função, chamado de superfície , de uma
substância compressível comum que contrai durante o processo de solidi�cação.
Perceba que as coordenadas de um ponto qualquer na superfície p-v-T representam os valores
que a pressão, o volume especí�co e a temperatura assumem quando a substância se encontra
em equilíbrio. No grá�co, podemos ver claramente as três regiões principais: sólida, líquida e
vapor, em que, no interior dessas regiões o estado pode ser determinado por qualquer das três
propriedades. De modo intermediário, temos as regiões bifásicas, em que observamos duas
fases coexistindo em pleno equilíbrio: as regiões sólido-líquido, líquido-vapor e sólido-líquido.
T − v p − v
p = p(T , v)
p − v − T
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Diferente das regiões monofásicas, nas quais todas as propriedades são independentes, nessas
regiões mistas, pressão e temperatura não são independentes, ou seja, não é possível que se
conheça o estado apenas pela temperatura e pressão. Neste diagrama tridimensional, os
pontos em que as três fases coexistem em equilíbrio podem ser interligados pela linha chamada
de linha tripla.
Sabemos que toda mudança de fase inicia em um estado chamado de estado de saturação,
separado pelos estados de líquido saturado e vapor saturado. O ponto no qual essas linhas
limites se encontram é chamado de ponto crítico, que, associado à temperatura correspondente
(temperatura crítica), nos dá a informação da máxima temperatura, na qual as fases líquida e de
vapor podem coexistir em equilíbrio. As projeções bidimensionais da superfície p-v-T que
ilustram as regiões de linha tripla e ponto crítico podem ser vistas na Figura 2.7.
Vamos, agora, fazer as duas projeções mais importantes do diagrama p-v-T para estudar a
dependência das propriedades pressão-volume e temperatura-volume.
Diagrama T-v
Vamos veri�car o comportamento da temperatura e do volume de uma substância pura em um
processo isobárico de aquecimento, supondo que a substância seja a água, e que, con�nada
num sistema do tipo cilindro-pistão, esteja sob pressão de 1 MPa. Conforme a�rmam Çengel e
Boles (2013), nessa pressão, a água tem um volume especí�co menor do que a pressão local de
1 atm (equivalente a 0,1 MPa), então, à medida que mais calor for transferido para a água nessa
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pressão, o processo tende a seguir uma trajetória bastante similar com a trajetória do processo
a pressão local.
Contudo, algumas diferenças em T e v podem ser facilmente notadas para pressões mais
elevadas, conforme é possível avaliar pelo diagrama da Figura 2.8. Observamos, ainda, que “os
estados de líquido saturadopodem ser ligados por uma linha chamada linha de líquido saturado,
e os estados de vapor saturado podem ser ligados por outra linha chamada linha de vapor
saturado” (ÇENGEL; BOLES, 2013, p. 119). Quando unimos essas duas linhas a partir do seu
encontro no ponto crítico, damos origem ao per�l da curva mostrada no diagrama T-v.
Note ainda que, à medida que a pressão continua a aumentar, essa linha de saturação FG, que
conecta os estados de líquido saturado e vapor saturado, continua a encolher, convergindo para
o ponto crítico em N, no qual os estados de líquido saturado e vapor saturado são idênticos,
quando a pressão da água atinge 22,09 MPa. Nesse ponto, temos os valores críticos de
temperatura, pressão e volume especí�co, que, para a água, são iguais a 374,14 °C, 22,09 MPa e
0,003±155 m³/kg, respectivamente.
Acima da pressão crítica, como na pressão de 40 MPa da linha Q, não existe um processo
identi�cável de mudança de fase e o volume especí�co da substância aumenta continuamente.
Isso nos faz concluir que a linha divisória entre os estados líquido e vapor não se mantém
acima do estado crítico, e assim podemos chamar a substância acima dessa temperatura
crítica de vapor superaquecido.
Figura 2.8 - Diagrama T-v de uma substância pura que experimenta compressão ao solidi�car 
Fonte: Adaptada de Borgnakke e Sonntag (2010).
#PraCegoVer: na �gura, temos um diagrama temperatura versus volume mostrando a linha de líquido
saturado e linha de vapor saturado. O ponto BC corresponde à pressão de 0,1 MPa na temperatura de
99,6 °C. O ponto FG corresponde à pressão de 1 MPa na temperatura de 179,9 °C. O ponto JK
corresponde à pressão de 10 MPa na temperatura de 311 °C. Acima, temos a temperatura crítica de
374 °C na pressão de 22,09 MPa, ilustrando o ponto crítico N. Acima deste, temos o ponto Q, para
temperaturas acima da crítica à pressão de 40 MPa.
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Diagrama p-v
Agora, imaginemos os processos nos quais a pressão varia sob compressão ou extensão do
trabalho mecânico de mudança no estado de uma substância. Por isso, vamos avaliar os
processos de alteração das propriedades da própria água. É do nosso conhecimento que, à
medida que a pressão diminui, o volume da água aumenta ligeiramente. Quando essa pressão
atinge o valor de saturação à temperatura especi�cada de 100 ºC (0,4762 MPa), a água começa
a ferver.
Observando o diagrama já demonstrado na Figura 2.8, é possível notar que, para qualquer
temperatura especi�cada inferior à temperatura crítica, a pressão se mantém constante ao
longo de uma transformação líquido-vapor. Entretanto, de acordo com Moran et al. (2018), para
as regiões monofásicas de líquido e de vapor, a pressão diminui em dada temperatura à medida
que o volume especí�co aumenta.
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Material
Complementar
F I L M E
O menino que descobriu o vento
Ano: 2019
 Comentário: Neste drama biográ�co, acompanhamos a história de
William Kamkwamba, morador de uma aldeia no Malauí, que, com seus
conhecimentos práticos no conserto de eletrônicos e peças antigas,
consegue construir um moinho de vento capaz de suprir a necessidade
no bombeamento de água para sua vila após uma terrível seca que
assolou a região em meados dos anos 2000.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer disponível
TRA I LER
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L I V R O
Princípios da teoria térmica
Leandro Bertoldo
Editora: Clube de Autores
ISBN: B08TM7X1NF
Comentário: Neste livro, o autor discute algumas das principais relações
entre calor, trabalho e �uxo de energia, debatendo com diversos exemplos
as consequências das interações de energia e identi�cando as regras e
leis que permitirão ao leitor uma completa compreensão dos fenômenos
térmicos.
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Conclusão
Caro(a) estudante, neste estudo, conhecemos as duas formas de transferência de energia em
sistemas fechados: o calor e o trabalho. Vimos que calor e trabalho atuam em conjunto em todo
sistema termodinâmico, e não há como desassociá-los completamente. Nesse sentido, estudamos as
equações que regem o comportamento de sistemas em equilíbrio e de�nimos, por meio da lei de
conservação de energia, a primeira lei da termodinâmica aplicada a sistemas adiabáticos.
Descrevemos, ainda, o comportamento de sistemas que percorrem processos cíclicos, chegando na
importante relação entre o trabalho de saída e o calor de entrada no ciclo. Analisamos os parâmetros
de e�ciência de ciclos ideais e para sistemas mais complexos, como os refrigeradores. Por �m,
de�nimos as principais propriedades das substâncias puras ao analisar as principais equações de
estado que descrevem os processos a temperatura, pressão ou volume constantes. Demonstramos
como analisar diagramas de propriedades a partir do estado de uma substância, abordando as regiões
particulares entre os estados intermediários de líquido-vapor.
Referências
AGUIAR, G. M.; RIBATSKI, G. Desenvolvimento de um
modelo numérico para simulação de ciclos de
compressão a vapor em refrigeradores domésticos
operando com R134a e R600a. 2015. Trabalho de
Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia
Mecânica) – Universidade de São Paulo, São Carlos, SP,
2015. Disponível em: https://bit.ly/3ppa�A. Acesso em: 27
abr. 2021.
BERTOLDO, L. Princípios da teoria térmica. Joinville: Clube de Autores, 2013.
BORGNAKKE, C., SONNTAG, R. E. Fundamentos da termodinâmica. 7. ed. São Paulo: Blücher, 2010.
ÇENGEL, Y. A.; BOLES, M. Termodinâmica. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
https://bit.ly/3ppafiA
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MORAN, M. J. et al. Princípios de termodinâmica para engenharia. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
O MENINO que descobriu o vento. Direção de Chiwetel Ejiofor. Reino Unido: Net�ix, 2019. (1h 53min).
O MENINO que descobriu o vento • Trailer legendado. [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (2m24s). Publicado
pelo canal TrailersBR. Disponível em: https://youtu.be/OBprnlpM744. Acesso em: 24 maio 2021.
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