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Os animais sentem dores como nós. Por isto sou contra as touradas, Farra do Boi e festividades que maltratam os animais. É insano machucá-los apenas para nossa simples diversão. Marcos Pacheco mar_pac@uol.com.br Solution Exame Unificado de Física – EUF 2011-1 Q1. Considere um corpo de massa M de seção transversal circular de raio R que rola sem desliza- mento sobre um plano que possui um ângulo de inclinação θ em relação à horizontal, conforme mostra a figura abaixo. O coeficiente de atrito estático entre o corpo e o plano é µe. O mo- mento de inércia do corpo em relação a um eixo passando pelo ponto O é I e a aceleração da gravidade é g. R h y x q O (a) Desenhe o diagrama de forças para o corpo. Escreva a equação que relaciona a velocidade angular, ϕ̇, de rolamento do corpo e a velocidade de translação, ẋ, que caracteriza um rolamento sem deslizamento. (b) Determine a aceleração ẍ, associada à translação do corpo ao longo do plano inclinado, em termos dos parâmetros que constam no enunciado. (c) Assuma que o corpo inicia o seu movimento a partir do repouso na origem do sistema de coordenadas cartesianas indicado na figura. Calcule a energia mecânica no ińıcio e no final do movimento. A energia mecânica do sistema é conservada? (d) Calcule o momento de inércia I considerando que o corpo seja (i) um anel e (ii) um disco. Assuma que as massas dos corpos estão uniformemente distribúıdas. Suponha agora que o ângulo θ possa ser variado. A partir de qual θ cessa o movimento de rolamento puro e o corpo começa a deslizar, nos casos (i) e (ii) acima? Deixe a resposta em termos de µe. Q2. Considere o pêndulo invertido da figura abaixo, composto por uma barra de massa M e mo- mento de inércia I0 em relação ao seu centro de massa, cujas coordenadas são (X,Y). A barra pode girar livremente no plano xy em torno de um eixo de rotação que passa pela posição (xp,yp), a uma distância ` do centro de massa. A aceleração da gravidade é g. x y (X,Y) (x ,y )p p l q g (a) Escreva as equações para a energia cinética e potencial do sistema em termos de X, Y e θ. Para os itens (b), (c) e (d) assuma que um agente externo faz o eixo de rotação oscilar hori- zontalmente com frequência angular ω, ou seja, tem-se yp(t) = 0 e xp(t) = A cos(ωt). (b) Escreva a lagrangiana do sistema em termos da coordenada generalizada θ. (c) Escreva a equação de movimento para a lagrangiana do item (b). (d) Considere que o sistema executa pequenas oscilações (θ pequeno). Mostre que neste caso, θ(t) = α cos(ωt) + β sen(ωt) é uma solução para o problema. Determine α e β. 1 Q3. Para os itens (a), (b) e (c), admita que no modelo de Bohr para uma part́ıcula de massa m se movendo numa órbita circular de raio r e velocidade v, a força Coulombiana fosse substitúıda por uma força central atrativa de intensidade k r (sendo k uma constante). Admita que os postulados de Bohr sejam válidos para este sistema. Para esta situação: (a) Deduza a expressão para os raios rn das órbitas de Bohr permitidas neste modelo em função do número quântico n e das constantes k, ~ e m. Diga quais os valores posśıveis de n neste caso. (b) Lembrando que para o caso desta força central, a energia potencial correspondente é V (r) = kr2/2, deduza a expressão para as energias En das órbitas permitidas em função do número quântico n e das constantes k, ~ e m. Determine a frequência irradiada quando a part́ıcula faz uma transição de uma órbita para outra adjacente. (c) Calcule o comprimento de onda de de Broglie associado à part́ıcula em um estado de energia correspondente ao número quântico n = 2 em função de k, ~ e m. Para o item (d), considere um feixe de raios X, contendo radiação de dois comprimentos de onda distintos, difratados por um cristal cuja distância entre planos de difração é 1 nm (10−9 m). A figura abaixo apresenta o espectro de intensidade na região de pequenos ângulos (medidos em relação à direção do feixe incidente). (d) Determine os comprimentos de onda dos raios X presentes no feixe. Utilize π = 3. 2 Q4. Numa experiência de efeito fotoelétrico, luz de comprimento de onda 414 nm e intensidade I0 incide sobre uma superf́ıcie limpa de um metal cuja função trabalho é φ = 2,5 eV. (a) Calcule a energia cinética máxima dos fotoelétrons. (b) Se a intensidade de luz incidente for duplicada, o que ocorre com a energia cinética dos fotoelétrons? Considere agora a experiência de espalhamento Compton em que um elétron de massa m0 em repouso espalha um fóton de comprimento de onda λ = 2λc ≡ 2h/(m0c). Após o espalhamento, o fóton perde metade de sua energia. (c) Calcule o comprimento de onda do fóton espalhado (expresse seu resultado apenas em função de λc) e determine o seu ângulo de espalhamento. (d) Calcule a energia total e o momento linear do elétron após a colisão (expresse seu resultado em função de m0 e c). Q5. Imagine que um material magnético unidimensional possa ser modelado como uma cadeia linear de N + 1 spins. Cada spin interage com os seus primeiros vizinhos de tal maneira que a energia do sistema seja E = n², onde n é o número de paredes de domı́nio separando regiões de spin ↑ das regiões de spin ↓, como representado na figura abaixo, sendo as paredes de domı́nio indicadas por linhas tracejadas. A energia por parede de domı́nio é ². Considere N À 1 e nÀ 1. (a) Determine de quantas maneiras as n paredes de domı́nio podem ser arranjadas. (b) Determine a entropia S(E) do sistema contendo n paredes de domı́nio. (c) Determine a energia interna E como função da temperatura, E(T ). Expresse seu resultado em termos de N , ², T e constantes f́ısicas apenas. (d) Esboçe a função E(T ), indicando os valores de E para T = 0 e T →∞. 3 Q6. Coloca-se uma esfera metálica descarregada, de raio R, numa região do espaço inicialmente preenchida por um campo elétrico dado por ~Ei = E0 k̂. Escolha a origem do sistema de coordenadas no centro da esfera. (a) Esboce as linhas do campo elétrico em toda a região do espaço. Justifique o esboço utilizando argumentos f́ısicos. (b) Determine o campo elétrico ~Ef (~r) em toda a região do espaço. Em particular, encontre os campos para os pontos em que |~r| À R e |~r| ≈ R e verifique se eles são consistentes com o esboço no item (a). (c) Ache a densidade de carga na esfera. Se a esfera possuir raio igual a 10 cm e E0 = 100 N/C, calcule as cargas acumuladas nos hemisférios norte e sul da esfera. (d) Suponha que a esfera metálica seja substitúıda por uma esfera dielétrica. Discuta qua- litativamente o que ocorre neste caso e esboce as linhas do campo elétrico em toda a região do espaço. Q7. Considere o arranjo hipotético ilustrado na figura abaixo, em que um fio sólido de raio a estendido ao longo do eixo z conduz uma corrente elétrica I, uniformemente distribúıda sobre a sua seção transversal, que é mantida constante. A pequena lacuna no fio, de largura w ¿ a, forma um capacitor de placas paralelas. A carga no capacitor é zero no instante t = 0. (a) Encontre o vetor campo elétrico na lacuna em função da distância ρ a partir do eixo z e do tempo t, além dos parâmetros I,w e a. Despreze os efeitos de borda. (b) Encontre o vetor campo magnético na lacuna em função de ρ e t e dos parâmetros I,w e a. (c) Calcule a densidade de energia eletromagnética uem e o vetor de Poynting na lacuna, indicando explicitamente a sua direção e o seu sentido. (d) Determine a energia total Uem na lacuna em função do tempo. Compare a taxa de variação de Uem com o tempo e o fluxo de energia por unidade de tempo (fluxo de potência), obtido fazendo-se a integral de superf́ıcie do vetor de Poynting. • • • • • • w zI I a +σ −σ 1 Q8. Considere uma part́ıcula de massa m na presença de um potencial harmônico V (x) = 1 2 mω2x2, onde ω é a frequência angular do oscilador e x é a coordenada da part́ıcula(1-dim). (a) São dadas as funções de onda estacionárias correspondentes ao estado fundamental ψ0 e ao primeiro estado excitado ψ1: ψ0 (x) = A exp ( −mω 2~ x2 ) , ψ1 (x) = B x exp ( −mω 2~ x2 ) , onde A e B são constantes de normalização. Calcule A e B supondo que as funções de onda sejam reais. (b) Seja E0 a energia do estado fundamental. Sabemos que E1 = E0 + ~ω para o primeiro estado excitado, já que o quantum de energia do oscilador é ~ω. Usando a equação de Schrödinger, encontre a energia E0. (c) Para os estados estacionários, o valor médio da posição 〈x〉 é sempre nulo. Construa uma função de onda não estacionária como combinação linear de ψ0 e ψ1 com coeficientes reais, tal que o valor médio 〈x〉 seja o maior posśıvel. Em outras palavras, considere o estado normalizado ψ (x) = √ 1− β2 ψ0 (x) + β ψ1 (x) , com 0 ≤ β2 ≤ 1 e determine o coeficiente β que maximiza o valor de 〈x〉. (d) Suponha que a função de onda constrúıda no item anterior descreva o estado do oscilador harmônico no tempo t = 0. Escreva a função de onda do estado para um tempo t > 0 arbitrário, supondo que nenhuma medição foi feita sobre o sistema. Para esse estado, avalie o valor médio da posição 〈x〉(t) em função do tempo. Q9. Seja uma part́ıcula com momento angular l = 1. (a) Na representação onde as matrizes de L2 e Lz são diagonais, obtenha a matriz da compo- nente Lx. Lembre que a matriz de Lx deve representar um operador hermitiano. Sugeri- mos usar os operadores escada L±. (b) Calcule os autovalores de Lx. (c) Encontre o autovetor de Lx com o maior autovalor. (d) Suponha agora que você encontrou o maior autovalor numa medição de Lx. Calcule as probabilidades de medir respectivamente +~, 0 e −~ numa medição posterior de Lz. Q10. Um mol de um gás ideal monoatômico se encontra na temperatura T e ocupa um volume V . A energia interna por mol de um gás ideal é dada por u = cV T , onde cV é o calor espećıfico molar, que é considerado constante. Responda as questões abaixo: (a) Considere a situação em que o gás se encontra em contato com um reservatório térmico na temperatura T e sofre uma expansão quase-estática reverśıvel na qual o seu volume passa de V para 2V . Calcule o trabalho realizado pelo gás durante a sua expansão. (b) Ainda com relação ao processo f́ısico descrito no item (a), determine o calor trocado pelo gás com o reservatório térmico. (c) Determine as variações de entropia do gás e do reservatório térmico no processo descrito no item (a). (d) Considere agora a situação em que o gás está isolado e sofre uma expansão livre na qual o seu volume passa de V para 2V . Determine as variações de entropia do gás e do universo durante o processo de expansão livre. 2
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