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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÕES João Célio Brandão, Abraham Alcaim e Raimundo Sampaio Neto SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS Centro de Estudos em Telecomunicações da PUC-Rio Rio de Janeiro – Março de 2010 CAPÍTULO 2 2.1 Analise cada uma das funções da Fig. E2.1e verifique se podem ser transformadas de Fourier de uma função real. Fig. E2.1 Solução Apenas a função da Fig. E2.1 (c) pode ser transformada de Fourier de uma função real pois não viola a condição G(f) = G*(-f) 2.2 Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções: (a) 5 | | 4( ) 0 t g t fora ≤ = ; (b) 5 0 4( ) 0 t g t fora ≤ ≤ = (c) 2 1( ) 1 g t t = + (d) 2 22 1( ) 2 t g t e σ piσ − = Utilize a tabela e as seguintes propriedades da transformada de Fourier (a) linearidade e mudança de escala (b) linearidade, mudança de escala e deslocamento no tempo (c) dualidade e mudança de escala (d) linearidade e mudança de escala (e) diferenciação e dualidade (f) linearidade e deslocamento (g) linearidade 1 0 1 t (e) 2 3 0 2 4 t (f) -1 -1 2 -2 0 2 t (g) 0 f -f0 0 f0 f -f0 0 f0 f (a) (b) (c) Solução (a) ( )8( ) 5 rect 40 sinc(8 )tg t f= × ↔ × (b) ( )24( ) 5 rect 20 sinc(4 )exp( 4 )tg t f j fpi−= × ↔ × − (c) 2 222 1 1 2 1( ) 2 1 2 2 1 2 2 f fg t e e t t pi pipi pi pi pi − − = = ↔ = + + (d) ( ) ( ) 2 2 2 22122 2 2 221 1( ) 2 2 t t f fg t e e e eσ pi pi piσ σ pipiσ piσ piσ − − − − = = ↔ = (e) ( )t2( ) rect 2 sinc(2 ) 2 ( )dg t f fG fdt pi= ↔ × = sinc(2 )( ) fG f fpi= (f) ( ) ( ) 4 2 42 t-24 2( ) 2 rect tri 8 sinc(4 ) 2sinc (2 )j f j ftg t f e f epi pi− −−= × + ↔ × + (g) ( ) ( ) 2t4 2( ) 2 rect 2 tri 8 sinc(4 ) 4 sinc (2 )tg t f f= × − × ↔ × − × 2.3 Considere do sinal da Fig. E2.3 cuja transformada de Fourier foi calculada no Exemplo 2.6. Obtenha essa mesma transformada usando (a) a propriedade 9 (diferenciação) e (b) a propriedade 10 (integração) Fig. E2.3 Solução [ ]2 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 cos(2 ) 1j fT j fTdg t A t T A t A t T Ae A Ae A Tf dt pi piδ δ δ pi−= + − + − ↔ − + = − [ ] [ ]2 cos(2 ) 1 1 cos(2 )( ) 2 A Tf jA Tf G f j f f pi pi pi pi − − = = ( ) 2 2 ( )( ) tri sinc ( ) 2 t t T G fg d AT AT Tf j fτ τ pi−∞ = × ↔ × =∫ ; note que ( ) 0g dτ τ ∞ −∞ =∫ A -T 0 T t -A 2 2 2 2 2 sen ( ) sen ( )( ) 2 sinc ( ) 2 2( ) AT Tf TfG f j f AT Tf j f j A Tf f pi pi pi pi pi pi × = × × = = Notando que [ ]2 1sen 1 cos(2 ) 2 θ θ= − verificamos que as duas soluções são iguais. Verificamos também que ( ) 2sen ( )2 2 sinc sen( )Tfj A j AT Tf Tff pi pi pi = confirmando o resultado em (2.46) 2.4 Utilize a propriedade 8 para calcular a integral do item (a) e o teorema de Parseval dado por (2.69) para calcular a integral do item (b). (a) sinc( )Tf df ∞ −∞ ∫ ; (b) 2sinc ( )Tf df ∞ −∞ ∫ Solução (a) Lembrando que 1 sinc( ) rect tTf T T ↔ pela propriedade (8) 1 1 sinc( ) rect(0)Tf df T T ∞ −∞ = =∫ (b) Pelo Teorema de Parseval, 2 2 2 21 1 1sinc ( ) rect tTf df dt T T T T T ∞ ∞ −∞ −∞ = = = ∫ ∫ 2.5 Usando as propriedades da função impulso calcule: (a) ( )2 3( 3) 2 tt e eδ − −− ∗ ; (b) ∫∞ ∞− − − + + dtte t t t )1( 1 12 )1(3 δ Solução (a) ( )2 3 2( 3) 3 2 3( 3) 2 2 2t t tt e e e e eδ − − − − − − −− ∗ = = (b) 3( 1) 3(1 1)2 1 2 1 1 3( 1) 1 1 1 2 tt e t dt e t δ ∞ − − −∞ + × + − = = + +∫ 2.6 Usando as propriedades da convolução e do deslocamento na frequência, calcule (a) ( ) 8sinc(3 ) sinc 4 j tt t e pi ∗ ; (b) ( ) 4sinc(4 ) sinc 4 j tt t e pi ∗ Solução (a) ( ) 8 1 1 - 4sinc(3 ) sinc 4 rect rect 3 3 4 4 j t f ft t e pi ∗ ↔ × Podemos verificar que o produto das duas funções rect ( ) é nulo pois o primeiro se anula para f/3 > 0,5, isto é, f>1,5 e o segundo se anula para (f-4)/4<0,5, isto é, f<2. Como a transformada é nula, a convolução será nula. (b) ( ) 4 1 1 - 2sinc(4 ) sinc 4 rect rect 4 4 4 4 j t f ft t e pi ∗ ↔ × Verificamos como o auxílio da figura que o produto das funções rect ( ) neste caso será 1 1 - 2 1 -1 rect rect rect 4 4 4 4 16 2 f f f × = Fazendo a transformada inversa obtemos ( ) 2 4 21sinc(4 ) sinc 4 sinc(2 ) 8 j t j tt t e t epi pi ∗ = 2.7 Usando a propriedade da modulação calcule a transformada de Fourier das funções abaixo e esboce o seu espectro de amplitude para f0 >> 1 (a) 0( ) cos(2 ) ( )tg t e f t u tpi−= -2 0 2 f 0 4 f 0 2 f 1/4 1/4 1/16 (b) 0( ) cos(2 )tg t e f tpi−= (c) 0( ) sen(2 )tg t e f tpi−= Solução (a) 0( ) cos(2 ) ( )tg t e f t u tpi−= Como 1( ) 1 2 te u t j fpi − ↔ + pela propriedade da modulação, 0 0 1 1 1( ) 2 1 2 ( ) 1 2 ( )G f j f f j f fpi pi = + + − + + Tomando o módulo da expressão chegamos a 2 2 2 2 0 0 1 1 1( ) 2 1 4 ( ) 1 4 ( ) G f f f f fpi pi = + + − + + (b) 0( ) cos(2 )tg t e f tpi−= Como | | 2 2 1 (2 ) te fpi − ↔ + pela propriedade da modulação, 2 2 0 0 1 2 2( ) 2 1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f f f f fpi pi = + + − + + Tomando o módulo chegamos a 2 2 0 0 1 1( ) 1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f f f f fpi pi= ++ − + + (c) 0( ) sen(2 )tg t e f tpi−= Neste caso, 2 2 0 0 1 2 2( ) 2 1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f j f f f fpi pi = − + − + + e 2 2 0 0 1 1( ) 1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f f f f fpi pi= −+ − + + Nos 3 casos, considerando f0 >> 1, o espectro de amplitude terá forma semelhante à da figura 2.8 Utilize o resultado do exemplo 2.8 e as propriedades da integral de convolução para calcular a convolução entre as funções da Fig. E2.8. Fig. E2.8 Solução Sabemos de (2.65) que ( ) ( ) ( )TtTtTt triTrectrect ⋅=∗ No caso, temos ( ) ( )1 22 25 5t trect rect− −× ∗ × Aplicando (2.63) duas vezes, considerando um atraso igual a 1 na primeira função e igual a 2 na segunda, podemos escrever ( ) ( )1 22 2 35 5 25 2 tri 2t t t rect rect− − − × ∗ × = × × cujo gráfico está representado na figura. 2.9 Calcule g1(t)*g2(t), representadas na Fig. E2.9, para t = 6. 0 1 2 t 5 0 1 2 3 t 5 1 3 5 t 50 |G(f)| -f0 0 f0 f Fig. E2.9 Solução Para t = 6, mostra-se na figura que segue a posição relativa das 2 funções do integrando de 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t g t g dα α α ∞ −∞ ∗ = −∫ Por inspeção, podemos calcular a área do triângulo e a área do impulso, levando em conta os valores de g1( ) que multiplicam estas funções, e obtemos o valor 8. 2.10 Utilizando a tabela de transformadas, a propriedade 13 – expressão (2.69), e outras propriedades, determine o valor das integrais (a) 2 1 cos(2 ) 1 c f t dt t pi ∞ −∞ +∫ ; (b) 1 sinc( ) j BtBt e dt t pi pi ∞ −∞ ∫ Solução (a) Usando a tabela de transformadas e aplicando as propriedades da dualidade e da mudança de escala,temos |2 | 2 1 1 fe t pipi −↔ + Aplicando (2.69) temos [ ] |2 ||2 |21 1cos(2 ) ( ) ( )1 2 c ff c c cf t dt e f f f f dt et pipipi pi δ δ pi ∞ ∞ −− −∞ −∞ = − + + = +∫ ∫ (b) Usando a tabela de transformadas e aplicando as propriedades da dualidade temos g1(t) 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t g2(t) 3 0 1 2 3 4 5 t (2) g1(6-α) 2 0 1 2 3 4 5 6 7 α 3 (2) g2(α) 1 2 sgn(- )j f tpi ↔ × . 21sinc( ) rect B j Bt fBt e B B pi − ↔ Aplicando (2.69) temos 21 1sinc( )e [2j sgn( )] rect B j fB fBt dt f dt t B B pi pi ∞ ∞ ∗ −∞ −∞ − = × − ∫ ∫ As duas funções do integrando e seu produto estão representadas na figura abaixo. Podemos então concluir que a integral será igual a 2j. 2.11 Para cada um dos três pulsos definidos na Fig. E2.11, (a) determine sua amplitude para que eles tenham energia unitária; (b) determine a expressão da densidade espectral de energia definida em (2.125). Fig. E2.11 Solução 2 2 2 1 2 32 1TA T A A T= = = Logo, 1 3 1A A T = = 2 2A T = -T/2 0 T/2 t A1 -T/4 T/4 t - T/2 0 T/2 t g1(t) g2(t) g3(t) A3 A2 0 B f 1/B 2j 2j/B 0 B f 1 1 1( ) ( ) sinc( )tg t rect G f T Tf TT = ⇔ = 2 2 2 2( ) ( ) sinc 2 2 t T Tg t rect G f f T T = ⇔ = 4 4 3 2 2 1 1( ) T T T T t t g t rect rect T T + − = − / 2 / 2 3 1( ) ( / 2) 2 2 2 j Tf j TfT TG f T sinc f e e T sinc f jsen Tfpi pi pi− = − = ⋅ Lembrando que o espectro de energia de g(t) é o módulo ao quadrado de G(f), temos, 2 2 1| ( ) | sinc ( )G f T Tf= 2 2 2( ) sinc2 2 T TG f f = 2 2 2 3| ( ) | ( / 2)2 TG f Tsinc f sen Tfpi = ⋅ 2.12) Determine a função de transferência, a largura de faixa de 3 dB e a resposta ao impulso e do filtro RC cujo circuito está representado na Fig. E2.12. Fig. E2.12 Solução Analisando o circuito podemos escrever 1 2( ) ( ) 1 2 j fCY f X f R j fC pi pi = + A função de transferência, será ( ) 1( ) ( ) 1 2 Y fH f X f j fRCpi= = + Para determinar a largura de faixa de 3 dB fazemos ( ) 2 2 1 1( ) 21 2 H f fRCpi = = + C R X(f) Y(f) e obtemos 3 1 2dB f B RCpi = = Aplicando a transformada de Fourier obtemos ( ) ( )ath t ae u t−= onde 1 a RC = 2.13 Um filtro RC tem resposta ao impulso dada por 100( ) 100 ( )th t e u t−= .Determine a saída deste filtro no domínio do tempo quando a entrada é ( ) 2cos(2 50 )x t tpi= × Solução Usando a tabela de transformadas temos 100( ) 100 2 H f j fpi= + . Para fc = 50, temos 100 1( ) 100 2 50 1c H f j jpi pi= =+ × + , 2 1( ) 1 cH f pi = + -1( ) tg ( )cfβ pi= Aplicando (2.117) chegamos a 1 2 2( ) cos[2 50 ( )] 1 y t t tgpi pi pi − = × + + 2.14 Um pulso retangular de amplitude unitária e duração 0,01 ms passa pelo filtro passa-baixa H(f) representado na Fig. E2.14. Esboce a transformada de Fourier do sinal na saída deste filtro. Fig. E2.14 Solução O espectro de amplitude do sinal na saida do filtro é dado por ( ) ( ) ( )Y f X f H f= onde ( ) sinc( )X f T Tf= sendo T = 10-5 s. Esta função está representada na figura que segue. H(f) - 50 0 50 f (kHz) 1 Assim, chegamos na seguinte expressão e respectivo gráfico sinc( ) | | 200kHz( ) 0 fora T Tf f Y f ≤= 2.15 A relação entre a entrada x(t) e a saída y(t) de um sistema linear é dada por y(t) = 2x(t) + x(t-τ) + x(t+τ) Determine a função de transferência deste sistema. Solução A resposta ao impulso é dada por h(t) = 2δ(t) + δ(t-τ) + δ(t+τ) e a função de transferência por 2 2( ) 2 2 2cos(2 )j f j fH f e e fpiτ piτ piτ−= + + = + 2.16 A função 2( ) sinc tg t T = é amostrada por impulsos de área unitária em t = kT0, onde T0 = T/2, obtendo-se o sinal x(t). (a) Faça um gráfico de x(t) e de sua transformada de Fourier X(f). (b) Suponha que -200 -100 0 100 200 f(kHz) Y(f) -200 -100 0 100 200 300 f(kHz) X(f) o sinal x(t) passa pelo filtro H(f) mostrado na Fig. E2.16. Determine a expressão do sinal y(t) na saída do filtro. Fig. E2.16 Solução O sinal x(t) está mostrado na figura abaixo. Sabemos que ( )2g( ) sinc ( ) tritt G f T Tf T = ↔ = × Como o espectro do sinal amostrado é a repetição do espectro G(f) multiplicado por 1/T 0, este espectro é dado por ( ) 0 0 0 1( ) tri 2 tri n n n nX f f T Tf T f T T T δ ∞ ∞ =−∞ =−∞ = − ∗ × = × − ∑ ∑ e seu gráfico está mostrado abaixo, seguido do gráfico do sinal na saída do filtro. -1/T0 0 1/T0 f 2/T 2/T H(f) 1 -4T0 -2T0 0 T0 2T0 4T0 f x(t) -1T0 -1/T 0 1/T 1/T0 3/T 2/T0 f -1T0 -1/T 0 1/T 1/T0 3/T 2/T0 f 2 2 X(f) Y(f) Fazendo a transformada inversa obtemos 2 0 4( ) sinc cos 2t ty t T T T pi =
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