Aula 03 - Múltiplos Decrementos

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Matemática Atuarial II – Período 2011/02 
 
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Professora: Tayana Rigueira 
 
MÚLTIPLOS DECREMENTOS 
 
Em Matemática Atuarial I, trabalhou-se com problemas envolvendo somente a 
mortalidade, a saída dos indivíduos da tábua era a morte. Quando isso acontece 
dizemos que a tábua só tem uma causa de saída ou que a tábua está sujeita a um 
único decremento. Contudo, é possível estender a abordagem para uma teoria mais 
geral envolvendo várias causas de saídas que agem simultaneamente. 
Por exemplo, existem seguros no quais têm cobertura por invalidez e por falecimento. 
Outro exemplo é querer estudar a morte do indivíduo por tipo de doença que a causou, 
tratando cada causa da morte como um decremento (saída). 
Em fundos de pensão, também é possível avaliar morte, invalidez e aposentadoria 
operando como força decremental num empregado. O modelo matemático que estuda 
algo desta espécie é conhecido como tábua de serviços ou tábua de múltiplos 
decrementos. 
1- Funções Elementares 
Considere um conjunto fechado de pessoas, não admitindo novos entrados e nem o 
retorno ao grupo após a saída por qualquer causa. Além disso, as causas agem 
simultaneamente e independentemente. 
Por representação: 
• ��(�) – número de vivos na idade � sujeitos a � causas; 
• ��(	) – número de pessoas atingidas pela causa 
 entre as idades � e � + 1; 
• ��(�) – número total das pessoas que foram atingidas por qualquer das causas 
entre as idades � e � + 1. 
Segue as relações entre as funções 
��(�) = ��(�) + ��(�) + ��(�) +⋯+ ��(�) = ���(	)�	�� 
����(�) = ��(�) − ��(�) 
2- Probabilidades 
As probabilidades a serem consideradas no estudo de populações sujeitas a múltiplos 
decrementos são: 
• ��(	) – probabilidade de um indivíduo de idade � deixar o grupo devido a causa 
 
antes de atingir a idade � + 1 
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��(	) = ��(	)��(�) 
• ��(�) – probabilidade de um indivíduo de idade � deixar o grupo por qualquer 
causa antes de atingir a idade � + 1 
��(�) = ��(�)��(�) 
• ��(�) – probabilidade de um indivíduo de idade � atingir a idade � + 1 no grupo 
��(�) = 1 − ��(�) = ����(�)��(�) 
��(�) = ��� �− � ��(�)��
���
�
� 
Analogamente, 
• ��(�) – probabilidade de um indivíduo de idade � atingir a idade � + ! no grupo 
��(�) = ��� (�)��(�) 
• ��(�) – probabilidade de um indivíduo de idade � sair do grupo entre as idades � 
e � + ! 
��(�) = 1 − ��(�) = ��(�) − ��� (�)��(�) 
• ��(�) | – probabilidade de um indivíduo de idade � atingir a idade � + ! e sair do 
grupo antes de atingir a idade � + ! + 1 
��(�) | = ��� (�)��(�) 
Se os valores de ��(	) são conhecidos para todas as 
 causas, a tábua de múltiplos 
decrementos é facilmente construída: uma raiz (valor inicial do número dos vivos na 
tábua) é assumida e os valores de ��(	), ��(�) e ��(�)	são obtidos para cada idade pelas 
fórmulas descritas anteriormente. 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1: Considere a seguir a tábua de múltiplos decrementos, com duas causas, e 
calcule o que se pede 
� ��(�) ��(�) ��(�) 
24 901.020 299 92.762 
25 807.959 314 86.632 
26 721.013 324 80.365 
27 640.304 329 74.117 
28 565.858 329 67.909 
29 497.620 324 61.839 
a) ��$(�) 
b) ��%(�) 
c) ��&(�)� 
d) ��&(�)� 
3- Taxa Central de Decremento 
A taxa central de todos os decrementos para a idade � é definida como 
��(�) = ��(�)'�(�) 
onde '�(�) representa o valor médio da função ��(�). 
Essa função é análoga para a taxa central de morte �� da tábua de mortalidade 
aprendida em Matemática Atuarial I. 
A taxa central da causa 
 é 
��(	) = ��(	)'�(�) 
sendo equivalente dizer que 
��(�) = ��(�) +��(�) +��(�)…+��(�) = ���(	)�	�� 
Para avaliar ��(	) assume-se que o decremento total de cada idade é uniformemente 
distribuído para cada idade, isso equivale a 
���)(�) ≈ ��(�) − + ∗ ��(�)								0 < + < 1		(!/	0!/) 
 
 
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Como 
'�(�) = � ���)(�)
�
1
�+ ≈ �2��(�) − + ∗ ��(�)3�+
�
1
= ��(�) − 12 ∗ ��(�) 
Logo, 
��(�) = ��(�)��(�) − 12 ∗ ��(�) 
Dividindo por ��(�), temos 
��(�) = ��(�)1 − 12 ∗ ��(�) =
2 ∗ ��(�)2 − ��(�) 
4- Tábua com Decrementos Secundários 
No cálculo de valores de certos benefícios, o atuário precisa fazer algumas hipóteses 
sobre a subseqüente sobrevivência das vidas após elas terem saído por causas que não 
a morte. Um exemplo desse cálculo é o valor de uma renda de invalidez que é paga ao 
segurado após ocorrer o evento de invalidez. 
O modelo para esta situação é uma tábua de duplo decremento para a mortalidade e 
para invalidez. Nessa tábua, os indivíduos estão sujeitos a dois decrementos primários, 
morte e invalidez, e os inválidos estão sujeitos a duas saídas secundárias morte e 
reabilitação. 
A seguir, considere uma aplicação da tábua de múltiplos decrementos que é a usada 
nos planos de pensão, por exemplo. Será utilizada uma tábua de múltiplos decrementos 
com duas causas de saídas, onde essas saídas serão a morte e a invalidez. As funções 
dessa tábua têm notação própria precisando ser definida. 
� Notação 
Nas tábuas de múltiplos decrementos existe uma convenção que é a utilização de 
sobrescritos nas probabilidades, nas anuidades e nos números de mortos e vivos. 
Quando existem dois sobrescritos, a primeira letra indica o presente estado e a segunda 
representa o estado futuro. Quando existe uma única letra sobrescrita, o estado futuro 
não é especificado. 
��55 - número de ativos na idade �; 
��55 – número de ativos que morreram ativos entre as idades � e � + 1;	
6� – número de ativos que entraram em invalidez entre as idades � e � + 1; 
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��57 – número de ativos que entraram em invalidez entre as idades � e � + 1 e 
permaneceram vivos. 
As probabilidades da tábua de múltiplos decrementos podem ser divididas em 2 grupos: 
1- Probabilidades em que há permanência de status (condição em relação ao 
decremento da tábua)	
2- Probabilidade em que há alteração de status	
4.1- Tábuas de Múltiplos Decrementos associadas às duas saídas 
� Probabilidades que pertencem ao grupo 1 (sem alteração de status) 
��55 - probabilidade de um ativo de idade � permanecer ativo ao atingir a idade � + 1 
��55 – probabilidade de um ativo de idade � morrer ativo antes de atingir a idade � + 1 
Atenção: a soma das duas probabilidades não é igual a 1.	
��7 - probabilidade de um inválido de idade �	atingir a idade � + 1 inválido 
��7 - probabilidade de um inválido de idade � falecer como inválido antes de atingir a 
idade � + 1 
� Probabilidades que pertencem ao grupo 2 (com alteração de status) 
��57 - probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido e permanecer vivo ao 
atingir a idade � + 1 
��57 – probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido e falecer inválido antes de 
atingir a idade � + 1 
��5 - probabilidade de um ativo de idade � sobreviver a idade � + 1, como ativo ou 
inválido; 
��5 - probabilidade de um ativo de idade � morrer antes de atingir a idade � + 1, como 
ativo ou inválido. 
��5 + ��5 = 1 
� Relação entre as probabilidades 
8� - probabilidade de um ativo de idade � se invalidar (morrendo ou não) antes de atingir 
a idade � + 1 
8� = ��57 + ��57 
��5 = ��55 + ��57 ∴ ��55 = ��5 − ��57 
��5 = ��55 + ��57 ∴ ��55 = ��5 − ��57 
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Como 
1 = ��5 + ��5 = ��55 + ��57 + ��55 + ��57 = ��55 + ��55 + 8� 
��55 + ��55 = 1 − 8� 
� Determinação das probabilidades através das taxas pelo método de Hamza���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � se tornar inválido e morrer inválido 
antes de atingir a idade � + 1. 
Admita que a morte dos inválidos ocorre no meio do ano. 
��57 = 8� ∗ 12 ∗ ��7 
���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � se tornar inválido e sobreviver 
inválido antes da idade � + 1 
Como 
〈;〉					8� = ��57 + ��57 
〈=〉					��57 = 8� ∗ 12 ∗ ��7 
então de 〈;〉 e 〈=〉 
��57 = 8� − ��57 = 8� − 8� ∗ 12 ∗ ��7 ∴ ��57 = 8� ∗ >1 − 12 ∗ ��7 ? 
���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � falecer ativo antes da idade � + 1 
Como ��5 = ��55 + ��57 e usando a equação 〈=〉 
��55 = ��5 − 8� ∗ 12 ∗ ��7 
���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � sobreviver ativo a idade � + 1 
Como ��5 = ��55 + ��57 e por ser a tábua associada a dois decrementos 
〈@〉					1 = ��5 + ��5 ∴ ��5 = 1 − ��5 
e 
��57 = 8� ∗ >1 − 12 ∗ ��7 ?	
substituindo na equação 〈@〉 
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��5 = 1 − ��5 = ��55 + ��57 = ��55 + 8� ∗ >1 − 12 ∗ ��7 ? 
��55 = 1 − ��5 − 8� ∗ >1 − 12 ∗ ��7 ? 
Sendo assim, com as probabilidades ��5, 8� e ��7 , é possível definir todas as 
probabilidades vistas. 
Para a construção de uma tábua de serviço, ou seja, uma tábua que considere mais de 
um fator determinante de saída (decremento) em uma população de ativos utiliza-se, em 
geral, taxas obtidas em outras três tábuas básicas: Tábua de Mortalidade Geral, 
Tábua de Entrada em Invalidez e Tábua de Mortalidade de Inválidos. A 
combinação dessas três tábuas permite construir uma única tábua, influenciada não 
somente pelo decremento morte ou invalidez, mas pela ação conjunta dessas forças. 
4.2- Construção da Tábua 
Esta é uma tábua construída por uma população fechada que diminui não somente 
pela causa de morte, mas também pela causa de invalidez. 
A partir dos valores de ��55 e 8� calculados através das fórmulas apresentadas, constrói-
se a coluna dos ��55. O número dos ativos na idade � resulta: 
• Um valor arbitrário qualquer, geralmente uma potência positiva de 10 não 
inferior a 10$, é escolhido para o valor de ��55 inicial (raiz da tábua=�155) 
• Então para a idade x=1 
��55 = �155 ∗ (1 − �155 − 81) 
e generalizando 
��55 = ��A�55 ∗ (1 − ��A�55 − 8�A�) 
Na tábua de múltiplos decrementos discutida, cada vida é observada até ela sair do 
grupo devido a uma das causas. O modelo não inclui o subconjunto dos vivos que saem 
por causas diferentes da morte. No cálculo dos valores de alguns benefícios o atuário 
precisa fazer hipóteses a respeito do subconjunto dos vivos. Como exemplo o cálculo do 
benefício de invalidez. 
Um possível modelo para essa situação é uma tábua de duplo decremento para morte e 
invalidez com colunas adicionais mostrando os efeitos da mortalidade e o 
restabelecimento dos vivos que se invalidaram. 
Para podermos calcular as anuidades associadas às tábuas de múltiplos decrementos, 
necessitamos conhecer uma tábua ainda não abordada que é a tábua específica para 
inválidos 
Exemplo 2: Considere a seguir a tábua de múltiplos decrementos, e calcule as 
probabilidades ��55, ��57, ��55 e ��57 pelo método de Hamza. 
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� 8� �� ��7 
30 0,000581 0,001173 0,0565 
31 0,000598 0,001208 0,0558 
32 0,000642 0,001297 0,0550 
33 0,000692 0,001398 0,0543 
34 0,000749 0,001513 0,0536 
35 0,000813 0,001643 0,0529 
 
4.3- Associação entre as Tábuas de Múltiplos Decrementos e Único Decremento 
Nota-se que para cada causa encontrada na tábua de múltiplos decrementos, é possível 
definir uma tábua de único decremento. 
Na prática, como não tem uma tábua de múltiplos decrementos, constrói-se as 
probabilidades da tábua de múltiplo decremento a partir das tábuas de uma saída. As 
quantidades da tábua de decremento único são chamadas de taxa no modelo de 
múltiplo decremento. Usa-se a palavra taxa para distinguir a palavra probabilidade 
usada nas quantidades da tábua de múltiplos decrementos. 
A taxa de decremento refere a proporção dos participantes saídos de um status devido a 
uma causa, sob a hipótese que não existe outro decremento aplicável. Se tal taxa é 
usada no ambiente da tábua de único decremento (isto é, onde não existe outro 
decremento aplicável), a taxa é igual a probabilidade de saída. Por exemplo, 
aposentados estão expostos somente a mortalidade, e a taxa de mortalidade para uma 
dada idade é igual a probabilidade na idade. Entretanto, se a taxa de decremento é 
usada na tábua de múltiplo decremento, a taxa de mortalidade não é igual a 
probabilidade de decremento, por exemplo a mortalidade de um empregado, pois ele 
está exposto a morte, demissão, invalidez e aposentadoria. 
Nas seções seguintes serão examinadas as relações entre a tábua de múltiplos 
decrementos e suas tábuas de decremento único associadas. 
� Relações Básicas 
Primeiro, note que desde que 
��(�)) = ��� �−�B���C(�) + ���C(�) +⋯+ ���C(�)D�E
)
1
� 
tem-se que 
〈F〉				 ��(�)) =G �′�(I))�I�� 
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Compare as taxas absolutas e as probabilidades. Através da equação 〈F〉 nota-se que se 
alguma causa diferente de J está operando, então 
�′�(I)) ≥ ��(�)) 
Isto implica que 
�′�(I)) ∗ ���)(I) ≥ ��(�) ∗ ���)(I)) 
e se essas funções forem integradas em relação a + no intervalo (0,1), obtém-se 
�′�(I) = � �′�(I)) ∗ ���)(I) �+
�
1
≥ � ��(�) ∗ ���)(I)) �+ = ��(I)
�
1
 
A magnitude das outras forças de decrementos pode fazer com que �′) �(I) seja 
consideravelmente maior que �) �(�), e então podem haver diferenças entre as taxas 
absolutas e as probabilidades. 
� Suposição de Força Constante 
Agora serão examinadas suposições específicas a respeito da incidência dos 
decrementos. Primeiramente, será usada força de decremento constante para cada 
decremento durante o ano em certa idade. Isso implica em 
���)(I) = ��(I) 
���)(�) = ��(�)						0 ≤ + < 1 
Então, 
��(I) = � ��(�)) ∗ ��(I)�+
�
1
 
〈N〉 					 = ��(I)��(�)� ��(�)) ∗ ��(�)�+ =
��(I)��(�) ∗
�
1
��(�) 
Mas também, sob a suposição de força constante, 
��(�) = −�/O2��(�)3 
��(I) = −�/O P�′�(I)Q 
e da equação 〈N〉 
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〈R〉				��(I) = �/O P�′�(I)Q�/O2��(�)3 ∗ ��(�) 
Esta fórmula, juntamente com a equação 〈F〉 pode ser usada para calcular ��(I) a partir 
dos valores de �′�(I), J = 1,2, … ,�. 
A equação 〈R〉 pode ser resolvida a partir de �′�(I) resultando em 
〈S〉				�′�(I) = 1 − B1 − ��(�)	D
TU(V)	 TU(W)X
 
Este resultado é útil para obter taxas absolutas para um dado conjunto de 
probabilidades de decrementos. Note que nas equações 〈R〉 e 〈S〉 é necessária atenção 
especial se �′�(I) ou ��(�) for igual a zero. 
� Suposição de Força Uniforme 
A equação 〈S〉 detém uma suposição alternativa, de que cada decremento no contexto de 
múltiplos decrementos tem distribuição uniforme no ano para cada idade. Então, 
assume-se que 
��(I)) = + ∗ ��(I)					J = 1,2, … ,�; 	0 ≤ + ≤ 1 
e somando 
��(�)) = 1 − ��(�)) = + ∗ ��(�) 
Além disso, sob a suposição dada, é possível observar que 
��(�)) ∗ ���)(I) = ��(I) 
���)(I) = ��(I)��(�)) =
��(I)1 − +��(�) 
Assim, 
�′�(I) = 1 − ��� �−����)(I) �+
�
1
� 
= 1 − ��� �−� ��(I)1 − +��(�) �+
�
1
� 
= 1 − ��� Z��(I)��(�) �/O21 − ��(�)3[ 
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que é a equação 〈S〉 novamente. 
É possível notar que as equações 〈F〉 e 〈S〉 não podem ser usadas se �′�(I) ou ��(�) for igual 
a zero. Algum dispositivo alternativo será necessário. Um método, que lida com a 
indeterminação e fornece um ajuste especial, é baseadonas distribuições de 
decrementos de tábuas de único decremento associada. Primeiramente deve-se 
examinar a suposição de distribuição uniforme dos decrementos em cada uma das 
tábuas. Como exemplo, aqui a atenção será restrita a 3 decrementos, mas esse método 
pode ser estendido para � > 3. Sob essa suposição, 
�′�(I)) = 1 − +�′�(I)					J = 1,2,3; 				0 ≤ + ≤ 1 
�′�(I)) ∗ ���)(I) = ��+ P− �′�(I)) Q = �′�(I) 
Segue que 
��(�) = � ��(�)) ∗ ���)(�) �+
�
1
 
= � �′�(�)) ∗ ���)(�) ∗ �′�(�)) ∗ �′�(�)) �+
�
1
 
= �′�(�)�21 − +�′�(�)3 ∗ 21 − +�′�(�)3
�
1
�+ 
= �′�(�) ^1 − 12 B�′�(�) + �′�(�)D + 13 �′�(�)�′�(�)_ 
Fórmulas similares denotam ��(�) e ��(�), e é possível verificar que 
��(�) + ��(�) + ��(�) = �′�(�) + �′�(�)+�′�(�) − B�′�(�)�′�(�) + �′�(�)�′�(�) + �′�(�)�′�(�)D + �′�(�)�′�(�)�′�(�) 
= 1 − 21 − �′�(�)3 ∗ 21 − �′�(�)3 ∗ 21 − �′�(�)3 = ��(�)