2 Lista de Exercícios - Álgebra Linear

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2ª. LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR 
Prof. Damião da Silva 
 
1. Considere o subespaço de R 4 S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)]. 
 (a) o vetor (2/3, 1, -1, 2) ∈ S?; 
 (b) o vetor (0, 0, 1, 1) ∈ S? 
 
2. Se P 3 é conjunto de todos os polinômios da forma ,01
2
2
3
3 atatata +++ mostre que os polinômios ,1
3
t− 
 ,)1( 2t− t−1 e 1 geram P 3 . 
 
3. Seja V o espaço vetorial das matrizes 22 × sobre R, e seja W o subespaço gerado por 
 





−
−






−






−
−
75
42
,
51
11
,
24
51
 e .
15
71






−
−
 Encontre uma base e a dimensão de W. 
 
*3. Considere o espaço vetorial }0,0|),{( 2 >>∈= yxyxV R no qual definimos as operações de soma, 
 ,⊕ e de multiplicação por escalar, ,⊗ conforme abaixo: 
;),(),,(),,(),(),( Vwzyxywxzwzyx ∈∀=⊕ 
.,),(),,(),( R∈∀∈∀=⊗ kVyxyxyxk kk 
 Sob que condições dois vetores ),( 11 yxu = e ),,( 22 yxv = em V, são linearmente independentes? 
 
**3. No espaço vetorial do Exercício acima, (*3), se )}5,4(),3,2({=β for uma base de V, e se 
 ),18,8(=v determine .][ βv 
 
4. Sejam ∈= ),,,{(1 tzyxW R }0e0|
4 =−=+ tzyx e ∈= ),,,{(2 tzyxW R }0|
4 =+−− tzyx subespaços de R .4 
 (a) Determine ;21 WW ∩ 
 (b) Exiba uma base para ;21 WW ∩ 
 (c) Determine ;21 WW + 
 (d) 21 WW + é soma direta? Justifique; 
 (e) =+ 21 WW R 4 ? 
 
*4. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Dado um subespaço ,VU ⊂ prove que se pode obter 
 um subespaço VW ⊂ tal que .WUV ⊕= 
 
**4. Seja S o conjunto das matrizes simétricas .nn × Para cada par (i, j) de números naturais de 1 até n, 
 com ,ji ≤ seja ijS a matriz nn × cujos elementos nas posições ij e ji são iguais a 1 e os demais são 
 zero. Prove que estas matrizes constituem uma base para o subespaço vetorial ).,( nnMS ⊂ Conclua 
 que .2/)1(dim += nnS 
 
5. Sejam =β {(1, 0), (0, 1)}, =1β {(-1, 1), (1, 1)}, =2β {( ,3 1), ( ,3 -1)} e =3β {(2, 0), (0, 2)} bases 
 ordenadas de R .2 
(a) Determine as matrizes de mudança de base: 
(i) 1][ ββI (ii) 
β
β1
][I (iii) β
β2
][I (iv) β
β3
][I 
(b) Quais são as coordenadas do vetor v = (3, -2) em relação às bases: (i) ;β (ii) ;1β (iii) ;2β (iv) .3β 
(c) As coordenadas de um vetor v em relação à base 1β são dadas por 
[v]
1β
= 





0
4
. 
 Quais são as coordenadas de v em relação à base: (i) ;β (ii) ;2β (iii) .3β 
 
6. Quais das transformações a seguir são lineares? 
 (a) );0,0(),,( =zyxT (b) );1,2,1(),,( −=zyxT (c) );,(),,( 2 zyyxzyxT −+= 
 
7. Seja :T P1 → P 2 como indicada. T é uma transformação linear? Justifique sua resposta. 
 (a) ).0()()]([ pttptpT += (b) .)()]([ 2tttptpT += (c) .)()( 2 tbaatbatT −+=+ 
 
 
*7. Sejam u e v vetores de um espaço vetorial V. O segmento de reta de extremidades u e v é, por 
 definição, 
}.10|)1({],[ ≤≤+−== ttvutwvu 
 Um conjunto VX ⊂ é dito convexo quando, para Xu ∈ e ,Xv ∈ temos .],[ Xvu ⊂ 
 Prove que toda transformação linear T : U → W transforma todo conjunto convexo UC ⊂ num 
 conjunto convexo T(C). }].)(com,|{)([ wuTUuWwCT =∈∃∈= 
 
 
**7. Determine α de modo que as retas perpendiculares em R 2 , de equações xy α= e α/xy −= 
 sejam transformadas em retas perpendiculares pelo operador linear T : R 2 → R 2 , dado por 
 ).2,32(),( yxyxyxT −+= 
 
 
8. (a) Qual é a transformação linear T: R 2 → R 3 tal que T(1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, -2) = (0, 1, 0)? 
 (b) Determine T(1, 0) e T(0, 1). 
 (c) Qual é a transformação linear S: R 3 → R 2 tal que S(3, 2, 1) = (1, 1), S(0, 1, 0) = (0, -2) 
 S(0, 0, 1) = (0, 0)? 
(d) Determine a transformação linear P: R 2 → R 2 tal que .TSP o= 
 
 
9. Dados VUT →: linear e injetora e ,...,,, 21 kuuu vetores LI’s Em U, mostre que )(...,),(),( 21 kuTuTuT são 
 vetores LI’s em V. 
 
10. Seja T: R 4 → R 4 definida por ).4,,22,32(),,,( zyxwxwzyxwzyxwzyxT −+−+−++++= 
 (a) Determine uma base para );ker(T 
 (b) Determine uma base para ).Im(T 
 
11. Seja T: P 2 → R 2 a transformação linear definida por ).,()(
2
bacbtatT =++ 
 (a) Determine uma base para );ker(T 
 (b) Determine uma base para ).Im(T 
 
12. Sejam T: R 3 → R 3 definida por ),2,2,2(),,( zyyxzyxzyxT +−++= )}1,0,0(),1,1,0(),1,0,1{(=β e 'β bases 
 de R 3 , sendo 'β a base canônica. Determine a matriz .][ '
β
β
T 
 
13. Sejam T: R 3 → R 2 definida por ),,(),,( zyyxzyxT −+= α e β as bases canônicas de R 3 e R 2 , 
 respectivamente. Sendo )}1,1,1(),0,1,0(),0,1,1{(' −=α e )}2,1(),1,1{(' −=β bases de R 3 e R 2 , determine as 
 matrizes αβ][T e 
'
'][
α
βT . 
 
14. Sejam T: P 1 → P 3 , definida por )()]([
2
tpttpT = , uma transformação linear e }1,{ += ttα e 
 }1,,1,{ 23 +−= ttttβ bases de P 1 e P 3 , respectivamente. Determine a matriz 
α
β][T . 
 
15. Suponha que a matriz de T: R 3 → R 2 em relação às bases )}0,0,1(),1,1,0(),0,1,1{(−=α e 
 )}1,1(),2,1{( −=β é 






−
=
011
121
][ αβT . 
 Calcule ).,,( zyxT 
 
16. Sejam :T P 1 → P 2 uma transformação linear e }1,1{ −+= ttα e }1,,1{
2 −+= tttβ bases de P1 e P 2 , 
 respectivamente. Se 










−−
=
21
12
01
][ αβT , 
 determine ).( batT + 
 
17. Seja V o espaço vetorial com bases }cos,sen{ tt=α e }cossen,cossen{ tttt +−=β . Se um operador linear 
 T: V → V é definido por T(f) = f’, isto é, T[f(t)] = f’(t), ∀ t ∈ R, determine a matriz αβ][T . 
 
18. Sejam T 1 : R 2 → R 3 e T 2 : R 3 → R 3 transformações lineares definidas por 
T 1 (x, y) = (x + y, x - y, 2x + y), 
T 2 (x, y, z) = (x + y + z, y + z, x + z). 
 Calcule [T 2 o T 1 ]. 
 
19. Sejam T 1 : R 2 → R 2 e T 2 : R 2 → R 2 operadores lineares em R 2 , )}1,0(),1,1{( −=α e )}1,2(),0,1{(=β 
 bases de R 2 , e 
[T 1 ]
α
β = 





− 31
21
 e [T 2 ]
α
β = 





− 32
10
. 
 Calcule [T 2 o T 1 ]
α
β e (T 2 o T 1 )(x, y). 
 
20. Seja T: M(2, 2) → M(2, 2) definida por T(A) = A’. T é invertível? Se for, calcule T 1− .