Modelagem e Sistemas Dinâmicos

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Indaial – 2021
ModelageM e SiSteMaS 
dinâMicoS
Prof.ª Julia Grasiela Busarello Wolff
Prof. Rogério Diogne de Souza e Silva
2a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Prof.ª Julia Grasiela Busarello Wolff
Prof. Rogério Diogne de Souza e Silva
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
W855m
Wolff, Julia Grasiela Busarello
 Modelagem e sistemas dinâmicos. / Julia Grasiela Busarello 
Wolff; Rogério Diogne de Souza e Silva. – Indaial: UNIASSELVI, 2021.
 182 p.; il.
 ISBN 978-65-5663-877-5
 ISBN Digital 978-65-5663-873-7
 1. Sistemas dinâmicos. - Brasil. I. Silva, Rogério Diogne de Souza 
e. II. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
CDD 510
apreSentação
Prezado aluno, seja bem-vindo! Esta é a disciplina Modelagem e 
Sistemas Dinâmicos, cujo conteúdo é fundamental e diferencial para a sua 
formação como engenheiro eletricista. A modelagem e simulação de sistemas 
físicos é a base para você atuar nas áreas da engenharia relacionadas ao 
controle e automação dos diversos sistemas existentes na natureza. 
O nosso intuito é auxiliá-lo nos seus estudos para compreender o 
processo que envolve a modelagem e a simulação de sistemas dinâmicos 
para, posteriormente, projetar e analisar sistemas de controle. Nesse sentido, 
este livro apresenta a teoria com abordagem aplicada a sistemas físicos 
lineares, utilizando ferramentas de simulação computacional para ampliar 
seu poder de visualização e análise da teoria e, posteriormente, a simulação 
computacional dos seus próprios projetos.
 O livro está dividido em três unidades. Na Unidade 1, apresentaremos 
as definições de sistemas, a modelagem matemática e a representação dos 
sistemas através de diagramas de blocos e, no último tópico, introduziremos 
a simulação de sistemas utilizando um software de computação numérica. 
Na Unidade 2, avançaremos e abordaremos a modelagem no domínio da 
frequência, apresentando a caracterização da resposta dos sistemas no 
domínio do tempo. Encerraremos o conteúdo com a Unidade 3, aprofundando 
a análise das respostas dos sistemas com diversas excitações de entrada, 
resultando no projeto e simulação de dinâmicos.
Deve-se ressaltar que o estudo de modelagem de sistemas lineares é 
embasado em princípios matemáticos algébricos e diferenciais. Dessa forma, o 
conhecimento prévio da teoria das equações diferenciais torna-se necessário, 
o qual será utilizado na modelagem de sistemas físicos conhecidos, como 
sistemas elétricos, mecânicos, térmicos e fluídicos.
Desejamos bons estudos e que, ao fim da disciplina, você agregue 
conhecimentos e habilidades na área da modelagem e simulação de sistemas 
dinâmicos, contribuindo para uma sólida formação em engenharia elétrica.
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novi-
dades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagra-
mação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui 
para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilida-
de de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assun-
to em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você 
terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complemen-
tares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
SuMário
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM ...................................................... 1
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS ................................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM ................................................................................ 4
3 O QUE SÃO SISTEMAS DINÂMICOS? ....................................................................................... 4
4 MODELO: CONCEITO E CLASSIFICAÇÃO ............................................................................... 6
4.1 MODELOS LINEARES E NÃO LINEARES ............................................................................... 8
4.2 MODELOS DETERMINÍSTICOS E ESTOCÁSTICOS ............................................................... 8
4.3 MODELOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS ................................................................... 8
4.4 MODELOS CONTÍNUOS E DISCRETOS ................................................................................... 9
4.5 MODELOS ESTACIONÁRIOS E NÃO ESTACIONÁRIOS...................................................... 9
4.6 MODELOS VARIANTES E INVARIANTES NO TEMPO ........................................................ 9
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 12
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 13
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS ................................................................................ 15
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 15
2 MODELAGEM MATEMÁTICA ..................................................................................................... 15
3 O DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E A TRANSFORMADA DE LAPLACE ........................... 16
4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ................................................................................................... 21
5 MODELAGEM POR BLOCOS ....................................................................................................... 22
5.1 REPRESENTAÇÃO BÁSICA ...................................................................................................... 22
5.2 DIAGRAMA DE BLOCOS EQUIVALENTE ............................................................................. 25
6 MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOS ..................................................................................... 26
6.1 SISTEMA MECÂNICO ................................................................................................................ 26
6.1.1 Sistemas mecânicos em translação .................................................................................... 27
6.1.2 Sistemasmecânicos em rotação ......................................................................................... 29
7 SISTEMA ELÉTRICO ....................................................................................................................... 30
8 SISTEMA TÉRMICO ........................................................................................................................ 32
9 SISTEMA FLUÍDICO ....................................................................................................................... 33
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 35
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 39
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 40
TÓPICO 3 — INTRODUÇÃO À SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS ..................... 41
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 41
2 SOFTWARE DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO .................................. 42
2.1 APRESENTAÇÃO E AMBIENTES DE TRABALHO ............................................................... 44
2.2 COMANDOS BÁSICOS E OPERAÇÕES MATEMÁTICAS ................................................... 46
2.3 INTERPRETAÇÃO DE EQUAÇÕES MATEMÁTICAS ......................................................... 52
2.4 SCILAB TOOLBOX XCOS – SIMULAÇÃO POR BLOCOS .................................................... 58
2.4.1 Exemplo de utilização do Scilab/Xcos .............................................................................. 61
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 64
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 65
UNIDADE 2 — FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE MODELOS DE 
 SISTEMAS DINÂMICOS ...................................................................................... 67
TÓPICO 1 — MODELAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ............................................ 69
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 69
2 MODELAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ................................................................. 70
2.1 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS .................................................................................... 73
3 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DE FUNÇÕES NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ........ 77
3.1 DECLARAÇÃO DE FUNÇÕES NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ................................... 77
3.2 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS ..................................................................................... 79
3.3 DETERMINAÇÃO DE POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA .......... 84
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 88
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 89
TÓPICO 2 — RESPOSTA DO DOMÍNIO DO TEMPO ............................................................... 91
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 91
2 POLOS, ZEROS E A RESPOSTA DO SISTEMA ......................................................................... 92
3 SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM ............................................................................................ 92
4 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM ............................................................................................. 94
4.1 RESPOSTA NÃO AMORTECIDA .............................................................................................. 96
4.2 RESPOSTA SUBAMORTECIDA ................................................................................................. 96
4.3 RESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA ........................................................................ 97
4.4 RESPOSTA SUPERAMORTECIDA ........................................................................................... 98
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 101
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 102
TÓPICO 3 — MODELAGEM COMPUTACIONAL UTILIZANDO FUNÇÕES 
 DE TRANSFERÊNCIA .............................................................................................. 103
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 103
2 SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM ......................................................... 104
3 SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM ......................................................... 107
3.1 RESPOSTA NÃO AMORTECIDA ............................................................................................ 107
3.2 RESPOSTA SUBAMORTECIDA ............................................................................................... 109
3.3 RESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA ...................................................................... 111
3.4 RESPOSTA SUPERAMORTECIDA.......................................................................................... 114
3.5 ESTUDO DA RESPOSTA À ENTRADA DEGRAU DE SISTEMAS 
 SUBAMORTECIDOS ................................................................................................................. 116
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 119
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 121
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 122
UNIDADE 3 — ERROS E ANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES ............................................. 123
TÓPICO 1 — ANÁLISE DE ERROS EM REGIME ESTACIONÁRIO ..................................... 125
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 125
2 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE ............................................................ 125
3 ERROS ESTACIONÁRIOS ............................................................................................................ 126
4 CONSTANTE DE ERRO ESTÁTICO DE POSIÇÃO KP ......................................................... 127
5 CONSTANTE DE ERRO ESTÁTICO DE VELOCIDADE Kv ................................................ 128
6 CONSTANTE DE ERRO ESTÁTICO DE ACELERAÇÃO Ka ................................................ 130
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 136
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 137
TÓPICO 2 — ANÁLISE DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES ...................................... 139
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 139
2 GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES ......................................................................................... 140
2.1 CONDIÇÕES DE ÂNGULO E DE MÓDULO ........................................................................140
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 156
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 158
TÓPICO 3 — CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ ................................ 161
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 161
2 ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE LINEARES ............................................. 161
2.1 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH .......................................................................... 162
2.2 CASOS ESPECIAIS ..................................................................................................................... 165
2.3 ANÁLISE DA ESTABILIDADE RELATIVA............................................................................ 168
2.4 APLICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH À ANÁLISE DE 
SISTEMAS DE CONTROLE ...................................................................................................... 168
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 173
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 178
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 180
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 182
1
UNIDADE 1 — 
CONCEITOS BÁSICOS DE 
MODELAGEM 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender o significado de sistema e qual a importância da modelagem 
para a atividade do engenheiro eletricista;
• representar um sistema através de variáveis de entrada e saída;
• determinar a função de transferência de sistemas lineares;
• modelar os sistemas físicos no domínio da frequência;
• representar os sistemas físicos modelados através de diagramas de blocos;
• modelar e simular os sistemas físicos através do computador.
 Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS
TÓPICO 2 – MODELAGEM DE SISTEMAS
TÓPICO 3 – INTRODUÇÃO À SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS
1 INTRODUÇÃO
Iniciaremos nossa jornada até a modelagem e projetos de sistemas 
dinâmicos com um tópico apenas de conceitos e classificações. Tal abordagem se 
faz necessária dado o grau de abstração conceitual de sistema. Contudo, o que 
pode ser considerado um sistema?
Você, estudante de engenharia elétrica, deve estar habituado com os 
circuitos elétricos e eletrônicos. A modelagem de sistemas dinâmicos abre 
caminho para outra área de extrema importância na sua formação de engenheiro 
eletricista: a área de sistemas de controle. Para você projetar o controle de qualquer 
sistema, você precisa conhecer seu funcionamento e representá-lo a partir das leis 
físicas conhecidas.
Nesse contexto, explica-se a importância da nossa abordagem sobre o 
conceito de sistema. No controle e automação, um sistema pode ser de iluminação, 
um forno, um computador, um motor elétrico, o corpo humano, ou um órgão, 
enfim, temos inúmeros exemplos de sistemas artificiais criados pelo homem e 
infindáveis exemplos na natureza.
 
Você aprenderá, neste capítulo, que os sistemas são formas de 
representarmos tudo o que há na natureza.
 
Modelar pode significar descrever os sistemas físicos. É realizar através da 
utilização de equações diferenciais e algébricas para descrever o comportamento 
através da correlação entre as variáveis dos sistemas físicos. Não ficaremos 
limitados aos sistemas elétricos, mas abordaremos outros sistemas físicos, como 
mecânicos, térmicos e fluídicos.
Com a modelagem dinâmica, podemos representar fisicamente uma 
linha de transmissão de energia, uma usina hidroelétrica ou uma usina eólica, 
entre outros sistemas fundamentais no escopo da engenharia elétrica. A partir 
dessa representação física, o modelo pode ser utilizado para simularmos o 
comportamento dos sistemas nas fases de planejamento e projeto, além do estudo 
e análise de sistemas em operação. O controle automático de sistemas só é possível 
a partir da modelagem dinâmica.
 Em nossa jornada, com o aprendizado da modelagem de sistemas 
dinâmicos, utilizaremos recursos atuais, computacionais e fundamentais para a 
melhor compreensão do conteúdo. Veremos mais sobre isso a partir do Tópico 3.
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
4
2 CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
Este capítulo é destinado à apresentação das definições que envolvem a 
modelagem de sistemas dinâmicos. Apresentaremos a você que a modelagem 
é uma ferramenta fundamental na engenharia. Apoiados por princípios físicos, 
conseguiremos representar o comportamento dos diversos sistemas existentes. 
O correto entendimento dos conceitos é muito importante para o sucesso 
na área de modelagem de sistemas, pois é possível compreender os limites físicos 
e matemáticos dos problemas a serem resolvidos. No nosso caso, o foco inicial 
será o Sistema Linear Invariante no Tempo (S.L.I.T), o qual, no fim da disciplina, 
conseguiremos projetar, modelar, simular e analisar.
3 O QUE SÃO SISTEMAS DINÂMICOS? 
Para chegarmos ao principal propósito da nossa disciplina, que é a 
modelagem de sistemas dinâmicos, precisamos definir cada componente do 
conteúdo. O primeiro da lista, o sistema, é uma palavra muito comum e usual do 
nosso vocabulário. Assim, seguem algumas definições obtidas: 
1. Conjunto de elementos, materiais ou ideais, entre os quais se possa 
encontrar ou definir alguma relação.
2. Disposição das partes ou dos elementos de um todo, coordenados 
entre si, e que funcionam como estrutura organizada.
3. Reunião de elementos naturais da mesma espécie, que formam um 
conjunto intimamente relacionado (FERREIRA, 1980, p. 1572).
Ainda, no dicionário, você encontrará outras inúmeras definições. Dessa 
forma, pode-se perceber sua definição, podendo um sistema ser de qualquer 
natureza, desde sistemas biológicos, físicos e, até mesmo, um sistema social.
Agora, vamos correlacionar com o ponto de vista da engenharia. Observem 
três definições citadas. As palavras em comum são “elementos” e “relação”, e 
estas permitem representar os sistemas na engenharia, com aproximações bem 
próximas da realidade, através de correlações entre os elementos que compõem o 
sistema a ser estudado, além das causas e efeitos das iterações. A possibilidade é 
indispensável para a engenharia, pois permite não apenas projetar sistemas, mas 
simular o seu comportamento antes da sua implementação física, possibilitando a 
identificação de erros ou problemas e, até mesmo, otimizando o seu funcionamento.
Vamos considerar os conceitos apresentados por outros autores. Lathi 
(2006, p. 75) definiu sistema da seguinte forma:
 
É uma entidade que processa um conjunto de sinais (entradas), 
resultando em um outro conjunto de sinais (saídas). Um sistema pode 
ser construído com componentes físicos, elétricos, mecânicos ou sistemas 
hidráulicos (realização em hardware) ou pode ser um algoritmo que 
calcula uma saída de um sinal de entrada (realização em software).
Segundo Monteiro (2006, p. 41), com relação à definição de sistema, é: 
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS
5
Um conjunto de objetos agrupados por alguma interação ou 
interdependência,de modo que existam relações de causa e efeito nos 
fenômenos que ocorrem com os elementos do conjunto. 
Sistema é uma combinação de componentes atuando em conjunto para a 
realização de um objetivo especificado. Os componentes ou elementos interagindo 
possuem relações de causa e efeito (ou de entrada-saída).
Primeiramente, os sistemas são classificados quanto ao comportamento dos 
seus elementos (variáveis), sendo chamados de sistemas estáticos ou dinâmicos.
 
O sistema estático é aquele em que as características e propriedades que 
descrevem o seu comportamento não variam com o tempo, porém, podem variar 
com relação ao espaço. Já com relação aos sistemas dinâmicos, objeto do nosso 
estudo, as suas características variam ao longo do tempo.
 
Segundo Kluever (2018, p. 5), um sistema pode ser considerado dinâmico 
quando: 
As variáveis de saída (ou variáveis dinâmicas) atuais dependem 
das condições iniciais (ou da energia armazenada) do sistema e/ou 
das variáveis de entrada anteriores. As variáveis dinâmicas de um 
sistema (por exemplo, deslocamento, velocidade, tensão, pressão) 
variam com o tempo.
A seguir, é apresentado um diagrama de representação de sistema, além 
da sua relação com as variáveis de entrada e saída. 
FIGURA 1 – DIAGRAMA REPRESENTANDO UM SISTEMA, SUAS ENTRADAS E SAÍDAS
FONTE: O Autor
Para exemplificar com uma aplicação na engenharia elétrica, observe a 
seguir. Um sistema pode ser um motor elétrico, no qual a entrada é a tensão 
elétrica e, a saída, a velocidade angular e torque de uma carga mecânica acoplada 
ao eixo do motor elétrico.
FIGURA 2 – DIAGRAMA COM EXEMPLO DE SISTEMA MOTRIZ
FONTE: O Autor
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
6
Na próxima seção, abordaremos como representar diversos sistemas 
através de modelos físicos e matemáticos, com várias aplicações que, futuramente, 
poderemos trabalhar nas diversas áreas da engenharia.
4 MODELO: CONCEITO E CLASSIFICAÇÃO 
Nas ciências naturais e nas engenharias, a elaboração de modelos é 
uma ferramenta essencial, tanto que Felício (2010) afirma que a engenharia é 
um conjunto de modelos. Assim, há duas definições: modelo físico e modelo 
matemático. 
Garcia (2005) indica que modelos físicos podem ser protótipos e plantas-
piloto, enquanto os matemáticos constituem uma representação através de 
equações. Ainda, Felício (2010) define modelo físico como uma organização de 
peças e mecanismos reais, os quais são elaborados considerando especificações 
de dimensões e com comportamento similar ao de um sistema real. Os modelos 
físicos em escala representam importante metodologia para algumas áreas 
da engenharia. Esse modelo é muito usado em projetos de veículos, perfis 
aerodinâmicos, estruturas etc. (FELÍCIO, 2010).
Atualmente, a modelagem física também é realizada através do software 
CAD (Computer Aided Design). É prático e reduz custos.
A representação dos sistemas e a correlação entre as variáveis são muito 
úteis e fundamentais na engenharia. Em breve, estudaremos a representação dos sistemas 
através de diagramas de blocos, além da utilização da representação para a modelagem 
dos sistemas. 
ESTUDOS FU
TUROS
O filme “Estrelas Além do Tempo”, de 2017 (FOX Filme do Brasil), baseado em 
uma história real, se passa em 1961, e aborda a corrida espacial disputada por Estados 
Unidos e União Soviética, durante a guerra fria. A correlação do filme com a nossa disciplina 
está na atividade de modelagem da rota dos foguetes espaciais por físicos da NASA, cujos 
cálculos de simulação eram realizados de forma manual pelas protagonistas do filme. 
Ainda, é possível visualizar o início da utilização do computador para realizar tais tarefas. 
DICAS
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS
7
FIGURA 3 – MODELO FÍSICO: PROTÓTIPO EM SOFTWARE CAD 3D
FONTE: <https://cutt.ly/DfrJhBA>. Acesso em: 12 dez. 2019.
A construção de plantas-piloto para representação de sistemas é uma 
forma de modelagem física. Atualmente, temos a impressão 3D, que facilita e 
reduz o tempo de construção do protótipo.
FIGURA 4 – EXEMPLO DE MODELO FÍSICO: PROTÓTIPO DE TURBINA A JATO IMPRESSO EM 3D
FONTE: <https://cutt.ly/9ffToB8>. Acesso em: 12 dez. 2019.
De acordo com Kluever (2018), o desempenho ou o comportamento de 
sistemas de engenharia é obtido através da determinação de modelos, por meio 
de equações matemáticas que representam leis físicas fundamentais. Os sistemas 
dinâmicos são representados por equações diferenciais, cujas leis físicas são 
correlacionadas aos sistemas a serem estudados, por exemplo, sistemas elétricos 
representados pelas leis de Kirchhoff, sistemas mecânicos pelas leis de Newton.
O modelo matemático do comportamento de um sistema dinâmico 
envolve equações diferenciais lineares ou não lineares, que representam o 
comportamento físico do sistema. É possível exemplificar com um motor 
elétrico, o qual é caracterizado por circuitos elétricos e mecânicos. O modelo 
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
8
matemático é formado por um conjunto de equações diferenciais caracterizando 
o comportamento da tensão e corrente elétrica e outras equações, como rotação e 
torque mecânico.
Para o processo de modelagem de sistemas dinâmicos, a classificação dos 
tipos de sistemas e, consequentemente, a dos modelos, são muito importantes. 
4.1 MODELOS LINEARES E NÃO LINEARES
Segundo Kluever (2018), todos os sistemas físicos são não lineares. No 
entanto, o autor infere que, caso as variáveis de entrada e saída apresentem uma 
faixa nominal de restrição, o sistema não linear pode ser representado por um 
modelo linear caracterizado por equações diferenciais lineares.
Garcia (2005) define que se a saída de um modelo depende linearmente da 
entrada, esse modelo é considerado linear, caso contrário, ele é não linear.
 
No Tópico 2 desta unidade, abordaremos os modelos/sistemas lineares, e 
como podemos trabalhar com eles no domínio da frequência e suas aplicações na 
simulação de sistemas dinâmicos.
4.2 MODELOS DETERMINÍSTICOS E ESTOCÁSTICOS
De acordo com Garcia (2005), em um modelo determinístico, a saída pode 
ser determinada com exatidão, caso o sinal de entrada e as condições iniciais sejam 
conhecidos. Já em um modelo estocástico, observa-se a presença de variáveis com 
comportamentos aleatórios, não permitindo a determinação exata de um valor de 
saída. Assim, podemos ter, como saída, uma distribuição de probabilidades.
 
Na natureza, os diversos sistemas estão sujeitos a eventos aleatórios. 
Para exemplificar, um sistema de distribuição de energia elétrica está sujeito a 
descargas atmosféricas, porém, estas apresentam características aleatórias, e não 
sabemos exatamente como e quando elas ocorrerão. Assim, para a representação 
em nosso modelo, precisamos utilizar modelos estocásticos.
4.3 MODELOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS
Todo e qualquer sistema real é distribuído, porém, dada a complexidade, 
podemos utilizar aproximações. Modelos ou sistemas concentrados, ou também 
denominados de parâmetros concentrados, segundo Kluever (2018), são aqueles 
que podem ser representados por um número finito de equações diferenciais 
ordinárias, pois são caracterizados por um número finito de variáveis. Por 
exemplo, podemos concentrar um modelo desprezando algumas variações nos 
elementos físicos utilizados no modelo, considerando algumas propriedades 
como homogêneas.
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS
9
Em contraponto, com relação aos modelos distribuídos ou com parâmetros 
distribuídos, essas variações que podem ocorrer nos elementos físicos são 
consideradas, caracterizando o modelo por um número infinito de equações 
ordinárias, ou através de equações diferenciais parciais.
4.4 MODELOS CONTÍNUOS E DISCRETOS
A classificação dos modelos e sistemas como contínuos ou discretos se dá 
em relação ao seu comportamento no tempo. Kluever (2018) caracteriza os sistemas 
contínuos como aqueles que possuem variáveis e funções que são definidas em 
todos os instantes de tempo. Poroutro lado, em um sistema discreto (tempo), 
as variáveis são definidas apenas em determinados instantes de tempo, ou seja, 
são amostras de tempo contínuo. Tais características determinam como será a 
abordagem matemática, no caso, em sistemas de tempo contínuo, os modelos 
serão representados por equações diferenciais. Já com relação aos sistemas 
discretos, a caracterização será realizada através de equações de diferenças.
 
Fazendo uma contextualização, em sistemas contínuos, utilizamos sinais e 
suas respectivas variáveis ditas analógicas. Em sistemas discretos, sinais discretos, 
também chamados de digitais, uma amostra dos sinais contínuos.
4.5 MODELOS ESTACIONÁRIOS E NÃO ESTACIONÁRIOS
Modelos ou sistemas nos quais as variáveis permanecem constantes no 
tempo são classificados como estacionários ou estáticos. Matematicamente, o efeito 
da variável de entrada é apenas instantâneo e, em função disso, é representado 
apenas por equações algébricas. Por outro lado, modelos não estacionários, 
também chamados de modelos ou sistemas dinâmicos, são transientes ou 
transitórios. Assim, a solução matemática completa deve caracterizar os regimes 
permanente e transitório. Dados esses comportamentos, a modelagem é baseada 
em um sistema de equações diferenciais.
4.6 MODELOS VARIANTES E INVARIANTES NO TEMPO
Kluever (2018) e Garcia (2005) conceituam, de forma bem direta, que em 
um sistema ou modelo variante no tempo, os parâmetros são variáveis. De forma 
análoga, um sistema ou modelo é considerado invariante no tempo caso seus 
parâmetros permaneçam constantes.
Embora pareçam conceitos muito simples, são sujeitos a alguns equívocos, 
pois não se deve confundir modelos variantes no tempo com modelos dinâmicos. 
Em um sistema variante no tempo, as características dos elementos físicos variam, 
por exemplo, a isolação de um cabo de um sistema de distribuição em função da 
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
10
umidade é alterada, provocando aumento da resistência elétrica. Em um sistema 
dinâmico, as variações consideradas são das variáveis de entrada e saída do 
modelo. Considerando o exemplo anterior, a tensão elétrica ou a corrente terá um 
comportamento transitório e em regime permanente, porém, o elemento físico 
(resistência) permanece inalterado.
No tópico seguinte, iniciaremos o contato mais prático com a modelagem. 
A caminho da simulação, serão apresentados sistemas mecânicos, elétricos, 
térmicos e fluídicos. A leitura complementar, exposta a seguir, aborda a história 
dos sistemas de controle. Boa leitura!
Um exemplo é dado para elucidar a diferença entre variação dos parâmetros de 
um sistema e variação das suas variáveis dinâmicas. Em um motor elétrico, os parâmetros 
do sistema devem ser a resistência elétrica do circuito, a indutância dos enrolamentos, o 
coeficiente de atrito nos mancais do rotor e o momento de inércia. Caso tais parâmetros não 
variem com o tempo, então, o motor elétrico em questão é um sistema invariante no tempo. 
IMPORTANT
E
 Projeto de engenharia
 O projeto de engenharia é a principal tarefa de um engenheiro. É um processo 
complexo no qual tanto a criatividade quanto a capacidade analítica desempenham papéis 
fundamentais. Projeto é o processo de concepção ou invenção de formas, partes e detalhes 
de um sistema.
 A atividade de projeto pode ser considerada como planejamento para o surgimento 
de um produto ou sistema particular. O projeto é um ato inovador pelo qual o engenheiro, 
criativamente, usa conhecimentos e materiais para especificar a forma, função e conteúdo 
material de um sistema. As etapas do projeto são: 1) determinar uma necessidade originada dos 
valores de vários grupos, cobrindo o espectro que vai dos responsáveis pelas políticas públicas 
até o consumidor; 2) especificar, em detalhes, o que a solução para a necessidade deve ser e 
incorporar esses valores; 3) desenvolver e avaliar várias soluções alternativas para contemplar 
essas especificações; e 4) decidir qual delas deve ser projetada em detalhes e fabricada.
 Um fator importante em projetos reais é a limitação de tempo. O projeto deve ser 
realizado dentro de prazos impostos e, eventualmente, ajustado para um projeto inferior 
ao ideal, mas considerado “bom o suficiente”. Em muitas situações, o tempo é a única 
vantagem competitiva.
 Um dos principais desafios para o projetista é escrever as especificações para o 
produto técnico. Especificações são declarações que, explicitamente, expressam o que o 
dispositivo ou produto deve ser e fazer. O projeto de sistemas técnicos objetiva fornecer 
especificações de projeto apropriadas e se baseia em quatro características: complexidade, 
soluções de compromisso, desvios de projeto e risco.
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 — INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS
11
 A complexidade do projeto resulta da grande gama de ferramentas, decisões e 
conhecimentos a serem usados no processo. O grande número de fatores que deve ser 
considerado ilustra a complexidade da atividade de especificação do projeto.
O conceito de solução de compromisso envolve a necessidade de resolver objetivos de 
projeto conflitantes, todos desejáveis. O processo de projeto requer um compromisso 
eficiente entre critérios desejáveis, porém conflitantes.
 Ao fazer um dispositivo técnico, normalmente, acha-se que o produto final não 
se parece com o originalmente visualizado. Por exemplo: a imagem que é feita de um 
problema a ser resolvido não aparece em descrições escritas nem, em última análise, nas 
especificações. Esses desvios de projeto são intrínsecos da progressão de uma ideia abstrata 
para sua realização.
 Essa incapacidade em se estar absolutamente certo leva a grandes incertezas sobre 
os efeitos reais dos dispositivos e produtos projetados. Essas incertezas são incorporadas em 
consequências não intencionais ou risco. O resultado é que o projeto de um sistema é uma 
atividade na qual os riscos devem ser assumidos.
 Complexidade, soluções de compromisso, desvios de projeto e risco são inerentes 
ao projeto. Embora possam ser minimizados quando todas as consequências de um 
determinado projeto são consideradas, eles estão sempre presentes no processo de projeto.
No projeto de engenharia, existe uma diferença fundamental entre os dois grandes tipos 
de pensamento que precisa ser estabelecida: análise e síntese. Na análise, a atenção é 
focada nos modelos dos sistemas físicos que são analisados para haver compreensão e que 
indicam direções para melhorias. Por outro lado, a síntese é o processo pelo qual essas novas 
configurações físicas são criadas.
 O projeto é um processo que pode seguir em várias direções antes que a direção 
desejada seja encontrada. É um processo deliberativo pelo qual o projetista cria alguma coisa 
nova em resposta a uma necessidade identificada enquanto descobre restrições realistas. 
O processo de projeto é inerentemente iterativo – é preciso começar de algum lugar! 
Engenheiros de sucesso aprendem a simplificar sistemas complexos de maneira apropriada 
para o projeto e análise. Um desvio entre o sistema físico complexo e o modelo de projeto 
é inevitável. Desvios de projeto são intrínsecos na progressão do conceito inicial até o 
produto final. Sabe-se, intuitivamente, que é mais fácil melhorar um conceito inicial de forma 
incremental do que tentar criar logo no início um projeto final. Em outras palavras, o projeto 
de engenharia não é um processo linear. É um processo iterativo, não linear e criativo.
 As principais abordagens para o projeto de engenharia mais efetivo são a análise e a 
otimização paramétrica. A análise paramétrica é baseada em: 1) identificação dos parâmetros-
chave, 2) geração da configuração do sistema e, 3) verificação de quão bem a configuração 
contempla as necessidades. Essas três etapas formam um laço iterativo. Uma vez que os 
parâmetros-chave são identificados e a configuração sintetizada, o projetista pode otimizar 
os parâmetros. Tipicamente, o projetista se esforça para identificar um conjunto limitadode 
parâmetros a serem ajustados.
FONTE: DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle modernos. 13. ed. Rio de Janei-
ro: LTC, 2018.
12
Neste tópico, você aprendeu que:
• Sistema é uma combinação de componentes atuando em conjunto para 
a realização de um objetivo especificado. Os componentes ou elementos 
interagindo possuem relações de causa e efeito (ou de entrada-saída).
• Modelo físico é como uma organização de peças e mecanismos reais, os 
quais são elaborados considerando especificações de dimensões e com 
comportamento similar ao comportamento de um sistema real.
• Modelos matemáticos constituem uma representação através de equações.
• Sistemas dinâmicos são aqueles em que a solução matemática completa deve 
caracterizar os regimes permanente e transitório. Dado esse comportamento, 
a modelagem é baseada em um sistema de equações diferenciais.
• Todos os sistemas físicos são não lineares. Se a saída de um modelo depende 
linearmente da entrada, esse modelo é considerado linear, caso contrário, ele 
é não linear.
• Em um sistema ou modelo variante no tempo, os parâmetros são variáveis com 
o tempo. De forma análoga, um sistema ou modelo é considerado invariante 
no tempo caso seus parâmetros permaneçam constantes.
• Modelos ou sistemas concentrados são aqueles que podem ser representados 
por um número finito de equações diferenciais ordinárias, com caracterização 
por um número finito de variáveis.
• Sistemas contínuos são aqueles que possuem variáveis e funções que são 
definidas em todos os instantes de tempo. Por outro lado, em um sistema 
discreto, as variáveis são definidas apenas em determinados instantes de tempo. 
RESUMO DO TÓPICO 1
13
Considere um sistema de iluminação composto por um circuito elétrico, cuja 
finalidade seja acionar uma lâmpada. Fisicamente, poderá ser representado 
por um resistor ou um indutor. Para esse sistema, responda:
1 Quais são as variáveis físicas envolvidas (variáveis de entrada e saída) nesse 
sistema? Desenhe um diagrama representando o sistema e destacando as 
variáveis.
2 Quais leis físicas relacionam as variáveis de entrada e saída com o elemento 
físico (resistor e indutor).
3 Classifique o sistema quanto às classificações apresentadas.
4 Repita os itens citados, substituindo o sistema de iluminação por um sistema 
de aquecimento. 
AUTOATIVIDADE
14
15
TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
MODELAGEM DE SISTEMAS
1 INTRODUÇÃO
No tópico anterior, você estudou as definições de sistemas, sistemas 
dinâmicos, modelos e suas classificações. Agora, no Tópico 2, estudaremos 
a modelagem de sistemas dinâmicos através de abordagens correlacionadas a 
sistemas físicos e aplicações práticas. Para transferir esse conhecimento a você, 
este tópico foi dividido em três partes, além da parte introdutória.
 
Primeiramente, abordaremos a modelagem matemática de sistemas e os 
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo. Iniciaremos o processo de modelagem 
dos sistemas através de equações diferenciais no domínio no tempo, além da 
conversão para o domínio da frequência, convergindo com a determinação da 
função de transferência do sistema. 
 
A modelagem por blocos, ou a representação por diagramas de blocos, 
será estudada também. Com essa metodologia, a visualização do sistema e seus 
elementos tornam-se mais práticos e fáceis, além de usuais, principalmente a 
simulação dos sistemas modelados através do computador. 
 
Com os conhecimentos obtidos, avançaremos com uma abordagem 
aplicada a sistemas físicos. Estudaremos sistemas mecânicos, elétricos, térmicos e 
fluídicos, os quais podem ser modelados por leis e princípios físicos convergentes, 
permitindo a representação de características físicas através de elementos básicos, 
caracterizando armazenamento e dissipação de energia. 
 
2 MODELAGEM MATEMÁTICA
Conforme apresentado no tópico anterior, os modelos apresentam 
classificação e respectivas aplicações, conforme equações que melhor representam 
o sistema a ser modelado. Segundo Castrucci, Bittar e Sales (2011), os modelos 
matemáticos buscam representar sistemas reais, porém, em função da complexidade 
de todas as condições envolvidas, acabam como modelos aproximados, limitados 
por condições específicas. “Na medida em que os limites se ampliam, cresce a 
complexidade dos modelos” (CASTRUCCI; BITTAR; SALES, 2011, p. 11).
16
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
Sobre a utilização de modelos aproximados, Felício (2010) afirma que 
embora não haja completa exatidão, a engenharia, ao longo dos tempos, consegue 
resolver, através de modelos aproximados, diversos problemas na nossa sociedade. 
Por meio da aplicação de técnicas e procedimentos, o engenheiro 
executa projeto e construção de tudo o que o ser humano usa, como 
carros, tratores, aviões, foguetes, edifícios, estradas, computadores, 
robôs, aparelhos para medicina, odontologia, de comunicação etc. 
(FELÍCIO, 2010, p. 2).
Para a modelagem matemática, utilizaremos equações matemáticas que 
representam as leis e princípios físicos que caracterizam os sistemas a serem 
modelados. Garcia (2005) descreve procedimentos para a obtenção de modelos 
matemáticos de sistemas, e apresenta três etapas para a elaboração do modelo: 
• Etapa 1: determinação das variáveis de entrada e saída: especificar o sistema 
e propor um modelo físico, cujo comportamento se ajuste ao comportamento 
do sistema real; 
• Etapa 2: escrever as equações matemáticas do modelo físico e desenhar um 
diagrama de blocos que represente o sistema; 
• Etapa 3: analisar o desempenho dinâmico do modelo físico. 
Para atingirmos o nosso objetivo, que é a modelagem de sistemas 
dinâmicos, nas seções seguintes deste capítulo, apresentaremos a base matemática 
para alcançarmos o modelo físico. Dada a diversidade de sistemas físicos, serão 
abordadas aproximações lineares, utilizando como referência a transformada de 
Laplace. Mais tarde, inicia-se a identificação do sistema a partir da determinação das 
variáveis de entrada e saída, resultando na obtenção das funções de transferência. 
3 O DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E A TRANSFORMADA DE 
LAPLACE 
Segundo Nise (2017), a modelagem matemática é realizada através do 
domínio da frequência ou do domínio do tempo. Para a modelagem no domínio 
da frequência, são utilizadas funções de transferência. No domínio do tempo, 
lança-se mão das chamadas equações de estado.
 
Vamos nos concentrar nas funções de transferência. Em um sistema 
linear, admitindo que as condições iniciais sejam iguais a zero, a relação entre 
a transformada de Laplace da variável de saída e a transformada da variável 
de entrada é o que chamamos de função de transferência. Conceito simples, 
não? Contudo, extremamente útil, sobretudo para a simulação e a análise de 
desempenho dos sistemas dinâmicos que veremos em unidades posteriores.
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
17
Vamos por partes e, primeiramente, é preciso revisar a teoria da 
transformada de Laplace, que é definida pela equação 2.1. 
A função F(s) é o que chamamos de transformada de Laplace da função 
f(t), sendo s = σ + jω uma variável complexa. A variável s é denominada de variável 
de Laplace, utilizada como operador diferencial, conforme a equação 2.2 a seguir.
De forma análoga e intuitiva, o operador integral é representado pela 
equação 2.3.
Caso seja necessário realizar o caminho inverso, ou seja, obter f(t) a partir 
de F(s), deve-se utilizar a chamada transformada inversa de Laplace, de acordo 
com a equação 2.4.
Sendo
A função u(t) é chamada de degrau unitário, e o produto de f(t) por u(t) 
é uma função do tempo, igual a zero para t < 0. Pode-se observar esse a seguir.
FIGURA 5 – FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO
FONTE: O Autor
Através da Equação 2.1, podemos substituir f(t) por qualquer função 
matemática linear que você precise utilizar. Dessa forma, é usual um quadro de 
transformadas de Laplace.
Equação 2.1
Equação 2.2
Equação 2.3
Equação 2.4
18
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
QUADRO 1 – TRANSFORMADAS DELAPLACE
f(t) F(s)
Função degrau unitário – u(t)
Função impulso unitário – δ(t) 1
Função rampa unitária – tu(t) 
e⁻ᵃᵗ
sen ωt
cos ωt
tn u(t)
e-at sen ωt
e-at cos ωt
 
te-at
tn e-at
senh ωt
cosh ωt
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
19
1 - cos ωt
ωt - sen ωt
sen ωt - ωtcos ωt
tcos ωt
FONTE: O Autor
Além da função degrau unitário, destacam-se as funções impulso, rampa, 
exponencial e seno.
 
A função impulso unitário pode ser definida na equação 2.5. 
Graficamente, pode ser representada a seguir. Em (a), temos as 
Equação 2.5
20
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
representações de δ(t) e em (b) δ(t-a):
FIGURA 6 – FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO
FONTE: O Autor
A função rampa unitária tu(t) representa um sinal linearmente crescente. 
Matematicamente, sua definição é demonstrada pela equação 2.6.
Equação 2.6
A seguir, apresenta-se a representação gráfica da rampa unitária. 
FIGURA 7 – FUNÇÃO RAMPA UNITÁRIA
 FONTE: Adaptado de Nise (2017)
Outra função básica é a exponencial tn u(t), dada pela equação 2.7.
Equação 2.7
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
21
Na Figura 8, tem-se a representação gráfica.
 
FIGURA 8 – FUNÇÃO EXPONENCIAL
FONTE: O Autor
Tais funções serão muito utilizadas a partir da Unidade 2, em que 
iniciaremos o estudo da análise de desempenho dos sistemas dinâmicos.
No tópico seguinte, você conhecerá o software (Scilab) que utilizaremos para 
a simulação dos nossos sistemas dinâmicos. A maioria das funções apresentadas já está 
inserida no software, já no domínio da frequência, de uma forma muito prática de ser 
utilizada por você. 
ESTUDOS FU
TUROS
4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Seguindo nossa trilha para aprendermos a modelar sistemas, após a 
conversão das funções matemáticas para o domínio da frequência, é possível 
verificar que nossas funções foram escritas de forma simplificada. No momento, 
podemos apresentar o conceito da função de transferência de um sistema. Segundo 
Dorf e Bishop (2018), é a relação que descreve a dinâmica do sistema considerado.
 
Para melhorar o entendimento, observe o esquema a seguir. 
FIGURA 9 – DIAGRAMA REPRESENTANDO UM SISTEMA LINEAR G(S)
FONTE: O Autor
22
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
Como mencionamos anteriormente, a função de transferência representa 
a relação entre a variável de saída e a de entrada de um sistema linear.
Para exemplificar com valores numéricos, considere a seguinte equação 
diferencial:
Equação 2.9
Equação 2.8
Aplicando a transformada de Laplace, obtemos a Equação 2.10:
Equação 2.10
Organizando a equação, teremos:
Equação 2.11
Logo, a função de transferência G(s) será:
Equação 2.12
Com a determinação das funções de transferência, podemos organizar 
nosso sistema através de blocos, entre a entrada e saída determinadas. Chamamos 
de modelagem por blocos. 
5 MODELAGEM POR BLOCOS
Funções de transferência podem ser organizadas em diagramas de blocos, 
constituindo um método prático para a representação gráfica das relações entre 
as variáveis do problema a ser modelado. A prática da modelagem por blocos 
auxilia e facilita a modelagem de sistemas com diferentes graus de complexidade, 
pois as relações entre entrada, saída e sistemas são consideradas, além das 
operações e operadores matemáticos, representando os fluxos de sinais. A seguir, 
apresentaremos as representações básicas utilizadas na modelagem por blocos.
5.1 REPRESENTAÇÃO BÁSICA 
Segundo Nise (2017), alguns sistemas possuem diversos subsistemas. 
Assim, para realizar a conexão, podemos utilizar alguns elementos para cada 
ação acrescentada no diagrama de blocos. Esses novos elementos podem ser 
sinais, sistemas, somador e os pontos de ramificação.
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
23
Um elemento fundamental na modelagem por blocos é o somador, também 
denominado de junção de soma ou ponto de soma. Seu bloco é apresentado a seguir. 
FIGURA 10 – BLOCO SOMADOR, PONTO DE SOMA OU JUNÇÃO DE SOMA
FONTE: Adaptado de Ogata (2010)
 
O bloco somador é representado por um círculo com uma cruz no centro 
e os sinais indicando as operações de soma (+) ou subtração (-).
Um ponto de ramificação ou derivação distribui o sinal oriundo de um 
bloco para outros blocos e somadores. Observe, a seguir, um diagrama de blocos 
com sinais, um bloco somador, um de sistema e um ponto de ramificação.
FIGURA 11 – DIAGRAMA DE BLOCOS COM REPRESENTAÇÕES BÁSICAS DE UM SISTEMA EM 
MALHA FECHADA
FONTE: Adaptado de Ogata (2010)
A figura anterior, além de apresentar os blocos básicos de modelagem, 
mostra a representação de um sistema de malha fechada. Observe que o sinal 
de saída C(s) realimenta (fecha a malha) o sistema através do somador, sendo 
comparado com o sinal de entrada R(s). No caso, a saída C(s) será: 
Equação 2.13
24
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
Agora, observe o diagrama de blocos a seguir. Foi acrescentado o bloco 
H(s) como um elemento de realimentação. Em sistemas reais, geralmente, esse 
elemento é um sensor que verifica o sinal de saída e o compara com o sinal de 
entrada. No caso, o sinal B(s) será:
Equação 2.14
FIGURA 12 – DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHADA COM ELEMENTO 
DE REALIMENTAÇÃO
FONTE: Adaptado de Ogata (2010)
Continuando a análise, o sinal E(s) nada mais é do que o erro atuante 
no sistema, medido através de H(s). No contexto, temos a chamada função de 
transferência de malha aberta, caracterizada pela relação entre os sinais B(s) e 
E(s), conforme a equação 2.15.
Equação 2.15
Ainda, temos a função de transferência do ramo direto, obtida pela relação 
entre C(s) e E(s), equação 2.16.
Equação 2.16
No entanto, a relação entre a entrada R(s) e a saída C(s) é denominada de 
função de transferência de malha fechada. Pode ser obtida através das relações entre 
os sinais. O sinal C(s) pode ser obtido pela equação 2.17, escrito da seguinte forma:
Equação 2.17
O sinal de erro E(s):
Equação 2.18
Substituindo a equação 2.15 na equação 2.18, obtemos:
Equação 2.19
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
25
Agora, substituída a equação 2.19 em 2.17, temos:
Equação 2.20
Rearranjando a equação 2.20, para obter C(s) com uma relação em R(s), 
temos:
Equação 2.21
Finalmente:
Equação 2.22
5.2 DIAGRAMA DE BLOCOS EQUIVALENTE
Conforme apresentado, podemos relacionar sinais e blocos de forma algébrica, 
obtendo nossas funções de transferência. Para sistemas mais complexos, ou seja, 
com elevada quantidade de elementos, pode-se agrupar esses elementos no próprio 
diagrama, simplificando o sistema a ser modelado. Dorf e Bishop (2018) apresentam 
a transformação do diagrama de blocos a partir do agrupamento entre vários blocos, 
ocasionando um diagrama equivalente, conforme exemplificado a seguir.
 
A seguir, em (a), temos um diagrama com blocos em série, que pode ser 
chamado de sistema em cascata. Através dos sentidos dos sinais e blocos, pode 
haver condensação no diagrama em (b).
FIGURA 13 – BLOCO EM CASCATA – (A) ORIGINAL (B) EQUIVALENTE
FONTE: O Autor
A seguir, em (a), temos uma malha fechada com bloco de realimentação. 
Esse diagrama pode ser reduzido ao diagrama equivalente de (b). Observe a seguir.
FIGURA 14 – BLOCO DE REALIMENTAÇÃO – (A) ORIGINAL (B) EQUIVALENTE
FONTE: O Autor
26
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
FIGURA 15 – BLOCOS DO SOFTWARE SCILAB/XCOS – (A) SOMADOR (B) SISTEMA
FONTE: O Autor
6 MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOS
 
Nos Capítulos 2 e 3, apresentamos como as propriedades físicas e 
suas respectivas equações matemáticas são utilizadas para a modelagem do 
comportamento dinâmico dos diversos sistemas. No contexto, há uma estratégia 
muito eficaz para a modelagem dos diversos sistemas existentes na natureza: 
através de sistemas físicos equivalentes. Com essa estratégia, podemos realizar a 
modelagem de sistemas simples e complexos através de elementos físicos básicos 
com características e equações matemáticas bem definidas.
Nos itens a seguir, apresentaremos equações representando 
comportamentos de dissipação e armazenamentode energia. Por exemplo, para 
sistemas mecânicos, teremos a representação de massa, mola e amortecedor; 
para sistemas elétricos, resistências, indutâncias e capacitâncias; para sistemas 
térmicos, diferença de temperatura, fluxo térmico, resistência e capacitância 
térmica e; para sistemas fluídicos, a diferença de pressão, vazão volumétrica, 
resistência e capacitância fluídica, tornando a modelagem mais prática para sua 
implementação e posterior simulação.
6.1 SISTEMA MECÂNICO
As propriedades e leis físicas que representam os sistemas mecânicos 
abordam inércia, rigidez e energia, com destaque para as Leis de Newton e de 
Hooke (KLUEVER, 2018).
Diversos softwares utilizados para modelagem e simulação de sistemas já 
possuem Toolbox para modelagem através de blocos. O software que utilizaremos a 
seguir possuí um Toolbox chamado de Xcos. Ainda, há um exemplo de um bloco somador 
(a), além de um bloco de sistema (b). 
NOTA
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
27
Para simplificar e abordar os diferentes contextos envolvendo sistemas 
mecânicos, são utilizados diversos componentes ou elementos físicos para a 
modelagem, tais como: massa, mola, amortecedor e inércia. São descritos por 
equações diferenciais e algébricas de força, velocidade e deslocamento.
 
A representação dos sistemas mecânicos divide-se em sistemas em 
translação (ou translacionais) e rotação (ou rotacionais).
 
6.1.1 Sistemas mecânicos em translação
Os sistemas mecânicos em translação serão representados por elementos 
físicos, quanto ao seu comportamento em relação à energia. Na primeira coluna 
do quadro a seguir, temos três elementos físicos ou componentes passivos. A 
mola e a massa armazenam energia, e o amortecedor dissipa. 
QUADRO 2 – ELEMENTOS FÍSICOS E SUAS EQUAÇÕES DESCRITIVAS DE SISTEMAS MECÂNICOS 
EM TRANSLAÇÃO
Elemento Físico 
ou Componente
Equação Descritiva no Domínio do Tempo
Força em relação à 
velocidade
Força em relação ao 
deslocamento
Mola
Amortecedor
Massa
FONTE: O Autor
A seguir, são apresentadas as variáveis e suas respectivas unidades.
QUADRO 3 – VARIÁVEIS E UNIDADES DE SISTEMAS MECÂNICOS EM TRANSLAÇÃO
Variáveis Unidade (SI)
f(t)- força N – Newton
x(t)- deslocamento m – metro
v(t)- velocidade m/s – metro/segundo
K- constante de mola N/m – Newton/metro
fv- coeficiente de atrito viscoso N.s/m – Newton.segundo/metro
M – massa kg – quilograma
FONTE: O Autor
28
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
Em nosso material, é possível observar um exemplo de um sistema com 
os três elementos físicos de sistemas mecânicos em translação, o denominado 
diagrama de corpo livre. Observe o sentido do deslocamento x(t) e a força f(t). 
FIGURA 16 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE: SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR
FONTE: Adaptado de Nise (2017)
 É possível representar esse sistema através de uma equação de movimento, 
considerando o lado direito para caracterizar o movimento.
 
Agora, observe a figura a seguir. Nela, temos o diagrama de corpo 
livre, porém, acrescentando três forças que agem sobre ele no sentido contrário, 
provocadas pela massa, amortecedor e mola. 
FIGURA 17 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE: REPRESENTAÇÃO DAS FORÇAS ATUANTES
FONTE: Adaptado de Nise (2017)
De acordo com a Lei de Newton, esse sistema mecânico pode ser 
representado por uma equação diferencial de movimento, através da somatória 
das forças atuantes igual a zero, incidentes sobre o corpo livre. Tal representação 
resulta na equação a seguir:
Equação 4.1
Agora, utilizando os conceitos apresentados, vamos converter a Equação 
4.1 para o domínio da frequência e fazer a representação do sistema em diagrama 
de blocos. Aplicando a transformada de Laplace em 4.1, teremos:
Equação 4.2
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
29
Resultando na função de transferência do sistema, conforme a 
equação 4.3.
Equação 4.3
A função de transferência é representada a seguir, em forma de diagrama 
de blocos correspondente do sistema massa-mola-amortecedor. 
FIGURA 18 – DIAGRAMA DE BLOCOS: SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR
FONTE: O Autor
6.1.2 Sistemas mecânicos em rotação
Os sistemas de rotação também podem ser descritos por elementos físicos 
mola e amortecedor, porém, a massa é substituída pela inércia. As funções são 
diferentes dos sistemas de translação em virtude do sentido do movimento, agora 
sujeitos à rotação. Dessa forma, o torque T(t) substitui a força e o deslocamento 
angular θ(t) substitui o deslocamento de translação. A seguir, reunimos os 
elementos físicos e as respectivas equações descritivas em função do torque, 
deslocamento e velocidade angular. 
QUADRO 4 – ELEMENTOS FÍSICOS E SUAS EQUAÇÕES DESCRITIVAS DE SISTEMAS MECÂNICOS 
EM ROTAÇÃO
Elemento Físico 
ou Componente 
Equação Descritiva no Domínio do Tempo
Torque em relação à 
velocidade angular
Torque em relação ao 
deslocamento angular
Mola
Amortecedor
Inércia
FONTE: O Autor
30
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
A seguir, são apresentadas as variáveis utilizadas nas equações descritivas 
e suas respectivas unidades.
QUADRO 5 – VARIÁVEIS E UNIDADES DE SISTEMAS MECÂNICOS EM ROTAÇÃO
Variáveis Unidade (SI)
T(t)- torque N.m – Newton.metro
θ(t)- deslocamento angular rad - radianos
ω(t)-velocidade angular rad/s-radiano/segundo
K-constante de mola N/m – Newton.metro/radiano
D- coeficiente de atrito viscoso N.m.s/rad – Newton.metro.segundo/radiano
J- inércia Kg.m2- quilograma.metro2
FONTE: O Autor
7 SISTEMA ELÉTRICO
Agora, temos equações descritivas que você já conhece de disciplinas 
estudadas anteriormente, desde o início do curso. Os elementos físicos que 
caracterizam os circuitos elétricos são componentes passivos, como resistor, 
capacitor e indutor, e as leis físicas utilizadas são as Leis de Kirchhoff. Assim 
como os demais sistemas físicos, os componentes elétricos são divididos entre os 
que dissipam e os que armazenam energia. A seguir, apresentamos os elementos 
e as diversas equações descritivas. O resistor é um elemento físico dissipativo e os 
capacitores e indutores são elementos que armazenam energia. 
QUADRO 6 – ELEMENTOS FÍSICOS E SUAS EQUAÇÕES DESCRITIVAS DE SISTEMAS ELÉTRICOS
Elemento 
Físico ou 
Componente 
Equação Descritiva no Domínio do Tempo
Tensão em relação à 
corrente elétrica
Corrente em relação 
à tensão elétrica
Tensão em 
relação à carga
Capacitor
Resistor
Indutor
FONTE: O Autor
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
31
A seguir, são apresentadas as variáveis utilizadas nas equações descritivas 
e suas respectivas unidades.
QUADRO 7 – VARIÁVEIS E UNIDADES DE SISTEMAS ELÉTRICOS
Variáveis Unidade (SI)
v(t)-Tensão elétrica V- Volt
i(t)-Corrente elétrica A - Ampere
q(t)-Carga elétrica Q - Coulombs
C- Capacitância F - Farad
R- Resistência - Ohm
L- Indutância H - Henry
FONTE: O Autor
 
Considere o circuito RLC apresentado a seguir, cujo comportamento é 
regido pelas Leis de Kirchhoff. Dessa forma, a somatória das tensões na malha é 
igual a zero.
FIGURA 19 – CIRCUITO RLC
FONTE: Adaptado de Nise (2017)
Assumindo essa premissa, podemos representar o modelo do circuito 
pela equação diferencial a seguir.
Equação 4.4
Para determinarmos a função de transferência do sistema, relacionando 
a tensão de entrada v(t) e a tensão no capacitor vc(t), devemos considerar que e 
substituir na equação 4.4, resultando na equação 4.5 a seguir.
Equação 4.5
32
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
Considerando a equação que representa a relação tensão-carga para o 
capacitor, porém reescrevendo em função vc(t), temos:
) Equação 4.6
Então, substituindo a equação 4.6 em 4.5, temos:
Equação 4.7
Aplicando a transformada de Laplace na equação 4.7, obtemos o modelo 
no domínio da frequência.
Equação 4.8
Resultando na função de transferência do sistema, conforme a 
equação 4.9.
Equação 4.9
A função de transferência é representada a seguir, na forma de diagrama 
de blocos correspondente ao sistema do circuito RLC.
FIGURA 20 – DIAGRAMA DE BLOCOS - CIRCUITO RLC
FONTE: O Autor
8 SISTEMATÉRMICO
Os sistemas térmicos também são caracterizados por elementos físicos 
semelhantes aos demais sistemas apresentados nos itens anteriores. No caso, a 
resistência térmica que dissipa e a capacitância térmica que armazena energia. A 
seguir, são apresentados os elementos físicos e as equações descritivas em função 
da diferença de temperatura ∆T(t) e do fluxo térmico q(t).
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
33
QUADRO 8 – ELEMENTOS FÍSICOS E SUAS EQUAÇÕES DESCRITIVAS DE SISTEMAS TÉRMICOS
Elemento Físico ou 
Componente 
Equação Descritiva no Domínio do Tempo
Diferença de temperatura 
em relação ao fluxo térmico
Fluxo térmico em relação à 
diferença de temperatura
Resistência térmica
Capacitância térmica
FONTE: O Autor
A seguir, são apresentadas as variáveis utilizadas nas equações descritivas 
e suas respectivas unidades.
QUADRO 9 – VARIÁVEIS E UNIDADES DE SISTEMAS TÉRMICOS
Variáveis Unidade (SI)
∆T(t)- Diferença de temperatura °C - Celsius
q(t)- Fluxo térmico Kcal/s
Rt- Resistência térmica °C s/kcal
Ct- Capacitância térmica Kcal/°C
FONTE: O Autor
9 SISTEMA FLUÍDICO
Os principais componentes de sistemas fluídicos são a resistência fluida, 
que dissipa energia, e a capacitância fluida, que armazena energia. A seguir, além 
dos componentes, apresentamos as equações descritivas no domínio do tempo, 
caracterizadas pelas funções da vazão volumétrica e diferença de pressão.
QUADRO 10 – ELEMENTOS FÍSICOS E SUAS EQUAÇÕES DESCRITIVAS DE SISTEMAS FLUÍDICOS
Elemento Físico 
ou Componente 
Equação Descritiva no Domínio do Tempo
Vazão volumétrica em 
relação à diferença de 
pressão
Diferença de pressão em 
relação à vazão volumétrica
Resistência fluida
Capacitância fluida
FONTE: O Autor
34
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
A seguir, são apresentadas as variáveis utilizadas nas equações descritivas 
e suas respectivas unidades.
QUADRO 11 – VARIÁVEIS E UNIDADES DE SISTEMAS FLUÍDICOS
Variáveis Unidade (SI)
∆P(t)- Diferença de pressão Pa - Pascal
Q(t)- Vazão volumétrica m3/s
Rf- Resistência fluida
Cf- Capacitância fluida
FONTE: O Autor
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
35
A HISTÓRIA DOS SISTEMAS DE CONTROLE
Os sistemas de controle com realimentação são muito antigos. Diversos 
sistemas de controle biológicos foram formados nos primeiros habitantes do 
nosso planeta. Vamos agora contemplar uma breve história dos sistemas de 
controle projetados pelos seres humanos.
Controle de Nível de Líquido – os gregos começaram a engenharia de 
sistemas com realimentação por volta de 300 a.C. Um relógio de água, inventado 
por Ktesibios, funcionava através do gotejamento de água, a uma taxa constante, 
em um recipiente de medição. O nível de água no recipiente de medição podia 
ser usado para informar o tempo decorrido. Para que a água gotejasse a uma taxa 
constante, o nível do reservatório de alimentação teria de ser mantido constante. 
Isso foi conseguido usando-se uma válvula de boia semelhante à do controle de 
nível de água da caixa de descarga dos vasos sanitários atuais.
 
Logo depois de Ktesibios, a ideia do controle do nível de líquido foi 
aplicada a uma lâmpada a óleo por Philon de Bizâncio. A lâmpada consistia em 
dois reservatórios de óleo posicionados verticalmente. A bandeja inferior era 
aberta no topo e fornecia o combustível para a chama. A taça superior, fechada, 
era o reservatório de combustível para a bandeja inferior. Os reservatórios eram 
interconectados por dois tubos capilares e mais outro tubo, chamado transportador 
vertical, que era inserido dentro do óleo na bandeja inferior, imediatamente abaixo 
da superfície. À medida que o óleo queimava, a base do transportador vertical era 
exposta ao ar, o que forçava o óleo do reservatório superior a fluir através dos tubos 
capilares para a bandeja. A transferência de combustível do reservatório superior 
para a bandeja parava quando o nível anterior de óleo na bandeja era restabelecido, 
impedindo, assim, o ar de entrar no transportador vertical. Consequentemente, o 
sistema mantinha o nível de líquido no reservatório inferior constante.
 
Controles de Pressão do Vapor e de Temperatura – a regulação da pressão 
do vapor começou por volta de 1681, com a invenção da válvula de segurança 
por Denis Papin. O conceito foi aprimorado, aumentando o peso do topo da 
válvula. Se a pressão ascendente oriunda da caldeira excedesse o peso, o vapor 
era liberado, e a pressão diminuía. Caso ela não excedesse o peso, a válvula não 
abria e a pressão no interior da caldeira aumentava. Assim, o peso no topo da 
válvula determinava a pressão interna na caldeira.
Também no século XVII, Cornelis Drebbel, na Holanda, inventou um 
sistema de controle de temperatura puramente mecânico para a incubação de 
ovos. O dispositivo utilizava um frasco com álcool e mercúrio com uma boia em 
seu interior. A boia estava conectada a um registro que controlava uma chama. 
Uma parte do frasco era inserida na incubadora, para medir o calor gerado pela 
chama. À medida que o calor aumentava, o álcool e o mercúrio se expandiam, 
elevando a boia, fechando o registro e reduzindo a chama. Temperaturas mais 
baixas faziam com que a boia descesse, abrindo o registro e aumentando a chama.
LEITURA COMPLEMENTAR
36
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
Controle de Velocidade – em 1745, o controle de velocidade foi aplicado 
a um moinho de vento por Edmund Lee. Ventos mais fortes fletiam as pás mais 
para trás, de modo que uma área menor ficava disponível. À medida que o vento 
diminuía, uma área de pás maior ficava disponível. William Cubitt aperfeiçoou a 
ideia em 1809, dividindo as velas do moinho em abas móveis.
 
Também no século XVIII, James Watt inventou o regulador de velocidade de 
esferas para controlar a velocidade de motores a vapor. Nesse dispositivo, duas esferas 
giratórias se elevam à medida que a velocidade de rotação aumenta. Uma válvula de 
vapor conectada ao mecanismo das esferas fecha com o movimento ascendente das 
esferas e abre com o movimento descendente, regulando, assim, a velocidade.
 
Estabilidade, Estabilização e Direção – a teoria de sistemas de controle, 
como conhecida atualmente, começou a se sedimentar na segunda metade do 
século XIX. Em 1868, James Clerk Maxwell publicou o critério de estabilidade para 
um sistema de terceira ordem baseado nos coeficientes da equação diferencial. Em 
1874, Edward John Routh, utilizando uma sugestão de William Kingdon Clifford, 
que tinha sido ignorada anteriormente por Maxwell, foi capaz de estender 
o critério de estabilidade para os sistemas de quinta ordem. Em 1877, o tema 
para o prêmio Adams foi “O Critério da Estabilidade Dinâmica”. Em resposta, 
Routh submeteu um trabalho intitulado Um Tratado sobre a Estabilidade de um 
Determinado Estado de Movimento e conquistou o prêmio. Esse trabalho contém 
o que é conhecido atualmente como o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. 
Alexandr Michailovich Lyapunov também contribuiu para o desenvolvimento 
e a formulação das teorias e práticas atuais da estabilidade dos sistemas de 
controle. Aluno de P. L. Chebyshev, na Universidade de St. Petersburg, na Rússia, 
Lyapunov estendeu o trabalho de Routh para sistemas não lineares, em sua tese de 
doutorado em 1892, intitulada O Problema Geral da Estabilidade do Movimento.
 
Durante a segunda metade do século XIX, o desenvolvimento de sistemas 
de controle se concentrou na direção e na estabilização de navios. Em 1874, Henry 
Bessemer, utilizando um giroscópio para medir o movimento de um navio, e 
aplicando a potência gerada pelo sistema hidráulico, deslocava o salão do 
navio para mantê-lo nivelado (se isso fez alguma diferença para os passageiros 
é incerto). Outros esforços foram feitos para estabilizar plataformas de armas e 
navios inteiros, utilizando pêndulos como sensores de movimento.
Desenvolvimentos do Século XX – foi apenas no início do século XX que 
a condução automática de navios foi alcançada. Em 1922, a Sperry Gyroscope 
Company instalouum sistema automático de direção que utilizava elementos de 
compensação e controle adaptativo para melhorar o desempenho. Entretanto, 
boa parte da teoria geral utilizada atualmente é atribuída a Nicholas Minorsky, 
um russo nascido em 1885. Foi seu desenvolvimento teórico, aplicado à condução 
automática de navios, que levou ao que hoje chamamos de controladores 
proporcional, integral e derivado (PID), ou controladores de três modos.
TÓPICO 2 — MODELAGEM DE SISTEMAS
37
No fim da década de 1920 e início da década de 1930, H. W. Bode e H. 
Nyquist, da Bell Telephone Laboratories, desenvolveram a análise de amplificadores 
com realimentação. Essas contribuições evoluíram para as técnicas de análise e 
projeto.
 
Em 1948, Walter R. Evans, trabalhando na indústria aeronáutica, 
desenvolveu uma técnica gráfica para representar as raízes de uma equação 
característica de um sistema com realimentação, cujos parâmetros variavam sobre 
uma faixa específica de valores. Essa técnica e os trabalhos de Bode e Nyquist 
formam a base da teoria.
Aplicações Contemporâneas – atualmente, os sistemas de controle 
encontram um vasto campo de aplicação na orientação, navegação e controle de 
mísseis e veículos espaciais, como em aviões e navios. Por exemplo, os navios 
modernos utilizam uma combinação de componentes elétricos, mecânicos e 
hidráulicos para gerar comandos de leme em resposta a comandos de rumo 
desejado. Os comandos de leme, por sua vez, resultam em um ângulo do leme que 
orienta o navio. Encontramos sistemas de controle por toda a indústria de controle 
de processos, regulando o nível de líquidos em reservatórios, concentrações 
químicas em tanques, e a espessura do material fabricado. Por exemplo, considere 
um sistema de controle de espessura para uma laminadora de acabamento de 
chapas de aço. O aço entra na laminadora de acabamento e passa por rolos. Na 
laminadora de acabamento, raios medem a espessura real e a comparam com a 
espessura desejada. Qualquer diferença é ajustada por um controle de posição de 
um parafuso, este que altera a distância entre os rolos através dos quais passa a 
peça de aço. Essa alteração na distância entre os rolos regula a espessura. 
Os desenvolvimentos modernos têm presenciado uma utilização 
generalizada de computadores digitais como parte dos sistemas de controle. 
Por exemplo, computadores são utilizados em sistemas de controle de robôs 
industriais, veículos espaciais e na indústria de controle de processos. É difícil 
imaginar um sistema de controle moderno que não utilize um computador 
digital. Embora recentemente aposentado, o ônibus espacial fornece um 
excelente exemplo do uso de sistemas de controle, pois ele continha inúmeros 
sistemas de controle operados por um computador de bordo em regime de 
tempo compartilhado. Sem sistemas de controle, seria impossível orientar a 
nave para a órbita terrestre e da órbita terrestre, ou ajustar a órbita propriamente 
dita e manter o suporte à vida a bordo. Funções de navegação programadas nos 
computadores da nave utilizavam dados do hardware da nave para estimar a 
posição e a velocidade do veículo. A informação era passada para as equações de 
guiamento que calculavam os comandos para os sistemas de controle de voo da 
nave, os quais manobravam a espaçonave. 
No espaço, o sistema de controle de voo girava os motores do sistema 
de manobra orbital (OMS — orbital maneuvering system) para uma posição que 
fornecia um impulso na direção comandada para que fosse possível manobrar a 
nave. Na atmosfera terrestre, a nave era manobrada por comandos enviados do 
sistema de controle de voo às superfícies de controle, como os elevons. No grande 
38
UNIDADE 1 — CONCEITOS BÁSICOS DE MODELAGEM 
sistema de controle representado pela navegação, orientação e controle, existiam 
inúmeros subsistemas para controlar as funções do veículo. Por exemplo, os 
elevons requeriam um sistema de controle para assegurar que a posição era, 
de fato, aquela que foi comandada, uma vez que perturbações, como o vento, 
poderiam girar os elevons, afastando-os de sua posição comandada. 
De modo análogo, no espaço, o giro dos motores de manobra orbital 
requeria um sistema de controle similar, assegurando que o motor de giro pudesse 
realizar sua função com velocidade e exatidão. Sistemas de controle também eram 
utilizados para controlar e estabilizar o veículo durante sua descida. Diversos 
pequenos jatos que compunham o sistema de controle de reação (RCS — reaction 
control system) eram utilizados inicialmente na exosfera, onde as superfícies de 
controle eram ineficazes. 
O controle era passado para as superfícies de controle à medida que 
a órbita decaía e a nave entrava na atmosfera. No interior da nave, diversos 
sistemas de controle eram necessários para a geração de energia e para o suporte 
à vida. Por exemplo, o veículo orbital possuía três geradores de energia de célula 
de combustível que convertiam hidrogênio e oxigênio (reagentes) em eletricidade 
e água, estas que eram utilizadas pela tripulação. As células de combustível 
envolviam o uso de sistemas de controle para regular a temperatura e a pressão. 
Os reservatórios de reagentes eram mantidos à pressão constante, à medida 
que a quantidade dos reagentes diminuía. Sensores nos reservatórios enviavam 
sinais para os sistemas de controle para ligar ou desligar os aquecedores, mantendo 
constante a pressão dos reservatórios (ROCKWELL INTERNATIONAL, 1984). 
Os sistemas de controle não estão limitados à ciência e à indústria. Por exemplo, 
um sistema de aquecimento de uma residência é um sistema de controle simples, 
composto por um termostato que contém um material bimetálico que se expande 
ou se contrai com a variação da temperatura. Essa expansão ou contração move um 
frasco de mercúrio que atua como interruptor, ligando ou desligando o aquecedor. 
A quantidade de expansão ou contração necessária para mover o 
interruptor de mercúrio é determinada pela regulagem de temperatura. Sistemas 
de entretenimento domésticos também têm sistemas de controle embutidos. Por 
exemplo, em um sistema de gravação de disco óptico, cavidades microscópicas, 
representando as informações, são gravadas no disco por um laser durante o 
processo de gravação. Durante a reprodução, um feixe de laser refletido focado 
nas cavidades muda de intensidade. As mudanças de intensidade da luz são 
convertidas em um sinal elétrico e processadas como som ou imagem. Um 
sistema de controle mantém o feixe de laser posicionado nas cavidades, estas 
que são cortadas na forma de círculos concêntricos. Existem inúmeros outros 
exemplos de sistemas de controle, do cotidiano ao extraordinário. À medida que 
iniciam seus estudos sobre a engenharia de sistemas de controle, você fica mais 
consciente da grande variedade de aplicações. 
FONTE: NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 7. ed. RJ: LTC, 2017.
39
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• A modelagem matemática pode ser realizada utilizando princípios físicos e 
equações diferenciais ordinárias. 
• Em um sistema linear, admitindo que as condições iniciais sejam iguais a zero, a 
relação entre a transformada de Laplace da variável de saída e a transformada 
da variável de entrada é o que chamamos de função de transferência.
• A variável s é denominada de variável de Laplace, utilizada como operador 
diferencial, conforme a equação:
• A função de transferência representa a relação entre a variável de saída e a de 
entrada de um sistema linear. Logo, podemos escrever a função de transferência 
do diagrama a seguir conforme a equação:
• O modelo de um circuito elétrico RLC é dado pela equação diferencial:
• A representação no domínio da frequência e a respectiva função de transferência 
são:
• O modelo do circuito RLC representado por blocos:
40
1 Enumere os passos para a elaboração de um diagrama de blocos de um 
sistema.
2 Qual é a diferença entre um sistema em malha aberta e um sistema em 
malha fechada? Exemplifique