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Exercício 1 Por meio de uma regra da cadeia, ache z w ∂ ∂ se 32 tsvrw ++= , com 222 zyxr ++= , xyzs = e yxev = e 2yzt = . Solução: �� �� = �� �� �� �� + �� �� �� �� + �� �� �� �� + �� � � �� = 2�� 2�� + �� �� + �� 0� + 3 �� 2��� �� �� = �� �� �� �� + �� �� �� �� + �� �� �� �� + �� �� �� �� = ��� + ��� + �� ��� Exercício 2 Certo gás obedece à lei dos gases ideais �� = 8!. Suponha que o gás esteja sendo aquecido à taxa de min/2° e a pressão esteja aumentando a taxa de min/)/( 2 1 2cmKg . Se, em certo instante, a temperatura é de 200° e a pressão é de )/(10 2cmKg , ache a taxa à qual o volume está variando. Solução: As taxas de P, V e T estão relacionadas com o tempo t (em minutos). Pede-se, assim, "# "$ . "% "$ � + � "# "$ = 8 "& "$ � ( ) �* � =? � + 10� "# "$ = 8 2� � ( ) �* 160� + 10� "# "$ = 8 2� "# "$ = . ��/(01* )23� )3 � 45 4� = −�, � 89: 9;< �� = 8! � 10�� = 8 200� � � = 160 =>? Exercício 3 A areia está vazando por um buraco em um recipiente à razão de min/6 3cm . Ao vazar, a areia vai formando uma pilha em forma de um cone circular reto cujo raio da base aumenta à razão de min/ 4 1 cm . Se no instante em que já vazaram 340cm , o raio é de 5 centímetros, determine a taxa de aumento da altura da pilha. Solução: As taxas de Volume (V), Raio (R) e Altura (H) estão relacionadas com o tempo t (em minutos). Pede-se, assim, "@ "$ . � A;C� = )?DA �C � "#"$ = ) ?D (2A "E "$ C + A � "@ "$* � � 6 = )?D F2 5� ( ) H* C =? � + 5� � "@ "$ I � 6 = ) ?D F2 5� ( ) H* �H JK� + 5� � "@ "$ I � 6 = 4 + F �JK? "@ "$ I � 2 = �JK ? "@ "$ � 4M 4� = � �NO 89 9;< ≅ Q, QR� 89 9;< � C; A� = )?D 5� �C = 40 � C = ? H3��JK � M = �� NO 89 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x y Exercício 4 Seja xyxyxf 4),( 2 −= . Ache o gradiente de f no ponto )2,1(=P e esboce o vetor Pf∇ . Use o gradiente para achar a derivada direcional de f em )2,1(=P na direção de )2,1(=P para )5,2(=Q Solução: Pf∇ 1; 2� = 〈TUTV 1; 2�; TU TW 1; 2�〉 = 〈−�;−�〉 TU TV = 2 − 4� � TU TV 1; 2� = 2 1� − 4 2� = −6 TU TW = 0 − 4 � TU TW 1; 2� = 0 − 4 1� = −4 �Y = �Z[[[[[Y = 〈 2 − 1�; 5 − 2�〉 = 〈1; 3〉 \[Y] = 〈1; 3〉 √1� + 3� = 〈 1 √10 ; 3 √10 〉 _ [`[Yab 1; 2� = Pf∇ 1; 2�. \[Y] = 〈−6;−4〉 〈 1 √10 ; 3 √10 〉 = −6� 1� + −4� 3� √10 = −de √dQ Exercício 5 Verificar se a função yxxyz ++= )ln( satisfaz a equação yx y zy x z x −= ∂ ∂ − ∂ ∂ Solução: Tf TV = ) VW � + 1 + 0 = ) V + 1 � Tf TV = 1 + Tf TW = ) VW + 0 + 1 = ) W + 1 � � Tf TW = 1 + � � ���� − � �� �� = d + �� − d + �� = � − � ∇b% );�� \][[[[Y −∇b% );�� hi[[Y�j d; �� �Y P
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