PRP - Média, moda, variância, desvio e distribuição normal

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DISCIPLINA: 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
ASSUNTO: 
MÉDIA, MODA, VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO E DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
Questão 1: Suponha que a Marinha do Brasil adote em seus cursos 
o seguinte critério para emissão de Certificado de Conclusão de 
Curso com Distinção: "Receberão o Certificado de Distinção em 
Curso de Carreira os militares cuja nota individual final ultrapassar a 
média das notas da turma mais 0,9 vezes o desvio padrão da 
turma". Em um determinado curso, a turma foi formada por quatro 
Sargentos: João, Pedro, Henrique e Silva que, ao final do curso, 
tiraram respectivamente as notas 7,80; 8,15; 7,85 e 8,10. Com base 
nessas informações, quantos Sargentos receberam o Certificado 
com Distinção? 
 
a) Nenhum. 
b) Um. 
c) Dois. 
d) Três. 
e) Todos. 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
ASSUNTO: 
MÉDIA, MODA, VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO E DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
Questão 2: A Moda da distribuição representada pelo Polígono de 
Frequência é: 
 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
ASSUNTO: 
MÉDIA, MODA, VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO E DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
Questão 3: Uma variável aleatória contínua tem densidade de 
probabilidade dada por: 
 
 
 
 
 
 
- Quais os valores da média, variância e desvio padrão de , 
respectivamente: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
ASSUNTO: 
MÉDIA, MODA, VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO E DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
Questão 4: Suponha-se que a carga de ruptura de um tecido de 
algodão (em libras), , seja normalmente distribuída com 
 e . Além disso, admita-se que uma amostra desse 
tecido seja considerada defeituosa se . Qual a 
probabilidade de que um tecido escolhido ao acaso seja defeituoso? 
 
a) 0,501 
b) 0,499 
c) 0,341 
d) 0,159 
e) 0,001 
DISCIPLINA: 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
ASSUNTO: 
MÉDIA, MODA,VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO E DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
Questão 5: Em uma turma de 5 alunos, as notas de um teste de 
matemática são números inteiros tais que a média aritmética e uma 
das notas da turma são iguais a 5, e nenhum aluno errou todas as 
questões. Sabendo que esse conjunto de notas é unimodal, com 
moda igual a 8, então a diferença entre a maior nota e a menor nota 
é um número que é divisor de: 
 
a) 14 
b) 15 
c) 16 
d) 17 
e) 18 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
ASSUNTO: 
MÉDIA, MODA,VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO E DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Questão 6: Uma variável aleatória "X" tem 
 . O valor da variância e do desvio padrão são, 
respectivamente: 
a) 2 e 4
b) 4 e 2
c) 1 e 2
d) 2 e 1
e) 1 e
DISCIPLINA: 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
ASSUNTO: 
MÉDIA, MODA,VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO E DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
Questão 7: Durante o curso do CFO no CIAW (Centro de Instrução 
Almirante Wandenkolk), foi aplicado um exame da disciplina de 
Fundamentos Navais I. Após a correção do exame, foi constatado 
que a média da turma foi de 78 e o desvio padrão de 10. Sabendo 
que dois alunos do curso tiveram um "escore" padronizado de z = -
0,6 e z = 1,2 em suas notas, quais foram as notas reais que esses 
dois alunos tiveram na disciplina? 
 
a) 9 e 11 
b) 18 e 22 
c) 36 e 45 
d) 72 e 90 
e) 89 e 97 
DISCIPLINA: 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
ASSUNTO: 
MÉDIA, MODA, VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO E DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
Questão 8: Em dois de outubro de 2009, todo o povo brasileiro 
comemorou quando assistiu ao vivo, pela televisão, direto da cidade 
de Copenhague, na Dinamarca, o anúncio da eleição da cidade do 
Rio de Janeiro como sede das Olimpíadas de 2016. 
A tabela abaixo mostra o número de medalhas obtidas pelo Brasil 
nas Olimpíadas, desde Moscou, em 1980, até Rio, em 2016: 
 
 
 
- A próxima Olimpíada será a de Tóquio, no Japão, em 2020. 
Quantas medalhas de ouro o Brasil deverá obter nessa Olimpíada 
para ficar com a média de 3 medalhas de ouro no período de 1980 
a 2020 ? 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
DISCIPLINA: 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
ASSUNTO: 
MÉDIA, MODA, VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO E DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Questão 9: Em um determinado concurso público, a média das 
notas dos candidatos foi de 72 (num total de "0" a "100") e o desvio 
padrão 9. Aos primeiros 10%, atribui-se o resultado "aprovado". 
Qual a nota mínima necessária (aproximadamente), para que um 
candidato seja "aprovado" nesse concurso? 
a) 89 b) 84 c) 80 d) 78 e) 74
 
Questão 10: Os salários de 100 funcionários de uma determinada 
empresa estão representados na tabela abaixo: 
 
 
 
- Com relação às medidas de tendência central, mediana e moda, 
pode-se afirmar que: 
 
 
a) A moda é aproximadamente 1,5 vezes maior que a mediana. 
 
b) O valor da mediana é maior que o dobro do valor da moda. 
 
c) A diferença entre a mediana e a moda é igual a R$ 500,00. 
 
d) O valor da moda é superior a R$ 1500,00. 
 
e) Os valores da mediana e da moda são, respectivamente, R$ 1200 
e R$ 1700. 
 
 
 
Questão 11: Se uma variável aleatória "𝑋" é tal que 𝐸[(𝑋 − 1)2] = 10 
e 𝐸[(𝑋 − 2)2] = 6, qual das alternativas abaixo corresponde aos 
valores de 𝐸(𝑋) e 𝑉𝑎𝑟(𝑋), respectivamente? 
 
 
 
a) 7/2 e 15/4 
 
b) 3/2 e 39/4 
 
c) 5/2 e 51/4 
 
d) 11/2 e 33/4 
 
e) N.D.A 
 
 
Questão 12: Observe a função 𝑓(𝑥) abaixo: 
 
 
 
Considera-se que 𝑓(𝑥) = {
𝑘, 𝑠𝑒 3 ≤ 𝑥 ≤ 7
0, 𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
- Analise as afirmações abaixo e assinale a opção correta. 
 
I- O valor de "𝑘" para que 𝑓(𝑥) seja uma função de densidade de 
probabilidade de uma variável aleatória "𝑥", é 1/4 ; 
 
II- 𝐸(𝑥) = 4 ; 
 
III- 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 71/6 
 
 
a) Apenas as afirmativas I e II são falsas. 
 
b) Apenas as afirmativas II e III são falsas. 
 
c) Apenas a afirmativa II é falsa. 
 
d) Apenas as afirmativas I e III são falsas. 
 
e) Todas as afirmativas são falsas. 
 
 
Questão 13: A função de densidade de 𝑋 é dada por 𝑓(𝑥) = 
 
{
𝑎 + 𝑏𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0, 𝐶. 𝐶
 . Se 𝐸[𝑋] = 3/5 , determine os valores de "𝑎" e 
"𝑏", respectivamente, e assinale a opção correta. 
 
 
 
 
Questão 14: Observe a tabela abaixo: 
 
 
 
- Considere a tabela representada acima com uma variável aleatória 
"𝑉". Calculo o valor de 𝐸(𝑉2) e 𝑉𝑎𝑟(𝑉) e assinale a opção correta. 
 
 
 
DISCIPLINA: 
 
PROBABILIDADE 
 
ASSUNTO: 
 
Média, moda, variância, desvio padrão, distribuição normal e Variáveis 
aleatórias discretas e contínuas 
 
Remind: Média, Moda, Variância e Desvio Padrão 
 
Questão 15: Um novo tipo de ração foi desenvolvido e alguns dados 
foram coletados. Os dados abaixo representam o ganho, em kg, para 
essa nova ração, aplicada durante um mês em 20 animais. 
 
2,94 3,38 2,49 3,52 2,97 2,09 2,91 1,74 4,27 5,17 
2,27 1,79 3,16 2,47 5,99 2,55 3,29 2,61 1,99 2,76 
 
Qual é o valor do terceiro quartil dessas amostras? 
 
a) 2,370 
b) 3,335 
c) 2,835 
d) 3,018 
e) 4,270 
Resolução da questão 15 (Média, moda, variância, desvio padrão, 
distribuição normal e Variáveis aleatórias discretas e contínuas) 
 
Resposta: letra B 
 
Os quartis são definidos como a média dos valores a cada ¼ do total de 
amostras. Em específico, o terceiro quartil é relacionado à faixa de 75% dos 
dados totais, sendo determinado como: 
 
𝑄3 =
𝑋
(
3
4
𝑛)
+ 𝑋
(
3
4
𝑛+1)
2
=
𝑋(15) + 𝑋(16)
2
 
 
Deve-se observar ainda que o quartil é calculado considerando que as 
amostras sejam organizadas em ordem crescente. Organizando em ordem 
crescente os termos dados, obtemos 
 
𝑋(15) = 3,29 𝑒 𝑋(16) = 3,38 
 
Assim: 
𝑄3 =
3,29 + 3,38
2
= 3,335 
 
 
 
DISCIPLINA: 
 
PROBABILIDADE 
 
ASSUNTO: 
 
Média, moda, variância, desvio padrão, distribuiçãonormal e Variáveis 
aleatórias discretas e contínuas 
 
Remind: Média, Moda, Variância e Desvio Padrão 
 
Questão 16: Observe a tabela abaixo: 
 
 
 
 
O valor ausente da variância é, aproximadamente: 
 
a) 86,6 
b) 72,7 
c) 11,079 
d) 8,28 
e) 68,62 
Resolução da questão 16 (Média, moda, variância, desvio padrão, 
distribuição normal e Variáveis aleatórias discretas e contínuas) 
 
Resposta: letra E 
 
O terceiro parâmetro da tabela é o coeficiente de variação e é quantificado 
sobre o desvio padrão e a média, sendo dado por: 
 
𝐶𝑉(%) = 100.
𝑆
𝜇
 
 
A partir da tabela, podemos calcular o desvio padrão como: 
 
𝑆 = 𝜇.
𝐶𝑉(%)
100
= 95,8 ∗
8,647
100
= 8,28 
 
A partir do desvio padrão, podemos determinar a variância como: 
 
𝑆2 = (8,28)2 = 68,6 
DISCIPLINA: 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
ASSUNTO: 
 
Média, moda, variância, desvio padrão, distribuição normal e Variáveis 
aleatórias discretas e contínuas 
 
Questão 17: Através de uma amostra de 50 páginas de um livro, 
obteve-se uma tabela com o número de erros por página, conforme 
mostrado abaixo. Se o livro tem 500 páginas, qual o número total de 
erros esperado no livro? 
 
a) 330 
b) 400 
c) 270 
d) 500 
e) 150 
Resolução da questão 17 (Média, moda, variância, desvio padrão, 
distribuição normal e Variáveis aleatórias discretas e contínuas) 
 
Resposta: letra A 
 
Para saber a quantidade de erros em um total de 500 páginas, é 
interessante observar a quantidade de erros por página. 
 
Sendo �̅� o número médio de erros por página, teremos: 
 
�̅� =
0 ∗ 25 + 1 ∗ 20 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 1 + 4 ∗ 1
50
=
33
50
 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑠/𝑝𝑎𝑔 
 
Em um total de 500 páginas, teremos: 
 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
33
50
∗ 500 = 330 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑠 
DISCIPLINA: 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
ASSUNTO: 
 
Média, moda, variância, desvio padrão, distribuição normal e Variáveis 
aleatórias discretas e contínuas 
 
Questão 18: As taxas de juros recebidas por 10 ações durante um 
certo período foram (medidas em porcentagem) 
 
2,59 2,64 2,60 2,62 2,57 2,55 2,61 2,50 2,63 2,64 
 
Calcule a média e mediana desse conjunto. 
 
a) 2,305 e 2,515 
b) 2,605 e 2,595 
c) 2,405 e 2,025 
d) 2,595 e 2,605 
e) 2,595 e 2,560 
Resolução da questão 18 (Média, moda, variância, desvio padrão, 
distribuição normal e Variáveis aleatórias discretas e contínuas) 
 
Resposta: letra D 
 
A média pode ser calculada diretamente através da fórmula 
 
�̅� =
∑𝑥𝑖
𝑁
= 
 
�̅� =
2,59 + 2,64 + 2,60 + 2,62 + 2,57 + 2,55 + 2,61 + 2,50 + 2,63 + 2,64
10
= 
 
�̅� = 2,595 
 
Para o cálculo da mediana, os dados precisam ser organizados em ordem 
crescente. Assim, serão reescritos como 
 
2,50 2,55 2,57 2,59 2,60 2,61 2,62 2,63 2,64 2,64 
 
Como o número de amostras é par, a mediana pode ser calculada como 
 
𝑚𝑑 =
𝑥𝑛
2
+ 𝑥𝑛
2
+1
2
=
𝑥5 + 𝑥6
2
=
2,6 + 2,61
2
= 2,605 
 
𝑚𝑑 = 2,605 
DISCIPLINA: 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
ASSUNTO: 
 
Média, moda, variância, desvio padrão, distribuição normal e Variáveis 
aleatórias discretas e contínuas 
 
Questão 19: Na tabela abaixo, estão indicados os preços do rodízio 
de pizzas de um restaurante. 
 
 
 
Considere um cliente que foi a esse restaurante todos os dias de uma 
mesma semana, pagando um rodízio em cada dia. Determine o valor 
médio que esse cliente pagou, em reais, pelo rodízio nessa semana. 
 
a) 20,00 
b) 12,00 
c) 15,00 
d) 7,00 
e) 5,00 
Resolução da questão 19 (Média, moda, variância, desvio padrão, 
distribuição normal e Variáveis aleatórias discretas e contínuas) 
 
Resposta: letra A 
 
A média pode ser calculada diretamente através da fórmula 
 
�̅� =
∑𝑥𝑖
𝑁
= 
 
�̅� =
4 ∗ 18,50 + 3 ∗ 22
7
 
 
�̅� = 20,00 
DISCIPLINA: 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
ASSUNTO: 
 
Média, moda, variância, desvio padrão, distribuição normal e Variáveis 
aleatórias discretas e contínuas 
 
Questão 20: Considere o conjunto de dados abaixo: 
 
 
 
Determine o coeficiente de variação (CV) para a variável Y. 
 
a) 0,26 
b) 0,53 
c) 0,77 
d) 0,15 
e) 0,39 
Resolução da questão 20 (Média, moda, variância, desvio padrão, 
distribuição normal e Variáveis aleatórias discretas e contínuas) 
 
Resposta: letra B 
 
O coeficiente de variação é determinado por 
 
𝐶𝑉 =
𝑠𝑦
𝜇𝑦
 
 
Onde temos o desvio padrão 𝑠𝑦 e a média. Para a média do conjunto: 
 
𝜇𝑦 =
2 + 4 + 6 + 8 + 10
5
= 6 
 
Para o cálculo do desvio padrão, pode-se determinar a variância do 
conjunto dado: 
𝑠𝑦
2 =
(2 − 6)2 + (4 − 6)2 + 0 + (8 − 6)2 + (10 − 6)2
4
= 10 
 
O desvio padrão será então: 
𝑠𝑦 = √10 = 3,16 
 
Em suma, o coeficiente será dado por 
 
𝐶𝑉 =
3,16
6
= 𝟎, 𝟓𝟑 
DISCIPLINA: 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
ASSUNTO: 
 
Média, moda, variância, desvio padrão, distribuição normal e Variáveis 
aleatórias discretas e contínuas 
 
Questão 21: Seja 𝑣 a velocidade, medida em m/s, de um objeto de 
massa 𝑚 = 5 𝑘𝑔 em movimento retilíneo. Suponha que 𝑣 é uma v.a. 
contínua com densidade 
𝑓(𝑣) = {
1
5
−
|𝑣|
25
, 𝑠𝑒 − 5 < 𝑣 < 5
0, 𝑐. 𝑐.
 
 
Calcule o valor esperado da energia cinética. 
 
a) 20,32 J 
b) 15,44 J 
c) 7,35 J 
d) 10,42 J 
e) 13,55 J 
Resolução da questão 21 (Média, moda, variância, desvio padrão, 
distribuição normal e Variáveis aleatórias discretas e contínuas) 
 
Resposta: letra D 
 
A energia cinética é descrita por 
 
𝑊 =
1
2
𝑚𝑣2 
 
O valor esperado será dado por: 
 
𝐸(𝑊) = 𝐸 (
1
2
𝑚𝑣2) =
1
2
𝑚𝐸(𝑣2) 
 
Usando a definição de esperança: 
 
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
 
 
𝐸(𝑊) =
5
2
∫ 𝑣2 (
1
5
−
|𝑣|
25
) 𝑑𝑣
∞
−∞
=
5
2
[∫
𝑣2
5
𝑑𝑣
5
−5
+ ∫
𝑣3
25
𝑑𝑣
0
−5
− ∫
𝑣3
25
𝑑𝑣
5
0
] = 
 
=
5
2
[16,667 − 6,25 − 6,25] = 𝟏𝟎, 𝟒𝟐 𝑱 
DISCIPLINA: 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
ASSUNTO: 
 
Média, moda, variância, desvio padrão, distribuição normal e Variáveis 
aleatórias discretas e contínuas 
 
Questão 22: Em uma companhia telefônica, as conexões são 
exponencialmente distribuídas com média de 30 conexões por hora. 
Qual é a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 
minutos, a partir do instante em que as conexões são iniciadas? 
 
a) 0,034 
b) 0,082 
c) 0,3758 
d) 0,1358 
e) 0,0497 
Resolução da questão 22 (Média, moda, variância, desvio padrão, 
distribuição normal e Variáveis aleatórias discretas e contínuas) 
 
Resposta: letra E 
 
Considerando que a média de conexões é dada por 𝜆 = 30 conexões/hora, 
a distribuição do tempo em que existe conexão é dada por: 
 
𝑓(𝑡) = 𝜆𝑒−𝜆𝑥 = 30𝑒−30𝑡 
 
Sendo t a variável aleatória tempo, em horas de conexão. Como o 
exercício pede a probabilidade de não haver conexão em 6 minutos, 
queremos saber a probabilidade de a conexão iniciar a partir de 6 minutos. 
Convertendo para horas: 
𝑥 = 6 𝑚𝑖𝑛 ∗
1ℎ
60 𝑚𝑖𝑛
= 0,1 ℎ 
Queremos 
 
𝑃(𝑥 > 0,1ℎ) = ∫ 30𝑒−30𝑡𝑑𝑡
∞
0,1
= [−𝑒−30𝑡]0,1
∞ = [0 + 𝑒−30∗0,1] = 𝑒−3 
 
𝑃(𝑥 > 0,1ℎ) = (
1
2,72
)
3
= 𝟎, 𝟎𝟒𝟗𝟔𝟗