Guia de Estudos da Unidade 2 - Transferência de Calor

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Transferência de Calor
UNIDADE 2
2
TRANSFERÊNCIA dE CAloR
UNIdAdE 2
Introdução à convecção. Escoamento externo. Escoamento interno
oRIENTAçõES dA dISCIplINA
Na unidade anterior, você se familiarizou e desenvolveu as equações relacionadas com 
a transferência de calor por condução.
Entretanto, no estudo da transferência de calor por condução, não avaliamos os fluidos 
que envolvem os corpos, que é um fato que sempre ocorre.
Assim, nesta unidade, você irá estudar sobre a convecção, que é o fenômeno de trans-
ferência de calor que ocorre em fluidos. Normalmente, todo corpo sólido está envolto 
em fluidos, como as paredes, as tubulações, entre outros. Dessa forma, a troca de calor 
(ou transferência de calor) se dá por uma combinação da condução com a convecção.
Após uma introdução sobre a convecção e suas formas, você relembrará a definição de 
escoamento laminar e turbulento, seguindo-se um estudo sobre escoamento externo e 
escoamento interno.
O escoamento externo ocorre quando um fluido se move sobre um sólido, em sua su-
perfície. Quando este fluido se encontra em uma temperatura diferente da do sólido, 
então ocorre uma transferência de calor determinada por um gradiente de temperatura. 
Neste estudo, você também verá que tal escoamento depende da forma do sólido sobre 
o qual o fluido se move.
O escoamento interno, por sua vez, ocorre quando um fluido se move no interior de um 
sólido, o que, além de depender da sua forma geométrica, também gera o que denomi-
namos de temperatura média e velocidade média do fluido.
Mais uma vez, ao longo do texto, serão apresentados alguns exemplos aplicando as 
equações conceituadas.
Para complementar seu estudo consulte o seu livro texto e não deixe de fazer os exer-
cícios propostos.
 
3
INTRodUção à CoNvECção
Basicamente, a convecção é um fenômeno físico que ocorre num meio fluido (líquidos e gases) onde haja 
propagação de calor através da diferença de densidade desse fluido. A densidade de um fluido sofre 
alteração quando se altera sua temperatura. Assim, um líquido ou um gás aquecido expande ou dilata, 
conforme se aumenta ou se diminui sua temperatura, respectivamente. 
Somente esta definição já nos responde algumas perguntas, como: por que um fluido quente (ar quente, 
por exemplo) sobe e um fluido frio desce? 
Querido (a) aluno (a), justamente por conta da diferença de densidade entre eles. Veja que estamos falan-
do de um mesmo fluido. Em razão disso é que sentimos calor no capô de um carro que está ligado, mas o 
fluido frio de um freezer tende a movimentar-se para o solo, quando o abrimos.
Isso leva a pensar em uma outra questão: então, a convecção se dá somente por diferença de temperatura 
entre as moléculas e/ou átomos de um fluido? 
A resposta é não!
O fato é que, uma vez que ocorre diferença de densidade entre partes com temperaturas diferentes do 
fluido, não há garantia de que “o fluido mais leve” (menos denso) se mova para cima ou de que “o fluido 
mais pesado” (mais denso) se mova para baixo. Isso somente pode ocorrer em função da gravidade. 
Então, se eventualmente estivéssemos em um local em que não houvesse a ação da força da gravidade, 
essas partes desse fluido hipotético permaneceriam misturados, embora pudessem trocar calor entre si 
até alcançar o equilíbrio.
Aqui, então, chegamos aos dois fatores que primordialmente permitem a transferência ou troca de calor 
por convecção: a diferença de densidades de um (ou mais de um) fluido e a ação da força da gravidade.
A convecção pode ainda ocorrer de duas formas:
•	 A convecção livre (também conhecida como convecção natural); e
•	 A convecção forçada.
Convecção livre ou natural 
O que foi falado sobre convecção há pouco está mais relacionado com o que conhecemos como convecção 
livre.
“Convecção natural é um mecanismo de transferência de calor, em que o movimento do 
fluido se dá somente por diferenças de densidade no fluido provocado por gradientes de 
temperatura. ” (Newton, 1701)
4
Na convecção natural, um fluido que esteja em contato com uma fonte de calor recebe este calor, tor-
nando-se menos denso e subindo. Por sua vez, um fluido que esteja em contato com um corpo mais frio, 
torna-se mais denso e desce. Partes do próprio fluido, em função de gradientes de temperatura, podem 
trocar calor por convecção entre si, fazendo com que a região mais quente do fluido se eleve, e a região 
mais fria desça. Entretanto, isso só pode ocorrer em função da gravidade.
Convecção forçada
Na convecção forçada, a transferência de calor tem por força motriz o movimento do fluido que é gerado 
por uma fonte externa, que pode ser uma bomba, um ventilador ou um dispositivo de sucção.
Costuma ser um dos principais métodos de transferência de calor útil, quando quantidades significativas 
de energia térmica calor podem ser transportadas de forma muito eficiente. Esta forma de transferência 
de calor ocorre muito em nossa vida cotidiana, citando como bons exemplos os aquecedores (calefação) 
e os condicionadores de ar.
“A transferência de calor por convecção forçada é definida por um escoamento em que o 
movimento entre o fluído e a superfície se mantém mediante agentes externos.” (Schlich-
ting, 1980)
Caro (a) aluno (a), é importante estabelecer, entretanto que, em qualquer situação de convecção forçada, 
uma certa quantidade de convecção natural estará sempre presente, sempre que houver força da gravi-
dade presente. Mas, também cumpre observar que muitas das vezes a convecção natural é em parcela 
mínima, podendo ser desprezada.
Por outro lado, quando a convecção natural não for desprezível, esses fluxos são geralmente referidos 
como convecção mista.
Fenômeno da Convecção
O fenômeno da convecção se dá por vários motivos. Dentre eles, podemos dizer que é necessária que 
um fluido esteja em movimento, mas que também esteja submetido a um gradiente de temperatura. Para 
que esse gradiente de temperatura seja efetivo, o fluido precisa estar em contato com um outro material 
que, naturalmente, possua temperatura diferente da que o seio do fluido possua. Se o material estiver 
com temperatura superior à do fluido, a troca de calor será do material para o fluido, quando o material se 
resfriará e o fluido se aquecerá. Do contrário, se o material estiver com temperatura inferior à do fluido, 
a troca de calor se dará do fluido para o material, com o fluido se resfriando e o material se aquecendo.
5
GUARdE ESSA IdEIA!
Aqui, “seio do fluido” deve ser compreendido como a região do fluido que esteja em 
tal distância do material com temperatura diferente, de maneira que a sua temperatura 
praticamente não sofre influência da temperatura desse material.
Observe que o fluido, seja um gás ou um líquido, comporta-se como se camadas de moléculas estivessem 
umas sobre as outras. Imagine você, por exemplo, uma situação exemplificativa de um fluido em escala 
macroscópica: um grande tonel é preenchido completamente com bolinhas de gude. Ao se inclinar o tonel, 
as bolinhas que estiverem na parte mais alta, na boca do tonel por assim dizer, se deslocarão e irão se mo-
ver, caindo do tonel. As bolinhas que estiverem um pouco, somente um pouco, mais abaixo, se moverão 
mais lentamente, e as bolinhas que estiverem muito abaixo, dentro do tonel, sequer se moverão. Assim 
funciona um fluido em deslocamento quando em contato com uma parede sólida.
 
Figura 1. Perfil de velocidade em um fluxo laminar.
Fonte: Imagem do próprio autor.
A camada do fluido que se encontre mais próxima à parede não se move, trocando calor diretamente com 
a parede. A camada um pouco mais distante, ou a camada que se segue logo após essa primeira, já se 
move com uma velocidade baixa, e então recebe (ou perde) calor (conforme a parede esteja mais quente 
ou fria que o fluido, respectivamente). A camada seguinte, ainda um pouco mais afastada da parede, 
move-se mais rapidamente e também recebe (ou perde) parte desse calor. Esse movimento do fluido, por 
lâminas, gera o que denominamos de perfil de velocidade(Figura 1).
voCÊ SAbIA?
Você sabia que à medida que o fluido se move, mais proximamente ou mais distante da parede, dá lugar 
a outras moléculas de fluido que ainda guardam a temperatura do seio do fluido, quando somente então 
irão começar a sofrer o fenômeno da transferência de calor? 
Pois bem, querido (a) aluno (a), a esse fenômeno, damos o nome de CONVECÇÃO.
???
6
Veja que, além do gradiente de temperatura como força motriz para a troca de calor, surge agora um outro 
fator muito importante para que essa troca de calor se dê pelo que chamamos de convecção: a velocidade 
do fluido. Podemos dizer, em princípio, que, quanto mais rápido o fluido, mais rápida a transferência de 
calor.
Mas, é claro que somente o gradiente de temperatura e a velocidade do fluido não são os únicos fatores 
que regem a convecção, seja natural ou forçada. Há outros fatores que influem neste fenômeno, e que 
você poderá constatar facilmente: o material da superfície de troca de calor, que pode uma certa con-
dutividade, densidade, calor específico; o tipo de fluido, que também possui essas propriedades e ainda 
possui uma viscosidade dinâmica (já que o fluido está em movimento). Há ainda que se considerar o tipo 
de superfície, se rugosa ou lisa (aumentando ou elevando fatores de fricção ou de arrasto), sua forma 
geométrica (se possui ou não cantos ou quinas, que causem diferença na forma de troca de calor, gerando 
o que se costuma chamar de hot spots ou pontos quentes).
Costuma-se agregar todas essas propriedades de forma empírica. Através de experimentos, obtêm-se 
as denominadas correlações empíricas. O resultado desse artifício, em convecção, se dá através da 
utilização de um coeficiente de transferência de calor por convecção, de maneira que a troca de calor por 
convecção se resume na Eq. 1, mais conhecida como Lei de Newton do resfriamento.
 Eq. 1
GUARdE ESSA IdEIA!
Uma correlação empírica é normalmente baseada em experimentos reais, com obser-
vações e anotações de diversos fatores, resultando em equações que relacionam pro-
priedades entre si, mas que geralmente contêm alguma constante para que os resulta-
dos obtidos por essas equações se aproximem dos obtidos experimentalmente.
A rigor h é denominado coeficiente local de convecção.
Como você já sabe, a unidade de q no SI é (Watt ou Joule/s). A temperatura Ts é a temperatura 
da superfície do material em contato com o fluido (ºC). A temperatura T∞ é a temperatura do seio do 
fluido, ou seja, aquela que não sofre alteração em função da temperatura da superfície do material em 
contato, ou ainda, a temperatura que o fluido teria se não houvesse superfície de material (ºC). A área A 
é em metros quadrados no SI. Finalmente, h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, que 
é dado no SI pela unidade W.m−2.ºC−1, ou W/(m2.ºC).
Considerado o conceito de fluxo de calor, temos pela Eq. 2, representando tal fluxo por q”:
 Eq. 2
7
Podemos dizer também que (Eq. 3):
 Eq. 3
Neste caso, o fluxo de calor é dado por W/m2.
ExEmplo
Exemplo 1
Você tem um trocador de calor na forma de um cilindro de comprimento de 30,0 cm e diâmetro externo de 
3,0 cm. Este trocador de calor, na verdade um cilindro que age como um mergulhão (que possui uma es-
pécie de serpentina com resistência térmica), dissipa 6 kW de calor quando inserido em uma corrente de 
água a 25ºC, cujo coeficiente de transferência de calor é 5.000 W.m−2.K−1. Supondo desprezíveis as perdas 
de calor que ocorrem nas extremidades deste cilindro, quando for interrompida a corrente de água, ele 
ficará exposto ao ar, que se encontra a 20ºC, mas cujo coeficiente de transferência de calor por convecção 
é de 50 W.m−2.K−1. Qual a temperatura da superfície?
Solução
Usando a Eq. 2 combinada com a Eq. 3:
 
De onde poderemos obter a Ts:
A área de toda a superfície do cilindro é A = pDL, onde D é o diâmetro do cilindro e L é o seu comprimento.
Assim, a temperatura na superfície do cilindro, quando mergulhado na água, será:
Já a temperatura na superfície do cilindro, se exposto ao ar, será:
8
Observa-se que, como o ar não é bom condutor de calor (neste caso, estamos falando de convecção, 
apesar do trocadilho), a temperatura da superfície do cilindro aquece muito mais que quando ele está 
mergulhado na água.
Combinação de fenômenos de convecção e condução
Na realidade, praticamente toda transferência de calor por condução é acompanhada pelo fenômeno da 
convecção, pois normalmente os materiais em estudo estão circundados por fluidos. Assim, é comum 
termos resistências térmicas que envolvam coeficientes de transferência de calor por condução (k, condu-
tividade térmica) e por convecção (h, coeficiente convectivo).
Assim, você viu, quando o estudo da transferência do calor por condução que a Lei de Fourier nos pode 
ser apresentada como a Eq. 4, de maneira que o termo pode 
L
kA
 ser denominado de resistência térmica 
relativa à transferência de calor por condução.
 
 
 Eq. 4
Da mesma forma, Eq. 2 combinada com a Eq. 3 pode ser reescrita como a Eq. 5, em que a resistência 
térmica relativa à transferência de calor por convecção é dada por 1
hA
.
 Eq. 5
Dessa forma, é possível combinar as resistências térmicas de condução de calor e de convecção em sis-
temas em série ou em paralelo.
ExEmplo
Exemplo 2
Determine a perda de calor por unidade de comprimento em um cilindro de parede composta, constituído 
de dois tubos concêntricos e contíguos. O tubo mais interno é constituído de um aço cuja condutividade 
térmica é k1 = 47 W.m
−1.ºC−1, de raio interno R1 = 30 mm e raio externo R2 = 35 mm. Este aço está isolado 
com uma espuma de poliuretano de espessura de 10 mm e de k2 = 0,023 W.m
−1.ºC−1.
9
Figura 2. Tubo cilíndrico de aço revestido com isolante à base de espuma de poliuretano transportando um 
fluido e exposto externamente ao ar.
Fonte: Imagem do próprio autor 
Este tubo transporta um fluido à temperatura de 250ºC, com coeficiente de 240 W.m−2.ºC−1 e está exposto 
ao meio ambiente, à temperatura de 30ºC, admitindo o coeficiente de transferência de calor externo de 
25 W.m−2.ºC−1.
Solução
A solução passa pela equação de calor com uma resistência global:
 , com Rtotal = R1 + R2 + R3 + R4 , Ti é a temperatura interna (fluido interno) e Te é a temperatura 
do ambiente.
Neste caso, R1 corresponde à resistência devida ao fluido que é transportado no interior do tubo, R2 à re-
sistência devida ao tubo mais interno (de aço), R3 ao isolamento (espuma de poliuretano) e R4 à resistência 
devida ao ambiente.
R1 e R4 são resistências à transferência de calor por convecção.
R2 e R3 são resistências à transferência de calor por condução.
10
Lembremos que, para cilindros, a resistência referente à transferência de calor por condução 
é dada por .
Ainda, para cilindros, considerada a área de convecção, podemos dizer que , considerando 
que a área total de um cilindro é 2πrL;
Sendo assim:
 
 
 
Ou simplesmente:
Aplicando os valores, para obter a perda de calor por unidade de comprimento (q/L):
 
 
11
Escoamento laminar e turbulento
Uma vez que a convecção envolve a velocidade do fluido trocador de calor, é preciso lembrar que o escoa-
mento de um fluido pode ser laminar ou turbulento.
 
Figura 3. Desenvolvimento da camada limite de velocidade em uma placa plana, com as regiões laminar, 
de transição e turbulenta.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Existem diferenças significativas entre um escoamento laminar e um escoamento turbulento. No escoa-
mento laminar, o movimento do fluido é ordenado e as linhas de corrente que mostram o movimento das 
partículas são nítidas. Por sua vez, no escoamento turbulento, o movimento do fluido se apresenta alta-
mente irregular (Figura 3). No escoamento turbulento, as flutuações de velocidade podem ocasionar um 
aumento de várias taxas, em função do atrito superficial, tais como as taxas de transferência de momento, 
de massa e, também, de energia, ou seja, a taxa de transferência de calor, neste caso,por convecção. 
Assim, podemos dizer que o tipo de escoamento do fluido influi diretamente na transferência de calor por 
convecção.
voCÊ SAbIA?
Caro (a) aluno (a), você sabia que podemos dizer que, dependendo da velocidade do fluido, teremos um 
escoamento laminar (velocidades menores) ou um escoamento turbulento (velocidades maiores)?
Pois é, mas, ainda temos que considerar que é possível um escoamento limítrofe, com características 
entre laminar e turbulento, em uma região que se costuma chamar de crítica.
Normalmente, a fato de um escoamento é laminar ou turbulento depende de diversos fatores, mas há 
estudos empíricos que tornam possível a determinação da natureza do escoamento através do Número de 
Reynolds (veja esse conceito mais adiante).
???
12
Camadas limites de convecção
Os perfis de velocidade apresentados na Figura 3 mostram claramente que o fluido que se encontra em 
contato com a superfície possui velocidade nula, ao passo que, ao se distanciar da superfície, tem sua 
velocidade aumentada até o limite da velocidade máxima do fluido. Essa diferença, camada a camada, é 
considerada infinitesimal e ocorre pelo que chamamos de lâminas. À medida que cada camada se distan-
cia da superfície de contato, menos influência sofre dessa superfície, de modo que, a uma dada distância, 
a superfície não mais influi na velocidade do fluido. Importante é observar que essa distância depende 
diretamente da viscosidade do fluido.
Ao conjunto de camadas sobrepostas, dá-se o nome de CAMADA LIMITE.
As camadas limites que importam no fenômeno da convecção são a camada limite de concen-
tração e a camada limite térmica.
Entretanto, para definir as camadas limite de concentração e térmica, é necessário entender primeiramen-
te o que vem a ser a camada limite de velocidade.
Camada limite de velocidade
Figura 4. Desenvolvimento da camada limite de velocidade em uma placa plana.
Fonte: Imagem do próprio autor.
A camada limite de velocidade depende diretamente da velocidade do fluido. No início do escoamento 
(no início de uma placa plana ou no início de uma tubulação), ou seja, na borda de ataque, os efeitos da 
viscosidade do fluido são intensos, de maneira que a espessura da camada limite, que representaremos 
por δ, é mínima. À medida que a distância do fluxo cresce em relação à borda de ataque, os efeitos de 
viscosidade penetram cada vez mais na corrente livre e a camada limite cresce, ou seja, a espessura δ 
cresce com o sentido do fluxo (que arbitrariamente denotaremos como direção x).
13
Camada limite de concentração
 
Figura 5. Desenvolvimento da camada limite de concentração sobre uma placa plana.
Fonte: Imagem do próprio autor.
A camada limite de concentração determina a transferência de massa por convecção. Podemos falar de 
concentração quando há duas ou mais espécies de material no fluido ou ainda quando o fluido sofre al-
guma mudança de estado físico, tal como a evaporação, quando se pode falar da concentração de vapor 
no fluido (Figura 5).
A transferência de massa (ou de matéria, ou de espécie) por convecção entre a superfície de contato e 
a corrente livre do fluido é função das condições da camada limite. A Lei de Fick da difusão pode ser 
representada pela Eq. 6.
 Eq. 6
Aqui, é o fluxo molar da espécie A (kmol.s-1.m-2), DAB é o coeficiente de difusão mássica de A em B (m2/s), 
CA é a concentração molar da espécie A (kmol/m3) e y (m) é a direção do fluxo da espécie A.
O conceito formal para a camada limite de concentração é o seguinte:
“A camada limite de concentração é a região em que o gradiente de concentração 
existe, sendo sua espessura δc tipicamente definida como o valor de y para o qual 
.” (Schlichting, 1980)
Em que CA é a concentração da espécie A. O subscrito s significa que a concentração é medida na super-
fície, o subscrito ∞, que é medida no seio do fluido, e a ausência de subscrito, que a concentração se é 
medida em qualquer posição entre a superfície e o seio do fluido.
14
Camada limite térmica 
 
Figura 6. Desenvolvimento da camada limite térmica sobre uma placa plana isotérmica.
Fonte: Imagem do próprio autor.
Da mesma forma que foi definida a camada limite de concentração, podemos fazê-lo para definir a ca-
mada limite térmica. Portanto, podemos dizer que a camada limite térmica determina a transferência de 
calor por convecção (Figura 6).
A transferência de calor por convecção entre a superfície de contato e a corrente livre do fluido também é 
função das condições da camada limite. A Lei de Fourier pode ser representada pela Eq. 7.
 Eq. 7
Aqui, q” é o fluxo de calor (W/m2), kf é a condutividade térmica do fluido (W.m−1.ºC−1) e é o gradiente 
de temperatura no direção ortogonal ao fluxo do fluido (T em ºC e y em m).
Aluno (a), observe que, na superfície s, o fluxo de calor por convecção é nulo, pois não há movimento do 
fluido, de maneira que a transferência de calor só se dará por condução (Eq. 8). 
 Eq. 8
A combinação das equações 1 e 8 nos apresenta o coeficiente local de convecção h como (Eq. 9):
 Eq. 9
15
Uma vez que a diferença é uma constante, é possível concluir que, quando maior o gradiente 
, menor o valor do coeficiente h.
O conceito formal para a camada limite térmica é o seguinte:
“A camada limite térmica é a região em que o gradiente de concentração existe, sendo sua 
espessura δt tipicamente definida como o valor de y para o qual 
” (Schlichting, 1980)
NÚmERoS AdImENSIoNAIS
Os números adimensionais, ou ainda grandezas adimensionais, são valores que não possuem nenhuma 
unidade física, pois a definição de cada um deles envolve grandezas cujas unidades se cancelam.
Entretanto, os números adimensionais são extremamente importantes nas ciências, uma vez que eles 
podem representar propriedades muito importantes para determinados sistemas.
Para o uso de números adimensionais, normalmente é necessário se definir variáveis independentes adi-
mensionais. As equações da camada limite podem ser então normalizadas desta forma.
Normalizar é, portanto, representar equações de forma adimensional.
No nosso caso, podemos definir as variáveis de posição adimensionais, em que x é a coordenada do fluxo 
do fluido, y a coordenada ortogonal ao fluxo do fluido, representativa do gradiente térmico, e L o compri-
mento característico (de uma placa plana, por exemplo), de maneira que as variáveis independentes (de 
posição) adimensionais, x* e y*, podem ser dadas pelas equações 10 (a) e 10 (b).
 
 Eq. 10 (a)
 
 Eq. 10 (b)
Variáveis dependentes também podem ser definidas adimensionalmente, tais como a velocidade adi-
mensional u* (componente na direção do fluxo do fluido) e a velocidade adimensional v* (componente na 
direção do gradiente térmico) sendo V a velocidade à montante da superfície (ou seja, a velocidade de 
entrada do fluido na superfície) – equações 11 (a) e 11 (b).
 Eq. 11 (a)
 
16
 Eq. 11 (b)
A temperatura adimensional é dada pela Eq. 12, em que T é a temperatura em um ponto qualquer do fluido 
em movimento, Ts é a temperatura na superfície e T∞ a temperatura no seio do fluido.
 Eq. 12
Outras grandezas adimensionais podem ser consideradas, como a concentração molar e a pressão.
Número de Reynolds (Re)
O número de Reynolds (Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluidos, que serve para 
realizar cálculos que demonstram o regime de escoamento de um determinado fluido sobre uma superfície.
O conceito foi introduzido por George Gabriel Stokes (Stokes, 1851), mas o número de Reynolds tem seu 
nome oriundo de Osborne Reynolds, um físico e engenheiro hidráulico irlandês (1842–1912), quem primei-
ro popularizou seu uso (Reynolds, 1883; Rott, 1990).
“O número de Reynolds representa a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. 
”(Stokes, 1851)
As forças de inércia são representadas por u e r, enquanto que as forças de viscosidade são representa-
das por μ e D (Eq. 13).
 Eq. 13 (a)
Aqui, u representa a velocidade média do fluido (m/s). D representa a dimensãocaracterística do fluxo 
(por exemplo, o diâmetro do tubo por onde ocorre o fluxo, em m). μ representa a viscosidade mássica do 
fluido (em kg.s-1m-1) e r a densidade do fluido (kg/m3). O número de Reynolds permite avaliar o tipo do 
escoamento, se ocorre de forma laminar ou turbulenta.
ExEmplo
Por exemplo, para o caso de um fluxo de água em um tubo cilíndrico, admitem-se os valores de 2.000 
e 2.400 como limites. Desta forma, para valores menores que 2.000 o fluxo será laminar, e para valores 
17
maiores que 2.400 o fluxo será turbulento. Valores intermediários levam a classificar o fluxo como em 
regime transitório.
Em seu livro texto (Souza, 2016), você encontrará a Eq. 13 (a) na forma da Eq. 13 (b):
 Eq. 13 (b)
Aqui, Lc é o comprimento (L) característico. Usou-se Lc por estar aquele texto se referindo a uma placa 
plana, cuja dimensão característica é seu comprimento.
A viscosidade dinâmica (ou cinemática) do fluido (em m2/s) relaciona-se com a viscosidade mássica μ 
através da densidade r (Eq. 14).
 Eq. 14
Número de prandtl (pr)
O número de Prandtl (Pr) é um número adimensional que relaciona a difusividade de momento (viscosida-
de cinemática ou dinâmica, u, m2/s) e difusividade térmica de um fluido (μ, m2/s). Por isso, é uma medida 
da eficiência destas transferências nas camadas limites hidrodinâmica (de velocidade) e térmica (veja 
esses conceitos mais adiante). Este nome é uma homenagem ao físico alemão Ludwig Prandtl (Eq. 15).
“O número de Prandtl representa a razão entre as difusividades de momento e térmica.” 
(Coulson & Richardson, 1999)
 Eq. 15
Em problemas de transferência de calor, o número de Prandtl controla a espessura relativa das camadas 
limite de velocidade e térmica. Quando Pr é pequeno, conclui-se que o calor difunde-se muito facilmente 
comparado à velocidade.
Número de Nusselt (Nu)
O número de Nusselt (Nu) é uma grandeza que se presta à determinação do coeficiente de transferência 
de calor por convecção, através de análise dimensional. O número de Nusselt também pode ser conside-
rado como função de outros números adimensionais, o número de Reynolds e o número de Prandtl (Eq. 16).
“O número de Nusselt representa o gradiente de temperatura adimensional na superfície.” 
(Mori & Nakayama, 1965)
18
 Eq. 16
Aqui, h é o coeficiente local de convecção (W.m-2.ºC-1), L a dimensão característica da superfície (m) e kf 
a condutividade térmica do fluido (W.m-1.ºC-1).
O número de Nusselt costuma representar para a camada limite térmica o mesmo que o coeficiente de 
atrito representa para a camada limite de velocidade.
Sendo assim, é comum expressar o Número de Nusselt como uma função de outros dois números adi-
mensionais:
 Eq. 17
O ReL é o número de Reynolds baseado na dimensão característica (comprimento) da superfície.
ExEmplo
Exemplo 3
A partir dos dados a seguir, calcule (a) o número de Reynolds, o número de Prandtl e o número de Nusselt 
(o fluido em questão é o mercúrio, metal líquido)
Propriedades do mercúrio:
r = 13,6 kg/m3
c
r
 = 140 J.kg-1.K-1
μ = 1,55 kg.m-1.s-1
k = 8,34 W.m-1.K-1
Condições de fluxo e transferência de calor:
D = 250 mm = 0,25 m (ou comprimento característico, L, para o Nu)
u
∞
 = 1,5 m/s
h = 18 W.m-2.K-1
Solução:
(a) Eq. 13 
19
(b) Eq. 15
 Eq. 14
 Eq. 8 (Unidade 1) (difusividade térmica)
 
Logo:
 
(c) Eq. 17
 
ESCoAmENTo ExTERNo
Dá-se o escoamento externo quando as camadas limites não apresentam restrições impostas por outras 
superfícies adjacentes, de maneira que seus perfis se desenvolvem livremente. Em outras palavras, have-
rá uma distância da superfície em que ocorrerá uma região de escoamento fora da camada limite, onde 
os gradientes de velocidade, temperatura e/ou concentração serão desprezíveis.
Há diversas aplicações envolvendo o escoamento externo, principalmente relacionadas a aquecimento e/
ou resfriamento por convecção, a sustentação de aeronaves e a força que impede que um veículo em alta 
velocidade (um carro) descole do chão.
Você aprenderá, prezado (a) estudante, a desenvolver aproximações experimentais ou empíricas referen-
tes a algumas formas geométricas que uma superfície pode assumir: uma placa plana, um cilindro e uma 
esfera.
20
Em todas as situações, serão definidas equações empíricas, baseadas em números adimensionais, que 
levarão em conta sempre o tipo de regime de escoamento, se laminar, turbulento ou na região crítica.
placa plana
 
Figura 7. Escoamento paralelo de um fluido sobre uma placa plana isotérmica.
Fonte: Imagem do próprio autor.
O escoamento em uma placa plana poderá ser laminar ou turbulento. A região em que o escoamento deixa 
de ser laminar para ser turbulento é denominada região crítica, e, sobre a superfície (no eixo da superfí-
cie), é definido em um ponto que denominaremos de Xcr. Seja o eixo x a direção do fluxo do fluido, o eixo 
y a direção do gradiente térmico, Ts a temperatura da superfície de contato, T∞ a temperatura no seio do 
fluido, V a velocidade à montante do fluido (na entrada da placa plana), u a componente da velocidade V 
na direção do movimento do fluido, v a componente da velocidade V na direção ortogonal ao movimento 
do fluido, e L a dimensão característica (comprimento) da placa plana (Figura 7).
O regime laminar inicia-se em x = 0. Em xcr ocorre uma transição do regime laminar para o turbulento. 
Neste ponto, o número de Reynolds, Re, foi definido empiricamente para esta geometria como sendo:
 Eq. 18
No escoamento laminar investigado por este curso, admite-se um escoamento incompressível e em regi-
me estacionário ou permanente. Por incompressível entende-se um escoamento cuja ação de compressão 
é desprezível em relação ao descolamento do fluido.
Há diversas equações que regem o escoamento laminar. Apresentaremos cada uma delas a seguir.
A equação de continuidade (Eq. 19) representa a aplicação da conservação de massa a um dado volume 
21
de controle diferencial, sendo que cada um de seus termos representa a vazão líquida de massa nas dire-
ções x e y, que devem ser nulas para o escoamento estacionário.
A equação de momento (Eq. 20) resulta da aplicação da Segunda Lei de Newton na direção do eixo x.
A equação de energia (Eq. 21) decorre da aplicação da conservação de energia ao mesmo volume de 
controle diferencial citado.
A equação de massa (matéria ou espécie) (Eq. 22), representada na forma molar, é o resultado da aplica-
ção da conservação da espécie química para o mesmo volume de controle.
 Eq. 19
 Eq. 20
 
 Eq. 21
 Eq. 22
Regime laminar
Considerando ainda todas as propriedades constantes, de forma que as equações 19 e 20 não depen-
dam nem da temperatura nem da concentração das espécies, a solução dessas equações leva a valores 
importantes para o regime laminar.
obSERvAção!
A solução dessas equações não é demonstrada neste guia, pertencendo antes a um 
curso de cálculo. Referendamos que você poderá encontrar os passos para suas resolu-
ções em Dewitt, D. P., & Incropera, F. P. (2003). Fundamentos de Transferência de Calor 
e de Massa. Livros Técnicos e Científicos (LTC) Editora SA.
22
Espessura da camada limite hidrodinâmica (de velocidade) (δ) 
Trata-se, como você já viu, de um conceito que diz que a espessura da camada limite δ corresponde 
ao valor em que , em que u representa a velocidade média do fluido (m/s), u
∞
 representa a 
velocidade no seio do fluido (m/s), também denominada velocidade da corrente livre do fluido (Eq. 23), e x 
a posição em que o número de Reynolds foi calculado.
 Eq. 23
Espessura da camada limite térmica (δt) 
Trata-se, como você já viu, de um conceito que diz que a espessura da camada limite δ corresponde ao va-
lor em que (Eq. 24). Sua espessura é resultado de resultados analíticos 
do trabalho de Pohlhausen (1921). E observe que, neste caso, a Eq. 24 vale tanto para o regime laminar 
como para o regime turbulento.
 Eq. 24
Coeficiente local de atrito (Cf,x)
O coeficiente local deatrito depende da tensão de cisalhamento na parede (Eq. 25).
 Eq. 25
Coeficiente de atrito médio (Cf,l) (ST)
Como o coeficiente de atrito varia, é possível, também através do estudo das tensões locais de cisalha-
mento, determinar o coeficiente de atrito médio (Eq. 26).
5
, 1
2
1,328 Re 5 10
Re
f L L
L
C = < ×para Eq. 26
Número de Nusselt local (Nux) 
O número de Nusselt permite estimar o valor do coeficiente de transferência de calor, h, mais conhecido 
como coeficiente convectivo (equações 27 e 28).
23
 Eq. 27
 Eq. 28
Caro (a) aluno (a), saiba que segundo outros autores, para Pr ³ 0,1.
Número de Nusselt médio ( NuL )
Assim, como o coeficiente de atrito, também o coeficiente de transferência de calor varia, podendo-se 
determinar seu valor médio (equações 29 e 30).
 Eq. 29
 
 Eq. 30
ExEmplo
Exemplo 4
Nitrogênio a 100ºC, sob 1 atm de pressão, escoa a uma velocidade de 5 m/s sobre uma placa plana de 80 
cm de largura que se encontra a 150ºC. Determine o que se pede para x = 80 cm e x = xcr (distância crítica).
Propriedades do nitrogênio a 100ºC:
r = 1,11 kg/m3
c
r
 = 1275,6 J.kg-1.K-1
μ = 2,31x10-5 kg.m-1.s-1
k = 0,0267 W.m-1.K-1
(a) Espessura da camada limite hidrodinâmica (de velocidade)
(b) Espessura da camada limite térmica
(c) Coeficiente local de atrito
(d) Coeficiente médio de atrito
24
(e) Coeficiente local de transferência de calor por convecção
(f) Coeficiente médio de transferência de calor por convecção
(g) Quantidade de calor transferida para resfriar a placa
Solução:
Primeiramente, para saber que equações utilizar, precisamos definir se o regime é laminar, determinando 
o valor do número de Reynolds:
Para x = 0,8 m:
 Eq. 13
 
Como 1,9 x 105 < 5 x 105 o regime de escoamento é laminar.
Para determinar a distância crítica (distância, ao longo da placa, em que o regime passa de laminar a 
turbulento) xcr, admitimos que o Recr = 5 x 10
5, então:
(a) Eq. 23
 
 
 
25
Para x = 0,8 m:
 
Para xcr = 2,08 m:
(b) Eq. 24
 
 
 Em que (ver Exemplo 2), ou seja:
 
 
 
 Para x = 0,8 m:
 
 
 Para xcr = 2,08 m:
 
 
Prezado (a) aluno (a), observe que as espessuras das camadas limites térmicas são ligeiramente menores 
que as espessuras das camadas limites de velocidade, como prevê o estudo.
(c) Eq. 25
 
 
26
Para x = 0,8 m:
 
 
Para xcr = 2,08 m:
 
(d) Eq. 26 
 
Para x = 0,8 m:
 (o dobro do coeficiente local)
Para xcr = 2,08 m:
 
 (o dobro do coeficiente local)
(e) O coeficiente local de transferência de calor por convecção pode ser obtido de:
 Eq. 27
Assim:
 
Para x = 0,8 m:
 
27
Para xcr = 2,08 m:
 
(f) O coeficiente médio de transferência de calor é dado por:
 Eq. 29
 
Assim:
Para x = 0,8 m:
 
Para xcr = 2,08 m:
 
(g) O cálculo do calor transferido deve ser feito com o coeficiente médio de transferência de calor por 
convecção, e, como ele já é calculado em função de x, e a área A = x.b, sendo b a largura, ou seja, b = 0,8 
m, então:
Para x = 0,8 m:
 
Para xcr = 2,08 m:
 
28
Regime turbulento
Os resultados obtidos para o caso de valores superiores ao Recr são apresentados a seguir, mas devem ser 
usados para .
Espessura da camada limite hidrodinâmica (de velocidade) (δ)
Observe que a camada limite para o regime turbulento é bem maior, ou seja, que o crescimento da camada 
limite turbulenta é muito mais rápido que o para o regime laminar (Eq. 31).
 Eq. 31
Espessura da camada limite térmica (δt) 
Como já comentado, a Eq. 24 vale tanto para o regime laminar como para o regime turbulento.
 
 Eq. 24
Coeficiente local de atrito (Cf,x)
O coeficiente local de atrito é bem menor no regime turbulento que no regime laminar (Eq. 32).
 Eq. 32
Coeficiente de atrito médio ( )
Como o coeficiente de atrito varia, podemos também obter o seu valor médio (Eq. 33).
 
 Eq. 33
29
Número de Nusselt local Nux
O número de Nusselt permite estimar o valor do coeficiente de transferência de calor, h, mais conhecido 
como coeficiente convectivo (Eq. 34).
 
 Eq. 34
Número de Nusselt médio 
Também em função do coeficiente convectivo variar, é possível determinar seu valor médio (Eq. 35).
 Eq. 35
ATENção!
Atenção: há determinadas situações que o fluxo é considerado turbulento, mesmo sem 
que o valor do número de Reynolds de 5x105 seja alcançado. Um exemplo disso é o 
fluxo paralelo sobre uma placa plana (dos dois lados da placa simultaneamente).
ExEmplo
Exemplo 5
Um carte (pequeno veículo automóvel de competição) possui em seu motor uma aleta retangular de 20 cm 
de comprimento. Durante as corridas, a aleta chega a alcançar 300ºC, enquanto a temperatura ambiente 
gira em torno dos 30ºC. Considere que uma aleta possui duas superfícies e que é submetida paralela-
mente ao deslocamento do ar, cujo escoamento pode ser considerado turbulento, apesar de o número de 
Reynolds não indicar isso (há situações em que isso ocorre). Determine a taxa de calor dissipado do motor 
através da aleta, quando o veículo se encontra a 100 km/h, considerando ainda que a aleta tem 5 cm de 
largura. As propriedades do ar a 30ºC são aproximadamente:
r = 1,16 kg/m3
μ = 1,85 x10-5 kg.m−1.s−1
k = 0,0263 W.m−1.K−1
Pr = 0,707
30
Solução:
Apenas para confirmar o que diz a proposta de situação, determinemos o número de Reynolds, conside-
rando que a velocidade do ar sobre o veículo é a mesma que a velocidade do veículo, ou seja, 100 km/h ou 
100000/3600 = 27,78 m/s, e que a dimensão característica D é o comprimento da aleta = 20 cm = 0,2 m:
 
Eq. 13 (a)
Apesar de 3,5 x 105 < 5 x 105 (indicativo de escoamento laminar), já foi informado no texto que o regime 
turbulento deve ser considerado.
Para determinar a taxa de calor dissipado, lancemos mão do número de Nusselt médio (já que não foi 
pedido para se determinar a taxa de calor em algum ponto da aleta). Lembre-se de que a área da aleta 
deve ser considerada em dobro (duas superfícies) apenas quando se for determinar a taxa total de calor 
dissipado. Para se determinar o coeficiente de calor médio, basta considerar seu comprimento uma vez.
 Eq. 35
Com ele, é possível determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção médio (considere 
apenas o comprimento da aleta L = 0,20 m):
O número de Reynolds já foi determinado e o número de Prandtl foi dado para a temperatura do gás.
31
Finalmente, para determinar o calor dissipado (considerando as duas superfícies da aleta, ou seja, cuja 
área A = 2 x 0,2 m x 0,05 m (2 x largura x comprimento) = 0,02 m2:
(lembre-se que em se tratando de ΔT, ºC = K)
Cilindro
O escoamento externo de um fluido em relação a um cilindro será apresentado na direção longitudinal ao 
cilindro (Figura 8).
Este tipo de escoamento se assemelha ao que acontece nas asas de um avião, quando o fluido à montante 
alcança o que chamamos de bordo de ataque da asa, e o seu movimento (do fluido) proporciona a 
sustentação da aeronave.
 
Figura 8. Escoamento de um fluido longitudinalmente a um cilindro.
Fonte: Imagem do próprio autor.
O livro texto (Souza, 2016) traz comentários bastante elucidativos com respeito ao comportamento da 
velocidade do fluido frente à pressão exercida sobre o cilindro. 
Basicamente, à medida que a velocidade do fluido diminui, até encontrar o denominado bordo de ataque 
do cilindro (ponto de estagnação frontal), quando se torna nula, a pressão aumenta, alcançando um má-
ximo neste ponto. À medida que o fluido contorna o cilindro, ganhando novamente velocidade, a pressão 
começa a diminuir. No lado oposto à entrada do fluido, há uma região denominada ponto de separação. 
Se velocidade do fluido for bastante alta, surgirá uma separação da camada limite neste ponto, formando 
uma esteira, característica da transição de um regime laminar para um regime turbulento. O Recr neste 
ponto é 2 x 105.
32
Coeficiente de arrasto (CA)
Todo esse processo dá origem a uma força denominada força de arrasto (FA), resultante da tensão 
cisalhante da camada limitee do diferencial de pressão na direção do escoamento), cujo coeficiente de 
arrasto (CA) pode ser definido em função da área frontal do cilindro Af (Eq. 36).
 Eq. 36
Número de Nusselt médio ( )
É conhecido através de uma relação empírica (Eq. 37).
 Eq. 37
Os valores para as constantes empíricas C e m são apresentados em uma tabela no livro texto (Souza, 
2016).
ExEmplo
Exemplo 6
Considere uma região de uma tubulação (10 cm de comprimento) cujo diâmetro seja de 15 cm. Por dentro 
dele passa um fluido que gera perda de calor de 50 W, deixando sua superfície a uma temperatura de 
150ºC. Nestas condições o vento (ar) que passa ao redor do tubo transversalmente encontra-se a 30 m/s 
e a uma temperatura de 25ºC. Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção nessas 
condições. Considere ainda os dados referentes ao ar nesta temperatura como sendo os mesmos do 
Exemplo 5, ou seja:
r = 1,16 kg/m3
μ = 1,85 x10-5 kg.m−1.s−1
k = 0,0263 W.m−1.K−1
Pr = 0,707
Solução:
Primeiramente, calculemos o número de Reynolds, para a velocidade de 30 m/s e 10 cm de comprimento 
da região estudada da tubulação:
33
 Eq. 13
 
O cálculo do coeficiente de transferência de calor médio pode ser obtido pelo número de Nusselt médio:
 Eq. 37
Os valores de C e m são obtidos da Tabela 2.1 do livro texto (Souza, 2016):
C = 0,027
m = 0,805
Assim:
 
Esfera
Para o escoamento externo a uma esfera (como numa bola de futebol ou de golfe, por exemplo), as consi-
derações feitas anteriormente também são aplicáveis, havendo, porém, uma simplificação relacionada à 
grandeza do número de Reynolds (Eq. 38).
 Eq. 38
Uma correlação para a transferência de calor sobre uma esfera foi desenvolvida por Whitaker (1972) 
(Eq. 39).
34
 Eq. 39
com
Caro (a) aluno (a), uma consideração importante quanto ao escoamento externo a uma esfera está rela-
cionada com a rugosidade da esfera. Sabe-se, experimentalmente, que quanto mais rugosa a superfície 
da esfera for, menor o coeficiente de arrasto.
ExEmplo
Exemplo 7
Uma esfera de aço carbono de 20 mm de diâmetro é retirada de um forno sendo submetida a uma cor-
rente de ar de 5 m/s à uma temperatura de 30ºC. Supondo que a dissipação de calor é da ordem de 
30 W, qual a temperatura do forno. A condutividade térmica do aço carbono nas condições do forno é 
k = 60,5 W.m−1.K−1. Considere ainda os dados referentes ao ar nesta temperatura como sendo os mesmos 
do Exemplo 5, ou seja:
r = 1,16 kg/m3
μ = 1,85 x10-5 kg.m−1.s−1
k = 0,0263 W.m−1.K−1
Pr = 0,707
Outros valores da viscosidade mássica do ar:
μ = 2,08 x10-5 kg.m−1.s−1 (350 K)
μ = 2,30 x10-5 kg.m−1.s−1 (400 K)
μ = 2,50 x10-5 kg.m−1.s−1 (450 K)
μ = 2,70 x10-5 kg.m−1.s−1 (500 K)
μ = 2,88 x10-5 kg.m−1.s−1 (550 K)
μ = 3,06 x10-5 kg.m−1.s−1 (600 K)
μ = 3,22 x10-5 kg.m−1.s−1 (650 K)
μ = 3,39 x10-5 kg.m−1.s−1 (700 K)
μ = 3,55 x10-5 kg.m−1.s−1 (750 K)
35
Solução:
Primeiramente, calculemos o número de Reynolds, para a velocidade de 5 m/s e 20 mm = 0,02 m de 
comprimento característico (no caso, o diâmetro) da esfera. Lembre-se que as demais propriedades que 
devem ser consideradas são as do fluido que escoa.
 Eq. 13 (a)
 
O cálculo do coeficiente de transferência de calor médio pode ser obtido pelo número de Nusselt médio:
 Eq. 39
Assim:
 
Para o ar à temperatura da superfície da esfera, faremos inicialmente uma estimativa, a de que a esfera 
esteja a 500 K (temperatura do forno suposta), ou 227ºC:
 
 
Podemos estimar a temperatura com, lembrando que a área de uma esfera corresponde a A = πD2, que, 
neste caso é A = π(0,02 m)2 = 0,0013 m2. Lembre-se que a potência dissipada é de 30 W. A temperatura 
do ar T∞ = 30ºC = 303 K.
 
 
 
 
36
Este valor não corresponde à estimativa, estando acima dela, é necessário fazer iterações (você pode 
usar o Excel® para isso). Assim, supondo agora a temperatura de 750 K:
E, a temperatura encontrada é de:
 
 
Como este valor também não corresponde à nova estimativa, estando abaixo dela, façamos novos 
cálculos iterativos, supondo 700 K:
 
E, a temperatura encontrada é de:
 
37
Finalmente, fazendo uma interpolação linear do valor médio entre 731 e 736 K, com as viscosidades más-
sicas, teríamos, para 733,5 K, μ = 3,42 x10-5 kg.m−1.s−1, e teríamos:
 
 
E, a temperatura encontrada é de:
 
Com certa razoabilidade, podemos estimar então que a temperatura do forno deverá ser de 733 K (entre 
733,5 e 732 K), correspondente a 460ºC.
ESCoAmENTo INTERNo
Dá-se o escoamento interno quando um fluido está confinado em uma superfície, como em uma tubula-
ção, seja ela cilíndrica ou de qualquer outra forma geométrica.
Aqui também se deve considerar o regime laminar ou turbulento de escoamento, mas há uma outra variá-
vel que se deve levar em conta, que é a região de entrada do escoamento.
Agora, você aprenderá como se comportam os fluidos quando escoam em tubos circulares e tubos não 
circulares.
Tubos Circulares
 
Figura 9. Desenvolvimento da camada limite hidrodinâmica para escoamento laminar em um tubo circular.
 Fonte: Imagem do próprio autor.
38
As tubulações circulares são caracterizadas por possuir um raio r, por onde entra um fluido com uma ve-
locidade uniforme. No momento da entrada na tubulação, o fluido entra em contato com a superfície da 
tubulação, passando a agir a viscosidade, que influencia no perfil de velocidade do escoamento. 
O escoamento é considerado plenamente desenvolvido quando o fluido se estende por toda a tubulação 
e a sua velocidade não mais varia à medida que ocorre esse deslocamento. A posição em que ocorre isso 
é denominada de comprimento de entrada hidrodinâmico.
Como a velocidade varia sobre a seção transversal ao seu deslocamento e não existe uma corrente livre 
bem definida, costuma-se trabalhar com uma velocidade média um.
perfil de escoamento
Numa tubulação cilíndrica, o perfil de escoamento é definido em função do número de Reynolds, que 
indicará se o escoamento é laminar ou turbulento, sendo o número de Reynolds (Eq. 40):
 Eq. 40
Aqui, D é o diâmetro do cilindro, r é a densidade do fluido, um a velocidade média do fluido e μ a viscosi-
dade mássica do fluido.
Escoamento laminar
No escoamento laminar, o comprimento hidrodinâmico xh pode ser determinado empiricamente (Eq. 41).
 Eq. 41
Escoamento turbulento
Embora não haja uma equação empírica mais consistente, há uma aproximação razoável para se obter o 
comprimento hidrodinâmico (Eq. 42).
 Eq. 42
Temperatura média
A temperatura média do fluido é definida através do fluxo de massa (produto da densidade r pela visco-
sidade mássica μ), da energia interna por unidade de massa (produto do calor específico a volume cons-
tante cv pela temperatura T) e da seção da área transversal A (Eq. 43).
39
 Eq. 43
Fluxo de calor constante
No escoamento interno, podem ocorrer ao menos duas situações: que o escoamento ocorra a fluxo de 
calor constante, ou que ocorra à temperatura de superfície constante.
Temperatura média
Quando se considera que o fluxo de calor é constante, a temperatura média do fluido na saída do tubo é 
dada pela Eq. 44.
 
 Eq. 44
Aqui, é a taxa de transferência de calor e o fluxo de massa (temporal). As demais grandezas já 
foram definidas no decorrer do texto.
Número de Nusselt (Nu) para escoamento laminar
O número de Nusselt (Nu) independe do número de Reynolds ou da posição neste caso (Eq. 45).
 Eq. 45
Temperatura da superfície constante
Quando a temperatura da superfície é constante, é possível se estimar o coeficiente convectivo.
Taxa de transferência de calor ( )
Neste caso, a taxa de transferência de calor é dada pelas equações 46 e 47.
 Eq. 46
 Eq. 47
40
Número de Nusselt (Nu) para escoamento laminar
O número de Nusselt (Nu) é uma constante, ao se considerar a transferência de calor por condução axial 
desprezível (Eq. 48)
 Eq. 48
Escoamento turbulento
Há que se considerar se o tubo cilíndrico é liso ou não liso.
Tubos lisos
O número de Nusselt (Nu) é dado pela Eq. 49.Eq. 49
ExEmplo
Exemplo 8
Uma tubulação de 10 cm de raio interno circula 0,02 k/s de água sob fluxo de calor constante de 20 W/m2, 
em um escoamento considerado bem desenvolvido térmica e hidraulicamente. Para água, nas condições 
apresentadas, temos:
μ = 0,001 kg.m−1.s−1
k = 0,6 W.m−1.K−1
Determine (a) o coeficiente de transferência de calor por convecção; (b) a diferença de temperatura entre 
a parede e o valor médio no escoamento do fluido.
Solução:
(a) Inicialmente, precisamos saber se o fluxo é laminar ou turbulento, através da determinação do número 
de Reynolds:
 
41
O produto da velocidade média (um) pela densidade pode ser calculado considerando a vazão mássica 
 e a seção reta de escoamento da tubulação . Basta ver que as unidades infor-
mam isso:
 
Assim, o número de Reynolds pode ser determinado por (D = 2ri = 2x10 cm = 0,2 m):
 
 
 
Para fluxo constante de calor, pode-se estimar o valor do coeficiente de transferência de calor por con-
vecção:
 Eq. 48
 
(b) Para determinar a diferença de temperatura entre a parede e o valor médio no escoamento do fluido, 
temos, para fluxo de calor constante de 2 W/m2:
 
42
Tubos não lisos
Para tubos não lisos, o fator de atrito f deve ser considerado (analogia de Chilton-Colburn (Eq. 50).
 Eq. 50
ExEmplo
Exemplo 9
Uma tubulação de 10 cm de diâmetro admite ar a 80ºC a uma vazão de 0,01 kg/s e, após percorrer 10 
m da tubulação, tem o ar resfriado para 50ºC. Considerando que estamos numa região fria, em que o ar 
ambiente se encontra a 0ºC, e que o coeficiente de transferência de calor entre a superfície da tubulação 
e o ar ambiente é de h = 8 W.m−2.K−1. As propriedades para o ar são as seguintes:
A 353 K (80ºC)
Cp = 1009,3 J.kg−1.K−1
A 323 K (50ºC)
μ = 1,954x10−5 kg.m−1.s−1
k = 0,0280 W.m−1.K−1
Pr = 0,704
Considerando então que a superfície da tubulação é mantida à temperatura constante, determine (a) a 
perda de calor ao longo do tubo; (b) o fluxo de calor e a temperatura da superfície na posição correspon-
dente a 10 m da tubulação.
Solução:
(a) A perda de calor ao longo do tubo pode ser determinada por:
 Eq. 2 (Unidade 1)
A taxa de perda de calor pode ser dada por, considerando-se que o fluido está a 80ºC dentro da tubulação, 
a pressão constante:
 
Assim:
 
43
(b) O fluxo de calor deve considerar duas resistências, a do fluido na tubulação (o ar quente), e a do fluido 
externo à tubulação (o ar ambiente), de maneira que:
Os índices correspondem ao fluido interno (i) e fluido externo (e). O coeficiente de convecção externo foi 
dado he = 8 W.m−2.K−1. Para determinar o coeficiente de convecção interno, usemos o procedimento do 
Exemplo 8 (o valor da viscosidade mássica a ser usado deve ser o da saída da tubulação, ao final do com-
primento, onde Re também deve ser considerado):
 
 
O regime é turbulento (ReD > 2300).
Para temperatura da superfície constante, pode-se estimar o valor do coeficiente de transferência de calor 
por convecção (tubo liso):
 Eq. 49
Então:
 
 
Assim, como
44
 
Este é o fluxo de calor. Para determinar a temperatura da superfície da tubulação, vamos considerá-la 
sozinha (o fluxo de calor entre as paredes é sempre o mesmo):
 
 
Tubos não circulares
Para estudar tubos não circulares, costuma-se determinar sua dimensão característica, que é mais conhe-
cida como diâmetro hidráulico Dh (Eq. 51).
 
 Eq. 51
Neste caso, então, o cálculo do coeficiente convectivo pode ser determinado através do número de Nus-
selt (Nu) pela Eq. 52.
 Eq. 52
Todas as demais considerações feitas para tubos circulares valem com boa aproximação para os tubos 
não circulares, desde que a dimensão característica considerada passe a ser o diâmetro hidráulico Dh.
45
ExEmplo
Exemplo 10
Suponha um escoamento de hélio a 20 g/s em uma tubulação retangular de dimensões 20 mm por 4 mm. 
Avaliando-se em um comprimento de tubulação de 20 cm, estime (a) o coeficiente de transferência de 
calor convectivo para este fluxo e (b) a taxa de calor, considerando que o hélio escoa a 150ºC e que o ar 
ambiente, externo à tubulação, encontra-se a uma temperatura de 30ºC. Considere que a temperatura da 
superfície da tubulação se mantém constante. Admita, ainda as seguintes propriedades para o hélio
A 423 K (150ºC)
Cp = 5193 J.kg−1.K−1
μ = 2,00x10−5 kg.m−1.s−1
k = 0,153 W.m−1.K−1
Pr = 0,680
Solução:
(a) Como no Exemplo 9, o valor do número de Reynolds nos permite determinar se o escoamento é laminar 
ou turbulento. Observe que, neste caso, como a geometria da tubulação não é circular, deve-se trabalhar 
com o diâmetro hidráulico:
 Eq. 51
Para a seção reta de um retângulo, a área é A = b.h, que, neste caso é A = 0,02 m x 0,004 m = 8x10−5 m2. 
O perímetro é p = 2.(b+h) = 2 x (0,02 m + 0,004) = 0,048. Logo:
 
O valor do número de Reynolds, pode ser calculado assim:
 
 
46
O regime é turbulento (ReD > 2300).
Neste caso, pode-se estimar o valor do coeficiente de transferência de calor por convecção de através de:
 Eq. 49
 
 
 
(b) A taxa de calor pode ser estimada por:
 
 
pAlAvRAS FINAIS
Nesta unidade, você aprendeu mais sobre a convecção, uma das formas de transferência de calor, asso-
ciando-a aos escoamentos externo e interno.
Mais uma vez, foram apresentados alguns exemplos resolvidos, para melhor compreensão do assunto. 
Sugerimos que você procure refazer esses exemplos como exercícios, somente olhando o desenvolvimen-
to após pelo menos uma tentativa (agora que você já leu todo o texto).
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ACESSE o AmbIENTE vIRTUAl
Também é muito importante que você realize todas as atividades que constam no Am-
biente Virtual de Aprendizagem (AVA). Lembramos novamente que, além delas servi-
rem como importantes ferramentas para assimilação do assunto estudado, elas repre-
sentam 40% da nota da prova! 
Então, não deixe de fazer, e nem deixe para a última hora! 
Caso tenha alguma dúvida, entre em contato com o (a) tutor (a)! 
Nos encontramos na próxima unidade.
Até lá!
REFERÊNCIAS bIblIoGRáFICAS
Çengel, Y. A. (2009). Transferência de Calor e Massa: Uma Abordagem Prática, 3ª Edição. São Paulo.
Dewitt, D. P., & Incropera, F. P. (2003). Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. Livros Técnicos 
e Científicos (LTC) Editora SA.
Flanker. (2008). Laminar boundary layer scheme. In L. b. l. scheme.svg (Ed.) (Vol. 966 × 414 pixels, file size: 
15 KB, pp. Velocity profile of a laminar boundary layer created by a free stream flowing across a flat plate. 
Note that the boundary layer limit is not a Streamlinestreamline (only velocity parallel to the surface is 
considered for definition of the boundary layer).): Wikimedia Commons.
Pohlhausen, E. (1921). Der Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten mit kleiner Rei-
bung und kleiner Wärmeleitung. ZAMMJournal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für 
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motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels. Proceedings 
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Stokes, G. G. (1851). On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums (Vol. 9): Pitt 
Press.
Whitaker, S. (1972). Forced Convection Heat-Transfer Correlations for Flow in Pipes, Past Flat Plates, Sin-
gle Cylinders, Single Spheres, and for Flow in Packed-Beds and Tube Bundles. Aiche Journal, 18(2), 361-&.