Problemas de alta simetria usando Lei de Gauss e Ampere

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Teorema da Divergência: 
V S
F dV F n da    
 
Teorema de Stokes: 
C A
F dr F n dA     
 
Quatro Equações de Maxwell 
 1  D 
 0 2 B 
 3

  

B
E
t
 
 4

  

D
H J
t
 
 
 
Lei de Gauss 
 
 
  int
1 1
o o oV S S V
r
E usando FdV F n da E n da r dV q


  
              
int int
1 1
se achar S tal que 
0 se achar S tal que 0
o oS S
S S
E n da q E n cte E da q
B n da B n cte B da
 
     
     
 
 
 
 , ,E x y z 
 
Lei de Ampère e Faraday-Lenz 
 
0
C A
C A C A C A
o o o
C A C A A
o
C
F d F n dA
B
E E d E n dA E d B n dA E d B n dA
t t t
D
H J H d H n dA B d J n dA E n dA
t t
E
B d J n dA
t
  

   
  
               
  
 
             
 

    

 
     
    
 int int
0
o o
A C
o o o o
C A C A
I B d I
J B d E n dA B d E n dA
t t
 
   
  
 
       
 
 
   
 
 
 
3
int
Lei de Biot-Savart:
4
Lei de Ampére:
o
o
C
d r rI
B
r r
B d I



  


 


 
 
Densidades de carga: 
; ;
dQ dQ dQ
dV dA d
     
 
Simetria de translação em plano infinito: 
 
Plano infinito: 
 
 int
1 1
2 sgn
2 2
y
o o o oS
E n da q EA A E E y
 
 
   
        
2 2o o o
E
  
  
 
     
 
 
 
 
 
 2o o
Q
E
L

 
  
 
Paralelepípedo infinito: 
 
 
 
int
int
2 2
1 1
2 sgn
2 2 2
1 1
2 2 sgn
2
y y y y
o o o oS
y y y y
o o o oS
Espessura y
y E n da q E A A E E y
y y
y E n da q E A A y E E y
 
 
   
 
 
   
  
  
    
         
         


 
 
2 2
2 2
2 2
2
0
2 2
y y
y y
o o
y y
y y
o o
E E
y
E E
E E
 
 
 
 
 
 


 
 
 
  
  
   
    
   
 
 
 
2 2
2 2
1 0
sgn 0 0
1 0
2 2
2
y y
y y
o o
y y
y y
o o
se y
y
y se y
y
se y
E E
y
E E
 
 
 
 
 
 


 
 
 

  
 
  
  
 
 
 
 
 
   
 
 
3 2
sgn
2 2
sgn
2
y
o
o o o
y
o
Q Qy se y L
L LE y E
y
y se y


 
   





    
 

 
 
Simetria de rotação (cilíndrica) e translação em fio infinito: 
 
Campo elétrico 
 
Fio Infinito 
 
   
 
 
int
2
1 1 1
2
2 2
r
o o o oS
o o o
E n da q E r E E
r r
Q Q
L LE
L
 
  
   

  
       
  

 
 
 
Cilindro Infinito 
 
2 2
2
int
2
1 1
2
2 2
2 2
r
o o o oS
r r
o o
R R
r R E n da q E r R E E
r r
R
E
r r
 
  
   
 
 
 
         
 

 
 
2
2
int
1 1
2
2 2 2
r
o o o o oS
r r r
r R E n da q E r r E E
r
  
  
    
           
 
2 2
2 2 2
2 2
r R r r rr R
o o o
r R r rr R
o o
R R R
E E
r R
r R
E E
  
  
  
 
 
 


 
 
   
  
 
 
 
Campo Magnético 
 
Fio sem espessura infinito 
int int 2
2
o
o o o
C C
I
B d I B d I B I B 

    

         
Fio com espessura R infinito corrente uniformemente distribuída 
int
2
int int 2
2
2
2
2
2
2 2
o
o o
C
o o o
C
o o
I
R B d I B I B
R B d I B I I
R
I I
B B
R R R



    


    

  

 
       
      
 
    
 

 
 
   
1 0
0 0
2
o
se x
Degrau x
se x
I R
B Degrau R Degrau R
R R

 
  
 

 

 
    
 
 
   
2
oI RB Degrau R Degrau R
R R

 
  
 
 
    
 
 
 
Solenóide 
         
   
2 1 1 2 1 2
2 1 1 int 1
0 0
o o o z
espiras
r B L B L B B B
r B L I B L nL I B n I
N
n
Comprimento
     
       
         
       

 
   Degrauo zB n I R     
 
Toróide 
   
   
     
int
int
2
2
2 0 0
2 0 0
o
o o
o o
NI
b a B I NI B
b a B B
b a B I N I I B


      

   
     
      
     
        
 
     Degrau Degrau
2
oNIB a b 

   

   
 
Simetria esférica: 
 
Apenas campos elétricos: 
 
Esfera uniformemente carregada 
 
3 3
2 3
int 2 2
2 3
int
2 2
3
1 4
4
3 3 3
1 4
4
3 3 3
4 4 4
3
r R r R r R r
o o o oS
r R r R r R r
o o o oS
r R r r R r
o o
R R
r R E n da q E r R E E
r r
r r
r R E n da q E r r E E
Q Q r Q
E E
R R r
R
  
  
   
  
  
   
  
 
  
  
 
         
         
    

 
 
Casca muito fina esférica uniformemente carregada 
 
2 2
int 2 2
1
4 4
4 4
0 0
r R r R r R r
o o o oS
r R
S
Q Q
r R E n da q E r R E E
r r
r R E n da E

  
   
  

         
     


 
 
2
2 24
0
r R r r r rr R
o o o o
r R
R Q
E E E
r r
E
  
   
   
 

      

 
 
2
0
4
r R r R
o
Q
E e E
r
   
 
Casca esférica uniformemente carregada 
 
 
 
2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 1
2
2 int 2 2
3 3
2 3 3 1
1 2 int 1 2
3 3
1
2
3 3
2 1
1
4
4 4
1 4
4
3 3
4 3
3
r R r R r R r
o o o oS
R r R R r R
o o oS
R r R r
o
R R
Q Q Q
r R E n da q E r E E
r r
r R
R r R E n da q E r r R E
r
r RQ Q
E
r
R R
 
   
 
 
  

 

  
   
 

         
 
          
 
 
    
 


 
 
1
3 3
1
2 3 3
2 1
4
0
r
o
r R
r R
r R R
E






 
2
1 2
1
2 2
1 1
2
3 3
1
2 3 3
2 1
3 3
2 1
2 2 3 3 2
2 2 2 1 2
3 3
1 1
2 3 3
1 2 1
4
4
0
0
4 4 4
0 0 0
4
r R r
o
R r R r
o
r R
r r rR R
o o o
rR R
o
Q
E
r
r RQ
E
r R R
E
R RQ Q Q
E E E
R R R R R
R RQ
E E E
R R R




  
  


 
 

 







      


      

 
 
2
2
0
r R r r rr R
o o o
r R
R
E E E
r
E
  
  
  
 

     

 
 
 3 32 1
4
3
Q
R R




 
 
     
2
1 2
1
2
3 3
1
2 3 3
2 1
3 3
1
2 1 22 3 3
2 1
4
4
0
4
r R
o
R r R
o
r R
o
Q
E
r
r RQ
E
r R R
E
r RQ
E Degrau r R Degrau r R Degrau R r
r R R




 






 
     
 
 
     
3 3
1
2 1 22 3 3
2 14 o
r RQ
E Degrau r R Degrau r R Degrau R r
r R R
 
     
 
 
 
 
     
2
1 2
1
2
3 3
1
2 3 3
2 1
3 3
1
2 1 22 3 3
2 1
4
4
0
4
r R
o
R r R
o
r R
o
Q
E
r
r RQ
E
r R R
E
r RQ
E Degrau r R Degrau r R Degrau R r
r R R




 






 
     
 
 
 
     
3 3
1
2 1 22 3 3
2 14 o
r RQ
E Degrau r R Degrau r R Degrau R r
r R R
 
     
 
 
 
 
Potenciais via lei de Gauss: 
 
 
Esfera uniformemente carregada 
 
   
   
2
2
3 3
2
3
2
32
3
11
4 4
2
1 1 1 3
4 4 2 2 2
1
3 1
4 4 2 23
2 2
r
o o
o
o o
o o
o o
se r Rse r R
Q Q rr
E
r r
se r R se r R
R R
Q Q R
R R
R R R R R
se r R
Q Q rr
Degrau R r Degrau r R
R R rr
se r R
R R
 
 

   
 

 
 

  
   
    
  
 
         
 

  
       
   


 

 
 
 
Casca esférica uniformemente carregada 
 
 
22
3
1
1 223 3
2 1
1
1
1
4
0
r
o
se r R
r
RQ
E r se R r R
rR R
se r R





 
     
  




 
 
 
 
r
r
d
E E E dr E dr
dr

 


            
d
E E
dr

     lembrar que contínuo  . 
 
   
   
22
3
1
1 223 3 3 3
2 1 2 1
1
2 2
2
2
3
2 1
1 1 23 3 3 3
2 1 2 1
2 1
1
1 1
4
0
1 1 1
1
2
1
1 1 1
4 2
r
o
o
se r R
r
RQ
E r se R r R
rR R R R
se r R
d d
dr r r dr r
d d
r r r
dr dr
se r R
r
RQ
r se R r R
rR R R R
se r R


 
 
  
 






   
 




       
        




     
 



 
   
   
2
3
2 1
1 1 23 3 3 3
2 1 2 1
2 1
22
3
1
1 223 3 3 3
2 1 2 1
1
1
1 1 1
4 2
1
1 1
4
0
o
o
d
se r R
dr r
Rd Q d d d
E r se R r R
dr dr dr r drR R R R
d
se r R
dr
se r R
r
RQ
r se R r R
rR R R R
se r R






 


         
 

  





  
 




 
 
 
   
   
   
2
3
2 1
1 1 23 3 3 3
2 1 2 1
2 1
3
2 1
2 2 2 13 3 3 3
2 22 1 2 1
1
1 1 1
4 2
1 1 1 1
4 4 2
o
o o
se r R
r
RQ
r se R r R
rR R R R
se r R
RQ Q
R R R
R RR R R R
 


  
 
 




     
 




 
      
   
 
 
   
   
 
 
     
 
3
2 1
2 2 2 13 3 3 3
2 22 1 2 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3
2 1 2 12 1 2 1 2 1 2
1 2 3 3 3 3 3 3 3 3
2 1 2 1 2 1 2 1
2
2
1 3 3
2 1
1 1 1 1
4 4 2
2 22 2 2 2 31
1
2 2 2 2
3
2
o o
RQ Q
R R R
R RR R R R
R R R RR R R R R R R
R
R R R R R R R R
R
R R
  
 


 
 
      
   
     
    
   


 
 
 
     
   
     
2
3 2
2 1 2
1 23 3 3 3 3 3
2 1 2 1 2 1
2 1
3 2
2 1 2
1 1 1 23 3 3 3 3 3
12 1 2 1 2 1
1
31 1 1
4 2 2
31 1 1
2 2
o
se r R
r
R RQ
r se R r R
rR R R R R R
se r R
R R
R R R
RR R R R R R



   




     
  




     
  
 
 
   
     
 
 
  
 
  
3 2
2 1 2
1 1 1 23 3 3 3 3 3
12 1 2 1 2 1
2 2
2 1 2 1 2 1
2 3 3 3 3
2 1 2 1
3 3 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3
2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
3 3
2 12 1
3 2 2 2
2 2 1 2 2 1 1
2
2 1 1
31 1 1
2 2
3 3
2 2
R R
R R R
RR R R R R R
R R R R R R
R R R R
R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R
R RR R
R R R R R R R
R R R
  

      
  
  
 
 
            

   
 3
3 2
2 1 2 1
2 3
2 1 1
2 3
2 1 1
0
R R R R
R R R
R R R
 

 
 
 
   
     
 
 
  
 
 
 
  
3 2
2 1 2
1 1 1 23 3 3 3 3 3
12 1 2 1 2 1
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 3 3 3 3 2 2
2 1 2 1 2 2 1 1
3 3 2 2
2 1 2 1 2 2 1 1
31 1 1
2 2
3 3 3
2 2 2
R R
R R R
RR R R R R R
R R R R R R R R
R R R R R R R R
R R R R R R R R
  

      
  
   
  
   
    
 
 
 
 
 
 
 
       
 
2
2 2 2 1
2 1 1 23 3
2 1
2 2
2 1
13 3
2 1
2 2 2 2 2 1
2 1 1 2 1 1 23 3
2 1
1
1
1
3 2
4 2
3
2
1
3 3 2
2
4 1
o
o
se r R
r
RQ
R r R se R r R
rR R
R R
se r R
R R
R
R R Degrau R r R r R Degrau r R Degrau R r
rQ R R
Degrau r R
r








  
      
  





   
          
    
 
  
 
 
 
  
   
   
 
2 2
2 1 1
23 3 2 2 2 1
2 1 2 1 1 2
3
1
42 4 3 2 oo
R R Degrau R r
Q Q
Degrau r RR rR R R r R Degrau r R Degrau R r
r


   
 
           
  
 
 
   
   
2
2 23
2 2
2
2 23
2 2
3 1
4 2 2
3 1
4 2 2
o
o
Q r
Degrau R r Degrau r R
R R r
Q r
Degrau R r Degrau r R
R R r




  
      
  
  
      
  
 
 
 
2
Carga Q pontual 
4
r
o
Q
E
r



 
 
   
2 2
2 2
Carga Q pontual 
1 1 1
4
1
0
4
testando
1 1
4 4
o
o
o o
Q
E
r r r
d Q
E r r
dr r
d Q Q
E
dr r r
 

  


 
    
     
     
 
 
 
 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4
rr r r
r r
o o o o o
Q Q Q Q Q
E dr dr dr
r r r r r
   
      
   
                    
   
 
2
Casca superficial raio R com densidade superficial constante
4
0
or
Q
r R
rE
r R



 
 
 
   24 o
Q
E r Degrau r R
r
  
 
   1 1 2
2
/
4 0
4 4
0
4
4
o o o
o o
o
o
o
r Rd
E R R
r Rdr
Q
r R Q Q
r
R R
r R
Q
r R
r
Q
r R
R

  

  
 




 

    



    
  



 
 

 
4
4
o
o
Q
r R
r
Q
r R
R






 
 

 
 
Calculando potencial pelo método da integral 
Quebrar a integral em regiões. O potencial já sai naturalmente contínuo. 
 
       
1 2
1
1 2 1
n n n
n n
R R R
n n n n n
R R
r E r R dr E R r R dr E R r R dr
 

  

            
 
Potencial usando o método da integral 
 
           
2
0
2
1
4
1 1 1 1 1
4 4 4 4
0
1
4 4
r
o
rr
o o o o
R r R r R
r R r R r R r R r R
R R
R
o o
Q d
E E d Edr d E dr
r dr
Q Q Q Q
r R dr
r r r r
r R E r dr E r dr E r dr E dr E r dr
Q Q
r


 


   

 


    
  

           
   
               
          
 
   
 
 
   

    
     
1 1 1
4
1
1 1
14 4
o
o o
Q
R R
r R
Q Qr
r Degrau r R Degrau R r
r R
r R
R


 
 
  
 

  
      
  

 
 
     
1 1
4 o
Q
r Degrau r R Degrau R r
r R


 
    
 
 
 
 
 
   
 
2
2 3
3
2
3
2
3
Esfera raio R uniformemente carregada
1
1
4 4
1
4
2
1 1 1 3
2 2 2
r r
o o
o
r R
Q Q rr
E Degrau r R Degrau R r
r r R
r R
R
r R
Q r
r
r
r R
R
R
R R R R R
 
 



 

  
      
  



 
  

      
 
 
 
     
2
22
3
1
1 3
1
4 4 2 33
2 2
o o
r R
Q Q rr
r Degrau r R Degrau R r
r R Rr
r R
R R

 

   
        
    

 
 
     2 3
1
4 o
Q r
E r Degrau r R Degrau R r
r R
 
    
 
 
     
2
2
1 3
1
4 2 3o
Q r
r Degrau r R Degrau R r
r R R


  
      
  
 
 
 
 
 
 
1 2
22
3
1
1 223 3
2 1
1
2
32
1
1 1 23 3
2 1
2 1
Casca com densidade uniforme entre R e R
1
1
4
0
1
1
4 2
r
o
o
se r R
r
RQ
E r se R r R
rR R
se r R
se r R
r
RQ r
se R r R
rR R
se r R


 





 
     
  







 
       
  




 
 
 
   
3
1
2
1 2 2 23 3
2 1
1
( )
4 o
R
r
Q rE r Degrau r R Degrau R r Degrau r R
rR R
 
 
     
 
  
 
Calculando as constantes: 
 
 
 
   
 
 
2
32
1
1 1 23 3
2 1
2 1
2 3
2 1
2 13 3
2 22 1
3 3 3 3 32 3
2 1 2 1 2 12 2 1
1 3 3 3 3 3 3
22 2 1 2 2 1 2 2 1
1
1
4 2
1 1
Continuidade em 
2
2 2
2 2
r
o
se r R
r
RQ r
se R r R
rR R
se r R
R R
r R
R RR R
R R R R R RR R R
RR R R R R R R R R
  







 
       
  




 
      
  
   
     
   
 
 
   
3
3 3
2 2 1
3 3 3 3 3
2 1 2 1 2
3 3 3 3
2 2 1 2 2 1
2
2 2 2 3
2 2
R R R
R R R R R
R R R R R R


  
 
 
 
 
   
   
   
2
3 32
1 2
1 23 3 3 3
2 1 2 2 1
2 1
2 3
21 2
1 2 13 3 3 3
2 1 2 2 1
2 3 3 2
1 2 2 2 1 2
2 3 3 3 3 3
2 2 1 2 2 1 2 2 1
1
31
4 2 2
31
Continuidade em 
2 2
3 3 3 3
2 2 2
o
se r R
r
R RQ r
se R r R
rR R R R R
se r R
R R
r R R
R R R R R
R R R R R R
R R R R R R R R R








 
       
  




 
      
  

   
   
 
 
2 2
2 1
3 3 3
2 1
3
2
R R
R R



 
 
   
 
 
2
3 32
2 1
1 23 3 3 3
2 2 1 2 1
2 2
2 1
13 3
2 1
1
3 1
4 22
3
2
o
se r R
r
R RQ r
se R r R
rR R R R R
R R
se r R
R R






  
      
   





 
   
 
 
2
3 32
2 1
1 23 3 3 3
2 2 1 2 1
2 2
2 1
13 3
2 1
1
3 1
4 22
3
2
o
se r R
r
R RQ r
se R r R
rR R R R R
R R
se r R
R R






  
      
   





 
 
 
 
 
 
   
3
1
2
1 2 2 23 3
2 1
1
( )
4 oR
r
Q rE r Degrau r R Degrau R r Degrau r R
rR R
 
 
     
 
  
 
 
 
 
 
 
   
 
2 2
2 1
13 3
2 1
3
2 2 1
2
1 23 3
2 1
2
3
2
2
3
4 2
1
o
R R
Degrau R r
R R
R
R r
Q rr Degrau r R Degrau R r
R R
Degrau r R
r


 
  
 
 
  
 
     
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
Casca esférica pelo método da integral 
 
       
1 2
1
1 2 1
n n n
n n
R R R
n n n n n
R R
r E r R dr E R r R dr E R r R dr
 

  

            
 
   
 
2
22
3
1
1 23 3 2
2 1
1
2 1
2 2
2
1
1
4
0
1 1 1 1
4 4 4 2 1 4 4 4
1
4
r
o
r rr r
r R
o o o o o o
o
r R
r
RQ
E r R r R
R R r
r R
Q Q Q r Q Q Q
r R E r dr dr
r r r
Q
r R
r



     


 

  



  
     
   
 


         
  
 
  
 
 
 
  2
2
2
2 2
22
3
1
1 23 3 2
2 1
1
3
1 2 1
2 3 3 2
2 1
3
1
2 3 3 3 3 2
2 1 2 1
2
1
1
4
0
1 1
4
1 1 1
1 1
r
o
R r
R
o
R r r
R R
r R
r
RQ
E r R r R
R R r
r R
R r R R
dr r r dr
Q r R R r
R
dr r dr dr
r R R R R r
R









  
     
   
 


    
        
   
   
         
    
 
 
  
 
       
22
32
1
3 3 3 3
2 1 2 1
2 32
2 1
3 3 3 3
2 2 1 2 1 2
3 3 3 3 32
2 1 2 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1
3 3 3
2 2 1
1
2
1 1 1 1
2 2
2 2 1
22 2 2
2 2
r r
RR
Rr
R R R R r
R Rr
R R R R R r R
R R R R Rr
rR R R R R R R R R R R
R R R
     
             
     
           
      
  
      
     
 

   
   
3 32
1 1
3 3 3 3
2 2 1 2 1
3 32
2 1
3 3 3 3
2 2 1 2 1
2 1
22
3 1
22
R Rr
rR R R R R
R Rr
rR R R R R
 
   
   
 
   
   
 
 
 
 
   
3 32
2 1
1 2 3 3 3 3
2 2 1 2 1
3 1
4 22o
R RQ r
R r R
rR R R R R


  
      
    
 
 
 
 
2 1
2 1
2 1
2 2
22
3
1
1 23 3 2
2 1
1
3
1 1
2 3 3 2
2 1
3
1 1
2 3 3 3 3 2
2 1 2 1
1
1
4
0
1 1
0
4
1 1 1
4
r
o
R R r
R R
o
R R R
R R
o
r R
r
RQ
E r R r R
R R r
r R
r R R
dr r dr dr
Q r R R r
r R R
dr rdr dr
Q r R R R R r











  
     
   
 


   
       
   
    
      
    
  
 
       
 
 
 
 
 
   
 
 
1
3 2 3 3 2
2 1 1 2 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
12 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
2 2 2 23 2
2 1 2 2 12 1 2
3 3 3 3 3 3
2 2 1 2 2 1 2 1
2 23 2 3
2 12 1 1
3 3 3 3 3 3
12 2 1 2 1 2 1
3 3 31
22 2 2
3 33 3
2 2 2
33 1
22 2
R R R R R R
RR R R R R R R R R R R
R R R R RR R R
R R R R R R R R
R RR R R
RR R R R R R R

 
      
    
 
  
  
 
    
   

 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
2
3 32
2 1
1 2 3 3 3 3
2 2 1 2 1
2 2
2 1
1 3 3
2 1
2 2
2 1
13 3
2 1
3
2 2 1
2
1 23 3
2 1
2
4
3 1
4 22
3
4 2
3
2
2
3
4 2
1
o
o
o
o
Q
R r
r
R RQ r
R r R
rR R R R R
R RQ
r R
R R
R R
Degrau R r
R R
R
R r
Q rr Degrau r R Degrau R r
R R
Degrau r R
r








 
  
      
    

 

 
  


  

    


 











 
 
 
Síntese: 
 
 
 
 
 
   
 
2 2
2 1
13 3
2 1
3
2 2 1
2
1 23 3
2 1
2
3
2
2
4 2o
R R
Degrau R r
R R
R
R r
Q rr Degrau r R Degrau R r
R R
Degrau r R
r


 
  
 
 
  
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potencial de um fio infinto uniformente carregado. 
 
Fio infinito com densidade linear de carga constante
1
2
2
1
ln
2
1
ln ln ln
2 2 2 2 2
o o
o
o
o
o
o o o o o
E E
d A
E A
d
A
A



 
  
 
   
   
    
  
       
  
       
         
 
 
2
2
2
2
2
1
Cilindro infinito de raio R com densidade de carga constante
1
2
2
1
2
2
ln2
2
2
o o
o o
oo
r
o
R
r R E r R E
r
r
r R E r r E
R
r R A
A r r Rr r Rd
E r
Br r R drr
Br r Rr R
A


 
 

 
 

 
 


    
    

 
    
       
    

 
2
2 4o o
R
e B
 
 
 
 
   
2
2
2
1
2
1
2 2 2 2
1 1
ln
2
ln
2 4
4
ln ln
2 4 2 4
o
o o
o o
o
o o
o o o o
rR
r R
r rR
R R R
R
r r R
r rR R R R
R R

  
   
 


   
 
   
 



     
  

    
 
 
 
   
2
2 2 2
2 2 2 2
ln
2
ln
4 2
ln ln
4 2 2
o
o
o
o o
o o
o o o
rR
r R
r
R r rR
r R
R
R r r rR R
Degrau R r Degrau r R
R r



 
 
  

  



 

 

 
     
  
 
 
Condutores: 
Condutores possuem no interior cargas livres que podem se movimentar. Tipicamente, se pode 
pensar que os elétrons são livres para se movimentarem enquanto os núcleos dos átomos estão 
presos em posições fixas. C C C C C C C      . O condutor inteiro é neutro, cargas 
positivas – cargas negativas, mas as cargas negativas podem se mover. Se as cargas negativas 
se movem ciam uma região onde tem excesso de cargas negativas e outra com excesso de 
cargas positivas, criando um campo elétrico entre elas. Eletrostática. Isso implica em dois fatos 
importantes: 
1. O campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio é ZERO. Se houver campo 
elétrico as cargas se movem ciando um campo contrário. Só param de se mover quando 
anularem o campo dentro do condutor. 
2. Não existe carga líquida dentro de um condutor. Se houvesse ela criaria um campo 
dentro do condutor. Conclusão, toda carga em um condutor está localizada na 
superfície. 
3. O campo elétrico na superfície de um condutor tem que ser perpendicular à superfície. 
Se for tangencial à superfície as cargas podem se mover, pois são livres para se 
movimentarem dentro do condutor, mas não são livres para sair do condutor. Logo, 
apenas o campo elétrico perpendicular à superfície pode existir, pois as cargas não 
podem se mover nessa direção. 
4. O potencial de um condutor é constante, igual em todo ele. Como o campo é zero, então 
0
dV
dx
 logo V cte . Um condutor é uma região equipotencial e sua superfície, uma 
superfície equipotencial. Campo é sempre perpendicular à uma superfície 
equipotencial, porque E   . 
 
Esses fatos explicam, por exemplo, o poder das pontas nos pararaios. Terra é carregada 
negativamente e possui um campo elétrico de 100 V/m na sua superfície. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Carrega-se uma esfera metálica de raio 
2R com carga Q e se liga um fio condutor 
muito fino com uma esfera descarregada de raio 1R em uma grande distância da outra esfera. 
Qual a carga final em cada esfera? 
 
Ligada pelo fio condutor as esferas precisam estar no mesmo potencial, para isso cargas 
migram de uma esfera para a outra. Além disso a carga total se conserva. 
   
 
1 2 1
1 1 2 2 1 2
1 2 2
1 1 1 2
1 2 2 2 2 2
2 2 2
2 1 2 1
2 1
1 2 2 1 2 1 2
2
2 1 2
2 2 1 2
4 4
1
4 4 4
o o
o o o
Q Q R
R R Q Q
R R R
R R R R
Q Q Q Q Q Q Q Q Q
R R R
R R R R
Q Q Q Q Q
R R R R R R R
R
Q
Q R R Q
R R R R
 
 

  
    
   
           
   
   
  

  

 
 
 
Capacitores: 
 
Objetivo de um capacitor é armazenar cargas, para o qual precisamos aplicar uma DDP (de 
uma bateria, por exemplo). Assim a capacitância é definida como 
Q
C
V
 . A unidade de 
capacitância é o Farad onde 1 1
C
Farad
V
 . 
 
Problemas de Capacitância: 
 
Placas planas infinitas: 
 
   
oV S
DdV D ndA A D A D E

 

            
o
o o
Ad Qd Q
V Ed V C
A V d

 
       

 
   
V S
DdV D ndA A D A D E

 

            
o
o
Ad Qd Q
V Ed V C
A V d
 
  
 
          
  
 
 
Capacitor cilíndrico 
2 1
2
o o
a a
r E E
r
  

 
   
     
1
ln ln ln ln ln
2
2
ln
2
ln
b b
b
a
o o o oa a
o
o
a a a Qa
V Edr dr r b a b a
r a
Q b Q
V C
ba V
a
  
    

 
       
 
     
   
 
 
 
 
21
ln
2
ln
o
o
Q b Q
V C
ba V
a


    
  
 
 
 
 
 
 
2
oo
o
LA
C C L
d L

    
 
 
Capacitor eletrolítico. Entre as placas coloca-se um meio eletrolítico e se passa uma corrente. 
Vai se criar uma camada não condutora muito fina em uma das placas que será o meio isolante. 
Não pode inverter a polaridade nessas capacitores pq se destrói esse filme não condutor. 
0
A
C d
d

   
 
Capacitor esférico 
 
2 2
2
2 2 2
4 1 1 1
4
4 4 4
4 41 1
1 14
o o o o
o o
o
a Qa Q Q
r E E
a r r r
abQ Q
V C
a b V b a
a b
 
 
    
 

     
 
       
   
 
4
4
1
o
ob C a
a

    
 
Capacitância da Terra: 
2 2
12 3
3
6
4 4 8.8524 10 6400 10
4 8,8524 10 6,400 711 0,71
T o T
C s
C R m
kg m
F F mF
 
 


      

     
 
 
Carga da Terra: 
 2sup sup sup100 4 4T o T T o T
o
V
E E E Q R R R E
m

     

        
 
 
2
sup sup sup
6 6
sup
3 5 5
100 4 4
4 711 10 6,4 10 100
0,711 10 6,4 100 0,711 6,4 10 4,55 10
T o T T o T T T
T T o T
V
E E Q R R R E C R E
m
C V
Q R R E m
V m
C C C
     
  
      
      
        
 
 
Capacitores em paralelo e em série: 
 
Paralelo: 
 
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
tot
eq
V V V Q CV e Q C V
Q Q Q CV C V C C V
C C C
    
     
 
 
 
Série: 
 
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1
1 1
1 1 1
tot
tot
tot
eq
Q Q
Q Q Q V e V
C C
Q Q Q
V V V Q
C C C C V
C C
V
C Q C C
    
 
        
  
  
 
 
 
 
Indutância: 
A indutância é definida por L
i

 , onde 
A
B ndA   é o fluxo magnético em uma espira. 
Para um solenoide com N espiras a indutância é dada por: 
N
L
i

 , supondo que o fluxo é o 
mesmo em cada espira, basta multiplicar pelo número de espiras. 
 
Indutância de um solenóide. Já calculamos o campo de um solenoide usando lei de Ampere 
usando o circuito: 
 
 1 into o o zB L I BL nL I B n I         onde 
N
n  . Vamos usar para não 
confundir com L da indutância. Com esse campo temos o fluxo  2sol o
S
B n dA n i a     
então 
 2 2 2
2 2o o
o
Nn i a a NN
L a n
i i
  


    
 
Toróide. Já calculamos o campo via lei de Ampére usando o circuito: 
 
 int2
2
o
o o
NI
B I NI B 

    

    
 
O fluxo do toróide será: 
ln
2 2 2
b b
o o o
tor
S a a
Ni NHi NHid b
B n dA Hd
a
  

   
 
       
 
   
logo 
2 2
ln ln
2 2
tor o oN N Hi N Hb bL
i i a a
 
 
    
     
   
 
 
Voltagem nos indutores: 
B
C A
E d B n dA
t t


      
  
 para cada espira. Se temos N espiras a voltagem se 
soma. Nesse caso BV N
t

 

, mas 
 B B B
N d di
L N Li V N L
i dt dt

          
 
di
V L
dt
  
 
Falta usar lei de Faraday-Lenz 
C A
E d B n dA BA B A
t t t
  
  
        
   
 
Bobina de N espiras girando em um campo constante. Nesse caso on ângulo da área 
perpendicular à espira com o campo magnético é dada por  cosespA A t  e o fluxo 
magnético      cos sinBB esp esp
d
t BA BA t N NBA t
dt
   

       e temos a 
corrente alternada. 
 
 1 2 3
2 2
sin sin sin
3 3
o o oV V t V V t V V t
 
  
   
       
   
 
Voltagem RMS: A voltagem RMS [Root-Mean-Square] é definida pela média temporal do 
quadrado da voltagem. Média temporal de uma função do tempo periódica com período 
temporal  é definida por: 
   
0
1
f t f t dt


  
Mas no caso das funções seno e coseno 
       
   
0 0
2 2
0 0
1 1
sin sin sin 2
1 1
sin sin 0 cos sin 0
2 2
t t dt t d t t
t d t d
 
 
       
 
     
 
     
    
 
 
 
Também vale para qualquer fase 
       
       
0 0
2
0
1 1
cos cos cos 2
1
cos cos sin 2 sin 0
2
t t dt t d t t
t d
 

          
 
       

        
       
 

 
Isso significa que as médias temporais das voltagens alternadas serão nulas, porque áreas 
positivas e negantivas se cancelam. No entanto, se a elevar a voltagem ao quadrado todas as 
áreas serão positivas. Assim a média RMS é definida por: 
   
2
0
1
RMS
f t f t dt


    
Ou seja, primeiro eleva ao quadrado – depois extrai a média – finalmente aplica a raiz quadrada. 
Por issoo Root-Mean-Square aplicado da direita para a esquerda. A média RMS da função 
 cos t  é geral, porque escolhendo  podemos obter senos e cosenos e senos e cosenos 
defasados pela fase  . Basta mostrar que a média RMS de  
1
cos
2RMS
t   
independente da fase. 
         
     
 
2
2 2 2
0 0 0
2 2
0 0
2
0
1 1 1
cos cos cos cos
2
1 1
cos 1 cos 2 cos 2 0
2 2
1 1 1 2 1
cos
2 2 2 2 2
RMS
RMS
RMS
t t dt t d t d
t d d
t d
  
 

         
  
       


  
 
      
              
   
  
 

 
Assim temos que 
 cos
2
o
RMS o RMS
V
V V t    
Essa é a voltagem que os voltímetros/multímetros medem. O oV é chamado de Voltagem de 
Pico. Assim para: 
220 311
127 180
RMS o
RMS o
V V V V
V V V V
  
  
 
 Voltagem entre fase-fase: 
Qualquer combinação linear de cosenos e senos da forma   cos sinf a b    pode ser 
escrita como    cosf C    . Prova: 
   
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 22 2
cos sin cos cos cos sin sin
cos cos cos cos cos
sin sin sin sin sin
cos sin
sin
arctantan
cos
f a b C C C
a C a C a C
b C b C b C
a b C C a bC a b
bb C b
aa C a
        
    
    
 



     
  
 
  
     
   
   
 
 
 
2 2cos sin cos arctan
b
a b a b
a
  
  
      
  
 
Vamos calcular a diferença entre duas fases: 
       
   
1 2
2 2 2
sin sin sin sin cos cos sin
3 3 3
2 2
sin 1 cos cos sin
3 3
ff o o
o
V V V V t t V t t t
V t t
  
    
 
 
        
                 
        
     
      
     
 
Fazendo: 
   
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
sin 1 cos cos sin
3 3
2 2
sin 1 cos
3 3
2 2 2 2 2
sin 1 cos sin 1 2cos cos
3 3 3 3 3
2 1
2 2cos 4 1 c
3 2
ff oV V t t
a e b
a b
a b
 
 
 
    

     
      
     
   
     
   
          
                 
          
 
     
 
2
2 2
os 2 4sin
3 3
3
2sin 2 3
3 2
C a b
 

    
    
    
 
     
 
 
Assim: 
     
 
2 2
sin 1 cos cos sin 3 cos
3 3
3 cos 3
ff o o
ff o fnRMSRMS RMS
V V t t V t
V V t V
 
   
 
     
        
     
  
 
Ou seja a voltagem entre fase-fase vale 3 a voltagem entre fase-neutro. 
220 381
127 220
f n f f
f n f f
V V V V
V V V V
 
 
  
  
 
 
Resistores: 
 
Lei de Ohm 
3 2 2
v
Q L Q I
J J
L T L T L
        . A Lei de Ohm pode ser escrita como 
condutividade elétricaJ E    . Continuidade da carga implica constanteI  , se 
constante constanteárea J   . Se vale lei de Ohm J E então 
J cte E cte  . Então 
1
1
J I
J E E J
A
J I L L
V EL L L I V I RI
A A A
L
V I RI
A
L L
R
A A


   
 



    
 
       
 
 
    
 
 
. 
 
Medida de resistência 
V RI com 
L
R
A
 e 
1
condutividade elétrica e resistividade elétrica 

   
 
V Volt
R Ohm
I Ampere
    
          
    unidade MKSA
L A
R R R L
A L
R L m
 

   
      
   
  
 
 
 
11 1
unidade MKSA
Mho
R L m m
OHM MHO


  
    
 

 
 
Resistores em série e em paralelo: 
Série: 
   
 
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
tot tot eq
eq
I I I V R I e V R I
V V V R R I V R I R R I
R R R
    
       
 
 
 
 
Paralelo: 
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 1
1 1 1
tot
tot
eq eq
V V
V V V I e I
R R
V V
I I I V
R R R R
V
I
R R R R
    
 
      
 
   
 
 
 
 
Campo magnético dentro de um capacitor carregando/descarregando 
0 o o o o
S S
o o
C S
D E
J H B B ndA E ndA
t t t
B d E ndA
t
   
 
  
           
  

  

 
 
 
0 o o
C A
J B d E n dA
t
 

    
  
2
o o o o o
Q
Q I ItE E
A t A A R

     

      

 
   
 
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2 2 2
o o
o o o o o o
A A
o o o
o
o o o o o o
o
E E E E
B n dA dA B R
t t t t
IE E I
R B usando B
t t R R R
I IE I
R B R R B
t R
 

 
        

   
    
  
     
    
     
   
    
   
 
       
 

       

 
 
 
 
 
2
2
o
o
I
R B
R R
I
R B


 
  


  

   
   
 
2
2
o
o
I
R B
R R
I
R B


 
 


 

  
  