Análise Matemática 1

Prévia do material em texto

GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:670406)
Peso da Avaliação
1,50
Prova
33372025
Qtd. de Questões
10
Acertos/Erros
9/1
Nota
9,00
Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Contudo, na analise matemática, podem ser provadas várias propriedades da
adição dos números naturais. Estas provas podem ser feitas por indução, e não são tão simples quanto o usual ato de somar números. Sobre as
propriedades da adição dos números naturais, analise as opções a seguir: 
 
I- Comutatividade. 
II- Associatividade. 
III- Elemento inverso. 
IV- Lei do corte. 
 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças III e IV estão corretas.
B As sentenças I, II e IV estão corretas.
C As sentenças I e III estão corretas.
D As sentenças II e III estão corretas.
O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de conjunto dos números naturais, o primeiro conjunto
numérico que aparece na história de qualquer civilização ou em qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos
números naturais: 
 
I- Um dos axiomas de Peano é justamente o princípio da indução, já visto por nós como método de demonstração. 
II- A adição de números naturais e a multiplicação de números naturais podem ser definidas a partir do conceito de número inteiro. 
III- O Princípio da Boa Ordenação nos garante que qualquer subconjunto não vazio dos números naturais possui um elemento mínimo. 
IV- O mesmo Princípio da Boa Ordenação tem como consequência imediata o Primeiro Princípio da Indução, que é uma boa ferramenta matemática a ser
utilizada em demonstrações. 
 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e III estão corretas.
B As sentenças II e III estão corretas.
C As sentenças I e IV estão corretas.
D As sentenças I, II e IV estão corretas.
Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da matemática são os métodos da indução, a demonstração
direta e a redução ao absurdo. Baseado nestes casos, assinale a alternativa CORRETA que pode ser provada pelo método da demonstração por absurdo:
A Teorema de Tales.
B Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
C Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
D Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
 VOLTAR
A+ Alterar modo de visualização
1
2
3
Jennifer de Moraes Bernardi
Matemática (1233893) 
15
No dia a dia nos deparamos com situações diversas, onde temos que contar, enumerar objetos, etc. No cotidiano você dispõe de um ambiente e
objetos inseridos nele, na matemática temos conjuntos e elementos pertencentes a este conjunto. Desta forma, podemos definir um conjunto enumerável
se:
A Ser o conjunto de partida de uma função linear.
B Se ele for obrigatoriamente apenas finito.
C Existir uma função bijetora entre ele e o conjunto dos números naturais.
D Ser um subconjunto dos números reais.
Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e intuitiva, porém a pratica pode ser muito
complicada. Para demonstrar alguma proposição por absurdo você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da
negação implica que a negação é falsa, que de acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. Baseado nesta técnica,
analise as sentenças a seguir que podem ser provadas por redução ao absurdo: 
 
I- Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0. 
II- Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável. 
III- Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n². 
IV- Provar que raiz de 3 é irracional. 
 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças II e III estão corretas.
B As sentenças I e IV estão corretas.
C As sentenças I, II e IV estão corretas.
D As sentenças I e II estão corretas.
O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por outro lado, é importante
também conhecer seu significado e sua posição dentro do campo da Matemática, pois entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que
entender os números naturais. Sendo assim, analise as sentenças a seguir a respeito dos procedimentos do método indutivo: 
 
I) Verificar se P(1) é verdadeira. 
II) Negar P(n). 
III) Supor válida P(n). 
IV) Concluir P(n+1) válida. 
 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças II, III e IV estão corretas.
B As sentenças I, II e III estão corretas.
C As sentenças II e IV estão corretas.
D As sentenças I, III e IV estão corretas.
O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por isso, deve-se adquirir prática
em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro da Matemática. Em outras palavras, entender o
Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais. O conjunto dos números naturais é fundamentado pelos axiomas de
Peano. Sendo assim, sobre os itens que contém axiomas de Peano, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 não é sucessor de ninguém. 
( ) Um número natural possui apenas um sucessor. 
( ) Se um subconjunto X pertence a N é tal que 1 pertence a N e o seu sucessor pertence a X, então X = N. 
( ) A função que associa dois números naturais é bijetiva. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
4
5
6
7
Jennifer de Moraes Bernardi
Matemática (1233893) 
15
B V - V - F - F.
C F - F - V - F.
D V - V - V - F.
A multiplicação de números naturais é uma operação fundamental, mas que em Análise Matemática exige uma visão mais ampla para permitir
realizar-se vários dos procedimentos de cálculo que utilizamos sem perceber. Por exemplo, em uma equação 2m = 2n, podemos cancelar os valores
iguais em ambos os membros da igualdade. Isso se deve ao fato de existir a Lei do corte, uma propriedade importante desta operação. Sobre as
propriedades válidas para a multiplicação de números naturais, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Associatividade. 
( ) Comutatividade. 
( ) Distributividade. 
( ) Elemento Neutro. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - V - V.
B F - F - V - F.
C F - F - F - V.
D V - V - V - F.
Ao realizar-se uma prova matemática, é necessário ter muito claro o fato de qual modalidade de demonstração que será utilizada. Para tanto um
conhecimento teórico de qual sistemática que cada método possui é fundamental. Baseado nisto, acerca da demonstração direta, assinale a alternativa
CORRETA:
A Nega-se o que deve ser provado.
B A partir das hipóteses contidas na afirmação a ser provada, utilizam-se argumentos lógicos válidos para se chegar à tese.
C É aplicado quando o resultado a ser provado envolve indexação por números naturais (índices naturais).
D Contradiz-se uma das hipóteses contidas na afirmação.
Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da analise matemática, é necessário construir os raciocínios ligados aos métodos
de transformação. A parte mais importante e mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo
teorema, propriedade ou proposição. 
 
Baseado nisto, para mostrar que a soma 1 + 3 + 5 + ... + 2n -1 = n² para todo n natural, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por:
A Indução.
B Absurdo.
C Prova Direta.
D Contradição.
8
9
10
Jennifer de Moraes Bernardi
Matemática (1233893) 
15