Sistemas de Equações Diferenciais

Prévia do material em texto

29/11/2011 
1 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
Seja o seguinte sistema de n equações diferencias lineares de 1ª ordem: 
 
1 11 1 12 2 1 1    n nx a x a x .......... a x g ( t )
 
 
1 1 2 2    n n n nn n nx a x a x ......... a x g ( t )
 
 
ou, em termos matriciais: 
  X AX G 
com 
 
1
n
x
X
x
 
 
 
  
 ; 
11 1
1
n
n nn
a a
A
a a
 
 
 
  
 ; 
1
n
x
X
x
 
 
 
  
 ; 
1 
 
 
  n
g ( t )
G
g ( t )
 
 
onde 
ija
 (i e j = 1, 2, ...., n) são constantes dadas e 
ig ( t )
 são funções 
conhecidas. 
Sistema de Equações Diferenciais Lineares: 
29/11/2011 
2 
Método Geral de Solução do Sistema: 
 Analogamente ao caso das equações diferenciais ordinárias isoladas, 
a solução do sistema acima é dada pela soma da solução geral 
do seu sistema de equações homogêneo correspondente: 
 
 
 representado pelo vetor ,mais a solução particular do sistema 
original analisado . Ou seja: 
 
 
 
Obs.: A forma de obtenção da solução particular vai depender da 
especificação das funções conhecidas . 
X AX
X( t )
ig ( t )
X( t )
 X( t ) X( t ) X( t )
Método de Solução de Sistemas Homogêneos: 
 Dado um sistema de equações diferenciais lineares de 1ª ordem 
homogêneo: 
 
 se a matriz dos coeficientes A possui n autovalores reais ou 
complexos distintos , com correspondentes autoveto- 
res , então podemos definir a matriz invertível 
 que permite diagonalizar a matriz A, através dos 
passos a seguir. 
 Seja W um vetor de novas variáveis wi, obtidas através da 
combinação linear das variáveis originais xi, da seguinte forma: 
 
 
 
X AX
 1 2 n, ,.....,  
 1 2 n, ,.....,  
1 nP   
 
X PW
29/11/2011 
3 
 Então as derivadas em relação ao tempo das variáveis xi são dadas 
por: 
 
 ou 
 
 
 Portanto o sistema homogêneo pode ser reescrito como 
 
 
 ou 
 
 
1 1   
   
   
      n n
x w
P
x w
X PW
X AX
PW APW
1W P APW
 ou finalmente: 
 
 
 ou 
 
 
 
 Já vimos que a solução geral dessas n equações diferenciais 
ordinárias de 1ª ordem podem ser facilmente obtidas 
como sendo 
 onde ci são constantes arbitrárias 
 
W DW
1 1 1
2 2 2
0 0
0 0
0 0
     
     
     
     
     
     n n n
w w
w w
w w



i i iw w
 iti iw ( t ) c e

29/11/2011 
4 
 Portanto: 
 
 
 
 
 E como sabemos que , temos que: 
 
 
 
 
 
1
1 1
  
      
     
n
t
t
n n
w ( t ) c e
W( t )
w ( t ) c e


X( t ) P.W( t )
1
1
1
 
 
    
 
 
n
t
n
t
n
c e
X( t )
c e


 
Então temos que a solução geral do sistema homogêneo analisado é 
dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
1 2
1 1 1 1
1 2
1 2
      
                
             
n
n
tt t
n
n
n n n n
x ( t )
c e c e .......... c e
x ( t )
 
  
  
29/11/2011 
5 
Exemplo 1: 
Considere o seguinte problema envolvendo um sistema de duas equações 
diferenciais lineares de 1ª ordem: 
 
 
1 1 2x x x 
+5 
 
 
2 1 24 2x x x 
+8 
 
ou 
 
 1 1
2 2
1 1 5
4 2 8
      
             
x x
x x
 
 
 
Com as seguintes condições iniciais:  
 
1
2
0 1
0 2
    
      
x t
x t
 
Solução particular: 
Propondo 
 
1 1x ( t ) 
 e 
2 2x ( t ) 
 
 
temos que 
 
 
1 20 5    
 
 
1 20 4 2 8    
 
Com solução: 
 
 
1 1 9 x ( t )  
 
 
2 2 14  x ( t )  
29/11/2011 
6 
Para aplicar o método da diagonalização da matriz dos coeficientes do 
sistema, vamos obter os autovalores e respectivos autovetores da mesma: 
 
  
1 1
1 2 4 0
4 2
  

     
 
 
ou 
 
 22 2 4 0        
 
ou 
 2 6 0    
 
Cujas raizes são: 
 1
2
21 1 24
32
 
  
  
 
 
Solução geral da homogênea correspondente: 
 
Autovalor: 1 2  : 
 
1
1
1
2
1 2 1 0
4 2 2 0


    
          
 ou 1 11 2  
 
Fixando-se 11 1  , tem-se que: 
1 1
1

 
  
 
 
 
Autovalor: 2 3   : 
 
2
1
2
2
4 1 0
4 1 0


    
    
     
 ou 2 21 24   
 
Fixando-se 21 1  , tem-se que: 
2 1
4

 
   
 
29/11/2011 
7 
Logo a solução geral da homogênea correspondente é: 
 
1 2 3
1 2
2
1 1
1 4
               
t tx ( t ) c e c e
x ( t )
 
 
Sendo então a solução geral do sistema analisado: 
 
1 2 3
1 2
2
1 1 9
1 4 14
                       
t tx ( t ) c e c e
x ( t )
 
 
ou 
2 3
1 1 2 9
  t tx ( t ) c e c e
 
 
 2 3
2 1 24 14
  t tx ( t ) c e c e
 
Dadas as condições iniciais, temos que: 
 
1 1 20 9 1   x ( ) c c 
 2 1 20 4 14 2   x ( ) c c 
 
 
1
2
4
12

 
 
c
c
 
 
Logo: 
2 3
1 4 12 9
  t tx ( t ) e e 
 
 2 32 4 48 14
  t tx ( t ) e e 
29/11/2011 
8 
Exemplo 2: 
Considere o seguinte sistema homogêneo de duas equações diferen- 
ciais lineares de 1ª ordem 
 
1 1 2
2 1 2
x x 5x
x 2x 5x
 
 
 
ou 
1 1
2 2
x x1 5
x x2 5
    
        
 
Com as condições iniciais: 
1
2
x (t 0) 1
x (t 0) 4
   
      
 
Os autovalores da matriz dos coeficientes do sistema são: 
 
  
1 5
1 5 10 0
2 5
  
 
     
 
 
ou 
 
 25 5 10 0        
ou 
 
 2 4 5 0    
 
cujas raizes são: 
 
 1
2
24 16 20
22
i
i
 
    
  
  
 
29/11/2011 
9 
E os respectivos autovetores, também complexos, são: 
 
Autovalor: 
1 2 i   
: 
 
1
1
1
2
1 2 5 0
2 5 2 0
i
i


      
           
 
ou 
 
  1 11 23 5 0i     
 
 
 1 11 22 3 0i    
 
Obs. Essas equações não são independentes: e2 x 3 1
2 2
i
 
 
 
 = e1 
Portanto, tomando-se por exemplo a segunda e fixando o valor 1
2 2 
, 
obtemos que 1
1 3 i  
. Ou 
 
1
11
1
2
3 3 1
2 2 0
i
i
 
       
          
       
 
ou 
1 u wi   onde 3 1
2 0
u e w
   
    
   
 
 
Cálculos análogos com a outra raíz conjugada 
2 2 i   
 resultam num 
autovetor correspondente que é o conjugado do autovetor complexo 1 : 
 
2 u wi   onde 3 1
2 0
u e w
   
    
   
 
29/11/2011 
10 
Dados esses autovalores e autovetores, tem-se então que a solução geral do 
sistema homogêneo analisado é: 
 
 
1 2 2
1 2
2
         
 
( i )t ( i )tx ( t ) c (u wi )e c (u wi )e
x ( t )
 
 
 
Mas como pela fórmula de Euler          seni t te e cos t i t    , 
tem-se que: 
 
 
   1 2 21 2
2
                
 
x ( t )
c (u wi ) e cost i.sent c (u wi ) e cost i.sent
x ( t )
 
   1 2 1 2
2
           
 
x ( t )
e c (u wi ) cost i.sent c (u wi ) cost i.sent
x ( t )
 
 
ou 
 
 
 
1 2
1
2
2
        
 
   
x ( t )
e c u.cost u.i.sent w.i.cost w.sent
x ( t)
c u.cost u.i.sent w.i.cost w.sent
 
ou 
 
   
   
1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
        
 
   
x ( t )
e c c u.cost c c u.i.sent
x ( t )
c c w.i.cost c c w.sent
 
29/11/2011 
11 
Como última etapa, vamos tomar como as duas constantes arbitrárias c1 e 
c2, dois complexos conjugados arbitrários   i  e   i  . Com isso, 
temos que: 
 
 1 2 2 c c 
 e 
 1 2 2 c c i
 
 
Portanto, 
 
 1 2
2
2 2 2 2
 
    
 
x ( t )
e .u.cost .i.u.i.sent .i.w.i.cost .w.sent
x ( t )
    
 
ou 
 1 2
2
2 2 2 2
 
    
 
x ( t )
e .u.cost .u.sent .w.cost .w.sent
x ( t )
    
   1 2
2
         
 
x ( t )
e Au Bw cost Bu Aw sent
x ( t )
 
onde 
2A  e 
2B 
 são valores arbitrários 
 
ou finalmente 
 
1 2
2
3 1 3 1
2 0 2 0

             
                
              
tx ( t ) e A B cost B A sent
x ( t )
 
 
ou 
   21 3 3
     
tx ( t ) e A B cost B A sent
 
 
 22 2 2
 tx ( t ) e Acost Bsent
 
29/11/2011 
12 
Dadas as condições iniciais, temos que: 
 
1 0 3 1  x ( ) A B 
 
 2 0 2 4 x ( ) A 
 
Com solução 
 
2A e 5B 
 
Logo, a solução procurada do sistema analisado é: 
 
 21 17
 tx ( t ) e cost sent 
 
 22 4 10
 tx ( t ) e cost sent 
Fim