Derivadas e aplicacões

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Cálculo I
Capítulo 3 : Derivadas
O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variação é um 
método conhecido como derivação. Neste capítulo, vamos descrever esse método e mostrar como pode ser 
usado para determinar a taxa de variação de uma função e também a inclinação da reta tangente a uma 
curva. 
3.1 EXEMPLO
1. Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária s(t) = 3t2 – 5t + 2 (s 
em metros , t em segundos)
a) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , 4 ]?
b) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , 3 ] ?
c) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 2,1 ]?
d) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , (2 + ∆t) ], com ∆t ≠ 0?
e) Como você interpretaria fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando ∆t tende 
a zero?
f) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 s?
Resolução:
a)Velocidade média de uma partícula num certo intervalo de tempo é definida pelo quociente entre o 
espaço percorrido (∆s = sfinal – sinicial) e o intervalo de tempo gasto em percorrê- lo (∆t = tfinal – tinicial):
smvLogo
st
ms
sss
t
sv
m
m
/13
2
26:
224
26430
)22.52.3()24.54.3()2()4( 22
==
=−=∆
=−=∆
+−−+−=−=∆
∆
∆
=
b)Neste item, temos:
smvLogo
st
ms
sss
t
sv
m
m
/10
1
10:
123
10414
)22.52.3()23.53.3()2()3( 22
==
=−=∆
=−=∆
+−−+−=−=∆
∆
∆
=
c)Neste item, temos:
smvLogo
st
ms
s
s
sss
t
sv
m
m
/3,7
1,0
73,0:
1,021,2
73,0
473,4
)22.52.3()21,2.51,2.3(
)2()1,2(
22
==
=−=∆
=∆
−=∆
+−−+−=∆
−=∆
∆
∆
=
1
Cálculo I
d)Neste item, temos:
tvsejaou
t
ttvLogo
tts
tts
tts
stss
mm ∆+=∆
∆+∆
=
∆+∆=∆
−∆+∆+=∆
+−−+∆+−∆+=∆
−∆+=∆
37,37:
37
4]374[
)22.52.3(]2)2.(5)2.(3[
)2()2(
2
2
2
22
Observe que este item com ∆t genérico engloba os itens anteriores:
Item a) ∆t = 2 s ⇒ vm = 7 + 3.2 = 13 m/s
Item b) ∆t = 1 s ⇒ vm = 7 + 3.1 = 10 m/s
Item c) ∆t = 0,1 s ⇒ vm = 7 + 3.0,1 = 7,3 m/s
e)No item anterior obtivemos a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [2, (2 + ∆t)], com 
∆t ≠ 0. Quando ∆t tende a zero, o segundo extremo de intervalo de tempo tende a 2 e o referido 
intervalo tende a [2, 2], que é um “intervalo de amplitude nula”, caracterizando o instante t = 2 s.
Logo, fisicamente, quando ∆t tende a zero, a velocidade média tenderá para a velocidade instantânea da 
partícula para t = 2s e esta velocidade será denotada por v(2).
Portanto, concluímos que: s/m7t37lim)2(v 0t
=∆+=
→∆
O gráfico ao lado representa a função da questão acima. 
Trace a reta secante para calcular a velocidade média no 
intervalo de 2 a 4 segundos e a reta tangente para calcular 
a velocidade instantânea no instante 2 segundos.
Análise do Exemplo 
Vamos aprofundar o “raciocínio” usado anteriormente na 
resolução o exemplo dividindo em etapas:
• Etapa 1
As funções dadas e as solicitações feitas:
 S = S (t) = 3t2 –5t + 2 ; determinar v(2)
• Etapa 2
Cálculo das variações, (incrementos), das variáveis independentes:
 de 2 a ( 2 + Δt ), com Δt ≠ 0 : variação = Δt
• Etapa 3
Cálculo das correspondentes variações ou incrementos sofridos pela variável dependente:
 S ( 2 + Δt ) – S( 2 ) = 7Δt + 3Δt2
• Etapa 4
Cálculo da razão incremental, que é a relação entre o incremento (variação) da variável dependente e o 
incremento (variação) da variável independente:
• Etapa 5
Cálculo do limite da função quando o denominador da razão incremental tender a zero:
 quando Δt→0 , então (7 + 3 Δt) → 7 
2
[ ]t2,2ervalointnomédiavelocidadeaéque,t37
t
)2(S)t2(S ∆+∆+=
∆
−∆+
Espaço Percorrido X Tempo 
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
0 1 2 3 4 5
tempo (s)
de
sl
oc
am
en
to
 (m
)
Cálculo I
Sintetizando as 5 etapas analisadas, obtém-se a seguinte definição:
3.2 DEFINIÇÃO
• Derivada de uma função
A derivada da função f(x) em relação a x é a função f´(x) (que se lê como “f linha de x”) dada por:
Uma função f(x) é derivável no ponto c se f´(x) existe ou seja , se o limite existe no ponto x = c.
O processo de calcular a derivada é chamado de derivação.
• Notação de derivada
A derivada f´(x) muitas vezes é escrita na forma dy/dx , que se lê “dê y sobre dê x”
Nesta notação, o valor da derivada no ponto x = a ou seja, f´(a) , é escrito na forma:
 
axdx
dy
=
De acordo com o exemplo 1 : 
Para calcularmos a velocidade no instante 2, calculamos a derivada da função S no ponto t = 2.
S´(2) = V(2).
Ou ainda: s/m7)2(vdt
dS
2t
==
=
Podemos também dizer que a derivada da função horária nos fornece a função velocidade, ou seja )t(v
dt
dS
=
Generalizando tudo o que foi visto no exemplo, pode- se concluir que, se o gráfico de f(x) é:
 
 
 P
A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (a, f(a)) é dada por m t = f´(a). 
Então, f’(a) = tgα t = m t, ou seja a derivada da função de f(x) no ponto a é o coeficiente angular da reta 
tangente à curva no ponto P de abscissa a.
A taxa de variação de uma instantânea de uma grandeza f(x) em relação a x no ponto a é f´(a).
3
h
)x(f)hx(f
lim)x´(f
0h
−+
=
→
 
a
 f(a)
 y
x
y = f(x)
t
Cálculo I
3.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Considere o movimento de um corpo ao cair de uma grande altura. De acordo com a física clássica, em t 
segundos de queda, o corpo percorre uma distância s(t) = 4,9t2 metros. Suponha que estejamos interessados 
em determinar a velocidade do corpo após 2 segundos. A menos que o corpo caia equipado por um 
velocímetro, é difícil medir diretamente a velocidade. Mas podemos determinar a distância percorrida pelo 
corpo entre o instante t = 2 e t = 2 + h e calcular a velocidade média durante esse intervalo de tempo:
Resolução:
h
h
hh
h
hh
h
h
h
shs
empoervalo
ercorridadistânciapVm 9,46,199,46,19)4(9,4)44(9,4)2(9,4)2(9,4
22
)2()2(
detint
2222
+=
+
=
−++
=
−+
=
−+
−+
==
Se o intervalo de tempo h é pequeno, a velocidade média está próxima da velocidade instantânea no 
instante t = 2. Assim, é razoável determinar a velocidade instantânea tomando o limite da expressão 
anterior quando h tende a zero:
 6,19)9,46,19(lim0
=+=
→
hV
h ou, usando a notação de derivada: s/m6,19dt
dS
2t
=
=
Dessa forma, após 2 segundos de queda, o corpo estará viajando a uma velocidade de 19, 6 m/s.
1. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de 
pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da 
epidemia) é, aproximadamente, dado por:
 
3
tt64)t(n
3
−=
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t =4?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t =8?
c) Quantaspessoas são atingidas pela epidemia no 5o dia?
Observação: para resolver este exercício sugerimos que o professor peça para que os alunos façam o gráfico 
da curva que representa esta função e comparem os resultados obtidos geometricamente com os resultados 
obtidos através da definição de derivada. 
Resolução:
A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação da função n(t) em relação à t.
Usaremos a definição de derivada para resolver os itens a e b.
 Para t = 4:
 
diapessoas48
dt
dnderivadadenotaçãoaUsando
diapessoas48
t3
t12tt144
t
67234
3
64t48t12t
256t64
t
3
4
464
3
4t
4t64
t
4n4tn
44t
4n4tn
4t
23
0t
23
0t
33
0t
0t0t
/:
/lim
,
)(
lim
)(
.
)(
)(
lim
)()(
lim
)(
)()(
lim
=
=
−−
=
−
+++
−+
=




−−


 +
−+
=
−+
=
−+
−+
=
→
→
→
→→
b) Para t = 8
4
Cálculo I
 
dia/pessoas0
t3
t16tlim
t
3
1024
3
)512t192t24t(512t64
lim
t
3
)8(8.64
3
)8t()8t(64
lim
t
)8(n)8t(nlim
8)8t(
)8(n)8t(nlim
23
0t
23
0t
33
0t
0t0t
=
−−
=
−
+++
−+
=




−−



 +
−+
=
−+
=
−+
−+
→
→
→
→→
 dia/pessoas0dt
dn:derivadadenotaçãoaUsando
8t
=
=
c) Para calcularmos quantas pessoas foram atingidas pela epidemia no 5o dia, basta calcular n(5) 
– n(4):
 
( )
dia/pessoas6,43)4(n)5(n
3
)4()4(64
3
5)5(64)4(n)5(n
33
=−




−−



−=−
3. Uma partícula caminha sobre uma trajetória retilínea de modo que sua velocidade obedece à função 
v(t) = 8t – 2 (v em metros , t em segundos). Determinar a aceleração da partícula no instante t = 4s.
 
Resolução:
Para obter a aceleração da partícula no instante t = 4s, deve-se inicialmente calcular a aceleração média
da mesma no intervalo de tempo [ 4, (4 + ∆t) ].
Assim: ∆V = v (4 + ∆t) – v(4) = [ 8(4 + ∆t) – 2 ] – (8.4 – 2) = [32 + 8∆t – 2] – 30 = 8 ∆t
 Logo: am = 8∆t / ∆t ou seja, am = 8m/s 2
Para obter a(4), você deve observar o que acontece com am = 8 quando ∆t tende a zero.
Como am = 8 é uma função que independe de ∆t, quando ∆t tende a zero, am continua sendo 8,
ou seja: a(4) = 8m/s 2
2
4t
s/m8
dt
dv:derivadadenotaçãoaUsando =
=
Observe que a derivada da velocidade em função do tempo nos fornece a função aceleração.
 
)t(a
dt
dv:derivadadenotaçãoaUsando =
Observação: 
Quando derivamos a função horária encontramos a velocidade, se a derivarmos novamente encontramos a 
aceleração. Sendo assim, podemos dizer que a aceleração é a segunda derivada do espaço e indicamos por:
)t(a
dt
Sd)t´´(S
2
2
==
5
Cálculo I
4.Obtenha a equação da reta tangente à curva y = x2 no ponto ( 1, 1 )
Resolução:
Calculando o coeficiente angular da reta secante à parábola dada, que passa pelos seus pontos de abscissas 
1 e ( 1+h ):
Logo, o coeficiente angular da tangente à parábola dada pelo seu ponto ( 1, 1 ) será obtido a partir de m s , 
fazendo- se h tender a zero; então m s tenderá a 2, isto é, m t = 2.
A equação da reta tangente solicitada será dada por: y = 2x – 1.
3.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: 
 s(t) = t3 + t2 - 2t + 3(s em metros, t em segundos). Determinar a velocidade no instante t = 5 s.
 83 m/s
2. Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece à função: v(t) 
= t2 – 4t (v em metros, t em segundos). Sabe-se que a aceleração média da partícula am, num certo intervalo 
de tempo, é dada por am = ∆V / ∆t , determine:
a) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 , 1 ] ? 2a) -3 m/s 2 
b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,5 ] ? b) -3,5 m/s 2
c) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,1] ; c) -3,9 m/s 2
d) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0, ∆t ], com ∆t ≠ 0? ; d) 4−∆t ; 
e) Como você interpretaria fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, quando ∆t tende a 
zero? aceleração instantânea
f) Qual a aceleração da partícula no instante t = 0 s? ; f)-4 m/s 2
3. Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária:
 S(t) = t2 – 7t + 10 ( s em metros e t em segundos)
b) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo.
c) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 3 s
d) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo.
e) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 3 s.
4. Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo a função horária:
 S(t) = 4t3 – 5t2 + 8t +1 ( s em metros e t em segundos)
c) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo. a) v = 12t2 – 10t + 8
d) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 1 s b) 10 m/s
e) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo. c) a = 24t -10
f) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 4 s. d) 86 m/s 2
5. Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 - 2x + 1 no ponto (2, 1)
6. Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x2 +3 no ponto (2, 11)
7. Dada a função f(x) = 5x2 + 6x –1, encontre f ’(2).
8. Dada a função f(x) = 3x2–1 e g(x) = 5 – 2xdeterminar:
a) f ’(1) b) g ‘(1) c) f ‘(1) + g ‘(1)
9. Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 1 – 4x2 b) f(x) = 2x2 – x –1 
 
Respostas:
1. 83 m/s
2. a) -3 m/s 2; b) -3,5 m/s 2; c) -3,9 m/s 2; d) 4−∆t ; e) aceleração instantânea ; f)-4 m/s 2
3. a) v = 2t- 7; b) -1 m/s; c) 2 m/s 2; d) 2 m/s 2
6
( ) h2
h
hh2
h
1)hh21(
1)h1(
1h1m
2222
s +=
+
=
−++
=
−+
−+
=
Cálculo I
4. a) v = 12t2 – 10t + 8; b) 10 m/s; c) a = 24t -10; d) 86 m/s 2
5. y = 2x-3
6. y = 8x – 5
7. 26
8. a) 6; b) -2; c) 4
9. a) -8x; b) 4x-1
3.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO
Determinar a derivada das seguintes funções:
1) f(x) = 5
2) f(x) = x
3) f(x) = 5.x
4) f(x) = x2
Observação:
Resolvemos estes exercícios por definição, mostrando o gráfico de cada uma das funções e depois 
demonstramos, genericamente, a derivada das funções constante e identidade. Em seguida, apresentamos a 
tabela abaixo.
3.5.1 TABELA
x
1´yxlny)12
e´yey)11
xsec´yxtgy)10
xsen´yxcosy)9
xcos´yxseny)8
v
´v.uv´.u´y
V
uy)7
´v.uv´.u´yv.uy)6
´v´u´yvuy)5
x.n´yxy)4
´u.k´yu.ky)3
1´yxy)2
0´yky)1
.qualquertetanconsumakederiváveisfunções)x(vve)x(uuSejam
xx
2
2
1nn
=⇒=
=⇒=
=⇒=
−=⇒=
=⇒=
−
=⇒=
+=⇒=
+=⇒+=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
==
−
3.5.2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
I) Encontre a derivada para as funções abaixo:
1) x7y =
2) 4x3y 2 +=
3) 3xx4xy 25 −+−=
4) 3xy =
5) 3xx7x3y 25 −−+−=
6) pi−+= x5x
3
2y 2
7) x4x
2
5x
3
2y 23 −+=
8) 5xxy 713 +−=
9) ( )( )2x35x2y −+=
10) ( )( )3x2x3xy 2 −+=
11) ( ) ( )x3x5x23x5y 23 +−−=
12) ( )( )18x37x5xy 32 −+−=
13) ( )( )3xxx3y 2 −−+−=
14) 2x
3y =
15) 4x
5y −=
16) 5x3
2y =
17)
x
1y =
18)
1x
2y
+
=
19)
7x2
5x3y
−
+
=
20)
5x33x5y
+
−
=
21)
1x8
3x7y
−
+
=
22) x5seny =
23) xcos7y −=
24) 
3
senxxln2y +=
7
Cálculo I
25) 
xcos
senx
3
ey
x
+= 
Respostas:
1) 7y ' =
2) x6y ' = 
3) 1x8x5y 4' +−=
4) 2' x3y =
5) 1x14x15y 4' −+−=
6) 5x
3
4
dx
dy
+=
7) 4x5x2y 2' −+=
8) 612' x7x13y −=
9) 11x12y ' += 
10) ( )3x2x23y 2' −+= 
11) 9x60x93x40y 23' −+−=
12)
90x36x63x60x15y 234' +−+−= 
13) 3x16x9y 2' −+=
14) 3x
6
dx
dy
−=
15) 5x
20
dx
dy
= 
16) 6x3
10
dx
dy
−= 
17) 2x
1
dx
dy
−= 
18) ( ) 21x
2
dx
dy
+
−= 
19) ( ) 27x2
31
dx
dy
−
−=
20) ( ) 25x3
34
dx
dy
+
=
21) ( ) 21x8
31
dx
dy
−
−=
22) xy 5cos5´ −=
23) senx7y ' = 
24) 
3
xcos
x
2y ' += 
25) xsec
3
ey 2
x
' +=
3.5.3 REGRA DA CADEIA
Em muitas situações, a taxa de variação de uma grandeza pode ser expressa como um produto de outras 
taxas.
Por exemplo, um automóvel que esteja viajando a 80 km/h e o consumo de gasolina a esta velocidade seja 
de 0,1 l/km. Para calcular o consumo de gasolina em litros por hora, basta multiplicar as duas taxas:
 hl
h
km
km
l /880.1,0 =
No exemplo anterior, temos uma função composta onde para calcularmos a derivada desta função 
multiplicamos as duas taxas de variação. Essa expressão é um caso particular de uma regra importante 
conhecida como regra da cadeia .
E é para derivarmos funções compostas que utilizamos a regra da cadeia, definida abaixo:
Se y é uma função derivável de u e u é uma função derivável de x, y é uma função composta de x e
 
dx
du.
du
dy
dx
dy
=
Ou seja, a derivada de y em relação a x é igual ao produto da derivada y em relação a u pela derivada de 
u em relação a x.
3.5.3.1 EXEMPLOS
1) Determine dy /dx para 2xue1u3uy 223 +=+−=
Solução:
8
Cálculo I
)2.(6)).(2.(6
]2)2).[(2.(6
)2)}.(2.(6)2.(3[
2,
2).63(.:,
263
2322
22
222
2
2
2
+=+=
−++=
+−+=
+
−==
=−=
xxxxx
dx
dy
xxx
dx
dy
xxx
dx
dy
xporuemossubstituirxdefunçãoemydederivadaaqueremoscomo
xuu
dx
du
du
dy
dx
dytemoscadeiadaregrapela
x
dx
dueuu
du
dyComo
2) Determine a derivada das funções abaixo utilizando a regra da cadeia: 
22222
2
2
32
32
)13.(186.)13(3
6.3:
63
13
:
)13()
+=+=
=
==
=+=
+=
xxxx
dx
dy
xu
dx
dytemoscadeiadaregrapela
x
dx
dueu
du
dyComo
uyentãoxuFaremos
Solução
xya
xu
u
u
x
ee
dx
dytemoscadeiadaregrapela
dx
duee
du
dyComo
eyentãoxuFaremos
Solução
eyb
3
3
.33.:
3
3
:
)
==
==
==
=
2
2
2
22
2
tcos.tt.ucos
dx
dy:temoscadeiadaregrapela
ucos
dx
duet
du
dy
Como
usenyentãotuFaremos
:Solução
tseny)c
==
==
==
=
3.5.3.2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 Derive usando a regra da cadeia:
 
9
Cálculo I
13.2
3)
)3.(8)
5)
12
4)
8.16)
4cos4)
3
2)
:Re
13)
)3()
)
)12ln(2)
8cos)
4)
)3ln()
32
5
2
2
42
5
2
2
+
=
+=
−=
+
−
=
−=
=
+
=
+=
+=
=
+−=
=
=
+=
−
−
xdx
dyg
tt
dt
dyf
e
dx
dye
tdt
dyd
tsent
dt
dyc
x
dx
dyb
x
x
dx
dya
spostas
xyg
tyf
eye
tyd
tyc
xsenyb
xya
x
x
10
Cálculo I
3.6 TABELA GERAL DE DERIVADAS
11
( )
( )
)(cosech )(cotgh )()(cosech 
)(sech )(tgh )()(sech 
)(h cosec)()(coth 
)(h sec)()(tgh 
)(senh )()(cosh 
)(cosh )()(senh 
1)( / )(1)( ),( arccosec
1)( / )(1)( ),( arcsec
])(1[ / )()( arccotg
])(1[ / )()( arctg
]))((1[ / )]([)( arccos
]))((1[ / )]([)(arcsen 
2
2
2
2
2
2
2
2
xuxuxuyxuy
xuxuxuyxuy
xuxuyxuy
xuxuyxuy
xuxuyxuy
xuxuyxuy
xuuxuyxuxuy
xuuxuyxuxuy
xuxuyxuy
xuxuyxuy
xuxuyxuy
xuxuyxuy
⋅⋅′−=′→=
⋅⋅′+=′→=
⋅′−=′→=
⋅′=′→=
⋅′=′→=
⋅′=′→=
−⋅′−=′→≥=
−⋅′=′→≥=
+′−=′→=
+′=′→=
−′−=′→=
−′=′→=
)( cosec)( cotg)()( cosec
)( sec)( )()( sec
)(cosec)()( cotg
)(sec)()( 
)( )()( cos
)( cos)()( 
)(ln)()]([)()]([)(0)(,)]([
)( / )()(ln
)ln)(( / ))((1 0 ,log
)(
)(ln1 0 ,
)()]([0 , ,)]([
)( ),(
0 cte ,
2
2
)(1)(
)(
)()(
)()(
1
xuxuxuyxuy
xuxutgxuyxuy
xuxuyxuy
xuxuyxutgy
xusenxuyxuy
xuxuyxuseny
xuxvxuxuxuxvyxuxuy
xuxuyxuy
axuxuyaeay
xueyey
xuaayaeaay
xuxuyxuy
xukyctekxuky
ykky
xvvxv
xu
a
xuxu
xuxu
⋅⋅′−=′→=
⋅⋅′=′→=
⋅′−=′→=
⋅′=′→=
⋅′−=′→=
⋅′=′→=
⋅′⋅+′⋅⋅=′→>=
′=′→=
⋅′=′→≠>=
′⋅=′→=
′⋅⋅=′→≠>=
′⋅⋅=′→≠ℜ∈=
′⋅=′→=⋅=
=′→==
−
−αα ααα
Cálculo I
3.6.1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
I) Derive as funções: 
II) Calcule as derivadas das funções abaixo:
1) 763'763
22
).1212(.2 ++++ +== xxxx exyey
2) xx eyey −− −== 3'3
3
1
3
1
3) xxy 63
2
2 += xxxy 63'
2
2.2ln).66( ++=
4) xey
6
.4= 2
6
' 24
x
ey
x
−=
5) )75ln( xy −= 
x
y
75
7'
−
−=
6) 352
2
5 +−= xxy 352'
2
5.5ln).54( +−−= xxxy
7) xseny 2= xy 2cos.2' =
8) xxy cos.= xsenxxy −= cos'
9) xy ln= 
x
y 1' =
10) senxxy .4= )4cos(3' senxxxxy +=
11) xy 2cos= xsenxy cos.2' −=
12)
x
seny 1= xx
y 1cos12
'
−=
13) senxy 3= xy senx cos.3ln.3' =
14) xy 6cos= xseny 66' −=
15) )xln(y 13 += 
1
3
3
2
+
=
x
xy '
16) 7xcosy = 767 senxxy ' −=
17) )xx(seny 142 +−−= )xxcos().x(y ' 1442 2 +−−−=
18) xsen.xy 53= )xsenxcosx.(y ' 5553 +=
12
 1) 3)5( −= xy
2) 6)43( +−= xy
3) 43 )
2
12( −= xy
4) xy 5=
5) 52.5 xy =
6) 2−= xy
7) 2.3 xy =
8) 5 3 4
5
2
−= xy
9) 3 8xy =
10) 3 2)12( −= xy
Respostas: 1) 75303 2' +−= xxy
2) 5' )43.(18 +−−= xy
3) 332' )
2
12.(24 −= xxy
4) 
x
y
5.2
5'
=
5) 
x
xy
2
25 2'
=
6) 
2.2
1'
−
=
x
y
7) 3' =y
8) 5 43
2
'
)4(.25
6
−
=
x
xy
9) 3 2
'
)8(.3
8
x
y =
10) 3
'
12.3
4
−
=
x
y
Cálculo I
III) Calcule as derivadas das funções abaixo:
a) 
)4(log 32 xxy +=
b) 
32 )7(
1
+
=
x
y
c) 
24 2
5
xey x −= d) 
x
x
y 2
7
3
−=
e) 
26xey = f) 
165 += xey
g) 
10)7( −=xy h) 
1234 +−= xxy
i) x
xey x
2
15 46
5
−+=
j) 
424 53 )xx(xy +−+=
k) 
3
35²5
x
xxy +−=
l) 
4 355 2533 +−+= xxy
m) 
525 )27( xexy +−= n) 4432
2 )xxln(y −=
o) 7
53ln
3xxxy −=
p) 
322ln xx xey −=
q) xcosxseny 232
3 +−= r) 4
122 34 −−= xxy
s) x
ey
x5
=
 t) 
3x
xlny=
u) 
322cos senxxy −=
 
Respostas:
a) 
)4(
log)43(' 3
2
2
xx
exy
+
+
=
b) 42 )7(6' −+−= xxy
c) xexy x 420'
544
−=
d) 2)7(
2
21' 2
3
−
−
=
−
xy
e)
2612' xxey =
f) 5.ln.5.6' 16 += xy
g) 9)7(10' −= xy
h) 4ln.4' 1+= xy
i) 2
3364 )2(20.30'
5 −
++= xxexy x
j) )32.()53(44' 323 −+−+= xxxxy
k) 49510' −−−= xxy
13
l) 4
332
4 )2(
4
1515'
−
+−= xxxy
m) )210.()27(5' 24425 xx exexy +−+−=
n) 


−
−
=
xx
xy
43
46.8'
2
o) 
7
153ln1'
2xxy −+=
p) [ ]232ln22ln' 3 x
x
exey x
x
x
−+=
q) senxxxy 23cos18' 32 +=
r) 
2
38'
2
1
3 xxy −=
s) 
534' xex
A
y =
t) )ln31(' 4 xxy −= −
u) 32 cos622' xxxseny +=
Cálculo I
3.7 APLICAÇÃO DE DERIVADAS: TAXA DE VARIAÇÃO
3.7.1 EXEMPLOS
1. O fator limitante na resistência atlética é o desempenho cardíaco, isto é, o volume de sangue que o 
coração pode bombardear por unidade de tempo durante uma competição atlética. A figura ao lado mostra 
um gráfico de teste de esforço de desempenho cardíaco V em litros (L) de sangue versus a quantidade de 
trabalho que está sendo feita W em kilogramas- metros (kg.m) durante um minuto de levantamento de peso. 
Este gráfico ilustra o conhecido fato médico de que o desempenho cardíaco aumenta com a quantidade de 
trabalho mas, depois de atingir um valor de pico, começa a cair.
Use a reta secante da figura a 
para estimar a taxa média de 
desempenho cardíaco em 
relação ao trabalho a ser 
executado quando este 
aumenta de 300 para 1200 
kg.m.
Use a reta tangente da figura b 
para estimar a taxa de 
variação instantânea do 
desempenho cardíaco em 
relação ao trabalho que está 
sendo executado no ponto 
onde ele é de 300 kg.m.
Resolução:
Usando os pontos estimados (300, 13) e (1200, 19), a inclinação da reta secante da figura 1 é:
mkg
Lm
.
0067,0
3001200
1319
sec ≈
−
−
≈
Dessa forma, a taxa de variação média de desempenho cardíaco em relação ao trabalho que está sendo 
executado no intervalo dado é de aproximadamente 0,0067 L / kg.m.
Isso significa que, em média, o aumento de 1 unidade no trabalho que está sendo executado produz um 
aumento de 0,0067 L, no desempenho cardíaco no intervalo dado.
Usando a reta tangente estimada na figura 2 e os pontos estimados (0,7) e (900,25) sobre esta reta 
obtemos:
mkg
Lmtg .
02,0
0900
725
≈
−
−
≈
Assim, a taxa de variação instantânea do desempenho cardíaco, em relação ao trabalho é de 
aproximadamente 0,02 L / kg.m.
2. Um estudo ambiental realizado em um certo município revela que a concentração média de 
monóxido de carbono no ar é 175,0)( 2 += ppc partes por milhão, onde p é população em milhares de 
habitantes. Calcula-se que daqui a t anos a população do município será 21,01,3)( ttp += milhares de 
habitantes. Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono daqui 3 anos?
14
Cálculo I
Resolução:
O nosso objetivo é obter o valor de dtdc / para t = 3.
Como 2/122/12 )175,0.(
2
1)]2.(5,0[)175,0(
2
1
−− +=+= pppp
dt
dc
 e t
dt
dp
2,0= 
Temos, de acordo com a regra da cadeia:
175,0
1,0)2,0.()175,0.(
2
1.
2
2/12
+
=+== −
p
pttpp
dt
dp
dp
dc
dt
dc
Para t = 3:
4)3(1,01,3)3( 2 =+=p
Logo, 
anopormilhãopor
dt
dc
dt
dc
dt
dc
dt
dc
24,0
5
2,1
25
2,1
17)4.(5,0
)3).(4.(1,0
2
=
=
=
+
=
3.7.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Uma partícula move-se sobre uma reta de forma que, após t segundos ela está a s = 2t2 + 3t metros de 
sua posição inicial.
a) Determine a posição da partícula após 2 s.
b) Determine a posição da partícula após 3s.
c) Calcule a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [2 , 3].
d) Calcule a velocidade instantânea em t = 2.
2) Um projétil é disparado diretamente para cima e, nos primeiros 30 segundos, a altura atingida por ele 
em t segundos é de h = 4t2 metros.
a) Qual a altura atingida em 20s?
b) Qual a velocidade média do projétil nos primeiros 30s?
c) Qual a velocidade instantânea após 30s?
3) Um objeto cai em direção ao solo de altura de 180 metros. Em t segundos, a distância percorrida pelo 
objeto é de s = 20t2 m.
a) Quantos metros o objeto percorre após 2 segundos?
b) Qual é a velocidade média do objeto nos 2 primeiros segundos?
c) Qual é a velocidade instantânea do objeto em t = 2 s?
15
Cálculo I
d) Quantos segundos o objeto leva para atingir o solo?
e) Qual é a velocidade média do objeto durante a queda?
f) Qual é a velocidade instantânea do objeto quando ele atinge o solo?
4) A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de t horas a colônia terá a população 
P(t) que obedece a lei: P(t) = 10.000.1,2t.
a) Qual o número de bactérias depois de 10 horas?
b) Encontre a lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t.
c) Determine essa variação instantânea após 10 horas.
5) Um tanque está sendo esvaziado segundo a função V(t) = 200.(30 – t)2, onde o volume é dado em litros 
e o tempo em minutos. A que taxa a água escoará após 8 minutos? Qual a taxa média de escoamento 
durante os primeiros 8 minutos?
6) Uma saltadora de pára- quedas pula de um avião. Supondo que a distância que ela cai antes de abrir o 
pára-quedas é de s(t) = 986.(0,835t – 1) + 176t , onde s está em pés e t em segundos, calcule a velocidade 
instantânea (em m/s) da pára-quedista quando t = 15. (Obs.: 1 pé = 0,3048 m)
7) As posições de dois móveis num instante t segundos são dadas por s1 = 3t3 – 12t2 +18t + 5 m e 
s2 = -t3 + 9t2 – 12t m. Em que instante as partículas terão a mesma velocidade?
8) Um objeto se move de modo que no instante t a distância é dada por s = 3t4 – 2t. Qual a expressão da 
velocidade e da aceleração desse objeto?
9) Achar a velocidade e a aceleração no instante t = 3 segundos onde s = 3t3 – 2t2 + 2t +4 é a função que 
informa a posição (em metros) de um corpo no instante t.
10) Um corpo se desloca sobre um plano inclinado através da equação s = 5t2 – 2t (s em metros e t em 
segundos). Calcular a velocidade e a aceleração desse corpo após 2 segundos da partida.
11) Um corpo é abandonado do alto de uma torre de 40 metros de altura através da função y = 6t2 – 2. 
Achar sua velocidade quando se encontra a 18 metros do solo onde y é medido em metros e t em 
segundos.
12) Uma partícula se move segundo a equação s(t) = t3 – 2t2 + 5t – 1, sendo s medido em metros e t em 
segundos. Em que instante a sua velocidade vale 9 m/s?
13) Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s1 = t3 + 4t2 + t – 1 e s2 = 2t3 – 5t2 + 
t + 2. Determine as velocidades e posições desses corpos quando as suas acelerações são iguais.
14) Uma partícula descreve um movimento circular segundo a equação θ = 2t4 – 3t2 – 4 (θ em radianos). 
Determine a velocidade e a aceleração angulares após 4 segundos.
15) Certa imobiliária aluga salas comerciais por R$ 600,00 mensais. Este aluguel sofre um reajuste mensal 
de 2%. Calcule a taxa de variação do aluguel daqui a 10 meses.
16) Um cubo de metal com aresta x foi aquecido e dilatou- se uniformemente.
a) Determine a taxa de variação média do seu volume quando a aresta aumenta de 3 para 3,01 cm.
b) Determine a taxa de variação do seu volume em relação à aresta para x = 3 cm.
17) Sabemos que a área A de um quadrado de lado l é: A = l2. Determinar:
a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 3 a 3,5 
metros; 
b) a taxa de variaçãoda área em relação ao lado quando este mede 5 metros.
18) Numa certa fábrica, o número de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado 
pelo gráfico abaixo: 
16
Cálculo I
Peças produzidas por hora de trabalho
0
500
1000
1500
2000
0 2 4 6 8 10
horas
pe
ça
s 
pr
od
uz
id
as
a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas?
b) Quantas peças são produzidas na oitava hora de trabalho?
19) Uma caixa d’água está sendo esvaziada para limpeza. A quantidade de água na caixa, em litros, t horas 
após o escoamento ter começado é dada por:
( ) 28050 tv −=
Determinar:
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 8 primeiras horas de 
escoamento.
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 10 horas de escoamento.
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 7 primeiras horas de escoamento.
d) Esboce o gráfico da função e resolva graficamente os itens a, b e c.
20) Uma chapa metálica quadrada de lado x está se expandindo segundo a equação x = 2+ t2, onde a 
variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo t = 2.
21) Numa granja experimental, constatou- se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas 
onde t é medido em dias.
a) Qual a razão do aumento do peso da ave quando t= 50?
b) Quanto a ave aumentará no 51o dia?
c) Qual a razão de aumento de peso quando t=80?
22) Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de 
.
1
520)( milhares
t
tp
+
−= Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta 
comunidade?
23) Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada pelo gráfico abaixo, 
onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros.
17
( )



≤≤+
≤≤++
=
,9060,6044,24
600,4.
2
120
)(
2
tparat
tparat
tw
Cálculo I
0
30
60
90
120
150
180
210
0 2 4 6 8 10
tempo (segundos)
di
st
ân
ci
a 
(m
et
ro
s)
a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo [3;4].
b) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3.
24) A posição de uma partícula que se move no eixo x depende do tempo de acordo com o gráfico abaixo, 
em que x vem expresso em metros e t em segundos:
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0 1 2 3 4 5
tempo (s)
po
si
çã
o 
(m
)
a) Qual o seu deslocamento depois de 4 segundos?
b) Qual a velocidade da partícula quando t = 4 segundos?
25) Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume inicial de água era de 72.000 litros e 
depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2.000t2 litros, determinar:
a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina;
b) taxa média de escoamento no intervalo [3,6];
c) taxa de escoamento depois de 3 horas do início do processo.
30) Uma piscina está sendo drenada para limpeza. O seu volume depois de t horas é dado por V = 
90.000 - 2.500t2 litros. Determine:
a) O tempo necessário para o esvaziamento da piscina;
b) A vazão média de escoamento no intervalo [2,5];
c) A vazão depois de 2 horas do início do processo.
31) Analistas de produção verificaram que em uma montadora X, o número de peças produzidas nas 
primeiras t horas diárias de trabalho é dado por 
 
a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? 
18
( )
( )

≤<+
≤≤+
=
841200
4050 2
tpara,t
tpara,tt)t(f
Cálculo I
b) E após 7 horas?
c) Quantas peças são produzidas na oitava hora de trabalho?
32)Mariscos zebra são mariscos de água doce que se agarram a qualquer coisa que possam achar. 
Apareceram primeiro no Rio St. Lawrence no começo da década de 80. Estão subindo o rio e podem se 
espalhar pelos Grandes Lagos. Suponha que numa pequena baía o número de mariscos zebra ao tempo t 
seja dado por Z(t) = 300t2, onde t é medido em meses desde que esses mariscos apareceram nesse lugar. 
Quantos mariscos zebra existirão na baía depois de quatro meses? A que taxa a população está crescendo 
em quatro meses?
33)Um copo de limonada a uma temperatura de 40oF está em uma sala com temperatura constante de 70oF. 
Usando um princípio da Física, chamado Lei de Resfriamento de Newton , pode-se mostrar que se a 
temperatura da limonada atingir 52oF em uma hora, então a temperatura T da limonada como função no 
tempo decorrido é modelada aproximadamente pela equação T = 70 – 30.e-0,5t , onde T está em oF e t em 
horas. Qual a taxa de variação quando t = 5? 
34)A Hungria é um dos poucos países do mundo em que a população está decrescendo cerca de 0,2% ao 
ano. Assim, se t é o tempo em anos desde 1990, a população , P, em milhões, da Hungria pode ser 
aproximada por P = 10,8. (0,998)t .
a) Qual população, para a Hungria no ano 2000, prevê este modelo?
b)Qual a taxa de decrescimento da população para o ano 2000?
19
Respostas:
1) a) 14 m; b) 27 m; c) 13 m/s; d) 11 m/s
2) a) 1600m; b) 120 m/s; c) 240 m/s
3) a) 4 m/s; b) Gráfico
4) a) 80 m; b) 40 m/s; c) 80 m/s; d) 3 s; e) 60 m/s; f) 120 
m/s
5) 40 milhões de pessoas /ano
6) a) 61917 bactérias; b) 1832.1,2t; c) 11288 bactérias /hora
7) a) 49; b) 75
8) –8800 l/min; -10400 l/min
9) 50 m/s
10) 1 s e 2,5 s
11) a, b, c) Gráfico
12) v = 12t3 – 2 ; a = 36t2
13) 71 m/s; 50 m/s 2
14) 18 m/s; 10m/s 2
15) 24 m/s
16) 2 s
17) v1 = 52 m/s; v2 = 25 m/s; s1 = 65 m; s2 = 14m
18) v1 = 52 m/s; v2 = 25 m/s; s1 = 65 m; s2 = 14m
19) 488 rad /s; 378 rad /s 2
20) R$14,48/mês
21) a) 27,09 cm3/cm; b) 27 cm3/cm
22) a) 6,5 m 2/m; b) 10 m 2/m
23) a) 350 peças /hora; b) 200 peças /hora; c) 200 peças
24) a) –7600 l/hora; b) –7000 l/hora; c) –53550 l
25) 48
26) a) 54 g/dia; b) 54,5 g/dia; c) 24,4 g/dia
27) 800 pessoas /ano
28) a) 23m/s; b) 22 m/s
29) a) –16 m; b) –24 m/s
30) a) 6 h; b) –18000 l/h; c) –12000 l/h
30) a) 6h b) 17500l/h c) 10000l/h
31) a) 350 peças/h b) 200 peças/h c) 200 peças
32) 4800 mariscos 2400 mariscos /ano
33) 1,23 oF/h
34) a) 10,59 milhões b) -21193 pessoas /ano
Cálculo I
3.8 MÁXIMOS E MÍNIMOS
3.8.1 EXEMPLOS
1) Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 200 cm cuja área seja a maior possível.
Resolução:
Temos a área como a variável a ser maximizada.
Chamamos de x o comprimento do retângulo e y a largura do retângulo, logo, A = x.y.
Devemos então eliminar uma das variáveis, já que conhecemos o valor do perímetro do retângulo.
Se p = 200 cm e p = 2x + 2y, então, 200 = 2x + 2y. Resolvendo a equação, temos y = 100 - x. Com esta relação 
entre as variáveis x e y fazemos a substituição na função A = x.y, obtendo A = 100x - x2.
Agora, devemos encontrar o valor de x que nos proporcionará a área máxima. Isso é possível quando 
derivamos a função e a igualamos a zero, pois no ponto onde encontramos a área máxima a reta tangente 
tem coeficiente angular zero, ou seja, dA/dx = 0.
Então, 100 - 2x = 0; x = 50. Se x = 50 e y = 50 - x; y = 50. Desta forma, a área deste retângulo assume o valor 
máximo quando o comprimento é 50 cm e a largura é 50 cm.
Podemos observar que a maior área é obtidaquando o retângulo tem os lados iguais, ou seja, é um 
quadrado.
MÁXIMOS E MÍNIMOS
1) Uma lata cilíndrica fechada contém 2.000 cm3 de líquido. Como poderíamos escolher a altura e o raio para 
minimizar o material usado em sua confecção?
Resolução: A = 2pir2 + 2pirh. V = pir2h
 Resposta r = 6,83 cm h = 13,66 cm.
Concluímos então que para termos a área máxima de uma lata cilíndrica a sua altura deve ser igual ao seu 
diâmetro.
20
Cálculo I
2)Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2.250 cm3. O 
material para a base e a tampa do recipiente custa R$ 2,00 por cm 2 e o dos lados R$ 3,00 por cm 2. Quais 
as dimensões do recipiente de menor custo?
Resp: base: 15 cm por 15 cm; altura = 10 cm
Dicas para resolver Problemas de Otimização
1o Passo: Ler o problema atentamente e identificar as informações necessárias para poder resolvê-lo. 
Identificar o que é desconhecido, o que é dado e o que é pedido.
2o Passo: Desenhe figuras e/ou gráficos identificando as partes que são importantes para a resolução 
do problema. Introduza uma variável para representar a quantidade a ser maximizada ou minimizada. 
Com esta variável, elabore uma função cujo valor extremo forneça a informação pedida.
3o Passo: Determine quais valores da variável têm sentido no problema.
4o Passo: Derive a função e iguale a zero, ou seja, encontre o ponto de máximo ou de mínimo.
5o Passo: Interprete o resultado e decida se tem sentido ou não, verificando a sua validade.
3.8.2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3) Uma caixa aberta deve ser feita com uma 
folha de papelão medindo 8 cm de largura 
por 15 cm de comprimento, cortando- se 
quadrados iguais dos 4 cantos e dobrando- se 
os lados. Qual é o tamanho dos quadrados 
cortados para a obtenção de uma caixa com o 
máximo volume?
3) 
3
5
 cm
4) Um terreno retangular é cercado por 1500 m de cerca. Quais as dimensões desse terreno para que a 
sua área seja a maior possível? E qual a área máxima? Resp 375 m por 375 m; 140.625 m 2
5) Um tipógrafo quer imprimir boletins com 512 cm 2 de texto impresso,margens superior e inferior de 
6 cm e margens laterais de 3 cm cada uma. Quais as dimensões da folha para minimizar o gasto de 
papel? Resp 22 cm por 44 cm
6) Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de 6.280 
m 3. Sabendo que o custo da chapa de aço é de R$50,00 o m 2, determine:
a) o raio e a altura do reservatório de modo que o custo seja mínimo;
b) o custo mínimo c=( 2pir2 + 2pirh).50
formula: A = 2pir2 + 2pirh. V = pir2h
6) Uma área retangular está limitada por uma cerca de arame em três de seus lados e por um rio reto no 
quarto lado. Ache as dimensões do terreno de área máxima que pode ser cercado com 1.000 m de 
arame.
21
Cálculo I
7) Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca 
reforçada que custa R$ 3,00 o metro, enquanto os outros dois restantes recebem uma cerca-padrão de R$ 
2,00 o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com R$ 6.000,00?
8) Uma embalagem retangular deve ser feita usando- se uma folha de cartolina quadrada de lado a, 
retirando- se quadrados de mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando- se os lados. Qual é o 
tamanho do quadrado que resulta numa embalagem com volume máximo?
9) Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume 
de 2.250 cm 3. O material para a base e a tampa do recipiente custa R$ 2,00 por cm 2 e o 
dos lados R$ 3,00 por cm2. Quais as dimensões do recipiente de menor custo?
10) Uma lata cilíndrica fechada tem capacidade de 1 litro. Mostre que a lata de área mínima é obtida 
quando a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base.
11) Certa pista de atletismo, como mostra a figura, tem perímetro de 400 metros. Encontre as dimensões 
da pista de tal forma que sua área seja a maior possível.
12) Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de 3 m de raio. Cortando- se um setor 
circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que seu 
volume seja máximo?
13) Uma folha de papel para um cartaz tem 2 m 2 de área. As margens no topo e na base são de 25 cm e 
nas laterais 15 cm. Quais as dimensões da folha para que a área limitada pelas margens seja máxima?
14) Certo recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter o volume de 4 litros. O 
custo do material dos lados é a metade do custo do material usado para a confecção da base a da tampa. 
Encontre as dimensões do recipiente de menor custo.
15) Um fio com 12 cm deve ser cortado em duas partes. Com uma das partes é feito um círculo e com a 
outra parte um quadrado. Quanto do fio deve ser usado para que a área total englobada pelas figuras 
seja mínima?
16) Três lados de um trapézio medem 10 cm cada um. Quanto deve medir o outro lado para que a sua 
área seja máxima?
22
Cálculo I
17) Ache o raio e a altura 
de um cilindro circular 
reto com o maior 
volume, o qual pode ser 
inscrito em um cone reto 
com 10 cm de altura e 6 
cm de raio.
18) Dois terrenos 
retangulares, com dimensões x e y e um lado comum x, como mostra a figura, devem ser murados. 
Cada terreno tem uma área de 400 m 2. Determinar as dimensões de cada terreno para que o 
comprimento do muro seja o menor possível.
19) Certa fábrica produz embalagens retangulares de papelão. Um de seus compradores exige que as 
caixas tenham 1 m de comprimento e volume de 2 m 3. Quais as dimensões de cada caixa para que o 
fabricante use a menor quantidade de papelão?
20) Um retângulo é inscrito 
num triângulo retângulo de 
catetos medindo 9 cm e 12 
cm. Encontrar as dimensões 
do retângulo com maior 
área, supondo que a sua 
posição é dada na figura ao 
lado.
21) Uma janela, de perímetro p, tem a forma de retângulo sobremontado por um semi-círculo, como 
mostra a figura. Achar as dimensões de modo que a sua área seja máxima. 
22) Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de 
6.280 m 3. Sabendo que o custo da chapa de aço é de R$50,00 o m 2, determine:
c) o raio e a altura do reservatório de modo que o custo seja mínimo;
d) o custo mínimo.
23
Cálculo I
23) Uma vaca está amarrada em uma corda perfeitamente inextensível em um grosso pilar de base 
quadrada por meio de uma argola. Se a vaca puxar a corda como indica a figura, qual será o ângulo α 
formado pela corda com o pilar?
24) Sendo 5.832 cm3 o volume de um reservatório de água sem tampa com base quadrada, R$ 3,00 por 
cm2 o preço do material da base e R$ 1,50 por cm 2 o valor do material para os lados, calcule as 
dimensões desse reservatório de modo que o custo total do material seja mínimo.
25) Em medicina é freqüentemente aceito que a reação R a uma dose x de uma droga é dada pela 
equação da forma R = Ax2 (B - x), onde A e B são certas constantespositivas. A sensibilidade de alguém 
a uma dose x é definida pela derivada dR/dx da reação com a respectiva dose. Para que valor de x a 
reação é máxima?
26) Uma forma líquida de penicilina vendida a granel por uma firma farmacêutica é vendida a granel a 
um preço de R$ 200,00 a unidade. Se o custo total de produção para x unidades for
C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x2 e se a capacidade de produção da firma for, de no máximo, 30.000 
unidades por mês, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas nesse período para 
que o lucro seja máximo? E qual o valor do lucro máximo?
27) Uma certa indústria vende seu produto por R$ 100,00 a unidade. Se o custo da produção total diária, 
em R$, para x unidades for C(x) = 0,0025x2 + 50x + 100.000 e se a capacidade de produção mensal for, de 
no máximo, 15000 unidades, quantas unidades desse produto devem ser fabricadas e vendidas 
mensalmente para que o lucro seja máximo?
28) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo da 
produção é dado por C = 2x3 + 6x2 +18x +60, e o valor obtido na venda é dado por V = 60x - 12x2, 
determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro L = V - C.
29) Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante t é dada por N = 5000(25 + te -t/20 ). 
Ache o maior número de bactérias durante o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 100.
30) Um departamento de matemática observou que uma secretária trabalhará aproximadamente 30 
horas por semana. Entretanto, se outras secretárias forem empregadas, o resultado da conversa é uma 
redução do número efetivo de horas por semana por secretária através de 30.(x - 1)2/33 horas, onde x é 
o número total de secretárias empregadas. Quantas secretárias devem ser empregadas para produzir o 
máximo de trabalho?
31) Uma centena de animais pertencendo a uma espécie em perigo estão colocados numa reserva de 
proteção. Depois de t anos a população p desses animais na reserva é dada por 
25
255100 2
2
+
++
=
t
ttp . Após 
quanto tempo a população é máxima?
32) Num campo de futebol, a armação do gol deve ser feita com uma viga de 18 m de comprimento. 
Qual a altura e a largura para que a área do gol seja máxima?
33) Nos Estados Unidos são muito populares as corridas de carros chamados dragsters. Participam dois 
corredores num trajeto muito curto. Os carros devem ter arranque rápido, já que a corrida dura poucos 
segundos. A velocidade dos carros é nula no momento da partida e vai aumentando ate que o 
competidor cruze a linha de chegada. O carro cruza a linha de chegada e começa imediatamente a frear 
24
Cálculo I
até parar. Para um dos carros, a função da velocidade, dada em metros por segundo, é dada por 
ttttv 33
3
)( 2
3
++−= . Determine quanto tempo o carro demorou a cruzar a linha de chegada.
Respostas:
25
Respostas:
18) 1
19) 10 + 10
20)
3
5
 cm
21) 375 m por 375 m; 140.625 m 2
22) 22 cm por 44 cm
23) 250 m por 500 m
24) 500 m por 750 m
25) 
6
a
26) base: 15 cm por 15 cm; altura = 10 cm
27) h = 2r = 10,8 cm
28) a = 0 e r = 
pi
200
 m
29) r = 6 m e h = 3 m
30) 1,09 m por 1,83 m
31) 12,6 cm de raio por 25,2 cm de altura
32) 5,28 cm para o círculo e 6,72 cm para o 
quadrado
33) 20 cm
1) r = 4 cm e h = 
3
10
cm
2) x = 
3
340 e y = 310 
3) largura = altura = 2 m 
4) 4,5 cm por 6 cm
5) x = y = 
pi+4
p
6) r = 10 m e h = 20 m; R$94.200,00
7) 30 graus
8) base: 18 cm por 18 cm e altura = 18 cm
9) B
3
2
10) 20.000 unidades; R$700.000,00
11) 10.000 unidades
12) 1000 unidades
13) 20
14) 1 secretária
15) 5 anos
16) 4,5 m de altura e 9 m de largura
17) 6,46 segundos
Cálculo I
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 26