transformada de Laplace - A3 - sinais e sistemas

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Foram propostos os seguintes problemas e suas respectivas soluções:
· Equação de difusão-advecção aplicada à dispersão de poluentes na atmosfera 
· Equação de Laplace orientado à problemas Térmicos em estruturas de concreto
 Baseados nas aplicações da transformada de Laplace, esses são alguns dos softwares que se utilizam do método analítico na simulação e no trabalho prático com circuitos são os seguintes:
· EasyEDA – Esse é uma incrível ferramenta online de simulação de circuitos, muito adequada para todos que amam circuitos eletrônicos. O ambiente de software permite desde a criação de esquemas até a verificação de seu funcionamento através de um simulador de circuitos. Tendo a certeza do funcionamento adequado do circuito, você pode criar a placa de circuito através da mesma ferramenta. O software possuí uma impressionante ferramenta de importação e exportação de projetos, permitindo importar arquivos nos formatos de softwares como Eagle, Kicad, LTspice e Altium Designer, e exportar arquivos para os formatos PNG ou SVG.
· Circuit Sims - Foi um dos primeiros softwares de código aberto para simulação de circuitos baseado em plataforma web, é uma excelente ferramenta tanto para estudantes quanto entusiastas por eletrônica. Lamentavelmente, o desenvolvedor não conseguiu dar um salto de qualidade e melhorar a interface gráfica do usuário.
· DcAcLab - Este software tem um visual gráfico bem atrativo, porém limitada simulação de circuitos. É definitivamente um ótimo programa educacional, muito fácil de usar, permite visualizar os componentes da forma que eles são.
· EveryCircuit - É um simulador eletrônico de circuitos com bons recursos gráficos. Quando inicializa o programa online, você é direcionado a uma área para criação de uma conta grátis de usuário, assim você poderá salvar os seus projetos com uma limitação no tamanho da área de desenho do circuito. Os componentes possuem limitada habilidade de simulação e com um número mínimo de parâmetros spice. É de fácil utilização e um ótimo sistema para desenvolvimento eletrônico. Permite a inclusão de suas simulações na web page.
· DoCircuits  - Embora a primeira impressão do site possa gerar uma certa confusão, esta ferramenta fornece muitos exemplos sobre o seu funcionamento, como mostrado no vídeo “get started in five minutes.” As medidas dos parâmetros do circuito eletrônico são apresentadas através de instrumentos virtuais bem realísticos.
· PartSim - É um simulador online de circuitos eletrônicos. É muito bom em simulação Spice. Você pode desenhar circuitos elétricos e testa-los. É ainda um novo simulador com poucas opções de componentes.
· 123D Circuits - Um programa desenvolvido pela AutoDesk. Permite a criação de circuitos, visualização em proto-board, uso da plataforma Arduino, simulação de circuitos eletrônicos e eventual criação de PCB’s. Os componentes são mostrados em seu formato real 3D. Você pode programar o Arduino diretamente através deste software de simulação, é impressionante.
· TinaCloud - Este programa possui sofisticada capacidade de simulação. Permite a simulação de circuitos eletrônicos além daqueles normais de sinais mistos, como microprocessadores, VHDL, circuitos de rádio frequência e fontes chaveadas. Os cálculos da simulação eletrônica são feitos diretamente no servidor da empresa, possibilitando uma excelente performance de simulação.
· Spicy schematics - É uma plataforma cruzada de software, todas plataformas são permitidas, incluindo iPad.
·  Gecko simulations - É um software de simulações especializado open source e circuitos de fontes de alimentação. Com este programa é possível verificar a performance térmica de um circuito.
 Aplicações práticas da transformada de Laplace
SOLUÇÃO ANALÍTICA DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO-ADVECÇÃO TRIDIMENSIONAL
 Devido à crescente preocupação com a qualidade do ar nos centros urbanos, muitos estudos científicos têm visado modelar a dispersão de contaminantes (ou poluentes) na atmosfera, provenientes de uma fonte emissora. O desafio, no entanto, jaz na quantidade de parâmetros (como a turbulência, velocidade do vento e termos não-lineares em geral) que dificultam a obtenção de uma solução exata para o modelo de dispersão. O presente trabalho apresenta uma solução para a equação de difusão-advecção tridimensional com coeficientes constantes através de uma combinação do método GITT (Generalized Integral Transform Technique), conforme proposto por (Wortmann, 2003) e do método He-Laplace, proposto He (2008). Este último é uma forma de soluções em séries para equações diferenciais. Finalmente, tal combinação de métodos permite encontrar uma solução analítica que represente a concentração de um dado contaminante sendo dispersado no espaço.
 A equação de difusão-advecção, aplicada ao fenômeno de dispersão atmosférica de poluentes, pode ser escrita na seguinte forma:
 
Onde: C(x,y,z) é a concentração de um contaminante lançado na atmosfera; U representa o perfil vertical da velocidade média do vento na direção longitudinal; Ky e Kz são, respectivamente, os coeficientes (constantes) de difusão nas direções y e z, respectivamente; Na solução da equação (1) tem-se a condição de fonte dada por:
 
 
onde Hs é a altura da fonte emissora e é a função impulso (Delta de Dirac). Para resolução da equação diferencial em C(x,y,z), utiliza-se uma combinação dos método GITT e HeLaplace. Desta forma, aplicando-se GITT na direção y e a transformada de Laplace em x, tem-se:
 
Aplicando-se a transformada inversa para s, tem-se:
 
Pelo método He-Laplace, a solução final Ci será a soma de soluções parciais Cio, Ci1, Ci2, Ci3... Cin, na forma (solução em séries):
 Ci = Cio + Ci1 + Ci2 + Ci3 + ... Cin (5) 
Usando-se o Método de Perturbação por Homotopia (HPM) tem-se que o termo inicial Cio dada por: 
 
Onde o n-ésimo termo Cin é dado pela expressão:
 
Utilizando-se a equação (7) para calcular os nésimos termos parciais Ci1, Ci2, Ci3... Cin, e dispondo tais termos na Equação (5), tem-se:
 
Pode-se notar que a solução acima é uma expansão em séries da função exponencial (forma gaussiana). Com isto encontramos uma solução analítica final na forma:
 
Neste trabalho foi demonstrado que a combinação dos métodos GITT e He-Laplace pode ser utilizada para encontrar uma solução analítica para a equação de difusão-advecção aplicada à dispersão de poluentes na atmosfera. Algumas aproximações foram feitas para fim de simplificação de cálculo e como demonstração do método. No entanto, a solução encontrada tem formato semelhante à solução da equação para 2 dimensões C(x,z) (solução Gaussiana). 
 Referência da pesquisa:
Seminário Anual de Pesquisa – 2017 Faculdade SENAI CIMATEC Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial Programa de Pós-Graduação em Gestão e Tecnologia Industrial III Workshop de Gestão, Tecnologia Industrial e Modelagem Computacional. ISSN online 2447-9640
ESTUDO ANALÍTICO-NUMÉRICO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE ORIENTADO À PROBLEMAS TÉRMICOS EM ESTRUTURAS DE CONCRETO
 Uma barragem de concreto está sujeita a receber solicitações em diversas fases e situações de funcionamento durante a sua vida útil. Uma destas fases é referente ao fenômeno de troca de calor presente principalmente em sua etapa construtiva, ocasionado pelo grande volume de concreto mobilizado, onde há a geração de calor provocado pelo fenômeno de hidratação do cimento. Alguns problemas práticos requerem a habilidade do pesquisador em escolher artifícios para determinar uma solução aceitável para os casos reais de interesse. Assim, os problemas térmicos em Engenharia de Barragens, sugerem um tratamento progressivo da questão, onde se possa inserir o conjunto de dificuldades crescentes, a medida que os modelos e soluções se tornam mais complexos. Os efeitos térmicos sãocapazes de suscitar movimentações no barramento de concreto ou em estruturas hidráulicas acessórias e desencadear fenômenos de interação térmico-mecânico. Problemas esses que podem ser resolvidos por simulações numéricas, como os Métodos dos Elementos Finitos, das Diferenças Finitas (MDF), ou mesmo analiticamente em casos que isso é possível. Neste trabalho, efetua-se uma análise do comportamento térmico de uma placa de concreto massa, sujeita a temperaturas no contorno, como etapa preliminar no tratamento desse problema em barragens de concreto. Serão também apresentadas soluções analíticas construídas ou retiradas da literatura, para serem comparadas com as soluções numéricas obtidas por rotinas computacionais baseadas no MDF, e implementadas no software MatLab.
 As estruturas de concreto, tornou-se objeto de muitos estudos em razão da utilidade de suas aplicações. A equação de Laplace representa um estágio inicial importante a ser cumprido, quando se procura em desenvolver uma metodologia progressiva que busca a solução de problemas mais complexos envolvendo os fenômenos térmicos associados ao concreto. 
 O objetivo central da pesquisa foi explorar na literatura as soluções analíticas à equação de calor, simplificada para o caso permanente - equação de Laplace - e promover a construção de uma metodologia baseada no Método das Diferenças Finitas para análise qualitativa de problemas que são governados pela equação do calor. 
 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
De acordo com Iório (1971) e outros pesquisadores na literatura a equação geral que rege a condução de calor em um corpo sólido ortotróprico1 pode ser expressão pela igualdade (1):
Na Eq. (1) a função T(x, y,z) apresenta a temperatura do corpo, k representa a condutividade térmica, q é a geração de calor interno, e é denominado de difusividade. Considerando que a Eq. (1) é a equação completa de calor, para o concreto massa implica na determinação de parâmetros de natureza complexa que são obtidos experimentalmente. Como uma etapa inicial para o tratamento dessa questão nesse trabalho aborda-se apenas o problema estacionário e sem geração de calor, fato que simplifica a Eq. (1) tornando a equação de Laplace. A Tabela 1 exibe parte de um resumo disponibilizado em Coelho (2013), é a exposição da solução analítica para equação de Laplace bidimensional. 
 Tabela 1. Solução analítica para a equação de Laplace.
Contudo, foi necessário adaptar ao contexto real, dessa forma entram em cena os métodos numéricos, essa pesquisa utiliza-se do Método das Diferenças Finitas, que pontualmente no domínio aproxima as derivadas de uma função linear.
 MÉTODOS DE SOLUÇÃO 
 Segundo Burden (2003) o Método das Diferenças Finitas (MDF) apresenta características de estabilidade em relação a outros métodos, apesar de geralmente requerer mais computação para obter a precisão especificada. O MDF é um artifício capaz de transformar um problema de equações diferenciais em um problema algébrico, que substitui as derivadas na equação por uma aproximação de quociente de diferenças adequada, permite que o quociente e os parâmetros sejam escolhidos para manter uma determinada ordem do erro de truncamento. O Método das Diferenças Finitas é um suporte numérico prático para avaliar o valor de uma função em domínios discretizados. Mostra-se na Tabela 2 as expressões de substituição das derivadas de primeira e segunda ordens de uma função T T(x, y,z) , por diferenças segundo o MDF, e de acordo com Szilard (1974), Pedroso (2005, 2011) e Martins (2016).
 Tabela 2. Expressões derivadas de 1ª e 2ª ordens com o MDF.
A pesquisa apresenta uma formulação numérica, com o MDF, para resolução da equação de Laplace, em uma placa de dimensões LxH. Considerou-se que 0 x L e que 0 y H, e a origem do sistema de coordenadas cartesiano ficou definida no canto inferior esquerdo da placa. O eixo x foi dividido em n 1 subintervalos, e o eixo y em m 1 subintervalos, dessa forma obteve-se que o comprimento de cada subintervalo nos eixos x e y é dado respectivamente, por Consequentemente a malha gerada contém os pontos i j x ; y onde i 1,2,3,...,n e j 1,2,3,...,m. Aplicando as equações da Tabela 2 na equação de Laplace, conclui-se que a diferença dividida para os termos da Equação de Laplace no ponto i j x ; y são iguais as parcelas
O erro de truncamento de cada uma das parcelas pode ser avaliado respectivamente, pelas igualdades 
Reorganizando os termos da Equação de Laplace com as aproximações por MDF assume a seguinte forma, 
 e i 1,2,3,...,n 1 e j 1,2,3,...,m1, e com erro de truncamento igual a 
Para simplificar a notação considera-se l i (m 1 j).(n 1) os pontos ( , ) l i j P x y e ( ) ( , ), ij l i j T T P T x y onde i 1,2,3,...,n 1 e j 1,2,3,...,m 1, ainda temos que l 1,2,...,(n 1).(m 1), representando (n 1).(m 1) pontos na malha. Dessa forma a discretização da equação de Laplace com essa nova notação é expressa pela igualdade da Eq.
A notação utilizada na Eq. (2) favorece a programação no software MatLab, pois, pode-se reescrevê-la isolando o termo Ti, j para o processo iterativo, outro ponto positivo é que o comprimento de cada subintervalo nos eixos coordenados podem ser distintos.
 CONCLUSÕES, RECOMENDAÇÕES E PERSPECTIVAS 
 A computação algébrica foi realizada com o software MatLab, que possui um vasto menu de comandos pré-definidos e a possibilidade de que o usuário possa elaborar suas próprias rotinas de cálculos valendo-se de conceitos pertinentes a programação. O software MatLab oportuniza agilidade nos cálculos e a implementação de uma rotina de comandos com a criação de uma function, um arquivo com a extensão .m que pode ser executado diversas vezes e o usuário necessita somente fornecer os dados fundamentais do problema, nesse caso, foram o comprimento e a largura da placa e a quantidade de termos na solução analítica expressa pela série. Destaca-se nesta pesquisa como fator diferencial a function elaborada. Atua como instrumento facilitador para os cálculos no que tange a quantidade de termos na série da solução analítica, a determinação e visualização bidimensional da malha, o cálculo e a visualização tridimensional do valor numérico da temperatura nos pontos da malha e com a quantidade de termos pré-definida, além de possibilitar um conjunto de dados para análise, discussão e fundamentar a tomada de decisões. Constitui-se uma forma de análise que é implementada inicialmente com a solução da equação de Laplace, com condições de contorno variável em uma única borda, e pode se testar a ideia da superposição de resultados.
 
Referência da pesquisa:
 CILAMCE 2016 
Proceedings of the XXXVII Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering Suzana Moreira Ávila (Editor), ABMEC, Brasília, DF, Brazil, November 6-9, 2016