II-dfc-difusao-permanente

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1
Formulação de Volumes de Controle
(o método de volumes finitos)
O domínio é dividido em um número de volumes de 
controle tal que exista um volume de controle ao redor de 
cada ponto nodal.
A equação diferencial é integrada sobre cada volume de 
controle para obter uma equação algébrica contendo os 
valores de f nos pontos nodais.
A equação de discretização resultante expressa o princípio 
de conservação para um volume de controle finito, assim 
como a equação diferencial expressa o mesmo para um 
volume de controle infinitesimal diferencial.
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2
o o o o o
o o o o o
o o o o o
o o o o o
o o o o o
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3
A equação resultante implica que o princípio de 
conservação integral (de massa, quantidade de movimento, 
energia, etc.) é perfeitamente satisfeito para qualquer grupo 
de volumes de controle, e consequentemente, para todo o 
domínio.
Este fato, acontecerá para qualquer número de pontos 
nodais, não só para malha muito fina.
É necessário supor uma variação de f entre os pontos 
nodais.
É possível, se desejado, utilizar diferentes perfis para 
integrar diferentes termos da equação diferencial.
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4
Malha
N pontos
N+1 faces
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5
N pontos
N-1 faces
1 2 3 i-1 I N-1 N
1 2 3 i-1 N-1
1 2 3 i-1 i N-1 N
2 3 i-1 i i+1 N-1 N
ou
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6
Método A
Método B
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7
Dx
qw qe
W w P e E
dxw dxe
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8
Expoente 𝛼 permite 
concentrar a malha em uma 
das extremidades
𝛼>1 malha concentrada no inicio
𝛼<1 malha concentrada no final
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DIFUSÃO
9
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10
0
e
w
xx dxSqq we
Dx
qw qe
W w P e E
dxw dxe
1D: 𝑑 ∀ = 𝐴 𝑑𝑥 , 𝐴 = 1
𝑞 = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑄 = 𝑞 𝐴 = −𝑘 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
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1111
Perfil Linear: Segundo perfil mais simples. Note 
que o perfil linear é a solução exata da equação de 
condução uni-dimensional, regime permanente, 
sem fonte, com propriedades constantes
Possíveis Perfis para avaliar o fluxo
Perfil em Degrau: Perfil mais simples possível, 
porém, a inclinação de dT/dx nas faces do volume 
de controle não está definida. O perfil em degrau 
pode ser utilizado em outros termos, se desejado.
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12
Os fluxos de calor através das faces e e w podem ser 
baseados na solução exata do caso particular do 
problema (condução, regime permanente, 1D, 
propriedades constantes e sem fonte), que é um perfil 
linear e são
w
WP
w
w
x
x
TT
k
dx
dT
kq
w d








e
PE
e
e
x
x
TT
k
dx
dT
kq
e d








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13
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14
𝑆𝑝 ≤ 0
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15
Substituindo as expressões aproximadas para os fluxos e 
fonte média em
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16
Note que a forma da equação de discretização depende do perfil 
utilizado para aproximar os fluxos. 
Existe uma infinidade de possíveis perfis interpoladores. No entanto, a 
escolha do perfil deve ser tal que atenda a 4 princípios básicos, de forma 
a garantir uma solução fisicamente realista.
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17
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18
𝑞− 𝑞
+
P E
𝑞𝑃𝑒 = 𝑞
− = −𝑘𝑒
(𝑇𝐸 − 𝑇𝑃)
𝛿𝑥𝑒
𝑞𝐸𝑤 = 𝑞
+ = −𝑘𝑒
(𝑇𝐸 − 𝑇𝑃)
𝛿𝑥𝑒
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19
o oN o
oW oP oE
o oS o
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21
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22
Note que estes coeficientes respeitam as 4 regras básicas
Precisamos definir:
Como obter a condutância nas faces?
Como linearizar a fonte?
Para finalizar a discretização:
𝑅𝑒𝑠 =
𝐿
𝐾 𝐴
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24
P e E
𝑑𝑥𝑒
𝑑𝑥𝑒
− 𝑑𝑥𝑒
+ 𝑞− = −𝑘𝑃
𝑇𝑒 − 𝑇𝑃
𝑑𝑥𝑒
−
𝑞+ = −𝑘𝐸
𝑇𝐸 − 𝑇𝑒
𝑑𝑥𝑒
+
𝑞𝑒𝐴𝑒 = −𝑘𝑒𝐴𝑒
𝑇𝐸 − 𝑇𝑃
𝛿𝑥𝑒
−𝑞
𝑑𝑥𝑒
+
𝑘𝐸
+
𝑑𝑥𝑒
−
𝑘𝑃
= 𝑇𝐸 − 𝑇𝑃
𝑘𝑒
𝛿𝑥𝑒
=
1
𝑑𝑥𝑒
+
𝑘𝐸
+
𝑑𝑥𝑒
−
𝑘𝑃
𝑘𝑒 =
2 𝑘𝐸𝑘𝑃
𝑘𝐸 +𝑘𝑃
𝑎𝐸 =
𝑘𝑒
𝛿𝑥𝑒
𝐴𝑒 =
𝐴𝑒
𝑑𝑥𝑒
+
𝑘𝐸
+
𝑑𝑥𝑒
−
𝑘𝑃
𝑎𝐸 =
𝑘𝑒 𝐴𝑒
𝛿𝑥𝑒
→ −𝑞
𝑑𝑥𝑒
−
𝑘𝑃
= 𝑇𝑒 − 𝑇𝑃
→ −𝑞
𝑑𝑥𝑒
+
𝑘𝐸
= 𝑇𝐸 − 𝑇𝑒
Malha uniforme
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P e E
𝑑𝑥𝑒
𝑑𝑥𝑒
− 𝑑𝑥𝑒
+
𝑞𝑒 = −𝑘𝑒
𝑇𝐸 − 𝑇𝑃
𝛿𝑥𝑒
𝑘𝑒 =
𝑘𝐸 +𝑘𝑃
2
𝑘𝑒 =
2 𝑘𝐸𝑘𝑃
𝑘𝐸 +𝑘𝑃
𝑘𝐸 = 0 → qe = 0
𝑘𝑃 ≫≫ 𝑘𝐸 → 𝑞𝑒 = −𝑘𝐸
𝑇𝐸 − 𝑇𝑃
𝛿𝑥𝑒
+
𝑘𝑒 =
𝑘𝐸 +𝑘𝑃
2
→ 𝑘𝑒 =
𝑘𝑃
2
𝑘𝑒 =
2 𝑘𝐸𝑘𝑃
𝑘𝐸 +𝑘𝑃
→ 𝑘𝑒 =
2 𝑘𝐸𝑘𝑃
𝑘𝑃
= 2 𝑘𝐸
𝑘𝑒
𝛿 𝑥𝑒
= 2
𝐾𝐸
𝛿 𝑥𝑒
𝑘𝐸 = 0 𝑘𝑃 ≫≫ 𝑘𝐸
𝑘𝑒 =
2 𝑘𝐸𝑘𝑃
𝑘𝐸 +𝑘𝑃
comparação
→ 𝑘𝑒 =
𝑘𝑃
2
→ 𝑘𝑒 = 0
A formula da media harmônica (resistência 
equivalente) permite que grandes 
descontinuidades sejam tratadas corretamente 
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P e E
i i+1
𝛿𝑥𝑒
𝛿𝑥𝑒
− 𝛿𝑥𝑒
+
𝑞𝑒𝑖 = 𝑎𝐸𝑖(𝑇𝑖 − 𝑇𝑖+1)
𝑘𝑒
𝛿𝑥𝑒
=
1
𝛿𝑥𝑒
+
𝑘𝐸
+
𝛿𝑥𝑒
−
𝑘𝑃
𝑘𝑒 =
2 𝑘𝐸𝑘𝑃
𝑘𝐸 +𝑘𝑃
𝑎𝐸 =
𝑘𝑒
𝛿𝑥𝑒
𝐴𝑒 =
𝐴𝑒
𝛿𝑥𝑒
+
𝑘𝐸
+
𝛿𝑥𝑒
−
𝑘𝑃
𝑎𝑊𝑖 =
𝑘𝑤𝑖 𝐴𝑤𝑖
𝛿𝑥𝑤𝑖
𝑎𝐸𝑖 =
𝑘𝑒𝑖 𝐴𝑒𝑖
𝛿𝑥𝑒𝑖
𝑎𝑊𝑖+1 =
𝑘𝑤𝑖+1 𝐴𝑤𝑖+1
𝛿𝑥𝑤𝑖+1
=
𝑘𝑒𝑖 𝐴𝑒𝑖
𝛿𝑥𝑒𝑖
= 𝑎𝐸𝑖
𝑞𝑒𝑖 = 𝑞𝑤𝑖+1
𝑞𝑤𝑖 = 𝑎𝑊𝑖(𝑇𝑖−1 − 𝑇𝑖)
𝑞𝑤𝑖+1 = 𝑎𝑊𝑖+1(𝑇𝑖 − 𝑇𝑖+1)
𝛿𝑥𝑒
− = 𝛿𝑥𝑒
+ =
𝛿𝑥𝑒
2
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27
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28
1
𝐴
𝑑
𝑑𝑥
𝑘 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
−
ℎ 𝑃
𝐴
𝑇 − 𝑇∞
𝑆
= 0
  ff pc
i
facei
ii
SSJA
sdsd
dρ
td










3
1
,
/
1
)(
1
𝑆𝑐 =
ℎ 𝑃
𝐴
𝑇∞
𝑆𝑝 = −
ℎ 𝑃
𝐴
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29
ҧ𝑆 𝑑 ∀= −׬
ℎ 𝑃
𝐴
𝑇 − 𝑇∞ 𝐴 𝑑𝑥 = ׬ 𝑆𝑐 + 𝑆𝑝 𝑇 𝐴 𝑑𝑥 ≈ 𝑆𝑐 + 𝑆𝑝 𝑇𝑃 𝐴 Δ𝑥
𝑆 =
ℎ 𝑃
𝐴
𝑇∞ − 𝑇
Se a aleta trocasse calor por radiação, teríamos
1
𝐴
𝑑
𝑑𝑥
𝑘 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
−𝜎 𝜀 𝑃 𝑑 𝑥 (𝑇4 − 𝑇∞
4)
𝑆
= 0
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30
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31
Quando existe uma expressão analítica para S, é conveniente 
utilizar uma expansão em Série de Taylor no processo de 
linearização, isto é
)( *
*
* ff
f







d
Sd
SS
onde f* é o valor de f na iteração anterior.
*
*
* f
f 







d
Sd
ScSc
*







fd
Sd
Sp
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32
Exemplo: S = 4 - 5 T3,
(a) Avaliar a fonte de forma totalmente explícita, 
SC = 4 - 5 T
*3 SP = 0
não é conveniente, pois não antecipa nenhuma 
dependência entre a fonte e a variável dependente, no 
caso a temperatura.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Sa
S=4-5T^3
S
S*
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33
Exemplo: S = 4 - 5 T3,
(b) Avaliar a fonte de forma totalmente explícita, 
SC = 4 SP = - 5 T
*2 
coeficiente angular menor do que deveria ser. Novamente 
não antecipa corretamente a dependência da fonte em T.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Sa
Sb
S=4-5T^3
S
S*
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34
Exemplo: S = 4 - 5 T3,
(c) Avaliar a fonte de forma totalmente explícita, 
SC = 4 +20 T
*3 SP = - 25 T
*2 
coeficiente angular maior do que deveria ser. Diminui a 
velocidade de convergência.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Sa
Sb
Sc
S=4-5T^3
S
S*
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35
Exemplo: S = 4 - 5 T3,
(d) Linearização baseada em série de Taylor. É a 
tangente a curva. É a linearização correta, pois 
apresenta a tendência correta da curva
dS/dT = - 15 T2 então 
rearrumando
resultando em)(15)54( *2*3* TTTTS 
TTTS )15()104( 2*3* 
)104( 3*TSC 
)(
*215 TS p 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Sa
Sb
Sc
Sd
S=4-5T^3
S
S*
)( *
*
* ff
f







d
Sd
SS
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38
Condições de Contorno
As equações de discretização são formadas para todos os
volumes de controle ao redor dos pontos nodais internos.
Se os valores da temperatura no contorno são conhecidos, não é
necessário mais nenhuma equação.
Se Tc não é conhecido, uma equação de discretização para o
volume de controle próximo a fronteira deve ser construída. Esta
equação incorporará a informação disponível sobre o fluxo de
calor da fronteira (ou o valor do coeficiente de troca de calor
convectivo).
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39
A Equação para Meio Volume de Controle 
(Método A)
 Situações 1-D
Portanto, acTc=aITI + B
oPara fluxo de calor qc constante
oPara coeficiente de troca de calor h e temperatura T∞
conhecidos, tem-se a relação: qc = h (T∞- Tc)
𝐴 = 1
B
B
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40
A Equação para Volume de Controle de Espessura 
Nula (Método B)
 Situações 1-DType equation here.
então, acTc=aITI + B ; onde
oPara fluxo de calor qc constante
oPara h e temperatura T∞ conhecidos: qc = h (T∞- Tc)
B
B
𝑞𝑖 =
𝑘𝑖𝐴𝑖
𝛿𝑥𝑖
(𝑇1 − 𝑇𝐼)=0
(
𝑘𝑖𝐴𝑖
𝛿𝑥𝑖
𝑇1 =
𝑘𝑖𝐴𝑖
𝛿𝑥𝑖
𝑇𝐼)
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41
Condições de contorno
Tc conhecido
o Quando Tc é conhecido, não é preciso utilizar a equação
para o contorno durante a fase de solução
o Contudo, pode-se utilizar a equação do contorno para
determinar o valor desconhecido de qc após todas as
temperaturas (incluindo TI) tiverem sido calculadas.
ccPCIc
i
i
c xTSSTT
x
k
q ))(()(
)(
D
d
)()(
)(
IciIc
i
i
c TTaTT
x
k
q 
d
Método A
Método B
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42
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SOLUÇÃO DE SISTEMA ALGÉBRICO 
TRI-DIAGONAL
Algoritmo TDMA (Tri Diagonal Matrix Algorthm) 
também chamado de algoritmo de Thomas
 este é um algoritmo direto para resolver sistemas de equações 
algébricas formado por matriz de coeficientes tri-diagonal.
 Para o ponto (1) tem-se a1 1 = b1 2 + d1
 Para todos os pontos 2  i  N ai i = bi i+1 + ci i-1 + di
 Para o ponto (N) tem-se aN N = cN N-1 + dN
 A matriz resultante é 
43
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44


































NN
NNN
ac
bac
bac
bac
ba
000000
00000
00
0
000000
111
333
222
11
































N
N





1
3
2
1




























N
N
d
d
d
d
d
1
3
2
1

=
Com esse novo conjunto, 
determina-se N e fazendo 
uma substituição regressiva, 
todos os  podem ser obtidos
Ӗ𝐴 𝜙 = 𝐷
Ӗ𝐴−1 Ӗ𝐴 𝜙 = Ӗ𝐴−1𝐷
𝜙 = Ӗ𝐴−1𝐷
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• Note que a seguinte equação é valida para todos os pontos 1  i  N 
ai i = bi i+1 + ci i-1 + di sendo c1= 0 e bN =0
• Vamos obter o algoritmo: suponha que desejamos obter a 
relação 
i = Pi i+1 + Qi
após termos obtido i-1 = Pi-1 i + Qi-1
então ai i = bi i+1 + ci [ Pi-1 i + Qi-1 ]+ di
rearrumando [ ai - ci Pi-1 ] i = bi i+1 + ci Qi-1 + di 
45
1iii
i1ii
1i
1iii
i
i
Pca
dQc
Pca
b



 



  1


iii
i
i
Pca
b
P
1
1





iii
iii
i
Pca
Qcd
Q
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O ponto de partida é: e 
Note que N = QN ; já que PN =0 pois bN = 0
O algoritmo TDMA requer um tempo de computação e espaço de 
memória proporcional a somente N, e não N2 ou N3.
46
1
1
1
a
b
P 
1
1
1
a
d
Q 
1

iii
i
i
Pca
b
P
1
1





iii
iii
i
Pca
Qcd
Q
iiii QP  1
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47
Solução De Sistema Algébrico Tri-Diagonal____________________________________________ 21 
 Procedimento TDMA 
 
 calcula-se 
1
1
1
a
b
P  e 
1
1
1
a
d
Q  
 
 Usando as relações recursivas de Pi e Qi 
 
 
1

iii
i
i
Pca
b
P 
1
1





iii
iii
i
Pca
Qcd
Q 
 
 
 obter P2 ; Q2 ; P3 ; Q3 ; ...; PN e QN 
 
 especificar N = QN 
 
 Usando i = Pi i+1 + Qi , obter N-1 ; N-2 ; ..... ; 2 ; 1 
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48
 Para todos os pontos 2  i  N ai i = bi i+1 + ci i-1 + di
aP P = aE E + aW W + b
aP = aE + aW – Sp d ∀
ai i - bi i+1 - ci i-1 = di
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49
 tem-se a1 1 = b1 2 + d1
 Para todos os pontos 2  i  N ai i = bi i+1 + ci i-1 + di
 Para o ponto (N) tem-se aN N = cN N-1 + dN
 𝜙1= 𝜙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑖𝑛
 a1 1 = b1 2 + d1
𝑎1 = 1
𝑏1 =0
𝑑1= 𝜙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑖𝑛
 𝜙𝑁= 𝜙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑜𝑢𝑡
 aN N = cN N-1 + dN
𝑎𝑁 = 1
𝑐𝑁 =0
𝑑𝑁 = 𝜙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑜𝑢𝑡
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50
𝜖 = | 𝜓𝑛𝑢𝑚 − 𝜓𝑒𝑥|
𝜖𝑛 =
| 𝜓𝑛𝑢𝑚 − 𝜓𝑒𝑥|
𝜓𝑒𝑥
𝜓𝑛𝑢𝑚 = 10
−6 ; 𝜓𝑒𝑥 = 10
−8
𝜖𝑛 =
10−6 − 10−8
10−8
= 102
𝜖𝑛_𝑚𝑎𝑥 = max 𝜖𝑛
𝜖𝑛𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝜖𝑛
𝜖𝑛𝑟𝑚𝑠 =
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝜖𝑛
2
ERROS
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51
𝑑𝐽𝑥
𝑑𝑥
= 𝑆 ; 𝐽𝑥 = −Γ
𝑑𝜙
𝑑𝑥
; 𝑆 = 𝑆𝑐 + 𝑆𝑝 𝜙, 𝑆𝑝 ≤ 0
𝑎𝐸 =
Γ𝑒 𝐴𝑒
𝛿𝑥𝑒
𝑎𝑊 =
Γ𝑤 𝐴𝑤
𝛿𝑥𝑤
𝑎𝑃 = 𝑎𝐸 + 𝑎𝑊 − 𝑆𝑝 𝐴𝑃 Δ𝑥𝑃
𝐵 = 𝑆𝑐 𝐴𝑃 Δ𝑥𝑃
𝑎𝑃𝜙𝑃 = 𝑎𝐸 𝜙𝐸 + 𝑎𝑊𝜙𝑊 + 𝐵
𝐽𝑖𝑛 = 𝐽𝑥𝑖𝑛𝐴𝑖𝑛 𝐽𝑜𝑢𝑡 = 𝐽𝑥𝑜𝑢𝑡𝐴𝑜𝑢𝑡
Balanço global: 𝐽𝑖𝑛 + σ𝑖=2,𝑁−1 𝑆𝑐 + 𝑆𝑝 𝜙 𝑑 ∀= 𝐽𝑜𝑢𝑡
𝐽𝑖𝑛 = 𝑎𝑊2 (𝜙1 − 𝜙2) 𝐽𝑜𝑢𝑡 = 𝑎𝐸𝑁−1 (𝜙𝑁−1 − 𝜙𝑁)
1 2 i -1 i i+1 N-1 N
𝛿𝑥𝑤𝑖 = 𝑥𝑖 – 𝑥𝑖−1
𝛿𝑥𝑒𝑖 = 𝑥𝑖+1 – 𝑥𝑖
𝛿𝑥𝑒𝑖 = 𝛿𝑥𝑤𝑖+1
Δ𝑥𝑖 = 𝑥𝑓𝑎𝑐𝑒𝑖+1
− 𝑥𝑓𝑎𝑐𝑒𝑖
2 i -1 i i+1 N-1 NMétodo B
Balanço difusivo
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52
𝐽𝑖𝑛 = 𝐽𝑥𝑖𝑛𝐴𝑖𝑛
𝐽𝑜𝑢𝑡 = 𝐽𝑥𝑜𝑢𝑡𝐴𝑜𝑢𝑡
Balanço global: 𝐽𝑖𝑛 + σ𝑖=1,𝑁 𝑆𝑐 + 𝑆𝑝 𝜓 𝑑 ∀= 𝐽𝑜𝑢𝑡
1 2 i -1 i N-1 N
𝛿𝑥𝑒𝑖 = 𝛿𝑥𝑤𝑖+11 2 i -1 i i+1 N N+1
Método A
𝐽𝑖𝑛 + 𝑆𝑐 + 𝑆𝑝 𝜙1 𝑑 ∀1= 𝐽𝑤2 𝐽𝐸𝑁−1 + 𝑆𝑐 + 𝑆𝑝 𝜙𝑁 𝑑 ∀𝑁= 𝐽𝑜𝑢𝑡
𝑑𝐽𝑥
𝑑𝑥
= 𝑆 ; 𝐽𝑥 = −Γ
𝑑𝜙
𝑑𝑥
; 𝑆 = 𝑆𝑐 + 𝑆𝑝 𝜙, 𝑆𝑝 ≤ 0
𝑎𝐸 =
Γ𝑒 𝐴𝑒
𝛿𝑥𝑒
𝑎𝑊 =
Γ𝑤 𝐴𝑤
𝛿𝑥𝑤
𝑎𝑃 = 𝑎𝐸 + 𝑎𝑊 − 𝑆𝑝 𝐴𝑃 Δ𝑥𝑃
𝐵 = 𝑆𝑐 𝐴𝑃 Δ𝑥𝑃
𝑎𝑃𝜙𝑃 = 𝑎𝐸 𝜙𝐸 + 𝑎𝑊𝜙𝑊 + 𝐵
𝛿𝑥𝑤𝑖 = 𝑥𝑖 – 𝑥𝑖−1
𝛿𝑥𝑒𝑖 = 𝑥𝑖+1 – 𝑥𝑖
𝛿𝑥𝑒𝑖 = 𝛿𝑥𝑤𝑖+1
Δ𝑥𝑖 = 𝑥𝑓𝑎𝑐𝑒𝑖+1
− 𝑥𝑓𝑎𝑐𝑒𝑖
Balanço difusivo
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NÃO LINEARIDADE
A equação de discretização deve ser uma equação linear, 
porque o sistema de equações algébricas será resolvido por 
métodos de solução de equações lineares.
Não linearidades irão aparecer quando k depender de T ou S for 
uma função não linear de T. Então, os coeficientes das equações 
de discretização serão dependentes de T.
Não linearidades podem ser tratadas por um processo iterativo 
de solução:
(i) supomos um valor para o campo de T,
(ii) calculamos os coeficientes,
(iii) resolvemos as equações de discretização nominalmente 
lineares para obter um novo campo de T,
(iv) repetimos o processo voltando ao item (ii) até obter 
convergência, isto é, ate que os valores de T não variem 
significativamente entre iterações. 54
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Solução de Sistema de Equações Não-Linear
Método de Picard:
1. Chute inicial;
2. Calcular coeficientes da matriz usando o valor atual das 
incógnitas;
3. Resolver o sistema de equações e determinar o novo valor das
incógnitas;
ou
• Comparar solução atual com anterior;
• Se não convergiu, voltar para 2.




)()()()()(
,,,,
00
3
0
2
0
1
0
Nfffff 




 )(kAA f
bA kk
1
1







 



 )()( ff ba a a W
k
WE
k
EP
k
P  fff
Angela Nieckele – PUC-Rio
Método de Newton-Raphson (de Newton)
)(
)(
)(
)(
tan
1
1
i
i
ii
i
ii
i
xf
xf
xx
xf
xx
xf








PROCEDIMENTO ITERATIVO
)1(
)()1(
)(
)(
)(
)0(
 :Raiz
1
)(
)(
do ,)( While
0
 :inicial Chute



D

D


i
ii
i
i
i
x
ii
xxx
xf
xf
x
xf
i
x

       
     
 
 xf
xf
xxfxxfxxf
xf
x
xfxxfxxf



DDD
D
DD
0
2
2

Dados de Entrada:
Chute inicial, tolerância , número de iterações
Angela Nieckele – PUC-Rio












0),,,,(
0),,,,(
0),,,,(
0),,,,(
321
3213
3212
3211
NN
N
N
N
xxxxf
xxxxf
xxxxf
xxxxf





Sistema a ser resolvido:
Expansão por série de Taylor até termos de primeira ordem de cada 
equação:
N
N
NNN
NNNNN
N
N
NNN
N
N
NNN
x
x
f
x
x
f
x
x
f
xxxfxxxxxxf
x
x
f
x
x
f
x
x
f
xxxfxxxxxxf
x
x
f
x
x
f
x
x
f
xxxfxxxxxxf
DDDDDD
DDDDDD
DDDDDD































2
2
1
1
212211
2
2
2
2
1
1
2
21222112
1
2
2
1
1
1
1
21122111
0
0
0
),,,(),,,(
),,,(),,,(
),,,(),,,(
Método de Newton: Generalização do Método de Newton 
para um sistema de equações não-
lineares
Angela Nieckele – PUC-Rio
N
N
NNN
NN
N
N
N
N
N
N
x
x
f
x
x
f
x
x
f
xxxf
x
x
f
x
x
f
x
x
f
xxxf
x
x
f
x
x
f
x
x
f
xxxf
DDD
DDD
DDD































2
2
1
1
21
2
2
2
2
1
1
2
212
1
2
2
1
1
1
1
211
),,,(
),,,(
),,,(
fJx
f
f
f
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
f
N
x
N
J
N
NNN
N
N
1
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
































































D
D
D
D
D




  




Sistema em
Forma matricial
Matrix Jacobiana
j
i
ij
x
f
J



Angela Nieckele – PUC-Rio
PROCEDIMENTO ITERATIVO
)(
)()(
)(
)(
,
1
1
1
0
 :Raiz
1
do While
0
 :inicial Chute












i
ii
i
x
ii
xxx
fJx
xf
i
x
D
D

Solução de 
um sistema 
linear
Convergência Quadrática
)(
)()(
)(
)(
)(
][
,
1
1
1
0
 :Raiz
1
do While
0
 :inicial Chute
















k
kk
k
k
kk
bAJ
bA
k
f
fDff
ffD
f
f
Angela Nieckele – PUC-Rio
Exemplo: condução não linear
0





q
xd
Td
k
xd
d

Tbase Textk(T)
q
x
L
c.c.: x = 0 T=Tbase x = L T=Text
xqbaaa
x
k
a
x
k
a
bTaTaTa
EWP
w
w
W
e
e
E
WWEEPP
D
dd


;;
)(
;
)(
   
),(
2
;),(
//
1
WP
WP
WP
wEP
EePee
e TTk
kk
kk
kTTk
kxkxx
k





 ddd
10 


NN TT
x
T
ou
w P e E
1 2
Angela Nieckele – PUC-Rio
Solução pelo Método de 
Newton…
Cálculo da matriz Jacobiana:
  0 bTaTaTaaf WWEEPEWi
f1 = T1 – Tbase=0 ; fN = TN - Text=0
     
   
01
132
01
1
2
1
1
1

































N
N
N
N
EP
E
E
E
E
i
WP
W
W
W
W
i
EP
P
E
WP
P
W
EW
P
i
T
f
 
T
f
TT
T
a
a
T
f
TT
T
a
a
T
f
NiTT
T
a
TT
T
a
aa
T
f
T
f
 
T
f
;
;
,,,
;



01  NNN TTf10 


NN TT
x
T
ou
Angela Nieckele – PUC-Rio
Sistema em
Forma matricial
Matrix Jacobiana
j
i
ij
T
f
J


fJT
f
f
f
f
T
T
T
T
T
f
T
f
T
f
T
f
T
f
T
f
f
N
i
T
N
i
J
E
i
P
i
W
i
1
2
1
2
1
3
2
2
2
1
2
100
00
00
001




















































































































D
D
D
D
D
D






  








































NN
NNN
ac
bac
bac
bac
ba
000000
00000
00
0
000000
111
333
222
11





Angela Nieckele – PUC-Rio
Convergência:
1. Considera-se uma solução convergida quando a diferença da 
variável de interesse entre duas iterações consecutivas é menor 
que uma tolerância pré-definida. A variável de interesse pode ser: f
máximo, f médio, alguma variável auxiliar como fluxo máximo, todo 
campo f, etc.
• Diferença absoluta:
• Diferença relativa:
• Diferença relativa normalizada:
k
i
k
ii ff 
1
k
i
k
i
k
i
ri
f
ff



1
kk
k
i
k
i
ni
minmax
ff
ff




1








 bTaTaRes
nb
nbnbPPi
2. Resíduo menor que uma tolerância pré-definida : 
Angela Nieckele – PUC-Rio
Convergência:
toli   maxmax tolirr   maxmax
tol
inn
  max
max
tol
N Ni
rr imedio

1
1
   tol
N Ni
rr irms

1
21 Norma L2 ou
Norma rms
Diferenças ou resíduo máximo:
Diferenças ou resíduo médios:
tolResRes i  maxmax