Capítulo 4 - Derivadas parciais

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Curso: Engenharia Mecânica
Disciplina: Cálculo II
Prof.: Ailton Durigon
ailton.durigon@ifsc.edu.br
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.1 Definição, notação e interpretação geométrica
INTRODUÇÃO:
Veremos como estudar taxas de variação que 
envolvem 2 ou mais variáveis independentes.
Seja z = f(x,y). O que ocorre com z se os valores 
de x variarem e y for fixo, e vice-versa?
Na lei dos gases ideais da física (V=nRT/P), o 
que ocorre se T varia e P for constante, e se P 
varia mantendo-se T constante?
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.1 Definição, notação e interpretação geométrica
Fonte: Cálculo II - Anton
2 4
x y
Ex.: Dado f (x, y) 3x y 5x 3y,encontre :
f (2,1) e f (2,1)
  
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.1 Definição, notação e interpretação geométrica
NOTAÇÃO DE DERIVADA PARCIAL
Se z = f (x, y), então as derivadas parciais f
x
 e f
y
 
são também denotadas pelos símbolos:
Outras notações no ponto (x
0
,y
0
):
Ex.:
f z f z
, e ,
x x y y
   
   
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.1 Definição, notação e interpretação geométrica
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
No cálculo I vimos que se y = f(x) então a 
derivada y’ = f’(x) representa a taxa de 
variação ou a inclinação da reta tangente em 
um determinado ponto. Aqui a interpretação é 
análoga.
Seja z = f(x,y) uma superfície e as curvas C1 e 
C2. As derivadas parciais representam as taxas 
de variação de z em relação a x e a y 
respectivamente, conforme figuras a seguir.
Em particular, é destacado nas figuras o 
comportamento no ponto (x
0
,y
0
).
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.1 Definição, notação e interpretação geométrica
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Fonte: Cálculo II - Anton
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.1 Definição, notação e interpretação geométrica
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Fonte: Cálculo II - Anton
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.1 Definição, notação e interpretação geométrica
Exemplos:
1) Seja z = f(x,y) = x2y + 5y3. Determine:
 a) a inclinação de z na direção x em A(1,-2).
 b) a inclinação de z na direção y em A(1,-2).
2) Seja z = f(x,y) = 4 – x2 - y2. Determine:
 a) a equação da reta tangente à curva na 
 direção x em P(1,1,2).
 b) a equação da reta tangente à curva na
 direção y em P(1,1,2).
 c) a equação do plano tangente à curva no
 ponto P(1,1,2).
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.2 Cálculo de derivadas parciais
Para calcularmos uma derivada parcial em 
relação a uma variável, basta mantermos as 
demais variáveis constantes. 
Exemplos:
3 2 41) Se w f (x, y, z) x y z 2xy z.
w w w
Determine , e
x y z
   
  
  
22) Se w f ( , , ) cos( )sen( )
w w w
Determine , e
       
  
  
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.3 Derivadas parciais de função implícita
Procedemos analogamente ao que fazíamos no 
Cálculo I.
Exemplos:
4 3 21) Seja x y y z z 6. Determine :
z z
a) b)
x y
   
 
 
2 2 2
2) Determine a inclinação da esfera
x y z 1, na direção y nos pontos :
2 1 2 2 1 2
a) A , , b) B , ,
3 3 3 3 3 3
  
      
   
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.4 Derivadas parciais sucessivas(ordem superior)
Fonte: Cálculo II - Anton
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.4 Derivadas parciais sucessivas(ordem superior)
Exemplos
2 3 4
2 2 2 2
2 2
1) Seja f (x, y) x y x y. Determine :
z z z z
a) b) c) d)
x y x y y x
 
   
     
2 x
3
xyy 2
2) Seja f (x, y) y e y. Determine :
z
a) f b)
y x
 

 
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
4.5 Teorema das derivadas mistas
Exemplos
Verifique os casos anteriores.
Fonte: Cálculo II - Anton
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
A equação da onda
Note que a posição da corda das figuras 
depende de x e t, ou seja u(x,t).
 Equação da onda unidimensional
Ex.: Mostre que u(x,t) = sen(x-ct) é solução da 
equação da onda.
2 2
2
2 2
u u
c
t x
 

 
 
4 DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES
Exercícios
Livro Cálculo II do Anton
Página 936.
Números, 1, 2, 5, 9, 11, 15, 23, 25, 26, 27,, 28, 
33, 41, 47, 48, 59, 81, 85, 86, 97, 101, 111.
 
4.6 DIFERENCIABILIDADE
No Cálculo I, vimos a definição de diferencial. 
● Acréscimos:variando-se x de x1 para x2 temos 
um acréscimo esta diferença 
gera o acréscimo 
 Dessa forma, temos:
   2 1y f x f x  
   1 1y f x x f x    
2 1x x x     2 1y f x f x .  
 
4.6 DIFERENCIABILIDADE
Ainda do Cálculo I:
● Definição(diferencial): Seja y = f(x) uma 
função derivável e um acréscimo de x. 
Define-se:
(i) a diferencial da variável independente x, 
denotada por dx como 
(ii) a diferencial da variável dependente y, 
denotada por dy como
OBS.: Da definição, segue que:
 ou dy f '(x).dx
x
dy f '(x). x 
dx x. 
dy
f '(x)
dx

dy
é o quociente de duas diferenciais.
dx
 
4.6 DIFERENCIABILIDADE
Mais uma página do Cálculo I: 
● Interpretação geométrica: Seja y, derivável e 
que passa por P e Q. 
A reta t, tangente a f(x) em P, 
corta a reta x = x2 em R.
Do triângulo PMR, temos:
Se for pequeno a diferença 
 também é, e na prática, 
fazemos 
x PM  y MQ 
MR dy
f '(x) tg
dxPM
   
x
y dy 
y dy 
 
4.6 DIFERENCIABILIDADE
Estendendo a ideia para 2 ou mais variáveis. 
Note que representa um incremento de f(x,y) 
dado por:
 
<= uma variável
OBS.: 
∆f = ∆z 
f
   0 0 0 0f f x x, y y f x , y      
   1 1y f x x f x    
Fonte: Cálculo II - Anton
 
4.6 DIFERENCIABILIDADE
Considerando: ∆x e ∆y próximos de zero; que 
dx = ∆x e dy = ∆y, segue que dz ≈ ∆z.
Se fx(x,y) e fy(x,y) analogamente a uma variável, 
temos, para duas e três variáveis a denominada 
diferencial total:
 <= para uma variável.
   x ydz f x, y dx f x, y dy 
dy f '(x).dx
     x y zdw f x, y, z dx f x, y,z dy f x, y, z dz  
 
4.6 DIFERENCIABILIDADE
Exemplos:
1) Seja z = f(x,y) = xy2. Calcule o erro fazendo-se 
∆z e dz(diferencial total), de seu valor passando 
do ponto (0,5;1) para o ponto de coordenadas 
(0,503;1,004).
2) Considere numa lata cilíndrica fechada com 8 
cm de diâmetro e 12 cm de altura, se a 
espessura da folha de estanho for de 0,04 cm:
a) Usando diferencias calcule a quantidade 
estimada de estanho;
b) Determine o erro.
 
4.6 DIFERENCIABILIDADE
Exemplos:
3) O comprimento e a largura de um retângulo 
foram medidos como 30 cm e 24 cm, 
respectivamente, com um erro de medida de 
2%. Use diferenciais para estimar o erro máximo 
cometido no cálculo da área do retângulo.
4) As dimensões de uma caixa retangular variam 
de 9; 6 e 4 para 9,02; 5,97 e 4,01:
a) usando diferenciais obtenha uma aproximação 
da variação do volume.
b) ache a variação exata do volume.
 
4.6 DIFERENCIABILIDADE
➔ Aproximação linear local.
Se uma função é contínua em um ponto (x0,y0) 
então ela pode ser aproximada por uma função 
linear na vizinhança deste ponto, conforme:
Se temos:
 
     
0 0
0 0 x 0 0 y 0 0
f x x, y y
f x , y f x , y x f x , y y
    
   
0 0x x x e y y y     
      
  
0 0 x 0 0 0
y 0 0 0
f x, y f x , y f x , y x x
f x , y y y
   

 
4.6 DIFERENCIABILIDADE
➔ Aproximação linear local.
Se (x,y) estiver perto de (x0,y0) o erro da 
aproximação anterior é menor que a distância 
entre estes pontos.
Quando f é diferenciável em (x0,y0), obtemos:
e dizemos que L(x,y) é a aproximação linear 
local de f em (x0,yo).
      
  
0 0 x 0 0 0
y 0 0 0
L x, y f x , y f x , y x x
f x , y y y
   

 
4.6 DIFERENCIABILIDADE
Exemplo:
Seja 
1) Encontre a aproximação linear L(x,y) no ponto 
P(3,4). 
2) Compare o erro da aproximação de f por L no 
ponto Q(3,04;3,98) com a distância de P
a Q.
Exercícios: Página 947 do livro Cálculo 2 do Anton
Números: 9, 11, 17, 19, 21, 23, 25, 31, 33, 35, 
37, 39, 53, 56, 61.
  2 2f x, y x y . 
 
4.7 REGRA DA CADEIA
➢ Regra da cadeia para derivadas:
Vejamos a regra da cadeia de funções de uma 
variável independente. 
Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas dy/du e 
du/dx existem, então a função composta 
y = g[f(x)] te a derivada dada por:
Exemplo: Encontre a derivada das funções:
dy dy du
. ou y '(x) g '(x).f '(x)
dx du dx
 
   821) y x 2x 4 2)y sen x   
 
4.7 REGRA DA CADEIA
➢ Regra da cadeia para derivadas:
Vejamos a regra da cadeia de funções de mais 
de uma variável independente. 
Sejam x = x(t) e y = y(t) com x e y 
diferenciáveis em t e se z = f(x,y) for 
diferenciável no ponto (x,y) = (x(t),y(t)), 
então z = f(x(t),y(t)) será diferenciável em t e
Exemplo: Seja z = x2y, x = t2 e y = t3. 
Use a regra da cadeia para encontrar
dz z dx z dy
. .
dt x dt y dt
 
 
 
dz
dt
 
4.7 REGRA DA CADEIA
➢ Regra da cadeia para derivadas:
Para funções de e variáveis segue que:
Exemplo: Seja com:
Use a regra da cadeia e encontre
dw w dx w dy w dz
. . .
dt x dt y dt z dt
  
  
  
dz
se .
d 4

 

2 2 2w x y z  
     x cos , y sen , z tg     
 
4.7 REGRA DA CADEIA
➢ Regra da cadeia para derivadas parciais:
Se x = x(u,v) e y = y(u,v) tiverem derivadas 
parciais de primeira ordem no ponto (u,v), e 
se z = f(x,y) for diferenciável no ponto (x,y) = 
(x(u,v),y(u,v)), então z = f(x(u,v),y(u,v)) terá 
derivadas parciais no ponto (u,v) dadas por
Exemplo: Seja z = exy, x = 2u+v e y = u/v. 
Use a regra da cadeia para encontrar
z z x z y
. .
u x u y u
    
 
    
z z
a) b)
u v
 
 
z z x z y
. .
v x v y v
    
 
    
 
4.7 REGRA DA CADEIA
➢ Regra da cadeia para derivadas parciais:
Se x = x(u,v), y = y(u,v) e z = z(u,v) e se 
w = f(x,y,z) temos:
Exemplo1: Sejam as funções w = exyz, x = 3u+v 
e y = 3u-v, z = u2v. Encontre(regra da cadeia):
w w x w y w z
. . .
u x u y u z u
      
  
      
w w
a) b)
u v
 
 
w w x w y w z
. . .
v x v y v z v
      
  
      
 
4.7 REGRA DA CADEIA
➢ Regra da cadeia para derivadas parciais:
Exemplo2: Sejam as funções e 
 
 
Usando a regra da cadeia, determine:
Exercícios:
Página 956, números 1,3,5,7,9,17, 21,23 e 27
w w
a) b)
 
 
2 2 2w x y z  
       x sen cos , y sen sen e       
 z cos  
 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
Seja f(x,y) a temperatura de uma chapa de 
metal plana no ponto P(x,y) de um plano xy, 
então as derivadas parciais fx(x,y) e fy(x,y) 
representam as taxas de variação da 
temperatura em relação à distância nas 
direções vertical e horizontal, 
respectivamente.
Agora, este fato será generalizado para a taxa 
de variação de f(x,y) em qualquer direção.
Teremos assim o conceito de derivada 
direcional.
 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
Para encontrarmos as derivadas em qualquer 
direção, usaremos o vetor unitário
com origem em (x0,y0) e apontando para a 
direção desejada.
 
1 2u u i u j ou 
 
1 2u u i u j 
Fonte: Cálculo II, Anton
 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
O vetor u determina uma reta l no plano xy de 
equação:
 onde s é o parâmetro
Note que z = f(x0+su1,y0+su2) é uma função de s 
na reta l, e dz/ds em s = 0 é a variação 
instantânea de f(x,y) em relação a (x0,y0) na 
direção u.
0 1
0 2
x x su
y y su
 
  
 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
Definição: Se f(x,y) for 
uma função de x e y e se 
u = u1i + u2j é um vetor 
unitário, então a derivada 
direcional de f na direção 
e sentido de u em (x0,y0) 
será denotada e definida 
por:
   u 0 0 0 1 0 2 s 0
d
D f x , y f x su , y su
ds 
    
Fonte: Cálculo II, Anton
 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
➔ Geometricamente Duf(x0,y0) é a inclinação da 
superfície z = f(x,y) na direção u em 
(x0,y0,f(x0,y0)).
➔ Analiticamente é a 
taxa de variação 
instantânea de 
f(x,y) em relação 
à distância na 
direção e sentido 
de u no ponto 
(x0,y0).
Fonte: Cálculo II, Anton
 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
Exemplo
Seja f(x,y) = xy. Encontre Duf(1,2) com o vetor 
unitário 3 1u i j
2 2
 
 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
Definição: Seja u =u1i + u2j + u3k for um vetor 
unitário, e a função f(x,y,z), então a derivada 
direcional de f na direção e sentido de u em 
(x0,y0,z0) é definida por:
desde que o limite exista.
 
 
u 0 0 0
0 1 0 2 0 3 s 0
D f x , y , z
d
f x su , y su , z su
ds 

    
 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
OBS.: se u faz um ângulo θ com o eixo positivo 
x, então u = (cosθ, senθ) = icosθ + jsenθ
Fonte: Cálculo II, Anton
 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
Exemplos: 
1)Obtenha a derivada direcional da função 
f(x,y) = exy em (-2,0) na direção e no sentido 
do vetor unitário que faz um ângulo de π/3 
com o eixo x positivo.
2) Obtenha a derivada direcional da função 
f(x,y,z) = x2y – yz3 + z no ponto (1,-2,0) na 
direção e no sentido do vetor a = 2i + j – 2k.
 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
GRADIENTE 
A derivada direcional pode ser dada como o 
produto escalar de dois vetores
Atividade: escreva para 3 variáveis.
     
      
    
u 0 0 x 0 0 1 y 0 0 2
x 0 0 y 0 0 1 2
x 0 0 y 0 0
D f x , y f x , y u f x , y u
f x , y i f x , y j u i u j
f x , y i f x , y j u
 
  
 


 
4.8 DERIVADAS DIRECIONAIS E 
VETOR GRADIENTE
O GRADIENTE 
 
O GRADIENTE 
Observações:
(i) A derivada direcional pode ser escrita como:
(ii) O operador (nabla, del, delta invertido) 
é um operador diferencial vetorial, definido 
como
   
   
u 0 0 0 0
u 0 0 0 0 0 0
D f x , y f x , y u
D f x , y , z f x , y , z u
  
  

  x y
i j
x y
f x, y f i f j
 
  
 
  
 
 
 
O GRADIENTE 
Exemplo:
Use o gradiente para encontrar a derivada 
direcional da função f(x,y,z) = xy2 + 3xz – yz no 
ponto (-1,1,3) na direção e sentido do vetor a 
= i + 2j – 2k.
 
O GRADIENTE 
Propriedades do gradiente:
Em geometria analítica foi visto que
Assim, temos
onde θ é o ângulo entre 
 u.v u . v .cos    
   
   
   
uD f x, y f x, y u
f x, y u .cos
f x, y cos
  
   
   
 u e f x, y .
 
O GRADIENTE 
➔ Em (x,y), a superfície z = f(x,y) tem sua 
inclinação máxima na direção do gradiente, e 
a inclinação máxima é 
 O máximo ocorre para θ = 0.
➔ Em (x,y), a superfície z = f(x,y) tem sua 
inclinação mínima na direção do gradiente, e 
a inclinação mínima é 
 O mínimo ocorre para θ = π.
 f x, y .
 f x, y . 
 
O GRADIENTE 
➔ Se então Duf(x,y) = 0 em todas 
as direções no ponto (x,y). Isso ocorre 
quando z = f(x,y) tem um “máximo 
relativo”, um “mínimo relativo” ou um 
“ponto de sela”.
Exemplo
1) Seja f(x,y) = x2ey. Encontre o valor máximo 
de uma derivada direcional em (-2,0) e o vetor 
unitário na direção e sentido do qual o valor 
máximo ocorre.
 f x, y 0 
 
O GRADIENTE 
2) Se f(x,y) = xey, determine:
 a) a taxa de variação de f no ponto P(2,0) na 
direção de P para Q(1/2,2);
b) a direção em que f(x,y) tem a máxima 
variação;
c) a máxima taxa de variação.
 
O GRADIENTE 
➔ Gradientes são normais às curvas de nível
Teorema: Se z = f(x,y) tem derivadas parciais 
contínuas de primeira ordem em um 
disco aberto com centro em (x0,y0) e se 
 Então, 
será normal à curva de nível de f por 
(x0,y0).
Se o gradiente indica a direção de maior 
crescimento da função f, então quando se 
move numa direção perpendicular a curva de 
nível, temos um maior
aumento.
 0 0f x , y 0.   0 0f x , y
 
O GRADIENTE 
Exemplo 1:
Fonte: Cálculo II, Anton
 
O GRADIENTE 
Exemplo 2:
Suponha que a temperatura num ponto (x,y,z) 
do espaço seja dada por 
onde T é medido em ºC e x, y, z em metros. Em 
que direção no ponto (1,1,-2) a temperatura 
aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa 
máxima de aumento?
  2 2 2
80
T x, y, z
1 x 2y 3z

  
 
O GRADIENTE 
Exemplo 3:
Uma partícula que procura o calor está 
localizada no ponto (2,3) de uma placa lisa de 
metal, cuja temperatura em um ponto (x,y) é 
T(x,y) = 10 - 8x2 – 2y2. Determine uma equação 
para a trajetória da partícula se ela mover-se 
continuamente na direção do aumento 
máximo da temperatura.
Obs.: ver no geogebra.
 
O GRADIENTE 
Exercícios:
Página 968 do livro Cálculo II do Anton 
Números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 
31, 35, 39, 45, 49, 55, 59, 63, 67. ...
 
4.9 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS
➔ Máximos e mínimos de funções de duas 
variáveis
Fonte: Cálculo 2 Anton Fonte: Cálculo 2 Anton
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
Fonte: Cálculo 2 Anton
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
Exemplo: Indique os máximos relativos e 
absolutos da função  2 21 x y
2z xye
 

 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
Se f tiver um máximo ou mínimo relativo em 
(x0,y0), dizemos que f tem um extremo relativo 
em (x0,y0), e se f tiver um máximo ou mínimo 
absoluto em (x0,y0), dizemos que f tem um
extremo absoluto em (x0,y0).
Vejamos os extremos das funções no software.
2 2
2 2
y )
2
( x
1) z sen(x+y), com -1 x 1 e -1 y 1.
2)z com -2 x 2 e -2 y 2.
3) y
xe
x
,
z 9
 
    
    
  
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
Teorema (do Valor Extremo): Se f (x, y) for 
contínua em um conjunto fechado e limitado R, 
então f terá máximo e mínimo absolutos em R.
R é limitado por:
pelo teorema temos 
máximo e mínimo 
em R.
Conjunto fechado: é o conjunto de pontos do 
interior de uma região mais os pontos do contorno.
0 x 1 e 
0 y 1
 
 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
Encontrando extremos relativos: 
Lembre-se que se uma função g de uma variável 
tiver um extremo relativo em um ponto x0 em que 
g é diferenciável, então g’(x0) = 0.
Analogamente, suponha que f(x,y) tenha um 
máximo relativo em (x0,y0) e que as derivadas 
parciais de f existam em (x0,y0).
Geometricamente, os traços da superfície z = 
f(x,y) sobre os planos x = x0 e y = y0 tenham 
tangentes horizontais em (x0,y0), logo fx(x0,y0) = 0 
e fy (x0,y0) = 0 (Vejamos gráfico a seguir.)
O mesmo é válido para mínimo relativo.
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
Encontrando extremos relativos: 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
Encontrando extremos relativos: 
Porém, a função ter derivadas parciais nulas em 
um ponto não garante que este seja um extremo 
relativo. É o caso do ponto de sela.
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
Exemplos: 
 Verifique algebricamente os casos a seguir.
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA: 
 
OBS.: D é um determinante. Verifique!
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA: 
 
Exemplos:
Localize todos os extremos relativos e pontos de 
sela de:
OBS.: Estabelecer a relação com as curvas de nível
 
 
 
2 2
4 4
4 2
1) f x, y 3x 2xy y 8y
2) f x, y 4xy x y
3) f x, y 2x y 2y
   
  
  
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
ENCONTRANDO EXTREMOS ABSOLUTOS EM 
REGIÕES FECHADAS E LIMITADAS 
Vimos que uma Região limitada e fechada é o 
conjunto de pontos do interior de uma região 
juntamente com os pontos do contorno. 
Lembre-se que esta é uma região do domínio da 
função.
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
ENCONTRANDO EXTREMOS ABSOLUTOS EM 
REGIÕES FECHADAS E LIMITADAS 
Exemplo: Considerando a região triangular fechada 
R de vértices (0,0), (3,0) e (0,5), encontre os 
valores máximo e mínimo absolutos de 
 f x, y 3xy 6x 3y 7   
 
Exercícios 
Livro Cálculo II do Anton
Página 985
Números 1, 3, 5, 7, 9, 13, 19, ...
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