Lista de exercícios de Limites

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Prof. Antunes Mendes 
Cálculo 1 – Lista de exercícios – Limites 
 
 
1) Esboce os gráficos da função f definida por: 
2
3 x, se x 1
f(x) 4, se x 1
x 1, se x 1
  

 

 
 e determine )(lim
1
xf
x 
, )(lim
1
xf
x 
 e 
)(lim
1
xf
x
. 
2) Esboce os gráficos da função f definida por: 







1 se ,2
1 se ,4
)(
2
2
xx
xx
xf e encontre )(lim
1
xf
x 
, )(lim
1
xf
x 
 
e )(lim
1
xf
x
. 
3) Esboce os gráficos da função f definida por: 






3 se ,10
3 se ,12
)(
xx
xx
xf e determine )(lim
3
xf
x 
, )(lim
3
xf
x 
 
e )(lim
3
xf
x
. 
4) Determine o limite de 






1 se ,
1 se ,23
)(
2 xx
xx
xf . 
 
5) Determine o limite de 






2 se ,1
2 se ,65
)(
2
xx
xxx
xf . 
 
6) Seja f definida por 






1 se ,
1 se ,2
)(
2 xx
xx
xf . Determine )(lim
1
xf
x 
, )(lim
1
xf
x 
 e )(lim
1
xf
x
 e esboce o 
gráfico da função. 
 
 
 
1. Propriedades Operatórias dos Limites: Sejam f(x) e g(x) funções limitadas 
 
 
P1) AA
ax


lim onde A constante 
P2) )(lim)(lim)()([lim xgxfxgxf
axaxax 
 
P3) )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxf
axaxax 
 
P4) )(lim.)(.lim xfAxfA
axax 
 
P5) 
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax



 
P6) 
n
ax
n
ax
xfxf )](lim[)]([lim

 
P7) n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim

 
P8) 
)(lim
)](lim[)]([lim )(
xg
ax
xfxf
ax
xg
ax


 
P9) )(limlog)(loglim xfxf
axax 
 

P10) Conseqüência das Propriedades: O Limite da Função Polinomial: 
01
1
1 ......)( axaxaxaxf
n
n
n
n 


 
quando x tende a a é igual a f(a). 
 
 
1) Calcule os seguintes limites, usando as propriedades. 
a) 

x
x 2
lim h) 


 13
2
lim
2
1 x
xx
x
 p) 

)22(lim 2
1
xx
x
 
b) 

3
2
lim x
x
 i) 

)124(lim 2
3
xx
x
 q) 

1023
2
)3(lim xx
x
 
c) 

x
x
2lim
1
 j) 

)332(lim 23
1
xxx
x
 r) 

5
1
)2(lim x
x
 
d) 

6
1
lim x
x
 l) 

)123(lim 2
1
xx
x
 s) 


 1
1
lim
2
23
3 x
xxx
x
 
e) 

)(lim 2
3
xx
x
 m) 

 22
1
lim
x
x
x
 t) 


 1
lim
23
2
0 xxx
xx
x
 
f) 

 23
1
lim
x
x
x
 n) 

)224(lim 23
0
xxx
x
 u) 
 12
3
lim
1 xx
 
g) 

)3(lim 2
2
xx
x
 o) 

)1(lim 234
1
xxxx
x
 v) 

 2
13
lim
2
1
xx
x
 
 
Respostas: 
 
a) 2 b) 8 c) 2 d) 1 e) 6 f) 4/9 g) 10 h) 3/2 i) 31 j) 7 l) 0 m) ¾ n) 2 o) 3 p) 
1 q) 1 r) 243 s) 5 t) 0 u) 1 v) 3/2 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule os seguintes limites: 
 
a) 

x
x 4
lim g) 

)8(lim 2
1
xx
x
 n) 

)224(lim 23
1
xxx
x
 
b) 

3
4
lim x
x
 h) 


 3
5
lim
2
2 x
xx
x
 o) 

)1(lim 234
0
xxxx
x
 
c) 

4
3
lim x
x
 i) 

)152(lim 2
3
xx
x
 p) 

)22(lim 2
3
xx
x
 
d) 

8
1
3lim x
x
 j) 

)3732(lim 23
1
xxx
x
 q) 

723
1
)3(lim xx
x
 
e) 

)3(lim 2
5
xx
x
 l) 

)144(lim 223
1
xxx
x
 r) 

42
2
)1(lim x
x
 
f) 

 22
23
lim
x
x
x
 m) 


 8
32
lim
2
23
3 x
xxx
x
 s) 


 652
7
lim
23
78
0 xxx
xx
x
 
 
 
Respostas: 
 
a) 4 b) -64 c) -81 d) 3 e) -40 f) -1 g) -7 h) -6 i) 0 j) 11 l) 0 m) 0 n) -1 o) 1 p) 
-19 q) -78125 r) 625 s) 0 
 
Limites indeterminados: Para eliminarmos a indeterminação de um limite devemos, geralmente, utilizar uma das 
propriedades de fatoração. 
 
Principais Produtos Notáveis 
 
  
 
 
2 2
2 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
2 2 3 3
2 2 3 3
1)
2) ( ) ( ) 2
3) ( ) ( ) 2
4)( ) 3 3
5)( ) 3 3
6)( )( )
7)( )( )
a b a b a b
a b a b a b a ab b
a b a b a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b ab b
a b a ab b a b
a b a ab b a b
   
      
      
    
    
    
    
 
 
Fatoração 
 
  2 2
2 2 2
2 2 2
3 2 2 3 3
3 2 2 3 3
3 3 2 2
3 3 2 2
2
2
1)
2) 2 ( )
3) 2 ( )
4) 3 3 ( )
5) 3 3 ( )
6) ( )( )
7) ( )( )
8) ( ')( "),
com x' e x" raizes de ax +bx+c,
a b a b a b
a ab b a b
a ab b a b
a a b ab b a b
a a b ab b a b
a b a b a ab b
a b a b a ab b
ax bx c a x x x x
   
   
   
    
    
    
    
    
 a 0.
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule os seguintes limites indeterminados: 
a) 


 3
9
lim
2
3 x
x
x
 e) 
 xx
x
x 2
3
0 2
lim i) 


 4
127
lim
2
4 x
xx
x
 
b) 


 x
x
x 7
49
lim
2
7
 f) 


 x
xx
x 7
1449
lim
2
7
 j) 


 23
1
lim
21 xx
x
x
 
c) 


 25 25
5
lim
x
x
x
 g) 


 3
96
lim
2
3 x
xx
x
 l) 


 1
12
lim
2
1 x
xx
x
 
d) 


 xx
xx
x 3
lim
2
2
0
 h) 


 1
34
lim
2
1 x
xx
x
 m) 


 4
2
lim
22 x
x
x
 
 
Respostas: a) 6 b) 14 c) 1/10 d) -1/3 e) 0 f) 0 g) 0 h) -2 i) 1 j) -1 l) 0 m) ¼ 
 
2) Calcule os seguintes limites indeterminados: 
a) 


 4
16
lim
2
4 x
x
x
 e) 
 xx
x
x 35
lim
2
5
0
 i) 


 6
4213
lim
2
6 x
xx
x
 
b) 


 x
x
x 8
64
lim
2
8
 f) 


 x
xx
x 4
816
lim
2
4
 j) 


 127
4
lim
24 xx
x
x
 
c) 


 29 81
9
lim
x
x
x
 g) 


 10
10020
lim
2
10 x
xx
x
 l) 


 1
78
lim
2
1 x
xx
x
 
d) 


 xx
xx
x 7
3
lim
2
2
0
 h) 


 5
209
lim
2
5 x
xx
x
 m) 


 121
11
lim
211 x
x
x
 
 
 
Respostas: a) -8 b) 16 c) 1/18 d) -1/7 e) 0 f) 0 g) 0 h) 1 i) 1 j) 1 l) -6 m) 1/22 
 
 
3) Calcule o limite, se existir: 
 
a) 
5
lim
x
 
5
52


x
xx
 R: - 5 b) 
3
lim
x
 
3
652


x
xx
 R: 1 
c) 
0
lim
x
 
x
x 33 
 R: 
6
3
 d)
2
lim
x
 
22
2


x
x
 R: 4 
e) 
4
lim
x
 
2
321


x
x
 R: 
3
4
 f) 
3
4
2
2
lim
x
x
x


 R: 
4
7
 
g) 
42
13
lim
2
23
1 

 xx
xxx
x
 R: 6 h) 
x
x
x 

 3
5
lim
5
 R:0 
i) 
2
lim
x
 3
2
23
42
822


xx
xx
 R: 2 
Limites envolvendo infinito 
 Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a 
qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores 
menores que qualquer número real. 
 
 
 Exemplo: 
 
a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero. 
b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero. 
c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que 
zero, y tende para o infinito e o limite é infinito. 
d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para 
menos infinito 
Limite de uma função polinomial para 
 Seja a função polinomial . Então: 
 
 Demonstração: 
 
 Mas: 
 
 Logo: 
 
 De forma análoga, para , temos: 
 
 Exemplos: 
 
 
01. Tabela de indeterminações 
 
 xflim  xglim  xh  xhlim simbolicamente 
±∞ ±∞ f+g ±∞ ±∞∙±∞=±∞ 
+∞ +∞ f-g +∞-∞ indeterminação 
+∞ k f+g +∞ +∞+k=+∞ 
-∞ k f+g -∞ -∞+k=-∞ 
+∞ +∞ f ∙ g +∞ +∞∙+∞=+∞ 
-∞ +∞ f ∙ g -∞ +∞ ∙ -∞=-∞ 
+∞ k > 0 f ∙ g +∞ +∞ ∙ k=+∞, k>0 
+∞ k < 0 f ∙ g -∞ +∞ ∙ k=-∞, k<0 
±∞ 0 f ∙ g ±∞ · 0 indeterminação 
k ±∞ f / g 0 k / ±∞ = 0 
±∞ ±∞ f / g ±∞ / ±∞ indeterminação 
k > 0 0
+ 
f / g +∞ k / 0
+
= +∞ 
+∞ 0
+ 
f / g +∞ +∞ / 0
+
 = +∞ 
k > 0 0
- 
f / g - ∞ k /0
-
= - ∞ 
+∞ 0
- 
f / g -∞ +∞ / 0
-
 = -∞ 
0 0 f / g 0/0 indeterminação 
 
 
1) Calcule os limites laterais: 
a) 
 6
4
lim
6 xx
 b) 
 6
4
lim
6 xx
 c) 
 xx 1
3
lim
1
 
d) 
 xx 1
3
lim
1
 e) 

 x
x
x
5
lim
0
 f) 

 x
x
x
5
lim
0
 
g) 
 1
lim
2
1 x
x
x
 h) 
 1
lim
2
1 x
x
x
 i) 


2
0
1
lim
xx
 
j) 


2
0
1
lim
xx
 
Respostas: a. ∞ b. - ∞ c. - ∞ d. ∞ e. ∞ f. - ∞ g.∞ h. - ∞ i. - ∞ j.- ∞ 
 
2) Calcule os valores dos seguintes limites infinitos: 
 
a) 

12lim
n
 f) 


 n
n
n 5
25
lim j) 

)128(lim 23 nn
n
 
b) 


 2
2
75
81
lim
n
n
n
 g) 

)9(lim 5n
n
 l) 


 3
95
lim
4
6
n
n
n
 
c) 
 1
lim
n
n
n
 h) 

)153(lim 65 nn
n
 m) 


 45
2 75
lim
nn
nnn
n
 
d) 


 n
n
n 5
3
lim i) 

)158(lim 345 nnn
n
 n) 


 8
10
1
8
lim
n
n
n
 
e) 


 46
58
lim
n
n
n
 
 
Respostas: a) 12 b) -8/7 c) 1 d) -1 e) -5/6 f) -5 g)∞ h)∞ i)∞ j)-∞ l)∞ m)0 n) -∞ 
 
 
3) Calcule os valores dos seguintes limites infinitos: 
a) 

6lim
n
 f) 


 n
n
n 32
5
lim l) 


 4
2
lim
2
3
n
n
n
 
b) 


 n
n
n 72
41
lim g) 

)2(lim 3n
n
 m) 


 35
232
lim
nn
nnn
n
 
c) 
 32
8
lim
n
n
n
 h) 

)12(lim 5 nn
n
 n) 


 3
5
1
3
lim
n
n
n
 
d) 


 23
5
lim
n
n
n
 i) 

)134(lim 23 nnn
n
 o) 


 32
4
22
21
lim
nn
nn
n
 
e) 


 12
1
lim
n
n
n
 j) 

)22(lim 65 nn
n
 
 
 
Respostas: a) 6 b) 4/7 c) 4 d) 1/3 e) ½ f) -1/3 g) ∞ h) -∞ i) ∞ j) -∞ l) ∞ m) 0 n) -∞ o) -∞ 
 
4) Calcule os valores dos seguintes limites infinitos: 
 
13
32
lim)
2
2


 xx
xx
a
x
 
13
lim)
2  xx
x
b
x
 3
2
5lim)
x
c
x


 
23
1
lim)
2


 x
x
d
x
 
3
lim)
2
3


 x
xx
e
x
  1lim) 2 

xxf
x
 
234
125
lim)
4
4


 xx
xx
g
x
 
32
12
lim)
4
3


 xx
x
h
x
 3
2 3
lim)
 x
x
i
x
 
1
12
lim)
2
3 3


 xx
xx
j
x
 
x
l
x
3
lim)

  31lim) 

xxm
x
 
 
Respostas: a) 1/3 b) 0 c) 
3 5 d) 1/3 e) 0 f) 0 g) 5/4 h) 0 i)0 j)1 l)0 m) 0 
 
 
Limites de funções racionais: 
 
Caso 1) x a 
Exemplos 
a)
0
0
3
96
lim
2
3



 x
xx
x
, que é uma indeterminação. Porém podemos fatorar o numerador de forma a obter:
  03lim
3


x
x
. 
 
Note que a expressão original e a expressão fatorada apresentam os mesmos resultados numéricos, porém 
domínios diferentes. O domínio da função original é o válido! 
 
b) 
  
?
0
2
24
2
lim
4






ou
xx
x
x
 Como x se aproxima de quatro pela direita, os valores do 
denominador serão sempre positivos, ou seja 
  





 0
2
24
2
lim
4 xx
x
x
. 
 
Caso 2) x ±∞ 
 
c) ação!indetermin
5
3
lim
3
2






 x
xx
x
Vamos dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta de 
x, x
3
 no caso, obtendo: 
 0
0
3
51
1
3
lim
2
2






xx
x
x
 
 
Caso 3) Razões entre polinômios para x ±∞, procedimento geral 
m
m
n
n
x dxdxdd
cxcxcc


 ....
....
lim
2
210
2
210
 
 
Colocando x
n
 e x
m
 em evidência no numerador e denominador da função, temos 
 
 
  mm
n
n
x
mm
mmm
nn
nnn
x dx
cx
cxcxcxcx
cxcxcxcx









lim
.......//
.......//
lim
1
1
1
10
1
1
1
10 
 
d) 





3
44
lim
2
lim
1
23
lim x
x
x
x
x
xxx
 
 
Caso 4) Limites envolvendo radicais 
 
A técnica é semelhante à empregada no Caso 1, lembrando que xx 2 
e) 
3
1
6
3lim
1
1lim
63
lim
1
lim
63lim
1lim
63lim
1lim
63
1
lim
22
2
2
2
2
2
2
























x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
Note que neste caso, como x , os valores de x são positivos e xx  . Se o limite acima fosse em 
x , então xx  e o limite seria 
3
1
 . 
 
 
Nos exercícios de 5 à 46, calcule os limites: 
 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 50lim
9x
 
6) 23lim
3


x
x
 
7) 1
1
1
2
lim



x
x
x
 
8) 13
12
1
23
4
lim


 xx
xx
x 
9) 34
1
1
2
3
lim


 xx
x
x 
10) 32lim
2
1


xx
x
 
11) 85lim
3
2


x
x
 
12) 2
13
0
2
2
lim


 x
xx
x 
13) 3
9
3
2
lim



x
x
x 
14) 1
1
1
2
3
lim


 x
x
x 
15) 65
485
2
4
23
lim


 xx
xxx
x 
16) xxx
xxx
x 23
3
0
43
23
lim


 
17) 23
1
1
2
2
lim


 xx
x
x
 
18) 1
13
1
23
lim



x
xxx
x 
19) 12
82
4
2lim 

 xx
x
x
 
20) 1
1
1
lim



x
x
x 
21) )3)(2(
44
2
23
lim



xx
xxx
x 
22) 253
103
2
2
2
lim


 xx
xx
x 
23) 52
532 2
2
5
lim



x
xx
x 
24) ax
axax
ax



)1(2
lim
 
25) 36254
20173
4
2
2
lim


 xx
xx
x 
26) 43
56
1
2
2
lim


 xx
xx
x 
27) 23
1
1
2
2
lim


 xx
x
x 
28) 2
4
2
2
lim



x
x
x 
29) 2012
65
2
2
2
lim


 xx
xx
x 
30) x
x
x
16)2(
0
4
lim

 
31) x
x
x
16)4(
0
2
lim

 
32) x
x
x
5325
0
lim

 
33) x
abxa
x


2
0
lim
, a > 0 
34) 4
)8(2
4
2
lim



x
xx
x
 
35) x
x
x
28
0
3
lim


 
36) x
x
x



11
0
lim
 
37) 
24
39
0
2
2
lim


 x
x
x
 
38) 2
2
2
33
lim



x
x
x 
39) 532
1
1
lim


 x
x
x
 
40) 1
1
1
4
3
lim


 x
x
x 
41) x
x
x 

 51
53
4
lim
 
42) x
xx
x


11
1
lim
 
43) 
3
253
4
2
2
2
lim


 xx
x
x
 
44)  2 )8(
2
3
lim



x
x
x
sen

 
45) xx
x
x 

 2
1
1
2
lim 
46) x
x
x



2
4
2
2
lim 
47) 2
33 2
)1(
12
1
lim


 x
xx
x 
 
 
 
 
Nos exercícios de 52 à 92, calcule os limites: 
 
48) x
x
117lim 

 
49) 4
1lim
xx  
50) 1
2lim


x
x
x 
51) 6
83lim



x
x
x 
52) 1
3
2lim 

 x
x
x 
53) 73
14
2
2
lim


 x
xx
x 
54) 83
lim
 x
x
x 
55) 3
2
3
5lim
x
xx
x


 
56) 102
34
2
2
lim


 x
x
x
 
57) x
x
x
32
15lim



 
58) 53
4
2lim 

 x
x
x
 
59) 37
102
3
2
lim


 xx
xx
x 
60) 2
24
4
132lim
x
xx
x 

 
61) 87
25
3
3
lim


 x
x
x
 
62) xxx
4lim 2
2 

 
63) 14
20125
2
3
lim


 x
xx
x
 
64) 
3
12
43
7
57
lim


 x
xx
x
 
65) 
3 25lim
x
x


 
66) 1
12lim



x
x
x 
67) 245
3lim
x
x
x 

 
68) 13
125
2
3 3
lim


 xx
xx
x 
69) 3
3
lim

 
x
x
x
 
70) 42
2lim   x
x
x
 
71) 1
1
1
lim

 
x
x
 
72) 9
3
3
2
2
lim


  x
xx
x
 
73) 12
1
1
2
3
lim


  xx
x
x
 
74) 12
13
2
23
lim


 x
xx
x 
75) xxx
xx
x 62
825
35
24
lim


 
76) 36
6
6
2lim 

  x
x
x
 
77) 82
3
4
2lim 

  xx
x
x
 
78) 43
53
1
2lim 

  xx
x
x
 
79) |3|
1
3
lim

 
x
x
 
80) |3|
1
3
lim

 
x
x
 
81) 2
3
0
lim
x
x
x

 
 
82) |1|
1
1
3
lim


 
x
x
x
 
83) |2|
45
2
lim



x
x
x
 
84) 3||
113
3
lim



x
x
x 
85) 
xx
1
21
1lim

 
86) 
1
1
32
6
1
lim


 xx
 87) ||57
||3
lim
xx
xx
x



 88) 2)2(
1
2
lim
  xx
 
 
Nos exercícios de 93 à 131, calcule os limites aplicando os limites fundamentais. 
 
89) x
tgx
x 0
lim

 
90) senx
x
x 0
lim

 
91) x
xsen
x
)9(
0
lim

 
92) x
xsen
x
3
)4(
0
lim

 
93) )7(
)10(
0
lim
xsen
xsen
x 
94) x
xtg
x
)3(
0
lim
95) 
 
3
2
3
0
lim
x
sen
x
x
 
96) 
 
3
4
13
)1(1
lim


x
tg
x
x
 
97) x
x
x
cos1
0
lim 
 
98) 2
cos1
0
lim
x
x
x

 
99) )(cos).3(lim
3
xecx
x


 
100) )4(32
)2(6
0
lim
xsenx
xsenx
x



 
101)   x
senx
x
lim 
102) senxtgx
x
x
.
3
0
2
lim
 
103) )4(
)3(
0
lim
xsen
xtg
x
 
104)  


x
senx
x
2
1
2
lim
 
105)  x
x
senx 1
0
.lim

 
106) 4
)2(
2
2lim 

 x
xtg
x
 
107) 3
)9(
3
2
lim



x
xsen
x
 
108) senxx
senxx
x 


2
0
lim
 
109) tgxx
tgxx
x


0
lim 
110) 1
)(
1
lim


x
xsen
x

 
111)  
511lim



x
x
x
 
112)  
x
x
x
21lim 

 
113)  
x
x
x
x


1
lim 
114)  
1
12
32lim




x
x
x
x
 
115) 
 tgx
tgx
x
11lim
2

 
116) 
  xx
x
cos
1
2
3
cos1lim 
  
117)  
x
x
x
101lim 

 
118) 2
110
2
2
lim




x
x
x
 
119) 3
14
3
5
3
lim




x
x
x
 
120) 2
255
2
lim



x
x
x
 
121) )]1(5[
13
1
4
1
lim




xsen
x
x
 
122) x
ee
x
xx 52
0
lim
 
 
123) )5()2(0
32
lim
xsenxsen
ee
x
xx


 
124)  
x
x
x
2
11lim 

 
125)  
x
x
x31lim
0


 
126)  xx
x
1
21lim
0


 
127)  
x
x
x
511lim 

 
 
128) Verifique a continuidade das funções nos pontos indicados: 
a) 







1,1
1,5
)(
2 xsex
xsex
xg ; x = –1 b) 







3,10
3,1
)(
2 xsex
xse
xg ; x = 3 
c)







2,4
2,1
)(
2 xsex
xsex
xg ; x = 2 d) 







1,73
1,1
)(
xsex
sex
xg ; x = 1 
e) 







2,185
2,22
)(
2
2
xsexx
xsexx
xg ; x = –2 f) 







1,6
1,1
)(
2
3
xsex
sex
xg ; x = 1 
h) 






 

1,1
1,
)( 1
12
xse
xse
xg x
x
 ; x = 1 i) 






 

2,3
2,
)( 4
8
2
3
xse
xse
xg x
x
; x = 2 
j) 








2,3
2,
)(
2)2(
1
xse
xse
xg
x
 ; x = 2 k) 







0,13
0,cos2
)(
2 xsexx
sex
xg ; x = 0 
l) 









2,0
2,
)(
|2|
2
xse
xse
xg
x
x
 ; x = –2 m) 









1,3
1,
)(
1
22
xse
xse
xg
x
xx
; x = 1 
 
 
Calcule: 
 
a) 
x
x x








2
1lim b) 
2
1
1lim









x
x x
 c) 
x
x x







 2
1
1lim 
d)
1
2
1lim









x
x x
 e) 
x
x x
x








 1
2
lim f)  x
x
x21lim
0


 
g)  x
x
x
1
0
21lim 

 h) 
x
x x
2
1
1lim 







 
 
Calcule: 
 
a) 
x
e x
x
1
lim
2
0


 b) 
x
e x
x
1
lim
2
0


 c) 
x
x
x
15
lim
0


 d) 
2
0
13
lim
x
x
x

