8º MAT Atividade 2 - MONÔMIOS E POLINÔMIOS - Professor

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8º ANO 
 MATEMÁTICA 
ATIVIDADE 2 
Tema: Monômios polinômios; valor numérico de expressões algébricas, produtos notáveis, quocientes 
notáveis; operações envolvendo polinômios: adição, subtração e multiplicação operações envolvendo 
polinômios: divisão exata. 
 
Habilidades Essenciais: Associar os polinômios aos modelos geométricos de figuras planas (cálculo de perímetros e 
áreas), aos modelos de sólidos geométricos (cálculo de áreas da base e áreas laterais em planificações, cálculo de 
volumes) e os modelos que surgem em diversas situações do cotidiano como o valor a se pagar numa corrida de táxi, 
os valores de receita, custo e lucro de uma empresa dependendo da quantidade de produtos comercializados, entre 
outras. 
NOME: 
UNIDADE ESCOLAR: 
 
Expressões algébricas 
As expressões algébricas formadas por números (coeficientes) e letras (partes literais). A parte numérica 
representa o número de vezes que a parte literal que a acompanha aparece na expressão. A parte literal são 
valores particulares a serem atribuídos na expressão. 
Exemplos 
a) 5x2 
b) x3 + 4xy - 7xy5 
c) 6x - 7y + 8z 
 
Monômio, binômio e trinômio 
O sufixo “nômio” significa termo. Podemos notar que todos os elementos agrupados em um termo estão se 
multiplicando, assim temos: 
a) 2∙x3∙y∙z = 2x3yz, é um termo, com coeficiente “2” e parte literal “x3yz”; 
b) -4∙a∙b2∙c3 = -4ab2c3, é um termo, com coeficiente “-4” e parte literal “ab2c3” 
Quando temos um único temo chamamos a expressão de monômio. Quando temos a adição ou a subtração 
entre dos monômios dizemos que temos um binômio, por exemplo. 
a) x3 + 4xy - 7xy5 
b) 2 + 3a2b - 7ab6 
Quando temos três temos (três monômios) chamamos a expressão de trinômio. Note que temos a adição ou 
a subtração entre dos monômios, por exemplo. 
a) x2 + 3x + 7; 
b) 3ab - 4xy - 10y; 
c) m3n + m2 + n4. 
Para termos com quatro ou mais monômios, chamamos simplesmente de polinômios. Veja os exemplos: 
a) x3 + x2 + 3x + 7; 
b) 3ab - 4xy - 10y - 4; 
c) m3n + m2 + n4 + 3mn. 
O grau de um polinômio é dado pelos expoentes da parte literal. Para determinarmos o grau de um polinômio 
basta somar os expoentes das letras que compõem a parte literal de cada termo. A maior soma será o grau do 
polinômio. Veja os exemplos a seguir: 
 
Exemplos 
a) 3a4 + bc2, o expoente do primeiro termo é 4 e do segundo termo é 1+2 = 3. Como o maior é 4, o grau do 
polinômio é 4. 
b) -3x4y5z + 5x3y2z3 – 7xy3 – 2x6, em cada termo a soma dos expoentes é dada por: 
-3x4y5 => 4 + 5 +1 = 10 
5x3y2 z3 => 3 + 2+ 3 = 8 
– 7xy3 => 1 + 3 = 4 
– 2x6 => 6 
Como a maior soma é 10, o grau do polinômio é 10. 
Definimos como o Polinômio Nulo aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Neste caso o grau 
do polinômio não é definido. 
 
Operações entre polinômios 
 
Adição e Subtração: 
Para trabalharmos as operações de adição e subtração entre polinômios temos que saber os que são termos 
semelhantes. São chamados de termos semelhantes aqueles monômios que possuem a mesma parte literal. 
Por exemplo: 
2x3y e -13 x3y são monômios semelhantes, porque suas partes literais “x3y” são iguais; 
- 8abc e 125abc são monômios semelhantes, porque suas partes literais “x3y” são iguais. 
 
A adição e a subtração de polinômios são feitas somando-se ou subtraindo-se os coeficientes que 
acompanham os chamados termos semelhantes, ou seja, somando ou subtraindo-se os coeficientes de mesma 
parte literal. Veja o exemplo: 
 
a) (15x3 - 6x2 + 8x - 7) + (12x2 + 5x + 9) = 15x3 + (-6x2 + 12x2) + (8x + 5x) + (- 7 + 9) = 15x3 + 6x2 + 13x + 2; 
b) (4a2 – 16ab + b2) – (8a2 +26ab – 9b2) = 4a2 – (8a2) – 16ab – (26ab) + b2– (–9b2) = – 4a2+ 10ab +10b2; 
c) 5x3 – (6x3 + 8x2y – 7xy2 + y3) = (5x3 – 6x3) – 8x2y + 7xy2 – y3 = – x3– 8x2y + 7xy2 – y3. 
 
Multiplicação: 
A multiplicação polinomial é feita aplicando-se a propriedade distributiva entre todos os termos. Lembrando 
que para multiplicarmos termos literais iguais, repete-se a parte literal (a letra) e soma-se os expoentes. Veja 
os exemplos a seguir. 
a) (2x2 – 4x + 3)∙(3x2 – 2x + 1) = 6x4 – 4x3 + 2x2 – 12x3 + 8x2 – 4x + 9x2 – 6x + 3 = 6x4 – 16x3 + 19x2 – 
10x + 3 
b) (3x4y – 2xy2)∙(5x2y – 2xy3 + 1y4) = 15x6y2 – 6x5y4 + 3x4y5 – 10x3y3 + 4x2y5 – 2xy6 
Divisão Polinomial: 
De maneira objetiva e pragmática voltaremos esta operação para polinômios com um só tipo de letra na parte 
literal, ou seja, não colocaremos duas ou mais letras distintas. Na divisão de polinômios utilizamos o Método 
da Chave. Chamaremos de P(x) o polinômio dividendo, D(x) o polinômio divisor, Q(x) o polinômio 
quociente e R(x) o polinômio resto. Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e 
depois a divisão de potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Veja 
o exemplo: 
 
Assim como na Divisão Euclidiana, em que o “dividendo é igual ao divisor vezes o quociente mais o resto”, 
chamada de prova real, na divisão polinomial existe a relação: P(x) = D(x)∙Q(x) + R(x). 
Veja o exemplo: 
Dividir o polinômio P(x) = 2x4 + 5x3 + x2 – 7x + 1 por D(x) = 2x2 + x – 3. 
 
1º Passo: Dividir o monômio de maior expoente no dividendo pelo monômio de maior expoente no divisor. 
Neste caso o resultado é “x2”. Agora se pega o termo encontrado e multiplica por todos os termos do divisor. 
Esse resultado vai ser colocado embaixo do dividendo com os sinais invertidos e então, somam-se os 
coeficientes. 
 
 Desce o próximo coeficiente “ – 7x”. 
 
2º Passo: É idêntico ao primeiro. Dividir o monômio de maior expoente no dividendo pelo monômio de 
maior expoente no divisor. Neste caso o resultado é “x2”. Agora se pega o termo encontrado e multiplica por 
todos os termos do divisor. Esse resultado vai ser colocado embaixo do dividendo com os sinais invertidos e 
então, somam-se os coeficientes. 
 
Desce o próximo coeficiente “1”. 
 
3º Passo: É análogo aos dois anteriores. Dividir o monômio de maior expoente no dividendo pelo monômio 
de maior expoente no divisor. Neste caso o resultado é “1”. Agora se pega o termo encontrado e multiplica 
por todos os termos do divisor. Esse resultado vai ser colocado embaixo do dividendo com os sinais 
invertidos e então, somam-se os coeficientes. 
 
 
Observação (1): A divisão é executada até que o grau do dividendo seja menor que o grau do divisor; 
Observação (2): O grau do dividendo (P(x)) é igual à soma dos graus do divisor (D(x)) e do quociente 
(Q(x)); 
 
Observação (3): O grau do resto (R(x)) é sempre menor que o grau do divisor (D(x)). 
Note que se ocorre da divisão polinomial ser exata, R(x) = 0, teremos então, a diante, a seguinte relação: 
P(x) = D(x)∙Q(x) + R(x). 
P(x) = D(x)∙Q(x) + 0. 
P(x) = D(x)∙Q(x) 
Observe que o polinômio P(x) foi escrito com o produto de dois polinômios D(x)∙Q(x), e isso significa que 
P(x) foi fatorado e que D(x) e Q(x) são fatores de P(x). 
 
ATIVIDADES 
01) Analise a figura a seguir. Suponha que o terreno comprado por um proprietário tenha a forma da figura 
acima e suas medidas sejam representadas, em unidades de comprimento, pelas variáveis m, n e p. 
A expressão algébrica que representa o perímetro desse terreno é: 
 
a) ( ) 2m + 3n + p 
b) ( )3m + 4n + 2p 
c) ( )3m + 3n + p 
d) ( )3m + 2n + 3p 
 
02) Efetue a seguinte soma polinomial: (5x3 + x2 + 4x – 5) + (8x3– 3x2 + 12x – 1). 
 
03) Após analisar as afirmações a seguir sobre produtos notáveis e fatoração, marque com (V) o que for 
verdadeiro e, com (F), o que for falso. 
( ) (2x2 – y)2 = 9x4 – 4x2y + y2. 
( ) (a + b)2 = a2 + b2. 
( ) (3x + 2)(3x – 2) = 9x2 – 4. 
( ) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3. 
 
Assinale a alternativa que contém a ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo. 
a) ( ) V-V-V-V. 
b) ( ) V-F-V-F. 
c) ( ) V-F-V-V. 
d) ( ) V-F-F-V. 
 
04) Eliminando parênteses, colchetes, chaves e reduzindo os termos semelhantes, simplifique as expressões 
algébricas:a) m − (−2y + 3m) + (5m − 4y) = 
b) t2 − (−2t + 15) + t − (−3t2 + 4t − 1) = 
c) 10x3 − (x2 + 3x − 1) + (−6 x3 − 3x2 + 2) − (4x − 3) = 
d) 2a + [−5b + 2c − (a + 2b − c)] − (4b − 2c) = 
e) x2 − [2xy + x2 − (y2 + 3xy) + 2y2] − xy = 
f) 4ab − {−bc − [ac + (ab − ac − bc) + bc]} = 
 
05) Determine as seguintes somas: 
a) (−4x + 7y + z) + (5x − y – 5z) = 
b) (5x2 − 3t) + (2t − 3x2) = 
c) (b − 4a) – (3b + 3a) = 
   
− + −   
   
2 1 1
d) a b a b
3 3 5
 = 
   
− + −   
   
3 7 1
e) x y y x
5 10 3
 = 
 
06) Determine os seguintes produtos: 
a) (x2 − x − 1)(x + 1)= 
b) (a + b)(a − b − 1) = 
c) (3y2 − y + 1)(y2 − 1) = 
d) (m + n)(m2 − mn + n2) = 
e) (x2 + x + 1)(x2 − x − 1) = 
f) (a2 − b2)(a2 − ab + b2) = 
 
07) Determine os seguintes quocientes: 
a) (−18a2c) : (+6a2) = 
b) (−12x3) : (−2x) = 
c) (+30a4b3) : (−6a4b)= 
d) (+10mn3) : (−5mn) = 
e) (+7a4b2c) : (−ab) = 
 
08) O valor numérico de um polinômio é o valor obtidos quando substituímos sua variável (que é a parte 
literal) por um determinado valor, assim temos o valor numérico do polinômio para aquele número. 
Considerando o polinômio P(x) = 1 + x – 2x2 + 5x3, é correto afirmar que o valor da soma P(0) + P(1) + P(2) 
é um número localizado entre 
a) ( ) 10 e 20. 
b) ( ) 20 e 30. 
c) ( ) 30 e 40. 
d) ( ) 40 e 50. 
 
09) Determine o quociente Q(x) e resto R(x) da divisão do polinômio P(x) = x3 + x – 2 pelo polinômio D(x) 
= x - 1 é 
a) ( ) Q(x) = x2 + x + 1 e R(x) = 0 
b) ( ) Q(x) = x2 + x – 1 e R(x) = 1 
c) ( ) Q(x) = x2 + x + 2 e R(x) = 0 
d) ( ) Q(x) = x2 + x – 2 e R(x) = 1 
 
10) Determine o quociente e o resto da divisão de x7 + 3x6 + x + 3 por x + 3. 
 
11) Determine o resto da divisão do polinômio (x2 + x + 1)2 por x2 – x + 1, na forma fatorada é 
 
a) ( ) 4x. 
b) ( ) 4(x – 1). 
c) ( ) 4(x – 2). 
d) ( ) 4(x – 3). 
 
Respostas comentadas 
01 Gabarito “B”. 
Para determinamos a expressão algébrica que representa o perímetro, devemos somar todos os lados da 
figura geométrica que representa o terreno. m + n + m + 2n + p + p + n + m = = 3 m + 4n + 2p 
A expressão algébrica que representa o perímetro do terreno é a da alternativa “b”. 
 
02) (5x3 + x2 + 4x – 5) + (– 3x2 + 12x – 1) = 5x3 + x2 + 4x – 5 + 8x3– 3x2 + 12x – 1 = 13x3 – 2x2 + 16x – 6. 
 
03) Gabarito “C” 
(V) (2x2 – y)2 = 9x4 – 4x2y + y2 
(F) (a + b)2 = a2 + b2 
(V) (3x + 2)(3x – 2) = 9x2 – 14 
(V) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
 
04. a) m − (−2y + 3m) + (5m − 4y) = 3m − 2y 
b) t2 − (−2t + 5) + t − (−3t2 + 4t − 1) = 4t2 − t − 4. 
c) 10x3 − (x2 + 3x − 1) + (x3 − 3x2 + 2) − (4x − 3) = 4x3 − 4x2 − 7x + 6. 
d) 2a + [−5b + 2c − (a + 2b − c)] − (4b − 2c) = a − 11b + 5c. 
e) x2 − [2xy + x2 − (y2 + 3xy) + 2y2] − xy = −y2. 
f) 4ab − {−bc − [ac + (ab − ac − bc) + bc]} = 4ab − {−bc − [ac + ab − ac − bc + bc]}= 4ab − {−bc − [ 
ab]}=4ab +bc +ab = 5ab + bc = b(5a + c) 
 
 
5. Desenvolvendo as expressões algébricas: 
a) (−4x + 7y + z) + (5x − y – 5z) = x + 6y – 4z 
b) (5x2 − 3t) + (2t − 3x2) = 2x2 – t 
c) (b − 4a) – (3b + 3a) = – 2b − a 
d) (a – 
2
3
b) – (– b + 
1
4
a) = a – 
2
3
b + b – 
1
4
a = a – 
1
4
a + b – 
2
3
b = 
3
4
a + 
1
3
b. 
e) (
𝑚
2
− 
1
2
) − ( −
𝑚
3
+
1
4
) = 
𝑚
2
+
𝑚
3
− 
1
2
− 
1
4
 = 
5𝑚
6
 − 
3
4
. 
 
 
06. Efetuando os produtos através da propriedade distributiva, temos: 
a) (x2 − x − 1)(x + 1) = x3 − 2x − 1 
b) (a + b)(a − b − 1) = a2 − a − b2 − b 
c) (3y2 − y + 1)(y2 − 1) = 3y4 − y3 − 2y2 + y − 1 
d) (m + n)(m2 − mn + n2) = m3 + n3 
e) (x2 + x + 1)(x2 − x − 1) = x4 − x2 -2x − 1 
f) (a2 − b2)(a2 − ab + b2) = a4 − a3b + ab3 − b4 
 
 
07. Fazendo os quocientes e aplicando a divisão de potências de mesma base: conservam-se as bases e 
subtraem-se os expoentes: 
a) (−18a2c) : (+6a2) = − 3c 
b) (−12x3) : (−2x) = + 6 x2 
c) (+30a4b3) : (−6a4b) = − 5b2 
d) (+10mn3) : (−5mn) = − 2n2 
e) (−7a4b2c) : (−ab) = +7a3bc 
 
 
08) Gabarito “D” 
 Calculando os valores numéricos em P(x) = 1 + x – 2x2 + 5x3, temos: 
P(0) = 1 + 0– 2∙02 + 5∙03 =1; 
P(1) = 1 + 1– 2∙12 + 5∙13 =1 + 1 – 2 + 5 = 5; 
P(2) = 1 + 2– 2∙22 + 5∙23 = 1 + 2 – 8 + 40 = 35. 
Portanto P(0) + P(1) + P(2) = 1 + 5 + 35 = 41. Portanto está entre 40 e 50. 
 
 
09) Aplicando o método da Chave temos 
Q(x) = x2 + x + 2 e R(x) = 0 
 
10) Executando a divisão pelo Método da Chave temos : 
 
Q(x) = x6 + 1 e R(x) = 0. 
 
11) Gabarito: “B” 
Sendo (x2 + x + 1)2 =(x2 + x + 1) (x2 + x + 1) = x4 + 2x3 +3x2 + 2x + 1, pelo Método da Chave, 
encontramos 
 
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
x 2x 3x 2x 1 x x 1
x x x x 3x 5
3x 2x 2x 1
3x 3x 3x
5x x 1
5x 5x 5
4x 4
+ + + + − +
− + − + +
+ + +
− + −
− +
− + −
−
 
 
Portanto, a resposta é 4x – 4 = 4(x – 1).