Aula 26

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EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Capítulo 7: Escoamento Interno
�Trocadores de calor
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Temperatura de mistura
• Tm é a temperatura que se obtêm ao retirar uma 
amostra de fluido na seção transversal do duto, 
colocar em um copo e fazer uma mistura. 
• Ela é MUITO CONVENIENTE pois o produto cpTm
expressa a entalpia específica na seção transversal do 
duto.
• Neste caso o balanço de energia final (considerando 
W=0 e ∆∆∆∆Ec e ∆∆∆∆Ep desprezíveis) numa tubulação fica 
sendo:
( ) Qhhm es && =− ( ) QTmTmcm esp && =−
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Lei de Newton
• Para um escoamento trocando calor no interior de 
um tubo, pode-se escrever que:
 Logo, o fluxo de calor por unidade de área é o 
produto de hx (coeficiente local de transferência de 
calor) pela diferença entre as temperaturas Ts e Tm
(temperatura da superfície e de mistura, 
respectivamente).
(((( ))))mpx"x TThq −−−−====&
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Trocadores de calor
• São equipamentos que fazem a transferência de 
energia de uma corrente quente de fluido para uma 
corrente fria.
• Normalmente, os dois fluidos são separados por 
paredes sólidas:
– São chamadas de superfícies de troca.
– No caso de fluidos imiscíveis, as paredes sólidas podem 
ser dispensadas e o trocador é chamado de contato 
direto. 
Tfe
Tfs
TqeTqs
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CLASSIFICAÇÃO
• Normalmente os trocadores de calor são 
classificados pela:
– Aplicação: 
• Sem mudança de fase do fluido: líquido-líquido, gás-líquido e gás-
gás;
• Com mudança de fase: vapor/líquido-líquido, vapor/líquido-gás e 
líquido/vapor-gás. Também conhecidos como condensadores e 
evaporadores.
– Arranjo do escoamento:
• Correntes Paralelas;
• Correntes Contrárias ou Opostas;
• Correntes cruzadas.
– Tipo construtivo:
• Duplo tubo, Casco tubo, Placas, Compactos, Tubos aletados, etc;
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Correntes paralelas
• Nesse tipo de trocador de 
calor, o fluido quente e o 
frio entram pelo mesmo 
lado do trocador e escoam 
no mesmo sentido.
• Conforme os fluidos 
escoam, há a transferência 
de calor do fluido quente 
para o frio.
• Usualmente estão 
associados a trocadores 
tipo duplo tubo.
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Correntes opostas ou contracorrente
• Nesse tipo de trocador 
de calor, o fluido quente 
entra por um lado e o frio 
entra pelo lado oposto.
• O escoamento ocorre em 
sentidos opostos.
• Apresenta uma maior 
eficiência global quando 
comparado com o de 
corrente paralela.
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Correntes cruzadas
• Nesse tipo de trocador de 
calor, os escoamentos são 
perpendiculares entre si.
• Pode-se ter um escoamento 
não misturado e misturado:
– Fluido não misturado: há
dispositivos (aletas) que inibem 
o movimento do fluxo cruzado 
na direção do escoamento.
– Fluido misturado: nesse caso, o 
fluido pode escoar em todas as 
direções (não há aletas).
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Casco tubos
• É o trocador de calor mais comum nas indústrias.
• Simplicidade de operação, construção e 
manutenção são suas características principais.
• Podem ser classificados como:
– Número de passes nos tubos:
• Passe simples;
• Múltiplos passes.
– Número de passes no casco:
• Passe simples;
• Múltiplos passes
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Casco tubos
• Com um passe no casco e um passe nos tubos:
• Com um passe no casco e dois passes nos tubos:
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Casco tubos
• Com dois passes no casco e quatro passes nos 
tubos:
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Trocador de calor aletado (compacto)
(líquido-gás) – motores de combustão
• São aqueles que possuem 
uma grande área de troca 
ocupando um pequeno 
volume:
– Usualmente maior que 
700m2/m3.
• Possuem arranjos densos de 
tubos aletados ou placas.
• São tipicamente usados 
quando um dos fluidos é gás.
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Transferência de calor
• A transferência de calor do escoamento interno a 
um duto para o externo a um duto é uma aplicação 
freqüente em trocadores de calor.
Considere: 
Tmi > Tpi > Tpe > Tf
de maneira que o 
fluido quente 
(interno) transfere 
calor para o fluido 
frio (externo).
TTmimi
TTpipi
TTpepe
TTff
"q&
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Há três mecanismos de transferência de 
calor: 
• do fluido interno com a parede interna por 
convecção térmica interna ( Qi ); 
• da parede interna à parede externa por 
condução térmica ( Qk ); 
• da parede externa com o fluido externo por 
convecção térmica externa ( Qe ). 
Troca de calor interna e externa ao tubo
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Como não há variação de temperatura com o 
tempo (regime permanente) então: 
• o calor transferido do fluido interno para a 
parede é o mesmo; 
• do calor transferido da parede interna para 
a externa e que por sua vez; 
• é igual ao transferido da parede externa 
para o fluido.
Q = Qi = Qk = Qe
Troca de calor interna e externa ao tubo
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Como calcular as taxas de calor: 
( )ip,im,iii TThAQQ −== &&
( )ep,ip,
ie
k TT)/dln(d
2π
QQ −==
Lk
&&
( )fep,eee TThAQQ −== &&
Onde Ai e Ae representam as áreas interna e externa do 
tubo (ππππdiL e ππππdeL [m2] ). 
Troca de calor interna e externa ao tubo
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Troca de calor interna e externa ao tubo
É freqüente a necessidade de se determinar Q, em 
função apenas de Tm,i e Tf: 
( )ip,im,iii TThAQ −=&
( )ep,ip,iek TTL2π)/dln(dQ −=k&
( )fep,eee TThAQ −=&
++
( )fim,
ee
ie
ii
TT 
hA
1
kL2
)/dln(d
hA
1
Q −=





++⋅
π
&
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Taxa Calor Interno/Externo (J/s ou W)
A taxa de calor que sai do fluido quente e 
chega ao fluido frio é então determinado 
por: 
( )






++
−
=
ee
ie
ii
fim,
hA
1
kL2
)/dln(d
hA
1
TT
Q
π
&
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Analogia calor/eletricidade
Pode-se estabelecer uma analogia direta entre o 
caminho que o calor percorre com um circuito 
elétrico (lei de ohm: V = R.I ⇒⇒⇒⇒ I = V/R) 
RhA
VT
IQ
 
 
 
⇔
⇔∆
⇔
1
TTmimi
TTpipi
TTpepe
TTff
Re
Rk
Ri
( ) ( )
i
ip,em,
ii
ip,em,
R
TT
hA1
TT
Q
−
=
−
=&
( ) ( )
e
fep,
ee
fep,
R
TT
hA1
TT
Q
−
=
−
=&
( ) ( )
k
ep,ip,
ie
ep,ip,
R
TT
L2π)/dln(d
TT
Q
−
=
−
=
k
&
Onde R é a resistência 
térmica.
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Utilizando-se a analogia calor/eletricidade: 
A taxa de calor total transferido é Q = (Tm,i-Tf)/Req
onde a resistência equivalente é a soma das 
resistências interna, da parede e externa:
Req = Ri + Rk + Re. 
TTmimi
TTpipi
TTpepe
TTff
Re
Rk
Ri
ii
i
hA
1
R ====
ee
e
hA
1
R ====
kπ
)/d(d ie
L
Rk
2
ln
=
• Quanto menor for a resistência 
térmica, maior é o fluxo de calor para 
a mesma diferença de temperatura! 
• Quanto maior for a área de troca de 
calor ou h ou k, menor será a 
resistência térmica equivalente!
Analogia calor/eletricidade
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Sobre a resistência de condução
No capítulo 8 será visto com mais detalhes a 
transferência de calor por conduçãotérmica.
No momento, a resistência térmica devido a condução 
para um tubo é: 
A resistência térmica devido a condução para uma 
placa de espessura ∆∆∆∆x é: 
kA
x
R
placa
k
∆∆∆∆
====
( )
L2
ddLn
R iek
πk
=
onde L é o comprimento do tubo e de
e di são os diâmetros externo e 
interno
onde ∆∆∆∆x é a espessura da placa e A é
a área transversal da placa ao fluxo 
de calor
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Resistência das incrustações
• Os fluidos podem apresentar impurezas (fuligem, 
sólidos em suspensão) que acabam sendo 
depositadas nas superfícies do trocador de calor.
• Estas são conhecidas como incrustações na 
superfície do trocador de calor e além de modificar 
a superfície, alteram o coeficientes de transferência 
de calor por convecção e promovem uma 
resistência adicional à resistência térmica nas duas 
interfaces fluido-superfície (interna e externa).
• A resistência das incrustações (Rf) é definida a 
partir do fator de incrustação (que depende da 
característica do fluido) e da área superficial em 
que ocorre o depósito (vide Tabelas 7.7 e 7.8).
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• Caso a separação entre os 
dois fluidos seja uma parede 
plana:
• Caso seja um tubo:
Onde “d” refere-se ao diâmetro no 
qual há a incrustação (podendo 
ser interno e externo ao tubo).
Resistência das incrustações
A
F
R f =
F
πdL
F
R f =
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A taxa de calor transferido depende da diferença de 
temperatura entre o fluido interno e externo e da 
resistência equivalente do circuito térmico:
O coeficiente global de transferência de calor é definido 
como sendo: 
Por meio de UA pode-se determinar a troca térmica 
utilizando apenas a temperatura de mistura do tubo e a 
temperatura externa!
Coeficiente global de transferência de 
calor (U)
( )
eq
fim,
R
TT
Q
−
=&
eki RRR
UA
++
=
1( )fim, TT(UA)Q −=&
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• Considerando todas as resistências térmicas 
entre o fluxo de dois fluidos separados por um 
tubo e incrustações internas e externas, tem-se 
que :
Coeficiente global de transferência de 
calor (U)
eee
e
p
ie
i
i
ii Ah
1
A
F
L2π
)/dln(d
A
F
Ah
1
1
UA
++++
=
k
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Coeficiente global de transferência de 
calor (U)
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Análise da 1a lei para trocadores de calor
calor cedido fluido quente: 
= 
calor recebido fluido frio:
Tfe
Tfs
TqeTqs
( )eq,sq,qp,qq TTcmQ −= &&
( )ef,sf,fp,ff TTcmQ −= &&
( ) ( )ef,sf,fp,fsq,eq,qp,q
fq
TTcmTTcm
QQ-
−=−
=
&&
&&
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• O produto da vazão mássica com o calor 
específico é conhecido como Capacidade térmica 
do fluxo de fluido - C [W/ºC]:
• A 1a lei fica:
Análise da 1a lei para trocadores de calor
fp,ffqp,qq cmCcmC && ==
( ) ( )ef,sf,fsq,eq,q TTCTTC −=−
Fluido quente está perdendo calor.
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Método da efetividade (εεεε)
• Em trocadores de calor freqüentemente se 
necessita da área de troca de calor ou das 
temperaturas de saída dos fluidos. 
• Conhecendo-se as temperaturas de entrada, os 
parâmetros mencionados podem ser 
determinados pelo método da efetividade (εεεε).
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Método da efetividade (εεεε)
• A efetividade de um trocador de calor é a razão 
entre a taxa de calor que ele troca pela máxima taxa 
de calor que ele pode trocar: 
onde Qmax é igual ao produto da menor capacidade 
térmica entre os dois fluidos pela máxima diferença 
de temperatura possível no trocador de calor 
(entrada): ( )ef,eq,minmax TTCQ −= ⋅&
maxQ
Q
ε
&
&
=
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Calor utilizando efetividade
• Com o conceito de efetividade pode-se 
expressar a taxa de calor trocado Q, como 
sendo: 
ou 
( )ef,eq,min TTCεQ −⋅= ⋅&
maxQεQ && ⋅=
•
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A efetividade de um trocador é uma função: 
1. do Número de Unidades Térmicas:
2. da razão entre Capacidades térmicas: 
3. da configuração do trocador.
Como calcular a efetividade
mínC
UA
NUT =
(((( ))))geometria,C,NTUf r====εεεε
máx
mín
C
C
C =r
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NUT: corrente paralela e contracorrente
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NUT: outras configurações
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NUT: outras configurações
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Exemplo: um trocador de calor deve ser projetado para resfriar 
2 kg/s de óleo de 120oC para 40oC. Depois de considerações 
iniciais, o tipo de um passe na carcaça e seis passes no tubo 
foi selecionado. Cada passe de tubo é composto de 25 tubos de 
parede fina com um diâmetro de 2 cm conectado em paralelo. 
O óleo deve ser resfriado usando água que entra no trocador 
de calor a 15oC e descarrega a 45oC. Um esquema da unidade 
pode ser visto na figura abaixo. O coeficiente global de calor 
vale 300 W/m2. Determine a vazão mássica de água, a área 
total de transferência de calor e o comprimento dos tubos.
água
água
óleo
óleo
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água
água
óleo
óleo
• Tm,o=(120+40)/2=80oC
cp,o= 2,132 kJ/kgoC
• Tm,a=(15+45)/2=30oC
cp,a= 4,180 kJ/kgoC
• Pelo balanço de energia se obtém a vazão mássica de água:
)()( ,,,,,, easaapaeosoopo TTcmTTcm −=−− &&
2,72kg/s
15)4180(45
120)2132(40*2
)T(Tc
)T(Tcm
m
ea,sa,ap,
eo,so,op,o
a =
−
−−
=
−
−−
=
&
&
mínC
UA
NUT =
• Pelo NUT obtém-se a área total de transferência de calor:
U
C*NUT
A mín=
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água
água
óleo
óleo
• Tm,o=(120+40)/2=80oC
cp,o= 2,132 kJ/kgoC
• Tm,a=(15+45)/2=30oC
cp,a= 4,180 kJ/kgoC
• Para este tipo de trocador (um passe na carcaça e 6 no tubo), 
usa-se a Fig. 7-25 para determinar NUT a partir da efetividade 
e de Cr.
375,0
10.38,11
10.264,4
3
3
===
máx
mín
C
C
Cr
CW/4,264.102132*2cmC o3op,oo === &
CW/11,38.104180*2cmC o3ap,aa === 72,&
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água
água
óleo
óleo
• Tm,o=(120+40)/2=80oC
cp,o= 2,132 kJ/kgoC
• Tm,a=(15+45)/2=30oC
cp,a= 4,180 kJ/kgoC
• Para este tipo de trocador (um passe na carcaça e 6 no tubo), 
usa-se a Fig. 7-25 para determinar NUT a partir da efetividade 
e de Cr.
 W341,1.10120)2132(40*2)T(TCQ 3eo,so,o =−−=−−=&
( )ef,eq,min TTCεQ −⋅= ⋅&
( ) ( )
0,7619
151204,264.10
341,1.10
TTC
Q
ε 3
3
ef,eq,min
=
−
=
−
=
⋅
&
• Para εεεε=0,7619 e Cr=0,375 pela Fig 7-25: NUT = 2,3 
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água
água
óleo
óleo
• Tm,o=(120+40)/2=80oC
cp,o= 2,132 kJ/kgoC
• Tm,a=(15+45)/2=30oC
cp,a= 4,180 kJ/kgoC
• Logo, a área é:
• A área superficial de troca de calor por passe é:
• A área superficial de cada tubo em cada passe é:
2
a
a m 5,4486
32,69
N
A
A ===
2
3
mín m 32,69
300
)102,3(4,264.
U
C*NUT
A ===
2
t
a
t m 0,217925
5,448
N
A
A ===
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
água
água
óleo
óleo
• Tm,o=(120+40)/2=80oC
cp,o= 2,132 kJ/kgoC
• Tm,a=(15+45)/2=30oC
cp,a= 4,180 kJ/kgoC
• O comprimento de cada tubo será:
m 3,468
0,02*3,14
0,2179
πd
A
L t ===
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Exercícios recomendados:
7.5 / 7.7 / 7.8 / 7.18 / 7.21 / 7.23 / 7.25 / 7.26 / 
7.27/ 7.28 / 7.48
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Exercício 1: Vapor condensado na superfície externa de um tubo circular 
de parede fina de 50mm de diâmetroe 6 m de comprimento mantém 
uma temperatura superficial uniforme de 100oC. A água escoa através 
do tubo a uma vazão mássica de 0,25 kg/s e suas temperaturas na 
entrada e saída do tubo são 15oC e 57oC respectivamente. Qual é o 
coeficiente médio de transferência de calor por convecção associado ao 
escoamento da água?
Tme=15oC 
m = 0,25kg/s
Tp 100oC
Tp 100oC
Tms=57oC
ESCOAMENTO INTERNO
TEMPERATURA DA PAREDE UNIFORME
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• Temperatura da parede uniforme:
Exercício 1: Vapor condensado na superfície externa de um tubo circular 
de parede fina de 50mm de diâmetro e 6 m de comprimento mantém 
uma temperatura superficial uniforme de 100oC. A água escoa através 
do tubo a uma vazão mássica de 0,25 kg/s e suas temperaturas na 
entrada e saída do tubo são 15oC e 57oC respectivamente. Qual é o 
coeficiente médio de transferência de calor por convecção associado ao 
escoamento da água?
Tme=15oC 
m = 0,25kg/s
Tp 100oC
Tp 100oC
Tms=57oC
p ms
p me p
T T h A
EXP
T T m C
    −−−− ⋅⋅⋅⋅
= −= −= −= −        − ⋅− ⋅− ⋅− ⋅    &








−
−






−=
mep
mspp
TT
TT
ln*
P*L
cm
h
&
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Temperatura média da mistura
• cp = 4,179 kJ/kg oC
• P = ππππd = 0,157 m 
Exercício 1: Vapor condensado na superfície externa de um tubo circular 
de parede fina de 50mm de diâmetro e 6 m de comprimento mantém 
uma temperatura superficial uniforme de 100oC. A água escoa através 
do tubo a uma vazão mássica de 0,25 kg/s e suas temperaturas na 
entrada e saída do tubo são 15oC e 57oC respectivamente. Qual é o 
coeficiente médio de transferência de calor por convecção associado ao 
escoamento da água?
Tme=15oC 
m = 0,25kg/s
Tp 100oC
Tp 100oC
Tms=57oC
C W/m756ln*
,*
.,*,
TT
TT
ln*
P*L
cm
h 2o
mep
mspp
=





−
−






−=








−
−






−=
15100
57100
15706
101794250 3&
C
2
T om 36
5715
=
+
=
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Água (0,01 kg/s)
Tm,e = 20 ºC Tm,s = 80 ºC L = ?
Tp = ?
Exercício 2: Um conceito utilizado para a captação da energia solar 
consiste na colocação de um tubo no ponto focal de um refletor 
parabólico (concentrador) e o escoamento de um fluido através deste 
tubo. O efeito líquido desta configuração se assemelha ao da criação de 
um fluxo térmico constante para o fluido ao longo da circunferência e 
do eixo do tubo. Considerando uma operação com água entrando no 
tubo a uma temperatura de mistura de 20 ºC e vazão mássica de 0,01 
kg/s, em um dia ensolarado no qual o fluxo térmico é de 2.000 W/m2, 
determine:
a) O comprimento L do tubo necessário para obter uma temperatura de 
saída da água de 80º C;
b) A temperatura da parede na saída do tubo para o escoamento 
plenamente desenvolvido. 2" 2000W/mq =&
ESCOAMENTO 
INTERNO
FLUXO DE CALOR 
UNIFORME
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Água (0,01 kg/s)
Tm,e = 20 ºC Tm,s = 80 ºC L = ?
Tp = ?
Fluxo constante:
2" 2000W/mq =&
em,
p
"
sm, Tcm
Aq
T +=
&
&
dLL*PA π==
( )
)( dq
TTcm
L "
em,sm,p
π&
& −
=
C50
2
8020
T om =
+
=
cp = 4,182 kJ/kg.º C ; ρ = 998,0 kg/m3 
; ν = 0,5537.10-6 m2/s ; k = 0,6405 
W/m.ºC ; Pr = 3,57
( )
m 6,66
dq
TTcm
L
"
em,sm,p
=
−
=
−
=
06,0*14,3*2000
)2080(*4182*01,0
)(π&
&
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Água (0,01 kg/s)
Tm,e = 20 ºC Tm,s = 80 ºC L = ?
Tp = ?
Fluxo constante:
2" 2000W/mq =&
Escoamento Laminar: 
Nu = 4,36
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
"
" x
x x p m p m
x
q
q h T T T x T x
h
= −= −= −= − ⇒⇒⇒⇒ = += += += +
&
&
transvρUAm =& m/s 3,546.10
dρ
m 4
ρA
m
U 32
transv
−====
2)06,0(*14,3*0,998
01,0*4
π
&&
25,384
10.5537,0
06,0*10.546,3
6
3
====
−
−
ν
Ud
µ
ρUd
Re
C W/m46,5 o2===⇒=
06,0
6405,0*36,4
d
u*kN
h 
k
dh
 uN
C 123T
h
q
T osm,
"
p =+=+= 80
5,46
2000&
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercício 3: Ar quente entra em um trocador de calor de corrente cruzada 
(ambos fluidos misturados) a uma temperatura de 100 oC e vazão 
mássica de 3 kg/min. Ar frio entra no equipamento com uma vazão de
5,66 m3/min e temperatura de 30 oC. O coeficiente global de 
transferência de calor é 25 W/m2oC e a área externa de transferência de 
calor é de 10 m2. Determine as temperaturas dos fluidos que deixam o 
trocador de calor.
TROCADORES DE CALOR
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CHUTE - Temperatura média do ar frio (60oC) e do ar quente 
(60oC) : cp = 1,008 kJ/kg.º C ; ρ = 1,0596 kg/m3
Exercício 3: Ar quente entra em um trocador de calor de corrente cruzada 
(ambos fluidos misturados) a uma temperatura de 100 oC e vazão 
mássica de 3 kg/min. Ar frio entra no equipamento com uma vazão de
5,66 m3/min e temperatura de 30 oC. O coeficiente global de 
transferência de calor é 25 W/m2oC e a área externa de transferência de 
calor é de 10 m2. Determine as temperaturas dos fluidos que deixam o 
trocador de calor.
)()( ,,,, eqsqqefsff TTCTTCQ −−=−=
CWCcmC
o
qqpqq /4,50
60
1008*3
, ==⇒= &
CWCcVC
o
ffpff /8,100
60
1008*66,5*0596,1
, ==⇒=
&ρ
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Exercício 3: Ar quente entra em um trocador de calor de corrente cruzada 
(ambos fluidos misturados) a uma temperatura de 100 oC e vazão 
mássica de 3 kg/min. Ar frio entra no equipamento com uma vazão de
5,66 m3/min e temperatura de 30 oC. O coeficiente global de 
transferência de calor é 25 W/m2oC e a área externa de transferência de 
calor é de 10 m2. Determine as temperaturas dos fluidos que deixam o 
trocador de calor.
CHUTE - Temperatura média do ar frio (60oC) e do ar quente 
(60oC): cp = 1,008 kJ/kg.º C ; ρ = 1,0596 kg/m3
96,4
4,50
10*25
/ min === CUANUT
53,0
max
min ==
C
C
Cr
)( ,,min efeq TTCQ −= ε
840,=ε
WQ 5296330100450840 ,)(*,*, =−=
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Temperatura média do ar frio (60oC) e do ar quente (60oC) -
(chute): cp = 1,008 kJ/kg.º C ; ρ = 1,06 kg/m3
Exercício 3: Ar quente entra em um trocador de calor de corrente cruzada 
(ambos fluidos misturados) a uma temperatura de 100 oC e vazão 
mássica de 3 kg/min. Ar frio entra no equipamento com uma vazão de
5,66 m3/min e temperatura de 30 oC. O coeficiente global de 
transferência de calor é 25 W/m2oC e a área externa de transferência de 
calor é de 10 m2. Determine as temperaturas dos fluidos que deixam o 
trocador de calor.
CTTTCQ
o
sfefsff 459,)( ,,, =⇒−=
CTTTCQ
o
sqeqsqq 241,)( ,,, =⇒−−=
Fica para vocês recalcularem os valores da temperatura 
média do fluido quente e frio e obter as respectivas 
temperaturas de saída. As Ts finais (quente e frio) serão 
aquelas em que convergirem as Tm.
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Existem tópicos do Cap. 7 que não 
foram revisados para a execução dos 
exercícios anteriores.
Eles precisarão ser estudados para a 
resolução dos exercícios 
recomendados do livro.
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FIM !